N(2,2,0)代数的一类同余分解
初等数论闵嗣鹤第四版答案
初等数论闵嗣鹤第四版答案介绍《初等数论闵嗣鹤第四版答案》是对闵嗣鹤所著《初等数论》第四版的习题答案进行了整理和解析。
《初等数论》是普通高校数学系本科生的一门基础课程，有助于培养学生的数学思维和推理能力。
通过学习该答案，学生可以更好地理解和掌握《初等数论》中的知识点，并提高解题能力。
目录1.第一章素数2.第二章同余3.第三章数论函数4.第四章域上的多项式5.第五章幂的剩余与解方程6.第六章整数的几何性质第一章素数1.1 什么是素数？简要解答：素数指的是只能被1和自身整除的正整数。
详细解答：一个大于1的正整数如果只能被1和它本身整除，则称之为素数，也叫质数。
反之，如果大于1的正整数可以被其他正整数整除，则称之为合数。
最小的素数是2。
1.2 素数的性质简要解答：素数有无限多个，并且一个数是否是素数可以通过试除法判断。
详细解答：欧几里得证明了素数有无限多个的结论。
对于给定的一个正整数n，如果在2到√n之间找不到小于n的因数，那么n就是素数。
这就是试除法。
试除法是素数判断的基础，但它的效率不高，因为需要逐个试除所有小于n的数。
1.3 素数的应用简要解答：素数在密码学和随机数生成中经常被使用。
详细解答：由于素数具有唯一分解性质，使得许多密码学算法中的关键操作依赖于素数。
比如RSA算法中，公钥和私钥的生成需要使用两个大素数。
此外，素数还在随机数生成和随机性检验中发挥重要作用。
第二章同余2.1 什么是同余？简要解答：同余是数论中的一种等价关系。
详细解答：a和b对模m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当a和b的差是m的倍数。
同余关系具有三个基本性质：反身性、对称性和传递性。
同余关系的性质使得其在数论中有广泛的应用。
2.2 同余定理简要解答：同余定理是一类用来计算同余的定理，包括欧拉定理、费马小定理等。
详细解答：欧拉定理是指当a和m互质时，a的φ(m)次方与1同余模m，其中φ(m)表示不大于m且与m互质的正整数的个数。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
离散数学第十二章代数结构基本概念及性质
5.等幂律与等幂元 给定<S，⊙>，则
“⊙”是等幂的或“⊙”满足等幂律:=( x)(x∈S→x⊙x=x)
给定<S，⊙>且x∈S，则 x是关于“⊙”的等幂元:=x⊙x=x 于是，不难证明下面定理： 定理12.2.2 若x是<S，⊙>中关于⊙的等幂元， 对于任意正整数n，则xn=x。
例12.2.5 给定<P(S)，∪，∩>，其中P(S)是 集合S的幂集，∪和∩分别为集合的并和交运算。 验证：∪和∩是等幂的。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数 结构了。
定义12.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的ni 元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…， fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1， f2 ，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加 法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
10 1 00
4.吸收律 给定<S，⊙，○>，则 ⊙对于○满足左吸收律 :=( x)( y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x) ⊙对于○满足右吸收律 :=( x)( y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收律， 则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于和吸收律类似地定义。 若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可吸收 的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时满足吸收 律。
同样，并不是所有代数结构上运算均满 足交换律，如矩阵的乘法就不满足交换律。
易见，如果一代数结构中的运算⊙是可结 合和可交换的，那么，在计算a1⊙a2⊙···⊙am时 可按任意次序计算其值。
特别当a1＝a2＝···＝am＝a时，则a1⊙a2⊙· am。称am为a的m次幂，m称a的指数。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
N(2,2,0)代数的一个同余分解
