北师大版2019学年九上数学：4.6-利用相似三角形测高教案(1)

4.6 利用相似三角形测高

1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）

2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）

一、情景导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度

.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？

二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量

如图所示，身高为1.6m 的某同学

想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m ，旗杆在地面上的影长为8m ，那么旗杆的高度是多少呢？

解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过

相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.

解：如图，用DC 表示人的身高，EC 表示人的影长，AB 表示旗杆的高度，BC 表示旗杆的影长.

由题意知DC ＝1.6m ，EC ