2020九年级数学上册 1.3 二次函数的性质同步测试 (新版)浙教版

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2020年浙教版九年级数学上册第一章二次函数同步试题及答案

2020年浙教版九年级数学上册第一章二次函数同步试题及答案第1章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 2－12．对于二次函数y ＝3(x －2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝－2C ．顶点坐标是(2，1)D ．与x 轴有两个交点3．抛物线y ＝x 2－1可由下列哪一个函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到？( )A ．y ＝(x －1)2＋1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2－3D ．y ＝(x ＋1)2＋34．二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若A ? ????34，y 1，B ? ????－54，y 2，C ? ??14，y 3为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 26．在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是( )7．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x 的取值范围是() A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞38．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D 作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是()二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)13．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．14．已知抛物线y＝ax2－4ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－2，0)，则一元二次方程ax2－4ax＋c＝0的根为______________．15．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是______________．16．某涵洞的截面是抛物线形，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝－14x2，当涵洞水面宽AB为12 m时，水面到桥拱顶点O的距离为________m.17．对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③若图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④如果当x＝4与x＝100时，函数值相等，则当x＝104时，函数值为－3，其中正确说法的序号是________．18．如图，把抛物线y＝12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分) 19．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点；(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．20．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，点Q 在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．21．如图，二次函数图象与y轴交于点A(0，－6)，与x轴交于C，D两点，顶点坐标为B(2，－8)．若点P是x轴上的一动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．22．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，那么水面CD的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的表达式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．此船能否顺利通过这座拱桥？23．某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元．工厂将该产品进行网络批发，批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？24．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．答案一、1.B 2.C 3．B 点拨：根据“左加右减，上加下减”，可得B 选项正确．4．B 5.D 6.C7．B 点拨：y <0，表示取函数图象在x 轴下面的部分，1－(－1)＝2，所以函数图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，故选B.8．A 9.C10．A 点拨：易知△DEB 为等边三角形，∴∠EDB ＝60°.又∵EF ⊥DE ，∴∠EFD ＝30°.∴DF ＝2DE ＝2BD ＝2(2－x )．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF ＝DF 2－DE 2＝4（2－x ）2－（2－x ）2＝3(2－x )，∴y ＝12×3(2－x )×(2－x )＝32(x －2)2(0≤x <2)．故选A. 二、11.高；(0，15) 12.－1；增大13.1514．x 1＝－2，x 2＝6 15.x ＜－2或x ＞816．9 17.①④18.272点拨：由题意知抛物线m 的对称轴为直线x ＝－3，可设抛物线m 的表达式为y ＝12(x ＋3)2＋h . ∵抛物线m 经过原点，∴0＝12×32＋h ，∴h ＝－92. ∴顶点P 的坐标为? ??－3，－92. 又∵点Q 的坐标为? ??－3，12×32，即? ??－3，92，∴点P 与点Q 关于x 轴对称，∴S 阴影＝|－3|·92＝3×92＝272.三、19.解：(1)将A (－1，－1)，B (3，－9)的坐标分别代入y ＝ax 2－4x ＋c ，得a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9.解得a ＝1，c ＝－6.解得该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6.∵y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点为(2，－10)．(2)∵点P (m ，m )在该函数的图象上，∴m 2－4m －6＝m .∴m 1＝6，m 2＝－1.∴m 的值为6或－1.20．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝(18－2x )cm ，BQ ＝x cm ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0＜x ≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－? ????x －922＋814，∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm2.21．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2－8.将A (0，－6)的坐标代入得4a －8＝－6，∴a ＝12. ∴y ＝12(x －2)2－8，即y ＝12x 2－2x －6. (2)作点A 关于x 轴的对称点E (0，6)，连结BE 交x 轴于点P ，连结PA ，此时PA ＋PB 最小．设直线BE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则2k ＋b ＝－8，b ＝6.解得?k ＝－7，b ＝6. ∴y ＝－7x ＋6.当y ＝0时，x ＝67，∴点P 的坐标为? ??67，0. 22．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2. ∵抛物线关于y 轴对称，AB ＝20米，CD ＝10米，∴点B 的横坐标为10.设点B (10，n )，则点D (5，n ＋3)．将B ，D 两点的坐标分别代入表达式，得n ＝100a ，n ＋3＝25a .解得?n ＝－4，a ＝－125.∴y ＝－125x 2. (2)∵货船经过拱桥时右侧的横坐标为x ＝3，∴当x ＝3时，y ＝－125×9＝－925. ∵点B 的纵坐标为－4，又|－4|－－925＝3.64>3.6，∴当水位在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．23．解：(1)当0＜x ≤20且x 为整数时，y ＝40；当20＜x ≤60且x 为整数时，y ＝－12x ＋50；当x ＞60且x 为整数时，y ＝20.(2)设所获利润为w 元．当0＜x ≤20且x 为整数时，y ＝40，∴w 最大＝(40－16)×20＝480.当20＜x ≤60且x 为整数时，y ＝－12x ＋50，∴w ＝(y －16)x ＝? ??－12x ＋50－16x ＝－12x 2＋34x ＝－12(x －34)2＋578. ∵－12＜0，∴当x ＝34时，w 最大，最大值为578.答：一次性批发34件时，工厂获利最大，最大利润是578元．24．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，∵A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，16a －4b ＋c ＝0，解得a ＝－34，b ＝－94，c ＝3.∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式为y ＝－34x 2－94x ＋3. (2)存在．以CA ，CB 为邻边时，如图，∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5，当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP ＝AC ＝5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴点P 的坐标为(5，3)；以AB ，AC 为邻边时，AC ≠AB ，∴不存在点P 使四边形ABPC 为菱形；以BA ，BC 为邻边时，BA ≠BC ，∴不存在点P 使四边形ABCP 为菱形．故符合题意的点P 的坐标为(5，3)．(3)设直线PA 的函数表达式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，∵A (1，0)，P (5，3)，∴k ＋m ＝0，5k ＋m ＝3，解得k ＝34，m ＝－34，∴直线PA 的函数表达式为y ＝34x －34，当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM －AM |＜PA ，当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝PA ，∴当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即点M 为直线PA 与抛物线的交点，解方程组y ＝34x －34，y ＝－34x 2－94x ＋3，得x 1＝1，y 1＝0，x 2＝－5，y 2＝－92，∴当点M 的坐标为(1，0)或? ??－5，－92时，|PM －AM |的值最大，|PM －AM |的最大值为5.1、读书破万卷，下笔如有神。