（ 西理工学 院 数学 系 ， 西 汉 中 ７３０ ） 陕 陕 ２ ０ １
摘
要 ： 出 了 Ｎ（ ， ，） 数 的一 个 同余 分 解 ， 究 了商 代 数 的代 数 结 构 ， 讨 论 了 自然 同 态 下 一 类 逆 象 的代 给 ２２０代 研 并 ．
数 结构和性质 ．
关 键词 ： ２２０代 数 ； Ｎ（ ． ， ） 同余 ； 代 数 ； 商 自然 同 态 中 图 分 类 号 ： ５ ． Ｏ１ ２ ７ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ６４ ２ ２ １ ） ６ ０ １ —２ １ ０ — ３ Ｘ（ ０ ０ ０ －０ ｌＯ
１ 预 备 知 识
定义 １ １ 设 Ｓ是 含常 元 ０的集 合 ， ． 如果在 Ｓ 中定义 了两个 二元 运 算 ＊和 △， 满 足 以下公 理 ： 且
Ｖ ， Ｅ Ｙ， Ｓ
（ ＊ ） ＊ Ｈ１ ２ ， Ｈ１ Ｈ２ ＊ｆ （ ＊Ｈ ） 则 ａ～ ｃ 故 ～是 Ｓ上 的 等 价 关 系 ． ，
第３ ｌ卷第 ６期
２１ ０ ０年 １ １月
喀 什 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＫａｈ ａ ａｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒａ ｓ ｇ ｒＴｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖｏ【３１ ． Ｎ０． ６ Ｎ Ｏ ２０１ Ｖ． ０
Ｎ（ ， ，） 数 的一 个 同余分 解 ２２０代
＝
（ １ ） ｂ ＊Ｄ ） ＨＩ Ｈ ＊，２ ＊（ １ ２ ＊（ ＊Ｈ２ ， ）
即 ～是 Ｓ上 的同余关 系 ．
定 理 ２ ２ 设 （ ＊， ０ 为 Ｎ（ ， ， ） 数 ， ． Ｓ， △， ） ２２ ０代
Ｖ ， ＝Ｓ， ＊ ＝ ． ７ ｇ
， 则称 半 群 （ ＊） 半 群 Ｓ， 和
第三章 (5) 同余、剩余类、完全剩余系
若 a b (mod m), d m , d 0,则 a b (mod d ). 若 a b (mod m), 则( a, m) (b, m) ,因 而 若 d 能 整 除 m 及 a, b 二 数 之 一 , 则 d 必 能 整 除 a, b 中 另 一 个 .
14
性 质 同 余 式 ca cb (mod m) (7) 等 价 于 a b (mod m / (c, m)). 特 别 地 , 当 (c, m) 1时 , 同 余 式 ( 7 ) 等 价 于 a b (mod m), 即 同 余 式 两 边 可 约 去 c. 证 同 余 式 ( 7 ) 即 m c (a b), 这 等 价 于 m c (a b). ( c , m ) ( c, m ) 由 定 理 及 ( m / (c, m), c / (c, m) ) = 1 知 , m 这等价于 (a b). ( c, m)
i 0 n
当 且 仅 当 7(或11或13)整 除 ( 1)i ai .
i 0
20
n
例 1 若 a 5874192, 则
a
i 0
n
i
5 8 7 4 1 9 2 36能 被 3,9整 除 . 故 由
A, a 能 被 3,9整 除 . 例 2 若 a 435693,则
13
若 a b (mod mi ), i 1,2,
, k ,则 , mk ]). , k,再 由 第 一 章
a b (mod [ m1 , m2 ,
证 由 定 理 1, mi a b , i 1,2, §3 定 理 , 即 得 [ m1 , m2 ,
, mk ] a b ,故 由 定 理1 即 证 得 .
同余分解定理
同余分解定理同余分解定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了整数的同余关系与整数的运算之间的联系。
同余分解定理是由欧拉在18世纪提出的，是数论中的基本方法之一。
本文将对同余分解定理进行详细的介绍和证明。
首先，我们来了解一下同余关系。
对于任意两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，我们就说a和b在模m下同余，记作a≡b(mod m)。
其中，≡表示同余关系，mod表示模。
同余关系具有以下性质：1.自反性：对任意整数a和正整数m，有a≡a(mod m)。
2.对称性：对任意整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
3.传递性：对任意整数a、b、c和正整数m，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
接下来，我们来介绍同余分解定理。
同余分解定理的表述如下：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r（其中0≤r<m），使得a=qm+r。
