六20抽屉问题

名师导航学校六年级奥数辅导讲义

抽屉问题 (一)

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

例1 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

抽屉＝1996年是闰年，则有366 物品＝ 367

所以：物品 >抽屉

故至少有2名小朋友的生日相同。

例2 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

抽屉＝ 3 （任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2）

物品＝ 4 （四个数的余数）

所以：

故

例3 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是3的倍数，所以这三个数之和能被3整除。

第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。

综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

抽屉＝ 10

物品＝ 11

所以：

故

例5 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

抽屉＝ 4 （奇、奇偶、偶奇、偶偶、奇）物品＝ 5 （5堆）

所以：故

例6 用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色

（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方

格中涂的颜色完全相同？

抽屉＝

物品＝

所以：

故

名师指点：在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。

练习

1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？

2.班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

3.在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？

4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？

5.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米？

6.用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

7.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？