九年级数学上册1.2_1.3二次函数的图象及其性质同步练习(新版)浙教版【含解析】

1.2-1.3 二次函数的图象及其性质一、选择题（共10小题；共50分）1. 抛物线y=x2−4x−7的顶点坐标是 ( )A. (2,−11)B. (−2,7)C. (2,11)D. (2,−3)2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )A. c>−1B. b>0C. 2a+b≠0D. 9a2+c>3b3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−x−6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则∣m∣的最小值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 64. 将抛物线C:y=x2+3x−10，将抛物线C平移到Cʹ．若两条抛物线C，Cʹ关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是 ( )个单位A. 将抛物线C向右平移52B. 将抛物线C向右平移3个单位C. 将抛物线C向右平移5个单位D. 将抛物线C向右平移6个单位5. 把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=(x−1)2−4，则b，c的值为( )A. b=2，c=−3B. b=4，c=3C. b=−6，c=8D. b=4，c=−76. 已知两点A(−5,y1)，B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，点C(x0,y0)是该抛物线的顶点，若y1>y2≥y0，则x0的取值范围是 ( )A. x0>−5B. x0>−1C. −5<x0<−1D. −2<x0<37. 已知二次函数y=x2+3x−10的图象为抛物线C，将抛物线C平移得到新的二次函数图象Cʹ．如果两个二次函数的图象C、Cʹ关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是 ( )个单位 B. 将抛物线C向右平移3个单位A. 将抛物线C向右平移52C. 将抛物线C向右平移5个单位D. 将抛物线C向右平移6个单位8. 下列关于二次函数y=ax2−2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是 ( )A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧9. 根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴 ( )A. 只有一个交点B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧D. 无交点10. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的"内接格点三角形"．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3√2，且点A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A<x C<x B，那么符合上述条件的抛物线条数是 ( )A. 7B. 8C. 14D. 16二、填空题（共10小题；共50分）11. 将抛物线y=3(x−4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．12. 二次函数y=x2+2x−5的对称轴是，顶点坐标是．13. 把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是．14. 关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根都在−1和0之间（不包括−1和0），则a的取值范围是．15. 统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，⋯，x n．当函数y=(x−x1)2+(x−x2)2+⋯+(x−x n)2取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为．16. 如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O,A1；将C1绕A1旋转180∘得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180∘得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11,m)在第6段抛物线C6上，则m=．17. 抛物线y=2x2−4x+3绕坐标原点旋转180∘所得的抛物线的解析式是．18. 已知点A(4,y1)，B(√2,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．,0)，有下列结论：19. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−1，且过点(12① abc>0；② a−2b+4c=0；③ 25a−10b+4c=0；④ 3b+2c>0；⑤ a−b≥m(am−b)．其中所有正确的结论．（填写正确结论的序号）20. 如图所示，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，⋯，A n．将抛物线y=x2沿直线l:y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，⋯，M n都在直线l:y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，⋯，A n，则顶点M2014的坐标为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知抛物线C：y=−x2+bx+c经过A(−3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴于x轴的交点记为N．Ⅰ求抛物线C的表达式；Ⅱ求点M的坐标；Ⅲ将抛物线C平移到Cʹ，抛物线Cʹ的顶点记为Mʹ，它的对称轴于x轴的交点记为Nʹ．如果以点M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移?为什么?22. 设函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)]（k是常数）．Ⅰ当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；Ⅱ根据图象，写出你发现的一条结论；Ⅲ将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．23. 如图，抛物线y1=−x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：Ⅰ抛物线y2的顶点坐标；Ⅱ阴影部分的面积S = ；Ⅲ若再将抛物线y2绕原点O旋转180∘得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．24. 已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．Ⅰ求C1的顶点坐标；Ⅱ将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；Ⅲ若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2．直接写出实数n的取值范围．25. 已知抛物线C1:y=ax2+bx+c(x≤4)经过原点和点A(4,0)，顶点为点C，将抛物线C1绕点A旋转180∘得到抛物线C2，顶点为点D，与x轴的另一个交点为点B．Ⅰ直接写出点B的坐标；Ⅱ求C，D两点的坐标（用含a的代数式表示）；Ⅲ当四边形OCBD为矩形时，求a的值．答案第一部分1. A2. D3. B4. C5. B6. B7. C8. D9. B10. C第二部分11. y =3(x −5)2−1 或 y =3x 2−30x +74（写出任何一种形式均可）12. 直线 x =−1；(−1,−6)13. y =(x −2)2+314. −94<a <−2 15. 10.116. −117. −2x 2−4x −318. y 3>y 1>y 219. ①③⑤20. (4027,4027)第三部分21. （1） ∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A (−3,0) 和 B (0,3) 两点，∴ {−9−3b +c =0,c =3,解得 {b =−2,c =3.故此抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3．（2） ∵ 由（1）知抛物线的解析式：y =−x 2−2x +3，∴ 当 x =−b 2a =−−22×(−1)=−1 时，y =4，∴ M (−1,4)．（3）由题意得，以点 M 、 N 、 Mʹ 、 Nʹ 为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 MʹNʹ， ∴ MN ∥MʹNʹ，且 MN =MʹNʹ．∴ MN ⋅MʹNʹ=16，∴ NNʹ=4．（i）当M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的平行四边形是四边形MNNʹMʹ时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线Cʹ；（ii）当M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的平行四边形是四边形MNMʹNʹ时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，在向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线Cʹ．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线Cʹ．22. （1）作图如图．（2）函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)]（k是常数）的图象都经过点(1,0)．（答案不唯一）（3）∵y2=(x−1)2，∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为y3=(x+3)2−2．∴当x=−3时，函数y3的最小值为−2．23. （1）(1,2)（2）2（3）抛物线y1=−x2+2向右平移1个单位得到y2=−(x−1)2+2=−x2+2x+1，再关于原点旋转180∘得到y3=x2+2x−1．24. （1）y=x2+2x+m=(x+1)2+m−1，对称轴为x=−1．∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．∴C1的顶点坐标为(−1,0)．（2）设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k．把A(−3,0)代入上式得(−3+1)2+k=0，解得k=−4，∴C2的函数关系式为y=(x+1)2−4．∵抛物线的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点为A(−3,0)，由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为(1,0)．（3）n>2或n<−4．25. （1）点B的坐标为(8,0)．（2）C1:y=ax(x−4)=a(x−2)2−4a，得C(2,−4a)．C2:y=−a(x−4)(x−8)=−a(x−6)2+4a，得D(6,4a)．（3）由抛物线的对称性得CO=CA．当四边形OCBD为矩形时，AO=AC，所以CO=CA=OA，即△OAC是等边三角形．所以∣y C∣=√32OA=2√3，即4a=±2√3，a=±√32．。

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1.3 二次函数的性质知识点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质1.已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是( )A．3 B．2 C．1 D．－12．已知二次函数y＝x2－2x＋1，当x________时，y随x的增大而增大，函数有最________(填“大”或“小”)值，为________．类型一运用二次函数的性质解题例1 [教材补充例题] 已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( ) A ．y ≥3 B ．y ≤3 C ．y ＞3 D ．y ＜3【归纳总结】运用二次函数的性质确定变量的取值范围的步骤 (1)根据二次函数的表达式画出其大致图象； (2)借助图象和二次函数的性质求出变量的取值范围．例2 [教材补充例题] 若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B (－1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，y 3为二次函数y ＝－x 2－4x＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【归纳总结】比较函数值大小的方法方法一：代入法．将x 值分别代入函数表达式，求出相应的y 值，再比较大小；方法二：图象性质法．先确定抛物线的开口方向，再求抛物线的对称轴和自变量x 到对称轴的距离．当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．类型二会用“五点法”画二次函数的大致图象例3 [教材例题针对练] 已知二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6. (1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值； (2)求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； (3)画出函数的大致图象；(4)自变量x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？何时y 随x 的增大而减小？【归纳总结】画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)大致图象的一般步骤 (1)画出二次函数图象的顶点；(2)当b 2－4ac ＞0时，画出二次函数图象与x 轴的交点；(3)画出二次函数图象与y 轴的交点(0，c )及其关于对称轴的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a，c .类型三探索二次函数的系数与图象的关系例4 [教材补充例题] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的图象如图1－3－1所示，有下列5个结论：①abc >0；②b <a ＋c ；③4a ＋2b ＋c >0；④2c <3b ；⑤a ＋b >m (am ＋b )(m ≠1)．其中正确的结论有________(填序号)．图1－3－1【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数与图象的关系(1)系数a的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向决定：开口向上⇔a>0，开口向下⇔a<0；(2)系数b的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧⇔a，b同号，对称轴在y轴右侧⇔a，b异号；(3)系数c的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交⇔c>0，与y轴负半轴相交⇔c<0，与y轴交于原点⇔c＝0.若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)均在抛物线y＝x2－8x＋9上，且x1<x2，要使y1>y2，则点A与点B一定在对称轴的左侧(即x1<x2＜4)吗？为什么？详解详析【学知识】知识点上下 x ＝－b 2a x ＝－b2a⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 减小增大增大减小 4ac －b 24a 4ac －b 24a1．[解析] C ∵二次函数y ＝3x 2－12x ＋13可化为y ＝3(x －2)2＋1， ∴当x ＝2时，二次函数y ＝3x 2－12x ＋13有最小值1. 2．[答案] ≥1 小 0 【筑方法】例1 [解析] B 当x ＝2时，可求得二次函数的值y ＝－4＋4＋3＝3，又由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，可知抛物线的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的右侧，y 的值随x 的增大而减小，所以当x≥2时，y 的取值范围是y≤3.例2 [答案] C例3 解：(1)抛物线的开口方向向下，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x ＝1，有最大值为8.(2)令y ＝0，则－2x 2＋4x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．令x ＝0，则y ＝6，所以抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)． (3)略．(4)当x≤1时，y 随x 的增大而增大；当x≥1时，y 随x 的增大而减小．例4 [答案] ③④⑤[解析] 由图象知抛物线开口向下，即a<0；抛物线与y 轴的正半轴相交，即c>0；再由－b2a >0及a<0得b>0，故①不正确；由图象得，当x ＝－1时，y<0，即a －b ＋c<0，也就是b>a ＋c ，故②不正确；当x ＝2时，y>0，于是有4a ＋2b ＋c>0，故③正确；由－b2a ＝1，得b＝－2a ，a ＝－b 2，代入b>a ＋c ，得b>－b 2＋c ，即2c<3b ，故④正确；m(am ＋b)＝am 2＋bm ＝a(m 2＋b a m)＝a(m ＋b 2a )2－b 24a <－b 24a ＝－（－2a ）24a＝－a ＝a ＋b ，故⑤正确．【勤反思】[小结] 2 1 无小大 [反思] 不一定．理由：当点A ，B 在对称轴异侧，即x 1<4<x 2且4－x 1>x 2－4(亦即x 1＋x 2<8)时，y 1>y 2仍成立．。

浙教版九年级上数学同步训练(5) 第一章二次函数1.3二次函数的性质(Word版含答案)

