高中数学第四课时微积分基本定理教案北师大版选修2-2

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2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理教案

2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理教案1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。

2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。

3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)。

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x 。

(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。

4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S 。

(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x 。

(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x 。

(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x 。

(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。

5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )。

北师大版高中数学选修2-2第四章2微积分基本定理.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理：如果连续函数f (x )是________________________，则有ʃb a f (x )d x ＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →F (x ＋Δx )－F (x )Δx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.143．220sin cos 22x x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的值是( )A.π2B.π2＋1C ．－π2D ．0 4．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．无法确定6．ʃ421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 二、填空题7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________．9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2) 22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ1xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．答案知识梳理函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x ) F (b )－F (a ) 作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4|10＝14.] 3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22d x＝20π⎰(1＋sin x )d x ＝x |20π＋(－cos x )20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.]5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1， m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .]6．D [ʃ421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.] 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1，即k ＝1. 8.12ln 2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1) 解析 20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) 40π－(cos x ＋sin x ) 24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ，∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数， ∴22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos 2x )d x ＋16x20π＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin 2x 20π＋16x20π＝172π. 11．解20π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x ) 20π＝b ＋a ＝4.60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )60π＝12b －32a ＋a ＝7－332，解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ，则ʃ10(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 22＋bx |10＝a 2＋b ， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b 2， ∴⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3. ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0. ② 由①②得a ＝－3，b ＝－9.。

高中数学第4章 2微积分基本定理北师大版选修2-2

-2
＝1－14－[－2－－424]＝7－14＝247.
(3)∵(tx＋2x)′＝t＋2，
∴2(t＋2)dx＝(tx＋2x)|21 1
0
0
(3)2(t＋2)dx；(4)
－π
(cos x＋ex)dx.
1
[分析] 根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的一
个原函数．
[解析] (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
∴1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4. 0
(2)∵(t－t44)′＝1－t3，
∴1
(1－t3)dt＝(t－t44)|1－2
1.对定理的四点说明： (1)根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便． (2) 设 f(x) 是定义在区间 I 上的一个函数，如果存在函数 F(x)，在区间I上的任何一点x处都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫作函数f(x)在区间I上的一个原函数．根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．由于 [F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所以F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
定积分第四章
§2 微积分基本定理第四章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课时作业
课前自主预习
1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意义． 2．会用微积分基本定理求函数的定积分． 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功问题．本节重点：微积分基本定理．本节难点：微积分基本定理的应用.

4.2微积分基本定理教案(高中数学选修2-2 北师大版)

§2 微积分基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现S＝S(t)与v＝v(t)在[a，b]上的位移的关系，推导出微积分基本定理；(2)简单运用微积分基本定理解答求定积分的问题．2．过程与方法通过对变速直线运动物体位移问题的探究，发现微积分基本定理这一过程，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力，体会用联系的观点认识问题．3．情感、态度与价值观(1)通过对微积分基本定理的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识．(2)通过本节的运用和实践，体会导数与定积分的关系，以及数学的应用价值．●重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单定积分．难点：微积分基本定理的含义．教学时，引导学生分别用物体运动规律S＝S(t)和速度函数v＝v(t)表示出变速直线运动b 物体在时间段[a，b]上的位移S.然后从导数及定积分两个方面分析S(t)与v(t)的关系及S与⎠⎛a v(t)d t的关系，从而引导学生发现定理，突破难点．通过微积分基本定理求定积分，让学生在应用过程中，更深入地了解定理，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在定积分的概念之后，是对定积分的应用；同时，也是对导数与定积分的关系的探究与延伸．这一过程中，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．因此本节课宜采取发现式课堂教学模式．即在教师精心设计的问题的引导下，通过学生的作答、交流、探究，发现定理、应用定理．●教学流程创设情境，引出问题：从两个角度求物体走过的路程.⇒引导学生结合导数、定积分的定义求解，通过观察、比较、分析得出规律.⇒通过引导学生回答所提问题，将规律推广，得到定理.⇒运用定理解答例1及其变式训练.⇒通过例2及其互动探究的解答巩固定理，提高性质的运用能力.⇒探究定理的逆向应用，并应用其解决参数的计算问题，完成例3及变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解微积分基本定理的含义．(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)微积分基本定理1．物体走过的路程S 与时间t 的函数为S (t )＝t 2，试求物体从t ＝1到t ＝2走过的路程S .【提示】 S ＝S (2)－S (1)＝3.2．求该物体在t 时刻的瞬时速度v (t )，计算v (t )在[1,2]上的定积分并说明其物理意义．【提示】 v (t )＝S ′(t )＝2t ，⎠⎛12v (t )d t ＝3，表示物体从t ＝1到t ＝2走过的路程．3．比较1、2中所得的结论，你能发现什么规律？并加以推广．【提示】 ⎛12v (t )＝S (2)－S (1)，⎛ab v (t )d t ＝S (b )－S (a ).定理内容符号表示作用如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，定理中的式子称为牛顿－莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ) (1)建立了积分与导数间的密切联系(2)提供了计算定积分的一种有效方法利用微积分基本定理求定积分(1)⎠⎛054x d x ；(2)⎠⎛05(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛12(x －1x )d x ；(4)⎠⎛121x2d x .【思路探究】先确定被积函数的一个原函数，然后利用微积分基本定理求出定积分．【自主解答】 (1)由于2x 2的导函数是4x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛054x d x ＝2x 2|50＝2×52－2×02＝50.(2)由于13x 3－x 2的导函数是x 2－2x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛05(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|50＝(13×53－52)－(13×03－02)＝503. (3)由于12x 2－ln x 的导函数是x －1x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )|21＝(12×22－ln 2)－(12×12－ln 1)＝32－ln 2. (4)由于－1x 的导函数是1x 2，根据微积分基本定理可得⎠⎛121x2d x ＝－1x |21＝－(12－11)＝12.1．本题的关键是寻求函数f (x )的一个原函数F (x )．2．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数．求下列定积分的值．(1)⎠⎛01(2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x ；(4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x . 【解】 (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴⎠⎛01(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪1＝1＋3＝4. (2)∵(t －t 44)′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝(t －t 44)⎪⎪⎪1－2＝1－14－[－2－(－2)44]＝7－14＝274.(3)∵(tx ＋2x )′＝t ＋2，∴⎠⎛12(t ＋2)d x ＝(tx ＋2x )⎪⎪⎪21＝(2t ＋4)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛0－πcos x d x ＋⎠⎛0－πe x d x＝sin x ⎪⎪0－＋e x ⎪⎪－＝1－1e π.(1)∫π20sin 2 x2d x ；(2)⎠⎛49x (1＋x )d x .【思路探究】化简被积函数→转化为基本函数的积分→求原函数→求定积分【自主解答】 (1)原式＝∫π2012(1－cos x )d x ＝12∫π20(1－cos x )d x ＝12∫π201d x －12∫π20cos x d x ＝x 2|π20－sin x 2|π20 ＝π－24.(2)原式＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎠⎛49x 12d x ＋⎠⎛49x d x＝23x 32|94＋12x 2|94＝2716.1．本题(1)(2)中的f (x )较为复杂，直接求其原函数不易，故而先化简f (x )再求定积分． 2．求函数f (x )在某个区间上的定积分，要正确运用导数运算求原函数，另外要灵活运用定积分的性质，这样会使计算简便．将本例(1)中“sin 2x 2”改为“(cos x 2－sin x 2)2”，即求∫π20(cos x 2－sin x2)2d x .【解】 ∫π20(cos x 2－sin x 2)2d x ＝∫π20(1－sin x )d x＝∫π201d x ＋∫π20(－sin x )d x ＝π2＋cos x |π20＝π2＋(cos π－cos 0)＝π－1.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x＝1，求f (x )的解析式．【思路探究】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解．【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． ∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝(k 2x 2＋bx )|10＝k 2＋b ，∴k2＋b ＝1.② 由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．本题利用函数的性质与微积分基本定理转化为方程求解参数．2．利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，其次要注意积分下限小于积分上限．已知⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B. 【答案】 B数形结合思想在定积分计算中的应用(12分)已知函数f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝4x －x 2，求⎠⎛4－4f (x )d x .【思路点拨】画出f (x )的图像，利用定积分的几何意义求解．【规范解答】当x ≥0时，函数y ＝4x －x 2可化为y 2＝4x －x 2，即(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0).2分它表示以点(2,0)为圆心，2为半径的在x 轴及其上方的圆，4分其面积为2π，即⎠⎛04f (x )d x ＝2π.6分又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛0－4f (x )d x ＝⎠⎛04f (x )d x .8分∴⎠⎛4－4f (x )d x ＝⎠⎛0－4f (x )d x ＋⎠⎛04f (x )d x＝2⎠⎛04f (x )d x ＝4π.12分求函数的定积分一般有两种方法：一是当被积函数的原函数容易求出时，可求出原函数，用微积分基本定理求解；二是当被积函数的原函数不易被求出时，可考虑画出被积函数的图像，用定积分的几何意义求解，有时可结合定积分的运算性质．1．用微积分基本定理求定积分⎠⎛ab f (x )d x ，要将f (x )看作导函数，还原得到其原函数F (x )．2．对于复合函数求定积分，如分段函数、带绝对值函数、复杂的三角函数等，要先运用相关公式化简，再用积分性质分解为常见函数求定积分．1．下列式子正确的是( ) A.⎠⎛ab f(x)d x ＝f(b)－f(a)B .⎠⎛ab f (x )d x ＝f (b )－f (a )＋c。

数学北师大版高中选修2-2微积分基本定理

试题试卷参考学习一、学习目标1.了解连续函数，原函数的概念． 2．理解微积分基本定理的推导过程． 3．能够利用微积分基本定理求简单的定积分．二、自学导引1、如果函数y ＝f (x )的图像是不间断的，称函数y ＝f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F ='，函数)(x F y =称为f (x ) 的( )A.导函数B.原函数C.连续函数D.幂函数3、下列函数不是连续函数的为( ) A.2x y = B.xy 2= C.x y sin =D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数： ①c y =（c 为常数）的一个原函数为：________________.②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为：________________.③xy 1=的一个原函数为：________________.④xe y =的一个原函数为：________________.⑤x a y =（10≠>a a 且）的一个原函数为：____________.⑥xy sin =的一个原函数为：________________.⑦xy cos =的一个原函数为：________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为：________________.5、如果)(x F y =是y ＝f (x )的原函数，下列函数中不是f (x )的原函数的是( ) A. 2)(+=x F y B. 2)(-=x F y C. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =，走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。

①)(t V 与)(t S 的关系_________.② 与⎰ba dt t V )(表示的意义不符合的选项是（）A. 1S 的面积B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b aba ba -===⎰⎰§4.2微积分基本定理7、速度的积分等于____________，线密度的积分是__________.8、微积分基本定理，如果)()(x f x F ='，则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f - B.)()(b F a F - C.)()(a F b F - D.)()(a F b F '-' 三、双基训练 1、计算下列定积分： ①=⎰dx x 212（）A ．1 B.2 C.3 D. 4 ②=⎰-dx x 112（）A ．0 B.31C.331x D. 32③=⎰-dx x 22cos ππ（）A ．1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx e x 10_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f a b b a )()(，则_________四、典例剖析例1 求定积分：（1）dx x ⎰103 （2）dx xe ⎰11跟踪训练：求定积分：（1）dx x⎰11 =_________（2）dx xae⎰1=__________ 例2 （1）求定积分dx x ⎰π0cos ，并解释其意义。

高中数学第4章定积分2微积分基本定理学案北师大版选修2_2

§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛abf (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.] 2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛π2sin 2x2d x .思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛－πcos x d x －⎠⎛－πe xd x＝sin x ⎪⎪⎪－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1eπ－1． (3)2x 2＋x ＋1x＝2x ＋1＋1x，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x.∴⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛π2(1－cos x )d x＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x2⎪⎪⎪⎪π2－sin x 2⎪⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________.ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1． ②由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ①f ′(1)＝2a ＋b ＝1， ②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316. ③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积． (2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论 (1)⎠⎛a bf (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x .(2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛ax 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x nbf (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a b f (x )d x ≤⎠⎛abg(x )d x .推论2：|⎠⎛a b f (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0. (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数． [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。

高中数学第四章定积分2微积分基本定理教学案北师大版选修2-2(new)

§2微积分基本定理错误!已知函数f（x)＝x，F（x)＝错误!x2.问题1：f(x）和F（x)有何关系?提示：F′（x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!.问题3：求F（2）－F(1)的值．提示：F（2）－F(1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4:你得出什么结论？提示：错误!f(x）d x＝F（2)－F（1)，且F′（x）＝f(x）．问题5：由错误!f（x）d x与F（2）－F（1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a)，其中F′(x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x）是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x）,则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x）的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F（x)错误!错误!来表示F（b）－F(a），于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作错误!错误!f(x)d x＝F（x)错误!错误!＝F(b）－F(a）．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．错误!求简单函数的定积分［例1] 计算下列各定积分：(1）错误!错误!（2x＋3）d x；(2)错误!错误!(cos x＋e x)d x；(3)错误!错误!错误!d x。

［思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析］（1)∵（x2＋3x）′＝2x＋3，∴∫错误!(2x＋3）d x＝（x2＋3x)错误!错误!＝1＋3＝4.（2）∵(sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误!错误!（cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x)错误!错误!＝1－e－π。

（3)∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!错误!d x＝错误!错误!错误!＝7＋错误!＝错误!.[一点通］应用微积分基本定理求定积分时,首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型,然后求导数进行验证,在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f（x）为止(一般情况下忽略常数），然后再利用微积分基本定理求出结果．1错误!.错误!d x＝________.解析:错误!错误!d x＝ln e－ln 1＝1。

4.2 微积分基本定理课件(北师大版选修2-2)

复习回顾
＊定积分： f ( x )dx A
a b
＊定积分的性质：性质1 性质2
性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx

0
cos xdx 的值就是区间 [0, ]
其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y

o
x
y cosx
返回
分析：被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分
的性质可知，和的定积分等于定积分的和：
f ( x) g ( x)dx
b a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b
b a b a
b
b
b
a
a
a
引入
通过学习发现，虽然被积函数 y x 2 很简单，但直接用定积分定义计算对于定积分
1

2
1
么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x

x dx 的值却比较麻烦，而
2
前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的
概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联
a
b
解：

2
1
2
(e x 3 x )dx
x 2 x 2 1
3 22 e dx 3 xdx e x 1 1 1 2 3 9 2 2 ( e e) (4 1) e e 2 2

高中数学第四章定积分4.2.1微积分基本定理教案北师大版选修2_2

2 微积分基本定理（一）、复习：定积分的概念及用定义计算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aaf t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xaf t dt ⎰令x b =，有()()()baf x dx F b F a =-⎰此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

高中数学选修2-2 北师大版 4.2.1微积分基本定理学案

学习目标：1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

学习重点：微积分基本定理的理解；学习难点：运用微积分基本定理计算简单的定积分一、预学部分【自主学习】新课知识1、微积分基本定理：如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即，那么ʃb a f (x )d x ＝． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝ .3、定积分公式：（1）=⎰bacdx （2）=⎰bandx x （3）=⎰baxdx cos（4）=⎰ba xdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx xba（6）=⎰bax dx e （7）=⎰n mx dx a4、定积分性质（1）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数（2）⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）,)()()(⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f二、导学模块【合作探究】计算下列定积分1、ʃ31(2x －1x2)d x ； 2、ʃ0－π(cos x －e x)d x .3、ʃ31(x ＋1x)26x d x . 4、⎰-32|4|dx x5、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x ；6、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【拓展延伸】高（中）考对接1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D ．－23三、固学提高【课堂检测】1． (1＋cos x )d x 等于 ( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( )A ．5B ．4C ．3D ．23．dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1-4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.5.计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f课后反思。

高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第四章 §2 微积分基本定理

§微积分基本定理已知函数()＝，()＝.问题：() 和()有何关系？提示：′()＝()．问题：利用定积分的几何意义求的值．提示：＝.问题：求()－()的值．提示：()－()＝×－×＝.问题：你得出什么结论？提示：()＝()－()，且′()＝()．问题：由()与()－()之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：()＝()－()，其中′()＝()．微积分基本定理如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称()是()的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号()来表示()－()，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作()＝()＝()－()．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[例]计算下列各定积分：()(＋)；()( ＋)；().[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析]()∵(＋)′＝＋，∴(＋)＝(＋)＝＋＝.()∵( ＋)′＝＋，∴( ＋)＝( ＋)＝－－π.()∵′＝－，∴＝＝＋＝.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数()的导函数′()＝()为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．＝.解析：＝－＝.答案：．求下列函数的定积分：()(＋＋)；()( － )；().解：()(＋＋)＝＋＋＝＋＋＝.()( － )＝－＝(－ )－＝.()＝＋＝＋＝×－×＋－＝＋ .．求下列定积分：()；() (－)·(－).解：()＝)，。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》微积分基本定理(1)

