选修2-3-1.2排列与组合

例3 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参 加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求 总共要进行多少场比赛. 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛， 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比 赛的总场次是
A 14
2
=14×13=182.
例4（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？ 3 (种 ) A5 = 60 （2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？ 3 5 = 125(种)
(2)两个排列相同的条件：
①元素完全相同; ②元素的排列顺序也相同.
例如123与 213为什么是 不同的排列。
例1
下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会的选法；
那 （2）10名学生中选2名做正、副组长的选法； 些 是 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数； 全 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数； 排 列？ （5）20位同学互通一次电话的次数； （6）以圆上的10个点为端点作弦的条数； （7）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另 一个点的射线的条数； （8）有10个车站，共需要多少种车票； （9）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位.
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项 活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2 名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.
排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排 m 列数。用符号 An 表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素 m 的所有排列的个数，是一个数；所以符号 只表示排 An 列数，而不表示具体的排列.
同理
An
可以这样计算
第2位
第1位
第3位
n
n-1
n-2
n ( n 1 )( n 2 )
A
3 n
一般地 A nm ( n
m)
可以这样计算：
第 m位
第 1位 第 2位 第 3位
······
n
m n
n-1
n-2
n-(m-1)
n m 1
A
n (n 1) (n 2 ) (n m 1)
练习 用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于 213045的自然数.
第一类：形如3,4,5, A13· A55 这样的数都是满足条件的数共有： 第二类：形如 23，24，25 这样的数都是满足条件的数共有： A13· A44 第三类：形如214,215这样的数都是满 足条件的数共有： A12· A33 第四类：形如2134, 2135的数有 第五类：形如213054有一个 因此满足要求的数共有449个 A12· A22
从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc, bac, cab, dab, abd, bad, cad, dac, acb, bca, cba, dba, acd, bcd, cbd, dbc, adb, bda, cda, dca, adc; bdc; cdb; dcb.
排列中的注意点： 1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题 是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好 采用“树形图”。
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。 上午 甲 乙 下午 乙 丙 相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙

甲 丙
甲 乙
丙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就 可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排 成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤： 第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个， 有4种方法； 第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有 3种方法； 第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有 2种方法。
排列与组合
排列
分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法 中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么 完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn . 种不同的方法 分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步 有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方 法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件 事有 N=m1×m2×…×mn _____________________ 种不同的方法.
n! ( n m )!
例2
(1)若 A n 1 7 1 6 1 5
m
5 4 ,则n=
，m=
．
解：（1）n=17，m=14 ． (2)若 n
N,
则 (5 5 n )(5 6 n )
( 6 8 n )( 6 9 n )
用排列数符号表示为
(1) 9 10 11 ...... 99
例6 ⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ A77＝5040. 解：问题可以看作：7个元素的全排列 ⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置， 共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列 A66=720. ⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多 少种不同的排法？ 解一：甲站其余六个位置之一有A61种， 其余6人全排列有A66 种， 共有A61 A66 =4320.
根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2＝24 种不同的排法。如下图所示
有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
同样，问题２可以归结为：
A
2 9
9 9 8 648
解法二：直接法 3 第三类：十位数字是0的三位数有 A9
解法三：间接法.
A9 A9 A9 6 4 8
3 2 2
2 第二类：个位数字是0的三位数有 A9
求总数：从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为:
．
91 99
A69 n
15
A
(2) 13 14 ...... ( n 1 ) n
．
A
n 12 n

(3) ( x a )( x a 1 ) ...... ( x 16 )
( x , a N , x a 16 )
A
a 15 x 16
A22
① 乙 ② c ③ a A55 ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦
甲
例6 (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和 排尾的排法共有多少种？ 解：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选 A52种方法 2位同学站在排头和排尾有 第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有 A55种方法 所以一共有A52 A55 ＝2400种排列方法．
解二：从其他6人中先选出一人站首位，有 A61
剩下6人(含甲)全排列,有 A66 ,共有A61 A66 =4320.
解三：7人全排列有 A77 ,甲在首位的有 A66 所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.
例6 (4)7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的 排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲,乙站在两端有 A22种. 第二步 余下的5名同学进行全排列有 A55种 ① 甲 则共有A22 A55 =240种排列方法 ② ⑤ ③ ④ ⑥ d e a b c ⑦ 乙
问题1 中是求从3个不同元素中取出2个元素的 排列数，记为: A32
A3 3 2 6
2
问题2 中是求从4个不同元素中取出3个元素的排 3 列数，记为: A4
A4 4 3 2 2 4
3
从n个不同元素中取出2个元素的排列数
第 1位 第2位
An
2
是多少？
A
n
n-1
3
2 n
n (n 1)
排列数公式
A
m n
n (n 1) (n 2 ) (n m 1)
m,n N ,m n

观察排列数公式有何特征：
（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一 个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数． n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素 的一个全排列，这时公式中的n=m，即有:
有限制条件的排列问题 1 特殊元素、特殊位置问题 例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
解法一：直接法 百位 对排列方法分步思考。 十位 个位
A
1 9

A
1 9

A
1 8