本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 41.3 二次函数的性质1.抛物线 y=x 2+2x+3 的对称轴是（ B ）A.直线 x=1B.直线 x=-1C.直线 x=-2D.直线 x=22.二次函数 y=x 2-2x-1 图象的顶点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知二次函数 y=a （x-1）2+3，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ D ）A.a ≥0 B .a≤0 C.a ＞0 D.a ＜04.若二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，则实数 m 的值为（ A ）A ．2B ．3C ．±2D ．±1 【解析】∵y=-x 2+2x+m 2+1=-（x-1）2+m 2+2，二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，∴m 2+2=4，解得 m=±2.故选 A.5.已知二次函数 y=-x 2+2x+3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（ B ）A. y ≥3B. y ≤3C. y ＞3D. y ＜3【解析】当 x=2 时，y=-4+4+3=3.∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而减小.∴当 x ≥2 时，y 的取值范围是 y≤3.故选 B.6.已知抛物线 y=x 2+bx+3 的对称轴为直线 x=1，则实数 b 的值为 -2 .7.抛物线 y=2（x-3）（x+2）的顶点坐标是（12，25-2）．8.已知函数 y=x 2+2x+1，当 y=0 时，x= -1 ；当 1＜x ＜2 时，y 随 x 的增大而增大（填“增大”或“减小”）.9.已知二次函数 y=-2x 2+8x-6.（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围.【解析】（1）∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线 x=2.（2）图象如图所示：函数值不小于 0 时，1≤x ≤3.10.我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线 C 1：y=2x 2-4x+3.（1）下列抛物线中，与抛抛物 C 1 是同位抛物线的是 B .A. y=2x 2-4x+4B. y=3x 2-6x+4C. y=-2x 2-4x+3D. y=2x 2（2）若抛物线 C 2：y=ax 2-2ax+c （a≠0）与 C 是同位抛物线，则 a 与 c 需满足什么关系？【解析】（1）将抛物线 C 1 配方，得y=2x 2-4x+3=2（x 2-2x+1-1）+3=2（x-1）2+1，∴抛物线 C 1 的顶点为（1，1）.故选 B.（2）将抛物线C2 配方，得y=ax2-2ax+c=a（x2-2x+1-1）+c=a（x-1）2-a+c，∴抛物线C2 的顶点为（1，-a+c）.∵抛物线C 2：y=ax2-2ax+c（a≠0）与C 是同位抛物线，∴-a+c=1，即c-a=1.∴a与c 需满足的函数关系为c-a=1.11.已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x 与函数y 的对应值如下表所示：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法中，正确的是（ B ）A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴是直线x=-5 2C.二次函数的最小值是-2D.当x＞-3 时，y 随x 的增大而增大12.若二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，则关于x 的方程x2+mx=7 的解为（ D ）A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=-7D.x1=-1，x2=7【解析】∵二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，∴-=3，解得m=-6.∴关于x 的方程x2+mx=7 可化为x2-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x =-1，x =7.故选D.1 213.已知二次函数y=x2+（m-1）x+1，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ D ）A. m=-1B. m=3C. m≤-1D. m≥-1【解析】抛物线的对称轴为直线x=-1 2 m-∵当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，∴-12m-≤1，解得m≥-1.故选D.14.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上的两点，那么该抛物线的顶点坐标是（1，4）. 【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上两点，∴代入得3423cb c=⎧⎨-++=⎩解得23bc=⎧⎨=⎩∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点坐标为（1，4）.15.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= 016.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（2，0），B（0，2），点P 是抛物线上一动点，连结BP，OP.（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）若△BOP是以BO 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标.【解析】（1）将点 A （2，0），B （0，2）代入 y=-x 2+bx+c ，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴这条抛物线的函数表达式为 y=-x 2+x+2.（2）∵△BOP 是以 BO 为底边的等腰三角形，且 B （0，2），∴点 P 的纵坐标为 1.当 y=1 时，-x 2+x+2=1，解得 x 1=5+12，x 2=5+12-. ∴点 P 5+1，15+1- 1.） 17.已知抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为直线 x= -1 ，且经过点（-4，5）.（1）求抛物线的函数表达式.（2）抛物线 y 存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（3）当-2＜x ＜3 时，求 y 的取值范围.【解析】（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，∴x =21b -⨯=-1，解得 b=2. ∵抛物线 y=x 2+2x+c 经过点（-4，5）， ∴5=（-4）2+2×（-4）+c ，解得 c=-3.∴抛物线的函数表达式为 y=x 2+2x-3.（2）∵a=1＞0,∴抛物线 y=x 2+2x-3 有最小值，最小值为 y=（-1）2+2×（-1）-3=-4.（3）∵y=x 2+2x-3，当 x=-2 时，y=-3；当 x=3 时，y=12.∵对称轴为 x=-1，最小值为 y=-4，∴当-2＜x ＜3 时，-4≤y ＜12.18.已知关于 x 的函数 y=kx 2+（2k-1）x-2（k 为常数）.（1）试说明：不论 k 取何值，此函数图象一定经过（-2，0）.（2）当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.（3）该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将 x=-2 代入，得 y=k ·（-2）2+（2k-1）·（-2）-2=0，∴不论 k 取何值，此函数图象一定经过点（-2，0）.（2）①若 k=0，此函数为一次函数 y=-x-2，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k=0 符合题意.②若 k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（-2，0）,（0，-2），∴要使当x＞0 时，y 随x 的增大而减小须满足k＜0 且x=-212kk-120122k-+=-∴k＜0. 综上所述，k 的取值范围是k≤0.（3）若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值.若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为-3，则28(21)34k kk-----，且k＞0，解得k=232±符合题意.∴当23±时，函数存在最小值-3.。

[9549441]1.3 二次函数的性质同步练习(含解析)

初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质同步练习一、单选题1.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值62.已知二次函数，当时，函数值是－5，则下列关于，的关系式中，正确的是（）A. B. C. D.3.已知二次函数，下列说法正确的是（）A. 该函数的最小值为2B. 该函数的最小值为1C. 该函数的最大值为2D. 该函数的最大值为14.已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最小值为15，则的值为（）A. 1或-2B. 或C. -2D. 15.已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是( )A. -6B. -5C. -2D. -16.已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0<m<b<n，则y1、y2、y3的大小关系是( )A. y1< y2< y3B. y1 < y3< y2C. y3< y1< y2D. y2< y3< y17.在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x ……－2 0 3 4 ……y ……－7 m n －7 ……则m、n的大小关系为( )A. m＞nB. m＜nC. m＝nD. 无法确定8.对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（）A. x＜﹣1时，y随x的增大而增大B. x＜﹣5或x＞1时，y＞0C. A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2D. 此二次函数的最大值为89.函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A. B. C. D.10.当时，二次函数有（）A. 最大值-3B. 最小值-3C. 最大值-4D. 最小值-411.抛物线的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线12.如图，二次函数( )的图象过点（-2，0），对称轴为直线，此二次函数与轴的另一个交点是（）A. （3，0）B. （4，0）C. （5，0）D. （6，0）13.已知非负数，，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是（）A. 16B. 15C. 9D. 714.已知函数（a为常数），当时，y随x增大而增大. 是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.15.在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题16.二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是________．17.二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是________.18.二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________.19.已知，当________时，的值最小.20.当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为________．21.已知二次函数（k为常数，且k > 0），当x < m时，y随着x的增大而增大，则满足条件的整数．．m的值为________.（写出一个即可）22.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为________.23.已知二次函数，当时，对应的y的整数值有________个.24.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝________mm时，（x ﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小.25.已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为________.三、计算题26.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为−2，且过(0,1)，求此函数的解析式.27.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．四、解答题28.四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？五、综合题29.抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上.（1）求抛物线的解析式；（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”.已知点N（x N，y N），Q（x Q，y Q）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q 重合），求点H的纵坐标的取值范围.30.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.（1）当a＝﹣1，m＝1时.①求点D的坐标；②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.（2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.答案解析部分一、单选题1. D二次函数的最值解析：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），∴函数有最小值为6.故答案为：D.【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.2. C二次函数y=ax^2+bx+c的性质解析：∵，函数值是-5，∴，∴，故答案为：C.【分析】把x=1，函数值为5，代入，即可求解.3. D二次函数的最值解析：，∴二次函数开口向下，当x=2时有最大值1，故答案为：D．【分析】把二次函数化成顶点式可求得其最大值，可得出答案．4. C二次函数的最值，二次函数y=ax^2+bx+c的性质解析：∵，∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∵当时，随的增大而减小，∴a＜0，∵当时，的最小值为15，∴当x=1时，y=15，即，解得：，∵a＜0，∴a=﹣2．故答案为：C．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a<0，再由时，的最小值为15，可得当x=1时，y=15，即可求得a。

【九年级数学试题】九年级数学上1.3二次函数的性质同步练习(浙教版含答案)

九年级数学上1.3二次函数的性质同步练习(浙教版含答
案)
13 二次函数的性质
对于二次函数=ax2+bx+c，a 0时，当x≤-时，随x的增大而减小，当x≥-时，随x的增大而增大，当x=-时，有最小值；a 0时，当x≤-
时，随x的增大而增大，当x≥-时，随x的增大而减小，当x=-时，有最大值
1抛物线=2x2，=-2x2，=x2共有的性质是(B)
A开口向下 B对称轴都是轴
c都有最低点 D随x的增大而减小
2二次函数=2x2-x-1的顶点坐标是(c)
A(0，-1) B(2，-1) c（，-） D（-，）
3由二次函数=6(x-2)2+1，可知(c)
A图象的开口向下 B图象的对称轴为直线x=-2
c函数的最小值为1 D当x＜2时，随x的增大而增大
4已知函数=ax2-2ax-1(a是常数，a≠0)，下列结论中，正确的是(D)
A当a=1时，函数图象过点(-1，1)
B当a=-2时，函数图象与x轴没有交点
c若a＞0，则当x≥1时，随x的增大而减小
D若a＜0，则当x≤1时，随x的增大而增大
5如果抛物线=x2+(-3)x-+2的对称轴是轴，那么的值是 3 ．
6已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 (1,4)
7已知点A(2，)与B(n，4)关于抛物线=x2+6x的对称轴对称，那么+n的值为 -4 ．。

1.3 二次函数的性质浙教版九年级数学上册同步练习(含解析)

浙教版九年级数学上册同步练习1.3二次函数的性质一、选择题（每题3分，共24分）1．若二次函数的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点（）A．(2，4)B．(2，－4)C．(－4，2)D．(4，2)2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（）A．B．C．D．3．已知函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（　）A．k<4B．k≤4C．k<4，且k≠3D．k≤4且k≠3 4．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（）A ．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝16．如图，已知抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（）个A．1B．2C．3D．47．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．58．如图，抛物线y＝﹣2x2＋2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每题3分，共24分）9．把二次函数用配方法化成的形式是________．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________．12．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________ 13．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________．14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．15．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）16．如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，连接AC，将线段AC向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．三、解答题（每题8分，共72分）17．已知抛物线．（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？（3）点在这个二次函数的图象上吗？19．已知：抛物线经过点.（1）求的值；（2）若，求c的值，（3）在（2）的情况下，求这条抛物线的顶点坐标；20．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．21．如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．(1)求m，a的值．(2)求点B坐标．(3)连结，求面积．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．23．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线B C．(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC 于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．24．已知二次函数．(1)求证：二次函数的图象必过点；(2)若点在函数图象上，，求该函数的表达式；(3)若该函数图象与轴有两个交点，求证：．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B （3，）两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：∵二次函数的图像经过点P(－2，4)，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，当时，，∴该图像必经过点(2，4)，故选项A正确，B错误；当时，，故选项C错误；当时，，故选项D错误；故选：A．2．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是．故选：C．3．解：当，即时，函数的图像与x轴有交点，∴，解得：；当，即时，与x轴有交点，综上所述，k的取值范围是．故选：B4．解：，选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；选项B：若，则，，则故此选项符合题意；选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；同理选项D也不符合题意；故选B．5．解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），∴抛物线的对称轴为直线x=，而x=1时，y=-6＜-4，∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．故选：D．6．由题意得，当时，，抛物线必过点，抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），分情况讨论如下：①当点是抛物线的顶点时，则抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，由题意得，抛物线还经过点，如图1，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；②当点不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中一个点，则抛物线经过，如图2，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把代入解析式，得，即抛物线经过点，抛物线还经过点，符合题意；③当点不是抛物线的顶点，且在图中也找不到对应格点，要想抛物线恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数）时，抛物线应经过，如图3，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；综上，满足条件的整数m有3个，故选：C．7．解：由图象可知a＞0，c＜0，∵对称轴为x＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；∵图象与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵图象与x轴的一个交点是（1，0），∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，∴y1＜y2；故④错误；综上分析可知，②③正确，故A正确．故选：A．8．解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，∵抛物线y＝﹣2x2＋2，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，∴OC＝AB＝2，∵四边形EOCF是矩形，∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，∴图中阴影部分图形的面积为4，故选：A．9．解：，故答案为：．10．解：把代入得；把代入得，所以a的取值范围为．故答案为．11．解：把点代入二次函数解析式得：，则有，∴；故答案为15．12．解：由题意得，顶点纵坐标为：，即：，解得：．故答案为：2．13．解：∵，∴顶点坐标为，如图：点关于轴的对称点为，∵成立的值恰好有三个，∴．故答案为：．14．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，∴另一个交点的坐标为（5，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．故答案为﹣3＜x＜5．15．∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y 轴交于负半轴，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，∴＞0，故答案为：①②③．16．解：∵抛物线与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，∴，解得，，∴，∴x=0时，y=3，∴A(0,3)，∴，设AC的解析式为y=kx+m，则，∴，∴y=-x+3，由平移知，EF∥AC，EF=AC，∴四边形EACF是平行四边形，设EF的解析式为y=-x+n，∵，∴D(1,4)，∴4=-1+n，n=5，∴E(0,5)，∴AE=5-3=2，∴．故答案为：．17．解：（1）∵∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为；（2）可将抛物线先向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线．18．(1)设抛物线解析式为，把(0，4)代入得，解得：，所以这个二次函数解析式为；(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以当时，y的值随值的增大而增大；(3)当时，，所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．19．（1）把点P（-1，-2b）代入抛物线y=x2+（b-1）x+c中，得1-（b-1）+c=-2b，整理，得b+c=-2；（2）把b=3代入b+c=-2中，得：c=-2-b=-5，（3）∵b=3，c=-5∴抛物线解析式为y=x2+2x-5，即y=（x+1）2-6，故抛物线顶点坐标为(-1，-6 )．20．（1）解：令则＞0方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；（2）函数的图象与y轴交于点（0，3）．抛物线的解析式为：抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为当时，当时，当0＜x＜5时，y的取值范围为：．21．(1)解：把点A坐标代入一次函数解析式得．∴m=4．∴．把点A坐标代入二次函数解析式得．∴a=1．(2)解：∵a=1，∴二次函数解析式为．联立二次函数解析式和一次函数解析式得解得或∵，∴．(3)解：如下图所示，设直线交y轴于点C．∴．∴OC=2．∴．22．（1）解：，，将代入得：，解得，，方程恰好有两个相等的实数根，这个方程根的判别式，即，解得或（不符题意，舍去），则抛物线的解析式为．（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，，，恰好为等腰直角三角形，只能是，如图，过点作于点，，，将点代入抛物线得：，解得或（不符题意，舍去），即的值为2．23．（1）解：∵OB＝OC，∴C（0，﹣3），把A，B，C代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接BC，∵EB＝EC，∴E是BC的中点，∴E的坐标为（，），∴P的横坐标为，把A，B代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把x＝代入，得y＝，∴P（，），∴EP＝＝，解得a＝，∴a的值为．24．（1）证明：，二次函数的图象必过点．（2）解：点在函数的图象上，，，，，整理得：，解得或，则该抛物线的表达式为或．（3）证明：函数的图象与轴有两个交点，，方程的两个根为，根的判别式大于0，，，．25．（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．。

九年级数学上册 1.3 二次函数的性质同步测试 (新版)浙教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.3 二次函数的性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的增减性、最值：当a >0时，点与对称轴的距离越近，函数值越小．2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数：当Δ>0时，与x 轴有两个交点，当Δ＝0时，与x 轴有________个交点，当Δ<0时，与坐标轴有________个交点．3．已知抛物线与x 轴交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则对称轴为直线x ＝x 1＋x 22，可设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．4．画抛物线草图，一般需求出顶点，与x 轴两交点，与y 轴交点及对称点的坐标．A 组基础训练1．如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1，0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一交点的坐标是( )第1题图A ．(－2，0)B ．(－3，0 )C ．(－4，0)D ．(－5，0) 2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论错误的是( )第2题图A ．a>0B ．b>0C ．c<0D ．b 2－4ac>03．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言，下列结论错误的是( ) A ．顶点坐标是(1，－2) B ．无论x 取何值，y 恒小于0 C ．当x ＞2时，y 随着x 的增大而减小 D ．与x 轴有两个公共点4．若A (－134，y 1)，B (－1，y 2)，C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 5．若抛物线y ＝x 2＋x －m 与坐标轴．．．有1个交点，则m 的取值范围是________． 6．已知二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于________． 7．已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横、纵坐标的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是________(填写序号)．①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．9．根据已知条件，求二次函数解析式： (1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)； (2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；(3)抛物线的对称轴是直线x ＝2，且过点(1，4)和(5，0)．10．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴、图象与坐标轴的交点坐标，并画出这个函数的大致图象；(2)利用函数图象回答，当x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？当x在什么范围内时，0＜y<6?第10题图B组自主提高11．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是( )A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－112．已知点A(2，m)与B(n，4)关于抛物线y＝x2＋6x的对称轴对称，那么m＋n的值为________．13．如图，二次函数的图象与x轴相交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)，点D是点C关于抛物线的对称轴的对称点，一次函数图象过点B，D.(1)求二次函数的表达式；(2)求点D的坐标及一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数的函数值大于二次函数的函数值的x的取值范围．第13题图C 组综合运用14．(宁波中考)已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52，①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．参考答案1．3 二次函数的性质【课堂笔记】 2．1 1 【课时训练】 1－4. BBDC 5. m<－146. 167. a ＞188. ①③④9. (1)y ＝4(x －3)2－1； (2)y ＝－x 2＋1； (3)y ＝－12(x －2)2＋92.第10题图10. (1)－b 2a ＝1，4ac －b24a ＝8.令x ＝0，得y ＝6，令y ＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.∴顶点为(1，8)，对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点(3，0)，(－1，0)，与y 轴交于点(0，6)，图象如图所示； (2)x≤1时，y 随x 的增大而增大，当－1<x<0或2<x<3时，0＜y<6.11. D 12. －413. (1)y ＝－(x ＋3)(x －1)； (2)∵抛物线的对称轴是x ＝－1，而C 、D 关于直线x ＝－1对称，∴D(－2，3)，∴一次函数解析式为y ＝－x ＋1； (3)据图象得：x ＜－2或x ＞1.14. (1)∵y＝(x －m)2－(x －m)＝(x －m)(x －m －1)，由y ＝0得x 1＝m ，x 2＝m ＋1，∵m ≠m ＋1，∴抛物线与x 轴一定有两个公共点(m ，0)，(m ＋1，0)； (2)①∵y＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－－（2m ＋1）2＝52，解得m ＝2，∴该抛物线的函数解析式为y ＝x 2－5x ＋6；②∵y＝x 2－5x ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－14，∴该抛物线沿y轴向上平移14个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．15.。