下面，我们来证明同余分解定理。
证明过程如下：已知整数a和正整数m，我们需要找到整数q和r，使得a=qm+r，并证明该表示是唯一的。
首先，我们将a除以m，得到商q和余数r。
即a=qm+r。
其中，q是整数商，r是余数。
接下来，我们来证明这种表示是唯一的。
假设另外存在整数q'和r'，使得a=q'm+r'。
我们需要证明q=q'，r=r'。
根据q和r的定义，我们有以下关系：a=qm+ra=q'm+r'将上述两个等式相减，得到：a-a=qm+r-(q'm+r')0=qm+r-q'm-r'0=qm-q'm+r-r'由于qm和q'm都可以写成m(q-q')，上述等式可以进一步简化为：r-r'=0根据同余关系的性质，r和r'在模m下同余，即r≡r'(mod m)。
大学数学初等数论
大学数学初等数论在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
椭圆曲线理论：椭圆曲线理论是数论的一个重要分支，它主要研究的是椭圆曲线上的点的性质和规律。
椭圆曲线是一个非常复杂的对象，但通过一些特定的方法和技巧，我们可以找到它的内部结构和性质。
密码学应用：数论在密码学中有着广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于数论中的一些特殊性质和规律设计的。
通过学习数论，我们可以更好地理解密码学的原理和方法。
在学习初等数论的过程中，我们需要掌握一些基本的数学知识和方法，如代数、分析、几何等。
我们还需要具备一些基本的数学素养，如逻辑推理、抽象思维、证明能力等。
只有具备了这些基础和能力，我们才能够更好地理解和掌握数论的基本概念和原理。
大学数学初等数论是一门非常重要的课程，它不仅可以帮助我们更好地理解整数的基本性质和规律，还可以在密码学等领域中有着广泛的应用。
通过学习这门课程，我们可以提高自己的数学素养和思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
中学数学奥林匹克是培养学生数学兴趣和选拔数学人才的重要途径。
其中，初等数论问题作为数学奥林匹克中的重要组成部分，可以有效提高学生的数学能力和逻辑思维能力。
本文将对中学数学奥林匹克中的初等数论问题进行深入研究，探讨其背景、特点及解决方法。
初等数论是数学的基础分支之一，主要研究整数的性质和结构，以及它们之间的相互关系。
中学数学奥林匹克中的初等数论问题，主要涉及以下几个方面：整除与因数分解：研究整数的整除性质和因数分解的方法，以及它们在数学奥林匹克中的应用。
离散数学数论基础篇二
同余关系及其在计算机领域的应用
左图是2007实行的新的ISBN标准，从10 位升到13位，为了讲课方便，我们仍然 用2007年以前的10位标准来讲述：
假设ISBN号已经选择前9位x1 ,x 2 , 为：1x1 +2x 2 9x 9 x10 (mod11)
x 9 , 则这最后一位校验位
比如：有一本书的前9位为0-619-06213,则其校验位由以下确定： (1 0+2 6+3 1+4 9+5 0+6 6+7 2+8 1+9 3)(mod11)=136(mod11) 4(mod11), 故该书的校验码为4
显然,
由本定理可得如下推论.
推论 若 ac=bc(mod m), (c,m)=1,则: ab(mod m).
2.0同余式定义和基本性质
定理4 ① 若ab(mod m), 且d|m, 则: ab(mod m). ③ 若ab(mod m), 则 (a,m)=(b,m). ③ ab(mod mi), (1≤i≤n), iff ab (mod [m1,m2,…,mn]). 证明 只给出③的证明, ①和②读者完成. ③必要性:由①知,是成立的. 充分性: 若a b(mod mi), 1≤i≤n, 则: mi|(a-b), 1≤i≤n, 即(a-b) 是m1,m2,…,mn的公倍数, 从而也是[m1,m2,…,mn] 的倍数, 因此: ab (mod [m1,m2,…,mn]).
证明：因为1000与-1对模7(或11，或13)同余，
i 由同余性质，a （- 1 ） a （ ） (或mod11，或 i mod7
mod13). 所以 ，结论得证。
离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质
代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质
12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
纠错码课件---第二章 代数初步
要求掌握的内容
• • • • 群、子群和陪集的概念 环的概念 域的概念 会判断
一、同余和剩余类(p23)
同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的 余数，则称a、b关于模m同余，记为