0
0
( 6 ) s i n x d x
-2
2.求下列定积分,并说明它几何意义:
(1
)
0
sin
xdx
2
(2
) 2
sin
xdx
-2
(3
)
2
0
sin
xdx
0
练习：
( 1 ) 1 1 d x = _ _ _1_ _ _ 0
1
( 2 )0 xd x
=
_ _1_/_2_ _
( 3 ) 1 x 3 d x 0
一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程
定积分的概念：
b
n
f ( x)dx lim f
a
n i1
i △xi
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分
b
a
f
( x)dx
）
即①分割： n 等分区间a , b ；
由定积分的定义得
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
（二）、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
f(x)dxF(b)F(a)
或 a bf(x)dxF (x)|b aF a(b)F (a)
( F ( x ) 叫做 f ( x ) 的原函数 , f ( x ) 就是 F ( x ) 的导函数 )
a bf(x)dxF (x)|b aF (b)F (a)
1.求下列定积分:

【数学】4.2 微积分基本定理课件(北师大版选修2-2)

第四章定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：

b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1）（ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)

2 0
cos xdx
(2)

2 0
sin xdx
(3) 2
0

cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （

ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n

高中数学：4.2微积分基本定理(二)教案(北师大选修2-2)

4.2微积分基本定理教课过程：（一）创建问题情境求不定积分的运算是导数运算的逆运算，结果为函数，定积分则是在求曲边梯形的面积问题时产生的，结果为数. 这两种运算产生的背景与含义仿佛没有什么共同之处. 但它们的名称这样邻近，说明它们之间又存在着联系.（二）探究新知1、解说变上限制积分的定义，配合图形便于让学生理解变上限制积分是定义在[ a, b]上的函数，它会跟着x 在区间[ a,b]上变化而获得相应的定积分值. 接着，给出定理 4.2.1 ，让学生知道变上限制积分的导数就是被积函数，并联合原函数与导函数（也就是被积函数）的关系让学生主动去探究定理 4.2.2 ，经过这个定理既让学生发现了连续函数的原函数是存在的，又初步揭露了定积分与原函数，也就是不定积分之间的关系 . 变上限制积分的重要性质在下边证明微积分基本定理时有重要作用 .——以学生现有的知识水平想到导数和定积分的内在联系是很困难的，所以对于这一部分内容以教师直接解说为主，主动揭露它们之间的内在联系。

依据学生实质状况，联合定理解说例和例，此二例的作用是让学生熟悉定理；在解说例的过程中，重申学生注意当积分的下限为x ，上限为定值时，要变为变上限制积分才能够应用这个定理求解. 例 4.2.3 、例对于本班学生较为困难，省略不讲。

2、牛顿—莱布尼兹公式的证明证明的要点在于联合定理的已知条件 F (x)是f (x)在 [ a,b]上的一个原函数及定理的结论变上限的定积分也是 f (x)在 [ a,b]上的一个原函数，获得 F ( x)( x) C ，再分别让 x 获得 a, b ，牛顿—莱布尼兹公式即可得证.这一过程要让学生主动参加，由于它不单让学生熟习了定理 4.2.2 ，更重要的是揭露了定积分与不定积分之间的联系，解决了第一阶段创建的问题.——在这里我插入对于牛顿和莱布尼兹的个人背景资料，以及他们的学术成就在整个社会以致全球的影响，有益于丰富讲堂内容。

北师版数学高二选修2-2课件 4.2 微积分基本定理

解析答案
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0).若 ʃ 10f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
3 为__3__.
解析 ∵ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx|10＝a3＋c.
又 f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
本课结束
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)? 答案不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
答案
梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； ②结论：ʃ baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ baf(x)dx＝_F_(_x)_|_ba ＝ F(b)－F(a) .
＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，
∴
π
2 (sin
x
cos
x )2dx =
π
2 (1 sin x)dx
0
2
2
0
π
＝(x＋cos x) |02
＝(π2＋cos π2)－(0＋cos 0)＝π2－1.
解答
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝(13x3－72x2＋12x)|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝227.
解答
命题角度2 求分段函数的定积分