2020学年度九年级数学上册第1章二次函数 1.3 二次函数的性质同步课堂检测 (新版)浙教版

1.3_二次函数的性质考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，关于抛物线，下列说法错误的是（）A.顶点坐标为B.对称轴是直线C.开口方向向上D.当时，随的增大而减小2.把二次函数化为的形式为（）A. B.C. D.3.已知二次函数有最大值，则，的大小关系为（）A. B.C. D.大小不能确定4.若抛物线开口向下，则的取值是（）A.或B.或C.D.5.已知抛物线与轴交点的横坐标的和为，积是，且抛物线经过点，则此抛物线的解析式为（）A. B.C. D.6.二次函数的函数值的最小值为（）A. B. C. D.7.一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的解析式为（）A. B.C. D.8.某种正方形合金板材的成本（元）与它的面积成正比，设边长为厘米．当时，，那么当成本为元时，边长为（）A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米9.二次函数经过配方化成的形式是（）A. B.C. D.10.下列关于二次函数的说法错误的是（）A.抛物线的对称轴是直线B.抛物线，点不在它的图象上C.二次函数的顶点坐标是D.函数的图象的最低点在二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.二次函数的在的范围内最大值是，则的值等于________．12.二次函数的最小值为________．13.函数的最大值为________．14.将二次函数化成的形式，则________．15.已知抛物线顶点坐标为，且当时，，则抛物线的解析式为________．16.二次函数的图象是一条________，顶点坐标为________，对称轴是过顶点且平行于________的一条直线．16.若，则________时，二次函数有最________值，为________；若，则当________时，二次函数有最________值，为________．17.把二次函数化成的形式是________．18.已知二次函数，则的最大值是________；的最大值是________．19.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况．他们分工完成后，各自通1精品报探究的结论：①小明认为只有当时，的值为；②小亮认为找不到实数，使的值为；③小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值；④小花发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值．则其中正确结论的序号是________．20.已知二次函数的图象经过、两点，则该二次函数的图象对称轴为直线________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知函数的图象经过点．求这个函数的解析式；当时，求使的的取值范围．22.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度，应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？23.已知函数．把它化成的形式；写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．24.已知二次函数的图象经过一次函数的图象与轴、轴的交点，同时经过点．求这个二次函数解析式，并求为何值时，有最大（最小）值，这个值是什么？25.如图，已知抛物线与一次函数的图象交于和轴上的同一点，是抛物线的顶点．求抛物线的解析式；求出抛物线顶点的坐标及．26.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标；结合图象，解答下列问题：①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．答案1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.或12.13.14.15.16.抛物线轴小大17.18.19.①②④20.21.解：∵函数的图象经过点，∴，解得：，则函数解析式为；当时，，根据二次函数性质当时，，则当时，使的的取值范围是．22.解：设该矩形菜园的长为米，则宽为米，设矩形菜园的面积为，则∵，∴当时，取得最大值，．23.解：；∵，∴开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为：直线．24.解：由的图象与轴、轴的交点，并且经过点，令，得；令，得∴二次函数图象经过，，三点，把，，分别代入，得，解得，∴二次函数关系式为．∴当时有最小值为．3精品25.解：由直线过点和轴上的点，知当时，，当时，，故点坐标为，点坐标为，根据题意，将坐标，点坐标代入得：，解得：，故抛物线的解析式为：；将抛物线配方得：，则顶点的坐标为，过点作轴，过点作轴于点，则．26.解：根据题意得，解得，所以二次函数关系式为，因为，所以抛物线的顶点坐标为；①当时，；时，；而抛物线的顶点坐标为，且开口向下，所以当时，；②当时，，解得或，所以当时，或．。

部编版2020九年级数学上册第1章二次函数 1.3 二次函数的性质练习 (新版)浙教版

1.3 二次函数的性质(见A 本5页)A 练就好基础基础达标1．已知抛物线y ＝－(x ＋3)2－5，则此抛物线的函数值有( D ) A ．最小值－3 B ．最大值－3 C ．最小值－5D ．最大值－52．已知函数y ＝x 2－2x ＋k 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 2，则y 1与y 2的大小关系为( B )A ．y 1>y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．不能确定 3．已知二次函数y ＝x 2－2x －3，当0≤x≤3时，y 的最大值和最小值分别是( A ) A ．0，－4 B ．0，－3 C ．－3，－4 D ．1，－4第4题图4．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是__－1＜x ＜3__．5．若函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值为6，则k ＝__2__．6．求下列函数图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．(1)y ＝12x 2－6x ＋21； (2)y ＝2x 2＋12x ＋18.解：(1)对称轴是直线x ＝6，顶点坐标是(6，3)，解方程12x 2－6x ＋21＝0，得方程无实数根，故它与x 轴没有交点．(2)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)，它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．7．抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 与y 轴交于点(0，3)． (1)求抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意，把点(0，3)代入抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ，得m ＝3.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4)．(2)当x≥1时，y 随x 的增大而减小.82(1)(2)设y ＝x 2＋bx ＋c ，根据表格的对应值回答：当x 取何值时，y ＞0?(3)请说明函数y＝x2＋bx＋c的图象经过怎样的平移能得到函数y＝x2的图象．解：(1)由题意，得此函数的对称轴为直线x＝(0＋4)÷2＝2.那么－b2a＝－b2＝2，b＝－4，经过(0，3)，∴c＝3，二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3，∴当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝0.(2)由表格中x，y的对应值，得当x＜1或x＞3时，y＞0.(3)由(1)得y＝x2－4x＋3，即y＝(x－2)2－1.将抛物线y＝x2－4x＋3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y＝x2.B 更上一层楼能力提升9．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( D)A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－110．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤3时，总有y≤0.那么c的取值范围是( B)A．c＝3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3第11题图11．2017·椒江期末如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方．则△BCD 面积的最大值为__15__．12．已知二次函数y＝x2－4x＋m的图象与坐标轴只有2个不同的交点，则这两个交点间的距离为．13．抛物线y＝－x2＋6x－5与x轴的交点为A，B(A在B左侧)，顶点为C，与y轴交于点D.(1)求△ABC的面积；(2)若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍，求M点的坐标；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAD的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可知A(1，0)，B(5，0)，C(3，4)，所以△ABC的面积＝(5－1)×4÷2＝8.(2)∵△ABM的面积是△ABC面积的2倍，底边AB不变，即△ABM的高是△ABC的2倍．∵y＝－x2＋6x－5的顶点坐标为(3，4)，∴点M在x轴下方，∴M点的纵坐标是－8，代入函数，得x＝3±23，∴M点的坐标为(3＋23，－8)或 (3－23，－8)．(3)∵AD不变，∴要使△QAD的周长最小，只要使AQ＋DQ最小即可．连结BD交对称轴于点Q，即为所求，设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．∵B(5，0)，D(0，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5＝b ，0＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－5. ∴y ＝x －5，当x ＝3时，y ＝－2，∴Q 点的坐标为(3，－2)． 14．设函数y ＝(kx －3)(x ＋1)(其中k 为常数)． (1)当k ＝－2时，函数存在最值吗？若存在，请求出这个最值；若不存在，请说明理由； (2)当x>0时，函数y 的值随x 的增大而减小，求k 应满足的条件．解：(1)当k ＝－2时，函数y ＝(－2x －3)(x ＋1)＝－(2x ＋3)(x ＋1)＝－2x 2－5x －3，函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值．当x ＝－b 2a ＝－54时，y最大＝4ac －b 24a ＝18.(2)当k ＝0时，y ＝－3x －3为一次函数，k ＝－3<0，则当x>0时，y 随x 的增大而减小；当k≠0时，y ＝(kx －3)(x ＋1)＝kx 2＋(k －3)x －3为二次函数，其对称轴为直线x ＝－（k －3）2k ＝32k －12，要使当x>0时，y 随x 的增大而减小，抛物线的开口必定向下，且对称轴不在y 轴的右边，故得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，32k －12≤0，解得k<0.综上所述，k 应满足的条件是k≤0.C 开拓新思路拓展创新15．2017·杭州中考在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)，其中a≠0. (1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P(x 0，m)和Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围．解：(1)函数y 1的图象经过点(1，－2)，得(a ＋1)(－a)＝－2，解得a 1＝－2，a 2＝1，函数y 1的表达式y ＝(x －2)(x ＋2－1)，化简，得y ＝x 2－x －2；函数y 1的表达式y ＝(x ＋1)(x －2)，化简，得y ＝x 2－x －2，综上所述，函数y 1的表达式y ＝x 2－x －2.(2)当y ＝0时，(x ＋a)(x －a －1)＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝a ＋1， y 1的图象与x 轴的交点是(－a ，0)，(a ＋1，0)，当y 2＝ax ＋b 经过(－a ，0)时，－a 2＋b ＝0，即b ＝a 2；当y 2＝ax ＋b 经过(a ＋1，0)时，a 2＋a ＋b ＝0，即b ＝－a 2－a. (3)当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小， (1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤12；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得12＜x 0＜1，综上所述m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.。

新浙教版九年级上册同步测试：1.3 二次函数的性质

新浙教版九年级上册同步测试：1.3 二次函数的性质一、选择题1．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．52．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣65．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，07．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2.59．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或10．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1 D．0二、填空题（共9小题）11．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．12．抛物线y=x2+1的最小值是．13．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为．14．二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是．15．若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第象限．16．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．17．已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于．18．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．19．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题20．已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．21．在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．。