a b(mod m)
剩余类(Residue)：给定正整数m，将全体整数按 余数相同进行分类，可获得m个剩余类：
对加法构成群 对加法构成群
3、全体实数
4、全体复数
5、全体有理数 对加法构成群
6、模m的全体剩余类, 0,1, , m 1
对模m乘法，除0外， 根据m值不同
Examples
7、考察集合
1,2,3,4 在模5乘法下是否构成一个群。 1,2,, p 1
对模p
结论：如果p是一个素数，则集合 G 运算构成群。
2 16 H 2,6,10,14 3 16 H 3,7,11,15
6 16 H 6,10,14,2 7 16 H 7,11,15,3
5 16 H 5,9,13,1
4 16 H 4,8,12,0
五、陪集的概念(p33)
• 有限群G可以按子群H划分成有限个互不相交的陪 集，G中的每个元素出现且仅出现在H的一个陪集 中。 • 若按H划分得到j个陪集，则集合G中的所有元素 都包括在其中，无一遗漏。或者H的所有不同陪 集的并集构成群G
a a 1 a 1 a e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
Examples
1、全体整数 2、全体偶数 对加法构成群
对乘法不构成群 对乘法不构成群 除0元素外，对乘法构成群
除0元素外，对乘法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对模m加法构成群
数论算法讲义2章(同余运算)
第 2 章 同余运算（一） 内容●同余概念 ●性质 ●剩余类→整数分类 ●模幂运算（二） 重点● 同余及其计算（三） 应用：● 密码学● 公钥密码学【例】 RSA 公钥算法：准备：选大素数p 、q ，记n ＝pq ，φ(n)＝(p －1)(q －1)，再选正整数e ，满足（e ，φ(n)）≡1（mod n ）并求d ，满足 ed ＝1（mod φ(n)）加密：明文串P 编码为数字M ，则密文C ≡e M （mod n ） 解密： M ≡d C （mod n ），再将数字M 解码得明文串P2.1 同余的概念及基本性质(一) 同余概念【定义2.1.1】给定一个正整数m ，两个整数a 、b 叫做模m 同余，如果a －b 被m 整除，或b a m -|，记作b a ≡ ()m mod ；否则叫做模m 不同余，记作a ≠b （（mod m ））【注】由于b a m -|等价于b a m --|，所以同余式b a ≡ ()m mod等价于 b a ≡()()m -mod ，故以后总假定模1≥m 。
判断同余的方法一：利用定义【例1】 7│28＝29－1，故29≡1（mod 7）；7│21＝27－6，故27≡6（mod 7）；7│28＝23－（－5），故23≡－5（mod 7）；(二) 性质【性质1】（定理1）设m 是一个正整数，a 、b 是两个整数，则a≡b（mod m ）⇔存在整数k ，使得a ＝b ＋km 。
（证）a≡b（mod m ） ⇔ b a m -|⇔ 存在k ，使得 a －b ＝km ，即a ＝b ＋km【性质2】（定理2）同余是一种等价关系。
即（i ） 自反性：a≡a m（ii ） 对称性：a≡b （mod m ） ⇒ b≡a （mod m ） （iii ） 传递性：a≡b mod m 且b≡c （mod m ）⇒ a≡c （mod m ）（证）（i ）m │0＝a －a ⇒ a≡a m（ii ）a≡b （mod m ） ⇒ m │a －b ⇒ m │b －a ＝－(a －b) ⇒ b≡a （mod m ）（iii ）a≡b （mod m ），b≡c （mod m ） ⇒ m │a －b ，m │b －c⇒ m │(a －b)＋ (b －c)＝a －c ⇒ a≡c （mod m ）【例3】【性质3】（等价定义）（定理3）整数a 、b 模m 同余⇔a 、b 被m 除的余数相同。
同余理论在整除问题中的应用
第34卷第2期 江西电力职业技术学院学报V 〇1.34N 〇.22021 年 2 月Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of Electricity Feb.2021同余理论在整除问题中的应用简艺(广东茂名幼儿师范专科学校，广东高州525200)摘要：列举了同余式的重要性质，并通过具体例子说明了如何利用同余性质证明整除问题的方法，为整除问题的证明提供借鉴 关键词：同余整除；整除特征；问题中图分类号：0156.1 文献标识码：B文章编号：丨673-0097(2021)02-0030-020引言所谓同余，是指对于整数fl 力及正整数％有丨(0 备 /*|<m )，办+r2(0 矣 r2<m )，当/时，贝lj 称a 与ft 对模数w 同余。
记作：a = f>(m od m )11'21。
简 而言之，〃与6同余就是a 与b 被正整数m 除所得的余 数相同。
a = A(m od w )的充分且必要条件是w | (a -办)。
根据这个条件，可把整除问题转化为同余问题来证明[3<。
如人教版高中《代数》下册116页的例2:用数 学归纳法证明;e 7V )能被jc +y 整除。
数学归纳法固然可以证明，但过程烦琐。
若用同余性质，可证明如下：由 少三 0[ m o d (x ty )]，得jc 三-少[111〇(1(1+>〇 ]，故Ze (-yfEmcxKxfy )]，即x 2"-/"三 〇[ mod (x +少)],故_丨可见，上述证明简单明了，实用性强。
那么同余有 什么性质？利用同余性质可证明哪些整除问题？如何 灵活利用这些性质证明整除问题？下面将作一些简单 的探讨，旨在抛砖引玉。
1同余与整除有关的性质同余的性质很多，其中与整除有关的性质有：(1) 若：a 三办(mod w ),贝lj : a "二 ft"(m od m )〇(2)在同余式中，任一项可改变符号移到同余号的另一边去。
线形同余方程组
线形同余方程组全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线性同余方程组是数论中的一个重要概念，它与模运算和同余关系密切相关。
线性同余方程组的求解在密码学、计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
本文将对线性同余方程组的定义、性质、求解方法以及应用进行介绍。
一、线性同余方程组的定义线性同余方程组是指一组同时满足一系列线性同余方程的整数解。
一般形式如下：a1x ≡ b1 (mod m1)a2x ≡ b2 (mod m2)….anx ≡ bn (mod mn)a1，a2，…，an为整数系数，b1，b2，…，bn为整数常量，m1，m2，…，mn为模数，x为未知数。
1. 唯一性：线性同余方程组的解可能有唯一解、无解或者有多个解。
这取决于模数之间是否互素，互素的模数方程组往往有唯一解。
2. 模运算性质：线性同余方程组的解需要满足模运算的性质，即同余式在模数下成立。
3. 解的存在性：线性同余方程组一般都有整数解，但需注意是否存在特解或通解。
1. 逐步求解：通过逐步代入或变换方程，可以得到线性同余方程组的解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是求解线性同余方程组的一种重要方法，适用于模数互素的情况。
3. 模运算法则：由于线性同余方程组中的运算都是模数进行的，所以模运算的法则也是求解方程组的重要工具。
1. 密码学：在线性同余方程组中，模数一般取素数，这使得线性同余方程组在密码学领域中有着广泛的应用。
例如RSA公钥密码算法就是基于线性同余方程组的。
2. 计算机科学：在计算机算法设计中，线性同余方程组的求解经常涉及到，能够提高算法的效率和准确性。
3. 数学研究：线性同余方程组也是数论研究的一个重要方向，通过研究线性同余方程组的性质和解的特点，能够推动数论领域的发展。
线性同余方程组在数学领域具有重要的地位和应用价值，在实际运用中也有着广泛的应用。
希望本文对线性同余方程组这一概念有所帮助，也能引发更多人对数学理论的研究和探讨。
N(2,2,0)代数的一个同余分解(3)
第23卷第2期（2018）Vol.23No.2（2018）收稿日期：2017-12-18作者简介：李树海（1962—），男，陕西榆林人，副教授.研究方向：代数学.N (2,2,0)代数的一个同余分解(3)李树海，李旭东（兰州城市学院数学学院，甘肃兰州730070）摘要:对N (2,2,0)代数的一个同余分解进一步研究,得到一个新的结果.关键词：N (2,2,0)代数;同余分解中图分类号:O154文献标志码:A文章编号:1008-9020(2018)02-006-01文[1]提出并研究了N (2,2,0)代数.文[2]给出了N (2,2,0)代数的一个同余分解,文[3]进一步研究了该同余分解,在文[2,3]的基础上继续研究该同余分解,得到一个新的结论即定理1,从而文[3]中的定理3成为本文定理1的推论.文中涉及术语记号均参考文献[1~3].用到的有关概念和基础知识见文献[1~3].定理1对于N (2,2,0)代数(S ,∗,Δ,0)的任意两个元素e 1,e 2,若存在k ∈E (S ),使得e 1=k ∗e 2,则对任意正整数p ,有g -1(e 1p)=g -1(e 2p).证明因为x ∈g -1(e 1)所以∃a ∈S ,a ∗x =a ∗e 1.使得k ∗(a ∗x )=k ∗(a ∗e 1)=(k ∗a )∗e 1＝(k ∗a )∗(k ∗e 2)=k ∗((k ∗a )∗e 2)＝(k ∗k )∗(a ∗e 2)=k ∗(a ∗e 2)=(k ∗a )∗e 2.又因为(k ∗a )∗x =k ∗(a ∗x )=(k ∗a )∗e 2,所以x ∈g -1(e 2),g -1(e 1)⊆g -1(e 2).因为y ∈g -1(e 2),所以∃b ∈S ,b ∗y =b ∗e 2.k ∗(b ∗y )=k ∗(b ∗e 2)=b ∗(k ∗e 2)＝b ∗e 1=k ∗(k ∗(b ∗y ))=k ∗(b ∗e 1)=(k ∗b )∗e 1.又因为(k ∗k )∗(b ∗y )=(k ∗b )∗e 1,所以k ∗(b ∗y )=(k ∗b )∗e 1.所以(k ∗b )∗y =(k ∗b )∗e 1.所以y ∈g -1(e 1)⇒g -1(e 2)⊆g -1(e 1).故g -1(e 1)=g -1(e 2)而对任意正整数p ,由e 1=k ∗e 2知e 1p=(k ∗e 2)p =k p ∗e 2p=k ∗e 2p,所以有g -1(e 1p )=g -1(e 2p).推论1[3]若e 1∈E (S ),e 2∈S ,e 1=e 1∗e 2,则对任意正整数p ,半群(g -1(e 1),∗)=(g -1(e 2p),∗).证明在定理1中取k=e 1即可.参考文献:[1]邓方安,徐扬.关于N (2,2,0)代数[J].西南交通大学学报,1996,31(4):457-463.[2]李旭东,马世祥.N (2,2,0)代数的一个同余分解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2006,42(3):15-17.[3]李旭东.N (2,2,0)代数的一个同余分解(2)[J].伊犁师范学院学报(自然科学版),2016,10(3):1-3.A Congruence Decomposition on N (2,2,0)Algebras (3)LI Shu-hai,LI Xu-dong(School of Mathematics,Lanzhou City University,Lanzhou Gansu730070)Abstract ：A congruence decomposition on N （2，2，0）algebras is studied in further and a new result is got.Key words ：N （（2，2，0）algebra;congruence decomposition责任编辑：王志林6。
同余的性质与应用
同余得性质及应用１引言数论得一些基础内容得学习,一方面可以加深对数得性质得了解,更深入得理解某些其她邻近学科,另一方面,可以加强数学训练。
而整数论知识就是学习数论得基础,其中同余理论有时整数论得重要组成部分,所以学好同余理论就是非常重要得。
在日常生活中,我们所要注意得常常不就是某些整数,而就是这些数用某一固定得数去除所得得余数,例如我们问现在就是几点钟,就就是用２4去除某一个总得时数所得得余数;问现在就是星期几,就就是问用7去除某一个总得天数所得得余数,假如某月２号就是星期一,用７去除这月得号数,余数就是2得都就是星期一、我国古代孙子算经里已经提出了同余式,,…,这种形式得问题,并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在她得《数学九章》中提出了同余式,,就是个两两互质得正整数,,得一般解法.同余性质在数论中就是基础,许多领域中一些著名得问题及难题都就是利用同余理论及一些深刻得数学概念,方法,技巧求解.例如,数论不定方程中得费尔马问题,拉格朗日定理得证明堆垒数论中得华林问题,解析数论中,特征函数基本性质得推导等等、在近现代数论研究中,有关质数分布问题,如除数问题,圆内格点问题,等差级数问题中得质数分布问题,形式得质数个数问题,质数个数问题,质数增大得快慢问题,孪生质数问题都有一定程度得新成果出现,但仍有许多尚未解决得问题。
数论得发展以及现代数学发展中提出得一些数论问题,都要求我们对于近代数论得一些方法与基础知识,必须熟练掌握.所以,本文主要介绍了同余理论中同余基本性质得一些简单应用,通过本文得阐述,希望可以为对数论有兴趣得读者,增加学习数论知识得兴趣,并能为她们攻破那些经典得数论难题开展数论课题课题提供一些帮助、2 同余得概念给定一个正整数,把它叫做模,如果用去除任意两个整数与所得得余数相同,我们就说对模同余,记作,如果余数不同,就说对模不同余。
由定义得出同余三条性质:(1);(2),则;(3),,则。
基础知识——数论函数中同余
同余同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。
基础知识三个数论函数对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。
在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x ]及其性质，除数函数d (n )和欧拉(Euler)函数)(x ϕ和它的计算公式。