高中数学北师大版选修2-2学案4.2 微积分基本定理 Word版含解析

§ 微积分基本定理
.了解微积分基本定理的含义.(难点)
.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探] 教材整理微积分基本定理
阅读教材～，完成下列问题.
.微积分基本定理
.
()－()()＝则有，()＝′()即，如果连续函数()是函数()的导函数 .定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在轴上方的面积为上，轴下方的面积为下，则
()
图--
.上()＝则，如图--()，()当曲边梯形的面积在轴上方时 .下－()＝则，如图--()，()当曲边梯形的面积在轴下方时
() ()
图--
()当曲边梯形的面积在轴上方、轴下方均存在时，如图--()，则()＝.
则，下＝上若，下－上()＝
.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()微积分基本定理中，被积函数()是原函数()的导数.( ) ()应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常
数项为.( ) ()应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连
续函数.( )
【答案】()√()√()√
(－)等于( )
.－
【解析】(－)＝＝π－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
()(＋＋)；()(－)；。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第四章 §2 微积分基本定理

[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎜⎛12x d x 的值．提示：⎠⎜⎛12x d x ＝32. 问题3：求F (2)－F (1)的值．提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎜⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎜⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：⎠⎜⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )| b a 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作 ∫b a f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分： (1)∫10(2x ＋3)d x ； (2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ；(3)∫31⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x .[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4. (2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ， ∴∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )| 0－π＝1－e －π.(3)∵⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x ′＝2x －1x2，∴∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x | 31＝7＋13＝223.[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎜⎛1e .1x d x ＝________. 解析：⎠⎜⎛1e 1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分： (1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x . 解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x ＝x33|21＋x 2|21＋3x |21＝253.(2)∫π0(sin x －cos x )d x ＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x|π0＝2. (3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211x d x＝12x2|21＋ln x |21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2.3．求下列定积分：sin 2x 2d x ；(2) ⎠⎜⎛23 (2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，2x2d x ⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20 ＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎜⎛23 (6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －x2－x3＋14x4|32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x≤π2，1，π2<x<2，x －1，2≤x≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．2⎠⎜⎛04f (x )d x xd x x ＋⎠⎜⎛24(x －1)d x＝(－cos x )x⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－x |42 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2， 0≤x<1，2－x ，1≤x≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x≤0，x2，x>0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |0－1＋13x 3|10 ＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．[精解详析] f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t3＋b 2t2＋t |x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________. 解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪10＝k －1＝2 013， ∴k ＝2 014. 答案：2 014 7．已知函数f (a )＝∫a 0sin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f (a )＝∫a 0sin x d x ＝－cos x|a0＝－cos a ＋1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎜⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则4＝3a ＋b ，又⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax2＋bx |10＝a 2＋b ＝1，所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．错误!1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d x C.∫101d xD.∫1012d x 解析：∫101d x ＝x ⎪⎪10＝1. 答案：C2．(福建高考)⎠⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：⎠⎜⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) |10＝(e 1＋1)－e 0＝e. 答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x3⎪⎪⎪⎪ 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－4x ⎪⎪⎪⎪32＝233，故选C.答案：C4．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2⎪⎪⎪⎪x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：∫a －a x 2d x ＝x33| a－a ＝a33－错误!＝18⇒a ＝3. 答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎜⎛0a 3t2dt ，x≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分： (1)∫212x2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1)∫212x2＋x ＋1x d x＝∫21(2x ＋1x ＋1)d x＝∫212x d x ＋∫211x d x ＋∫211d x＝x 2 |21＋ln x |21＋x |21 ＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2. (2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x·22＋cos x·22 ＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π02sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x ) |π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．0 1.2t d t＝0.6t2 |200＝240(m)．解：(1)设从A到C的时间为t1 s，则1.2t1＝24，解得t1＝20，则AC＝∫20即A，C间的距离为240 m.(2)设从D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，解得t2＝20，0(24－1.2t)d t＝(24t－0.6t2) |200＝240(m)．则BD＝∫20即B，D间的距离为240 m.。