2020九年级数学上册第一章二次函数检测卷同步测试 (新版)浙教版

第1章二次函数检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．下列各点不在抛物线y ＝x 2－2图象上的是( )A ．(－1，－1)B ．(2，2)C ．(－2，0)D ．(0，－2) 2．二次函数y ＝(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是( )A ．x ＝3B ．x ＝－2C ．x ＝－12D ．x ＝123．抛物线y ＝－3x 2＋2x －1与坐标轴的交点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋50x －500，若要想获得最大利润，则销售单价x 为( )A ．25元B ．20元C ．30元D ．40元 5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )第5题图A ．a ＞0B ．当－1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大6．若A (－134，y 1)、B (－1，y 2)、C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 37．把抛物线y ＝2x 2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为( ) A ．y ＝2(x ＋3)2＋4 B ．y ＝2(x ＋3)2－4 C ．y ＝2(x －3)2－4 D ．y ＝2(x －3)2＋48．若二次方程(x －a )(x －b )－2＝0的两根是m ，n ，且a <b ，m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( ) A ．m <a <b <n B ．a <m <n <b C ．a <m <b <n D ．m <a <n <b 9．(资阳中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：第9题图①4ac －b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)，其中正确结论的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个10．如图，抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A (1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C .则以下结论：第10题图①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③当x ＝0时，y 2－y 1＝4；④2AB ＝3AC ；其中正确结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．抛物线y ＝49(x －3)2与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，则△AOB 的面积为______．12．某二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与抛物线y ＝－x 2形状相同．则这个二次函数的解析式为____ ．13．某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的路程s (米)与时间t (秒)间的关系式为s ＝10t ＋t 2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为____米．第13题图14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a <0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是____.第14题图15．(荆州中考)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表：x …－1013…y …－1353…下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0.其中正确的是____．三、解答题(本大题共8小题，共80分)17．(8分)已知二次函数y＝－x2＋4x－3，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点．求△ABC的周长和面积．18．(8分)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．第18题图19．(8分)在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝a ，2x －y ＝1中．(1)若a ＝3，求方程组的解；(2)若S ＝a (3x ＋y )，当a 为何值时，S 有最值．20．(8分)在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO ＝BO ，点A 的坐标为(－3，1)．第20题图(1)求点B 的坐标；(2)求过A ，O ，B 三点的抛物线的函数表达式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为B ′，求△AB ′B 的面积．21．(10分)某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.(1)建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？第21题图22．(12分)(衢州中考)已知二次函数y ＝x 2＋x 的图象，如图所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2＋x ＝1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x 2＋x ＝1的根(精确到0.1)；(2)在同一直角坐标系中画出一次函数y ＝12x ＋32的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值；(3)如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数y ＝12x ＋32的图象上，请说明理由．第22题图23．(12分)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时，销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元．(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？24．(14分)如图，抛物线y＝ax2＋bx与x轴交于O、A两点，与直线y＝x交于点B，点A、B的坐标分别为(3，0)、(2，2)．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN ＝1，设点P的横坐标为m(m>0，且m≠2)．第24题图(1)求这条抛物线的解析式；(2)求矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式；(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．活页参考答案上册第1章二次函数检测卷1．C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.A 9.B 10.D 11.612.y ＝－x 2＋3x ＋4或y ＝x 2－3x －4 13．12 14.－2 15.－1或2或1 16.①③④17.令x ＝0，得y ＝－3，故B 点坐标为(0，－3)，解方程－x 2＋4x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝3.故A 、C 两点的坐标为(1，0)，(3，0)．所以AC ＝3－1＝2，AB ＝12＋32＝10，BC ＝32＋32＝32，OB ＝│－3│＝3.C △ABC ＝AB ＋BC ＋AC ＝2＋10＋32；S △ABC ＝12AC ·OB ＝12×2×3＝3.18.(1)y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3; (2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解方程，得x 1＝－1，x 2＝3.所以二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)．所以二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4，0)． 19．(1)a ＝3时，方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3①，2x －y ＝1②；②×2得，4x －2y ＝2③，①＋③得，5x ＝5，解得x ＝1，把x ＝1代入①得，1＋2y ＝3，解得y ＝1，所以，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1； (2)方程组的两个方程相加得，3x ＋y ＝a ＋1，所以S ＝a(3x ＋y)＝a(a ＋1)＝a 2＋a ，所以，当a ＝－12×1＝－12时，S 有最小值． 20.第20题图(1)过点A 作AC⊥x 轴，过点B 作BD⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠AOC ＋∠OAC＝90°.∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＋∠BOD＝90°.∴∠OAC ＝∠BOD.又∵AO＝BO ，∴△ACO ≌△ODB(AAS)．∴OD＝AC ＝1，DB ＝OC ＝3.∴点B 的坐标为(1，3)； (2)∵抛物线过原点，∴可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx.将点A(－3，1)，B(1，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＝1，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝56，b ＝136.∴所求抛物线的函数表达式为y ＝56x 2＋136x; (3)由(2)得，抛物线的对称轴为直线x ＝－1310，点B 的坐标为(1，3)，∴点B′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－185，3.设BB′边上的高为h ，则h ＝3－1＝2.|BB′|＝1＋185＝235.∴S △AB ′B ＝12||BB ′·h ＝12×235×2＝235.21．(1)根据题意可知，抛物线经过(0，209)，顶点坐标为(4，4)，则可设其解析式为y ＝a(x －4)2＋4，解得a ＝－19.则所求抛物线的解析式为y ＝－19(x －4)2＋4.又篮圈的坐标是(7，3)，代入解析式得，y ＝－19(7－4)2＋4＝3.所以能够投中； (2)当x ＝1时，y ＝3，此时3.1＞3，故乙队员能够拦截成功．22.(1)∵令y ＝0得：x 2＋x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(0，0)，(－1，0)．作直线y ＝1，交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点，作AC⊥x 轴，垂足为C ，BD ⊥x 轴，垂足为D ，点C 和点D 的横坐标即为方程的根．根据图1可知方程的解为x 1≈－1.6，x 2≈0.6； (2)∵将x ＝0代入y ＝12x ＋32得y ＝32，将x ＝1代入得：y ＝2，∴直线y ＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线y ＝12x ＋32的图象如图2所示，由函数图象可知：当x ＜－1.5或x ＞1时，一次函数的值小于二次函数的值；(3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为P(－1，1)．平移后的表达式为y ＝(x ＋1)2＋1，即y ＝x 2＋2x ＋2.点P 在y ＝12x ＋32的函数图象上．理由：∵把x ＝－1代入得y ＝1，∴点P 的坐标符合直线的解析式．∴点P 在直线y ＝12x ＋32的函数图象上．第22题图23．(1)根据表格中数据可得出：y 与x 是一次函数关系，设解析式为：y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧30a ＋b ＝5，40a ＋b ＝4，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110，b ＝8.∴函数解析式为：y ＝－110x ＋8; (2)根据题意得：z ＝(x －20)y －40＝(x －20)(－110x ＋8)－40＝－110x 2＋10x－200＝－110(x 2－100x)－200＝－110[(x －50)2－2500]－200＝－110(x －50)2＋50，∵－110＜0，∴x ＝50，z最大＝50.∴该公司销售这种计算器的净得利润z 与销售价格x 的函数解析式为z ＝－110x 2＋10x －200，销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元；第23题图(3)当公司要求净得利润为40万元时，即－110(x －50)2＋50＝40，解得：x 1＝40，x 2＝60.作函数图象的草图，通过观察函数y ＝－110(x －50)2＋50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60.而y 与x 的函数关系式为：y ＝－110x ＋8，y 随x 的增大而减少，∴若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．24．(1)把A(3，0)、B(2，2)两点坐标代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝0，4a ＋2b ＝2，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故抛物线所对应的函数表达式为y ＝－x 2＋3x. (2)∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋3x 上，∴可以设P(m ，－m 2＋3m)，∵PQ ∥y 轴，∴Q(m ，m)．①当0<m<2时，如图1中，PQ ＝－m 2＋3m －m ＝－m 2＋2m ，C ＝2(－m 2＋2m)＋2＝－2m 2＋4m ＋2. ②当m>2时，如图2中，PQ ＝m －(－m 2＋3m)＝m 2－2m ，C ＝2(m 2－2m)＋2＝2m 2－4m ＋2. (3)∵矩形PQMN 是正方形，∴PQ ＝PN ＝1，当0<m<2时，如图3中，－m 2＋2m ＝1，计算得出m ＝1.当m>2时，如图4中，m 2－2m ＝1，计算得出m ＝1＋2(或1－2不合题意舍弃)．第24题图。

新浙教版九年级数学上册同步练习：1.3 二次函数的性质

1．3 二次函数的性质A组1．下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是(C)A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(A)A. y＝(x＋2)2B. y＝2x2－2C. y＝－2x2－2D. y＝2(x－2)2(第3题)3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(B)A. abc<0，b2－4ac>0B. abc>0，b2－4ac>0C. abc<0，b2－4ac<0D. abc>0，b2－4ac<04．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其自变量x与函数y的对应值如下表：x …－5－4－3－2－10…y …40－2－204…则下列说法正确的是(D)A. 抛物线的开口向下B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是直线x＝－5 25．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线__x＝2__．(第6题)6．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点B 的坐标为(3，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)若P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．【解】 (1)把点B 的坐标代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2， ∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4)．(2)∵点A 关于对称轴l 的对称点为点B ，∴连结BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA ＋PC 的值最小．∵抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与y 轴相交于点C ， ∴点C (0，3)，∴易得直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3. 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2.∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．B 组7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2（x ≤4），（x －6）2－2（x >4），使y ＝a 成立的x 值恰好只有3个时，a 的值为__2__．【解】函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2（x ≤4），（x －6）2－2（x >4）的图象如解图所示．,(第7题解))根据图象可知，当y ＝2时，对应的x 值恰好有3个，∴a ＝2. 8．已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线的函数表达式．②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【解】 (1)y ＝(x －m )2－(x －m )＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ， ∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m )＝1＞0，∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)①∵对称轴为直线x ＝－－（2m ＋1）2＝52，∴m ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k .∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点， ∴Δ＝52－4(6＋k )＝0，∴k ＝14，∴把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．9．设a ，b 是任意两个实数，用max{a ，b }表示a ，b 两数中的较大者，例如max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝__5__，max{0，3}＝__3__．(2)若max{3x ＋1，－x ＋1}＝－x ＋1，求x 的取值范围．(3)求函数y ＝x 2－2x －4与y ＝－x ＋2的图象的交点坐标，函数y ＝x 2－2x －4的图象如图所示，请你在图中作出函数y ＝－x ＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值．(第9题)【解】（2）∵max{3x ＋1，－x ＋1}＝－x ＋1， ∴3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.（3）联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －4，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1， ∴函数y ＝x 2－2x －4与y ＝－x ＋2的图象的交点坐标为（－2，4）和（3，－1）. 画出直线y ＝－x ＋2的图象如图中粗实线所示.观察函数图象可知，当x ＝3时，max{－x ＋2，x 2－2x －4}取得最小值－1.数学乐园10.已知二次函数y ＝9x 2－6ax ＋a 2－b .（1）当b ＝－3时，二次函数的图象经过点（－1，4）. ①求a 的值.②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax ＋b 的最大值及最小值.（2）当a ≥3，b －1＝2a 时，函数y ＝9x 2－6ax ＋a 2－b ，在－12<x <c 时的值恒大于或等于0，求实数c 的取值范围.导学号：56250006【解】（1）①∵当b ＝－3时，二次函数y ＝9x 2－6ax ＋a 2－b 的图象经过点（－1，4）， ∴4＝9×（－1）2－6a ×（－1）＋a 2＋3，解得a1＝－2，a2＝－4，∴a的值为－2或－4.②∵a≤x≤b，b＝－3，∴a＝－4，∴－4≤x≤－3，一次函数y＝－4x－3.∵一次函数y＝－4x－3为单调递减函数，∴当x＝－4时，函数取得最大值，为y＝－4×（－4）－3＝13；当x＝－3时，函数取得最小值，为y＝－4×（－3）－3＝9.（2）∵b－1＝2a，∴y＝9x2－6ax＋a2－b可化简为y＝9x2－6ax＋a2－2a－1，∴抛物线的对称轴为x＝a3≥1，抛物线与x轴的交点坐标为（a＋2a＋13，0），（a－2a＋13，0）.∵函数y＝9x2－6ax＋a2－b在－12<x<c时的值恒大于或等于0，∴c≤a－2a＋13.设2a＋1＝t，则a－2a＋13＝t2－12－t3＝（t－1）2－26.∵a≥3，∴t≥7>1，且易知a越大，t越大，当t>1时，a－2a＋13的值随t的增大而增大，∴－12<c≤3－73.。