1． 高斯(Gauss)取整函数[x ]设x 是实数，不大于x 的最大整数称为x 的整数部分，记为[x ]；][x x -称为x 的小数部分，记为｛x ｝。
例如：［0.5］＝0，7.0}3.0{,1415.0}{,4][,3]3[,7]50[=-=-=--=-=Λππ等等。
由}{],[x x 的定义可得如下性质：性质1.1}{0};{][<≤=-x x x x ；性质2.1][][1+<≤<-x x x x ；性质3.设Z a ∈，则][][x a x a +=+；性质4.][][][y x y x +≥+;}{}{}{y x y x +≤+;性质5.⎩⎨⎧---=-1][][][x x x Zx Z x ∉∈；性质6.对于任意的正整数n ，都有如下的埃米特恒等式成立：][]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++Λ； 为了描述性质7，我们给出如下记号：若a b |α，且1+αb a ，则称为αb 恰好整除a ，记为a b ||α。
例如：我们有2000||5,2000||234等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k a a ,,,2,1,2121ΛΛ==的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。
我们还可以得到：k i a p i a i ,,2,1,||Λ=。
数学学习知识点总结
数学学习知识点总结一、数的基础知识1.1 整数整数是由自然数（包括0）和负整数组成。
整数的加法、减法、乘法和除法的性质是整数运算的基础。
在学习整数运算时，需要注意加法的结合律、乘法的交换律等性质。
1.2 分数分数是用来表示一些不可约分的有理数的表示方法。
分数的加减乘除是学习分数运算的基础。
在学习分数运算时，需要熟练掌握分数的化简、通分、约分等方法。
1.3 小数小数是用十进制数表示的有限或无限的分数。
小数的加减乘除是学习小数运算的基础。
在学习小数运算时，需要注意小数位数的对齐，小数的四则运算等知识点。
1.4 百分数百分数是百分之一的分数表示形式。
在学习百分数时，需要掌握百分数与分数、小数的互相转化，解决各种百分数问题等。
二、代数学2.1 一次函数一次函数是指自变量的最高次数为一的函数。
一次函数的表示形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
在学习一次函数时，需要掌握一次函数的图像、性质、方程的解法等知识点。
2.2 二次函数二次函数是指自变量的最高次数为二的函数。
二次函数的表示形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
在学习二次函数时，需要掌握二次函数的图像、性质、方程的解法等知识点。
2.3 多项式多项式是由有限项的代数和构成的代数式。
在学习多项式时，需要掌握多项式的加减乘除、多项式的整除、多项式的求导等知识点。
2.4 方程方程是等式的一种特殊形式，是含有未知数的数学表达式。
在学习方程时，需要掌握一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、一元二次方程组等知识点。
三、几何学3.1 几何图形几何图形是由点、线、面构成的图形。
在学习几何图形时，需要掌握各种几何图形的名称、性质、判定方法等知识点。
3.2 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相等大小的三角形。
在学习相似三角形时，需要掌握相似三角形的相似判定方法、相似三角形的性质、应用题等知识点。
3.3 圆圆是指平面上到定点距离相等的点的集合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
￣ｔ Ｊ ｌ１ ｌ
设 （ ，ｔ △，）是 Ｎ（ ， ，）代数 ， 对任 意 ，， ｓ恒 有下 列 等式成 立 ： ． ，， ０ ｓ ＝ ２ ２０ 则 ｙ Ｅ． ，
（） １ ） ，：ｙ ｘ Ａ ； （ ）（ Ｙ ｚ＝ ｛（ ％ ） ＝Ｙ （ ｚ ． ２ ） ） ｚ ， ）
收 稿 日期 ： ０ ０— ｌ ２ ２１ ０ 一 ２
作者简介 ： 李旭东 （ ９６一） 男 ， １６ ， 甘肃定西人 ， 兰州城市学院数学学 院副教授 ， 士 硕
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
２１ ００年
ｓ ／～， ｔｘ 下一类逆象 ｇ ｅ —ｓ ｏ ］ ［ （）＝ ｛ Ｉ ∈ｓｇ 戈 ，（ ）＝［ ］ 的代数结构和性质． ｅ｝ 更进一步还可得到
１ ）当 ｅ ｌ＝ｅ 女 ｌ ， ２ ｅ时 ∈ｇ １ ｅＪ Ｉ（ ｌ ￣ 口， ｓｔ水 木ｂ＝ａ术ｅ 术 ＝ ｅ ＝（ 木ｂ ：ｅ ，（ ） ｂ∈．， ｌ ， ｌ ６ ｌＩ 口宰 ｃ ） ｌＩ ０木ｅ ｊ ） ｃ ｌＩ ＝ ｃ ６