2020学年度九年级数学上册第1章二次函数测试题 (新版)浙教版

第一章二次函数考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（）A.B.C. D.2.二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.无实数根3.关于二次函数，下列说法中正确的是（）A.它的开口方向是向下B.当时，随的增大而减小C.它的顶点坐标是D.当时，有最大值是4.把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为（）A. B.C. D.5.用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：…………根据表格上的信息同答问题：该二次函数在时，A. B. C. D.6.小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进行了代值计算，并列成下表．由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（）A. B.C. D.7.已知二次函数的图象如图所示、关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最小值，有最大值B.有最小值，有最大值C.有最小值，有最大值D.有最小值，无最大值8.抛物线的顶点在（）A.轴上B.轴上C.第一象限D.第四象限9.如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是（）A. B.C. D.或10.若抛物线经过、、三点，则此抛物线的解析式为（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.二次函数的图象如图所示，其对称轴为，，两点均在二次函数的图象上，则与的大小关系为________．12.天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润（元）与销售价（元/千克）有如下关系：，当销售价为元/千克时，每天的销售利润为元，当销售价为元/千克时，每天的销售利润为元，则该食品每天的销售利润（元）与销售价（元/千克）的函数表达式是________．13.抛物线与轴的两个交点坐标分别为________．14.如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，则它的解析式为________．15.抛物线向右平移个单位的抛物线的函数关系式是________．16.某一型号飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行________才能停下来．17.已知二次函数的图象如图所示，，则函数值________．18.二次函数，当________时，随的增大而增大．19.如图建立直角坐标系，某抛物线型桥拱的最大高度为米，跨度为米，则它对应的解析式为：________．20.王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.当为何值时，函数为二次函数？22.某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．求日均销售量与销售单价的函数关系式；在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？23.如图，二次函数的图象过原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式．在抛物线上存在点，满足，求出点的坐标．将图中抛物线向右平移个单位，使所得到的图象恰好与直线只有一个公共点，求的值．24.从图中的二次函数图象中，观察得出了下面的五条信息：①②③函数的最小值为④⑤当时，．你认为其中正确的有哪几个？（写出编号）根据正确的条件请求出函数解析式．25.如图，抛物线经过点，与轴交于点求的值设抛物线顶点为，与轴另一个交点为，求四边形的面积．如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．26.已知点在第四象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标．在的条件下，连接，问在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.A2.C3.B4.C5.B6.C7.C8.B9.D10.C11.12.13.，14.15.16.17.18.19.20.21.解：∵函数为二次函数，∴，，∴，，，∴．22.解：设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．根据题意得．当时取得最大值，为元．23.解：把与原点代入得：，解得：，，则二次函数的解析式为；设纵坐标为，∵，，∴，即，解得：或，当时，可得，解得，∴；当时，可得，解得，，∴或；由题意得到平移后抛物线解析式为，与联立消去得：，整理得：，由两函数只有一个交点，得到，即，解得：．24.解：根据图象可知：①∵该函数图象的开口向上，∴，∴，（此时，异号）故此选项错误；②时，可，故此选项正确；③利用函数顶点坐标，函数的最小值为，故此选项正确；④根据图象知，当时，图象是在轴上方，∴；即，故此选项正确；⑤当时函数为减函数，时，，故此选项正确．故正确的有：②③④⑤，∵函数的顶点坐标为：，∴二次函数的解析式为：，将代入求出即可：，∴函数解析式为：．25.解：∵抛物线经过点，∴，∴，过作轴于，此函数的对称轴是，顶点的纵坐标，∴点的坐标是，并知点的坐标是，点坐标为：，∴．26.解：将、代入抛物线中，得，解得，∴；将点代入中，得，解得或，∵点在第四象限，∴，∵直线解析式为，∴，，，∴点关于直线对称的点；存在．过点作轴，垂足为，交直线于点（如图），∵，∴，又∵轴，四边形为平行四边形，∴，∴，设与相交于点，易求解析式为：，由，得到关于的方程，解方程后，得；于是，点坐标为：；于是解析式为：，令方程中，，则，所以，点坐标为：，∴，或．。

《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练(附答案)2021-2022学年九年级数学浙教版上册

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（附答案）一．选择题（共7小题）1．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）2．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小3．抛物线y＝﹣3x2﹣4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（0，4）B．向上，（0，﹣4）C．向下，（0，﹣4）D．向下，（0，4）4．抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，则k的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣45．下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+1B．y＝2x2+4x+1C．y＝x2﹣4x+2D．y＝2x2﹣4x+1 6．已知二次函数y＝﹣3x2+6x+2，关于该函数在﹣2≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣7，最小值﹣22B．有最大值2，最小值﹣22C．有最大值5，最小值﹣22D．有最大值5，最小值﹣77．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2020B．y＝5（x﹣1）2+2020C．y＝5（x+1）2+2020D．y＝﹣5（x+1）2+2020二．填空题（共9小题）8．抛物线y＝a（x+k）2+k，无论k取何值，顶点都在直线上．9．当x＝0时，函数y＝2x2+bx+c有最小值1，则b﹣c＝．10．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，当x时，y随着x的增大面增大；当1＜x＜2时，则y的范围是．11．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（3，4）且与y轴的交点为（0，﹣5），则这个二次函数的解析式为．13．设直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，若△P AB的面积为，则点P的坐标为．14．已知A（﹣，y1），B（0，y2），C（，y3）三点都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+，比较y1，y2，y3的大小．（用“＜”连接）15．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为．16．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x+h）2+k的形式应为．三．解答题（共6小题）17．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．18．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．19．二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．（1）求二次函数的表达式和对称轴．（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．（1）①m＝；②求抛物线的解析式．（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．22．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．参考答案一．选择题（共7小题）1．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标为：（2，﹣3）．故选：A．2．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确，故选：D．3．解：∵抛物线y＝﹣3x2﹣4中，a＝﹣3＜0，∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（0，﹣4），故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，∴＝0，解得，k1＝0，k2＝﹣4，故选：D．5．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，∵y＝4x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，故选项A不符合题意；∵y＝2x2+4x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，故选项B不符合题意；∵y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线x＝﹣＝2，故选项C不符合题意；∵y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝﹣＝1，故选项D符合题意；故选：D．6．解：y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2＝﹣3（x﹣1）2+5，所以二次函数y＝﹣3x2+6x+2，当x＝1时，y有最大值是5，∵函数在﹣2≤x≤3的取值范围内，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3×（﹣2）2+6×（﹣2）+2＝﹣12﹣12+2＝﹣22，当x＝3时，y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3×32+6×3+2＝﹣7，∴该函数在﹣2≤x≤3的取值范围内的最大值是5，最小值是﹣22，故选：C．7．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020，∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020．故选：D．二．填空题（共9小题）8．解：∵抛物线y＝a（x+k）2+k，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣k，k），∴无论k取何值，顶点一定在直线y＝﹣x上，故答案为：y＝﹣x．9．解：当x＝﹣时，x＝0，即b＝0，把x＝0代入y＝2x2+bx+c可得y＝c＝1，∴c＝1，∴y＝2x2+1，当x＝﹣1时y＝2﹣b+c＝3，∴b﹣c＝2﹣3＝﹣1．故答案为﹣1．10．解：根据图象，可知对称轴为：x＝1．当x≤1时，y随x增加而增大．当x＝1时．y＝5．当x＝2时，y＝4．∴当1＜x＜2时，则y的范围是4＜y＜5．故答案为：x≤1；4＜y＜5．11．解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，即或，解得或；当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，即，解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（3，4），∴设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，∵该函数与y轴的交点为（0，﹣5），∴﹣5＝a（0﹣3）2+4，解得a＝﹣1，∴该函数的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5．13．解：∵直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，∴当y＝2时，x1＝，x2＝﹣，∴设点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，2），∴AB＝2，∵点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，△P AB的面积为，∴设点P的坐标为（p，p2），∴＝2，解得p1＝2，p2＝﹣2，∴点P的坐标为（2，4）或（﹣2，4），故答案为：（2，4）或（﹣2，4）．14．解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2+，图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∵1﹣（﹣）＞1﹣0＞﹣1，∴y1＜y2＜y3．故答案为：y1＜y2＜y3．15．解：因为点P在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1上，∴b＝﹣a2+2a﹣1，∴a+b＝a﹣a2+2a﹣1＝﹣a2+3a﹣1＝﹣（a﹣）2+，故答案为：．16．解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．三．解答题（共6小题）17．解（1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）由题意得，解得，∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．18．（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：，解得，∴直线AC：y＝x﹣2，设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×x E+×DE×（x A﹣x E）＝×DE×x A＝×DE×4＝2DE，∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．19．（1）解：将（﹣2，0），（6，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，对称轴为：x＝2．（2）设BC与对称轴交于点D，则PD＝2，由抛物线的对称性可知BD＝CD，令BP＝m，则BD＝CD＝m+2．∵PC＝5PB，∴m+2+2＝5m，∴m＝1即点C的横坐标为5，∴点P的纵坐标＝点C的纵坐标＝﹣×52+2×5+6＝3.5．20．解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，解得m＝2，故答案为：2；②由①知：B（2，﹣3），∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，∴点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），∴PQ＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PQ最大，此时点P的坐标为（，﹣）．21．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），∴C（﹣1，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，∴P的坐标为（1，2）；（3）∵抛物线有一点D（x．y），∴D（x，﹣x2+2x+3），过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，∴E（x，﹣x+3），∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，∴S△ABD＝S△ABC＝，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝，解得x＝，∴y＝﹣x2+2x+3＝，∴D（，），（，）．22．解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF＝x，∴BE＝DF＝4﹣x，∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，∴y＝42﹣×（4﹣x）﹣×4×（4﹣x）﹣x2∴y＝﹣2+4x（0≤x≤4）．（2）∵y＝﹣2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．。