（ｌ 口 木 Ｉ ｅ宰 ） ｊ ｃ ｅ 口 水ｅ＝ ）＝（１ ｎ 木 （ ；Ｉ ｂ ｂ＝（ｌ ） （ｌｃ Ｉ ｂ ｅ宰 ） （ ；ｃ 牛 ）＝（ｌ 口 木 （ｌ 口爿 ２ 木 ）＝（ｌ ｅ） ｔ术 ２ ｂ ｌ （ｅ水 ｃ ） ｂ ｅ ｅ 宰 １ 水（， ｅ 木 ）＝ｅ 术 ｏ木 ２Ｉ ）＝（ｌ ａ ｊ ２ ６ ｌ ｌ （ ｅ， ： ｂ ｅ 木 ）Ｉ ｝ ＝ ｃ ｅ ∈ｇ ｅ） （２ （１ （ ２ ， ｅ）Ｃ ｇ ｅ） 、 ∈ ｇ １ ｅ） 了ｃｄ∈ｓ ｃ Ｙ，ｄ ＝ｃ ２ ｄ ｃ Ｙ术 ）木 １＝ （ 木ｅ 爿 ）木 ｌ －（２ ＝ ， ，车 ＃ 母ｅ 水 ＝ （ 串 ｄ ｅ ｃ ２ｃ ｄ ｅ＝
Ｎ（ ２， 代 数 的 一 类 同余 分解 ２， ０）
李旭 东 王仲 平 ，
（ ．兰州城市学 院 数学 学院 ， １ 甘肃 兰州 ７ ０７ ２ 兰州交通大学 数理 与软件工程学院 ， ３ ００； ． 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３０ ０
摘
要： 进一步研究 了 Ｎ（ ２，） ２， ０ 代数 的一类同余分解 ， 得了 自然 同态下一类逆像 的新 的性 质 获
引理 ２
设 （ ， ， ０ 是 Ｎ（，，）代数 ， Ｊ Ａ，） ｓ ２２０ 则对任意 ｅＥＥ（ ）（ （） ） Ｓ ，ｇ ｅ ， 做成 （ ， ． ％）的子半群 ｓ
、
、
２ 主 要 结 果
以下均 设 （ ， ， ０ 是 Ｎ（ ， ，）代数 ． Ｓ △， ） ２ ２０
文献 ［ ］ ６ 给出了Ｎ（ ，，） ２ ２０ 代数 （ ， ， ，） Ｓ △ Ｏ 的一类同余分解（ ～， ， ’０ ）其 中 Ｖ ｙ ｓ ～ Ａ ［］， ， ∈ ， ｙ ｊ ， Ｅｓ Ⅱ § ｂ ， ｎ ６＝ｎ ￥ ， ｙ ６研究 了商代数（ ／一， ， ［ ］ ｓ △，０ ）的代数结构 ， 并讨论了 自然 同态 ｇ ：
则称这 个 代数 系统 （ ， ０ ５， △，）是 一 个 Ｎ（ ２０ ２，，）代 数．
定义 ２
ＥＳ （ ）： ｛ １ ＥＳ ，
＝戈 ， Ｅ Ｊ 中定义拟序 ≤， ≤ 如下 ｝在 （ ） ｓ 和
Ｖｅ ＥＥ Ｓ ≤ Ｃ ￥ ：ｆ （ ） ｅｚ ： ￣ ， Ｖｅ Ｓ ， ， ＥＥ（ ） ｆ≤ ｃｆ＊ ｆ ｅ￣ ｅ＝
２１ 。 ０ ０年 ６ 月
第２ 卷 第２期 ８
ＮＡＴＵＲＡＬ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｊ ＨＡＭ ＡＮ ＵＮＩ ＲＳ ＴＹ ＶＥ Ｉ
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｊｎ２ ０ ｕ ． ０１
文 章 编 号 ：０４—１２ （０ ０ ０ １０ ７９ ２ １ ）２—０９ ０ ９一ｏ ３
１ 基 本 概 念 与 事 实
定义 １３ 设 ｓ ［ 是含常元 ０的集合． 如果在 Ｓ中定义 了２ 个二元运算 ， 满足以下公理 ： △， 对任意 ，
ｙ， ｚ Ｅ Ｓ，
（１ Ｆ）
（３ Ｔ ）０
（Ａ）＝ ｙｚ
＝ ，
（ ） ； ｚ ， ） ） ；
（ ）（ Ａ ）＝ ｘｙ Ｉ ｃ ｚ＝）女（ ，
文 献 标 志 码 ：Ａ
关键词 ： ２ ２ ０ 代数 ；同余 分解 ； Ｎ（ ， ， ） 逆像 ； 代数性质
中 图 分 类 号 ：０ １４ ５
近年来 ， 从代 数 学 的角度研 究逻 辑 系统 中 的蕴 涵 关 系 ， 到人 们 的重 视 ． 献 ［ ］ 研 究 逻辑 系统 中 受 文 １在 的蕴涵 关 系时提 出 了模 糊 蕴涵 代数 （ 简称 Ｆ 代数 ） Ｉ Ｉ ，Ｆ 代数 一度 引起 了 同行 的广 泛关 注 Ｊ文 献 ［ ］ ． ３ 在 研究 Ｆ 代数 时 提 出的 Ⅳ（ ２０ 代 数是从 代 数学 的角 度 对模 糊 蕴 涵算 子 的进 一 步 抽象 ． Ｉ ２，，） 近年 来 可见 的报 道 中已经研 究 了 Ｎ（ ， ０ 代数 与 Ｂ Ｉ ２２，） Ｃ 代数 的关 系 ＪＮ（ ２０ 代 数 的理 想 、 （ ， ，） 数之 平 移 变 、 ２，，） Ｊ ２ ２０ 代 ７ ｖ
换的像与逆像 等． 文献［ ］ ６ 给出了 Ｎ ２２０ 代数的一类同余分解 ， （ ，，） 研究 了商代数的代数结构 ， 并讨论 了 自然 同态下 一类 逆象 的代 数结 构和 性质 ． 本文 将 进一 步研 究 该 同余 分 解 ， 获得 一 些 新 的结 果 ． 中涉 及 术 文 语 记号 均参 考文 献 ［ ６ ． ３— ］
定理 １ Ｖｅ∈Ｓ ｇ １ ｅ ｇ １ ０ ｇ １ ｅ ． ， －（ ） －（ ） －（ ）
证明 Ｖｅ ， ｙ∈ｇ ０ ， ｘ∈ （）贝 口ｂｃｄ∈． 使 ∈Ｓ Ｖ （ ） Ｖ ｇ ｅ ，０ｊ ，，， ｓ ，
（ Ｉ（ ） ） ｇ １ ， ．
证 明 由 ｅ 。∈Ｅ Ｓ （ ）及 引理 ２，ｇ ｅ） ）做 成 （ ， ）的子半 群． （ （， ， ． ｓ