九年级数学上册1.2_1.3二次函数的图象及其性质同步练习pdf新版浙教版

论： x当
m
=
−3
时，函数图象的顶点坐标是
(
1 3
，
8 3
) ；
y 当 m > 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3 ；
2
z 当 m < 0 时，函数在 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小；
4
{ 当 m ̸= 0 时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有( )
A. xyz{
B. xy{
17. 如果二次函数的二次项系数为 1，则此二次函数可表示为 y = x2 + px + q，我们称 [p，q] 为此函数的特征数，如函数 y = x2 + 2x + 3 的特征数是 [2，3]． (1) 若一个函数的特征数为 [−2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2) 探究下列问题： x若一个函数的特征数为 [4， − 1]，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． y若一个函数的特征数为 [2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为 [3，4] ?
顶点坐标是 (−1， − 5)，平移后 (1， − 6)
8. 根据定义可得函数 y = 2mx2 + (1 − m) x + (−1 − m)．
x当 m = −3 时，函数解析式为 y = −6x2 + 4x + 2，
∴− b =− 4
= 1 ， 4ac − b2 = 4 × (−6) × 2 − 42 =
19. 当 k 分别取 −1，1，2 时，函数 y = (k − 1) x2 − 4x + 5 − k 都有最大值吗? 请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．

2020九年级数学上册第1章二次函数1.1-1.3同步测试(新版)浙教版

1.1～1.3一、选择题(每小题4分，共32分) 1．下列函数是二次函数的是( ) A ．y ＝8x 2＋1 B ．y ＝2x －3 C ．y ＝3x 2＋1x2D ．y ＝(x ＋2)2－(x ＋2)(x －2)2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，自变量x 与函数y 的对应值如下表：下列说法正确的是( ) A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是直线x ＝－523．若二次函数y ＝x 2＋x ＋m (m －2)的图象经过原点，则m 的值必为( ) A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．无法确定4．若A (0，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)为二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．以二次函数y ＝2x 2－5x ＋2的图象与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积为( )A ．5 B.32C ．3 D.526．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( ) A ．当a ＝1时，函数图象经过点(－1，0) B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点 C ．若a <0，则函数图象的顶点始终在x 轴的下方 D ．若a >0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大图G －1－17．如图G －1－1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．当－2≤x ≤1时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值4，则实数m 的值为( ) A ．－74B.3或－ 3C ．2或－ 3D ．2或－3或－74二、填空题(每小题4分，共24分)9．抛物线y ＝ax 2＋12x －19的顶点横坐标是3，则a ＝________．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线________．11．将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线经过点(3，－1)，那么平移后的抛物线的函数表达式为________．12．已知抛物线y＝ax2＋2x＋4c与x轴交点的横坐标为－2，则a＋c＝________．13．抛物线y＝x2＋bx＋b2－4如图G－1－2所示，那么b的值是________．G－1－214．已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是________．三、解答题(共44分)15．(10分)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(－2，－1)．(1)确定抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标．16．(10分)如图G－1－3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的函数表达式；(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积．图G－1－317．(12分)一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数表达式是y＝－112x2＋23x＋53，铅球运行路线如图G－1－4所示．(1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.图G－1－418．(12分)如图G－1－5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．图G－1－5详解详析1．A 2.D3．A [解析] 把(0，0)代入，有m (m －2)＝0，∴m 1＝0，m 2＝2. 4．B5．B [解析] 令y ＝0，则2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，则函数图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，2)， ∴S △＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12×2＝32.故选B.6．D [解析] A ．当a ＝1时，函数表达式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2，∴当a ＝1时，函数图象经过点(－1，2)，∴A 选项不符合题意；B ．当a ＝－2时，函数表达式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则b 2－4ac ＝42－4×(－2)×(－1)＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C ．∵y ＝ax 2－2ax －1＝a (x －1)2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为(1，－1－a )，当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D ．∵y ＝ax 2－2ax －1＝a (x －1)2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝1.若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D.7．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c ，－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a .∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，∴－c ，－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0，∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，∴a ＋bc＜0，④不正确．故正确的结论有3个．8．C [解析] 对于y ＝－(x －m )2＋m 2＋1，∵a ＝－1<0，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝m ，顶点坐标为(m ，m 2＋1)，当－2≤m ≤1时，最大值为m 2＋1＝4，解得m 1＝3(不合题意，舍去)，m 2＝－ 3.当m <－2时，可知当x ＝－2时有最大值，即－(－2－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝－74(不合题意，舍去)．当m >1时，可知当x ＝1时有最大值，即－(1－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝2.综上可知，m 的值为2或－ 3.故选C.9．－2 [解析] ∵抛物线的顶点横坐标是3，∴－b 2a ＝－122a＝3，解得a ＝－2.10．x ＝－1 [解析] 由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是(－4，0)，(2，0)，这两个点关于对称轴对称，于是对称轴为直线x ＝－4＋22＝－1.11．y ＝－4(x －2)2＋3 12．113．－2 [解析] 由图可知，抛物线经过原点(0，0)， ∴02＋b ×0＋b 2－4＝0，解得b ＝±2.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴－b2×1＞0，∴b ＜0， ∴b ＝－2.14．－1＜a ≤1 [解析] 二次函数图象的对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，∵－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大， ∴a ≤1. 又∵－1＜x ＜a ， ∴－1＜a ≤1. 故答案为－1＜a ≤1.15．解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋1)2－2. 把x ＝－2，y ＝－1代入，得－1＝a －2，∴a ＝1， ∴抛物线的函数表达式为y ＝(x ＋1)2－2＝x 2＋2x －1. (2)令y ＝0，得x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1＋2，0)，(－1－2，0)．16．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，连结BC ，BD ，CD ，作直线x ＝1交BC 于点H .∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.易知直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋4， ∴抛物线的对称轴与BC 的交点为H (1，3)．∴S △BCD ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32×[1－(－2)]＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32×(2－1)＝3.17．解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)，所以铅球推出的水平距离是10 m. (2)因为y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16)＋43＋53＝－112(x －4)2＋3，所以当x ＝4时，y 有最大值3，所以铅球行进高度不能达到4 m.18．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2.∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)如图，连结BC 交抛物线的对称轴l 于点P ，连结AP ，则此时PA ＋PC 的值最小．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (b ≠0)，将B (3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3. ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3. ∵当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．。

浙教版九年级数学上册 1.3 二次函数的性质同步测试题(无答案)

1.3 二次函数的性质同步测试题（满分120分；时间：120分钟）班级____________姓名___________成绩_________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.2. 在函数在内的最小值是（）A. B. C. D.3. 抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.4. 如果抛物线经过，两点，那么此抛物线经过（）A.第一、二、三、四象限B.第一、二、三象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限5. 已知二次函数的图象过点，，三点，那么它的对称轴是直线（）A. B. C. D.6. 设直线＝是函数＝，，是实数，且的图象的对称轴，（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7. 已知，那么函数＝的最大值是（）A. B. C. D.8. 将二次函数＝化成＝形式，则结果为（）A. B. C. D.9. 已知二次函数，当自变量取时的函数值小于，那么当自变量取时的函数值（）A.小于B.大于C.等于D.与的大小关系不确定10. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点则此抛物线对此函数的表达式为（）A. B.C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 已知函数，当________时，函数取得最大值为________．12. 已知抛物线经过点、、，抛物线的对称轴为直线________，抛物线与轴的另一个交点的坐标为________．13. 如图，在长度为的线段上取一点，分别以、为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________．14. 二次函数的图象的对称轴是直线________，最小值是________．15. 若函数化为的形式，其中为常数，则________.16. 抛物线与轴的交点为，与轴的交点为和，则抛物线的函数关系式为________．17. 已知抛物线的顶点在轴上，则顶点坐标是________．18. 把二次函数用配方法化成的形式为________．19. 二次函数的顶点坐标是________，对称轴是________．20. 已知的顶点坐标为，，，若抛物线与该直角三角形无公共点，则的取值范围是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为，图象与轴的一个交点是，求这个二次函数的解析式．22. 已知二次函数．将解析式化成顶点式；写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；取什么值时，随的增大而增大；取什么值时，随增大而减小．23. 将下列函数化成的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．（1）；（2）；（3）；（4）．24. 抛物线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）当取什么值时，的值随的增大而减小？25. 已知抛物线与轴交于点，对称轴为．（1）试用含的代数式表示、．（2）当抛物线与直线交于点时，求此抛物线的解析式．（3）求当取得最大值时的抛物线的顶点坐标．26. 设，，是的三边长，二次函数（其中），（1）当时，求二次函数的对称轴；（2）当时，二次函数最小值为，试判断的形状，并说明理由．。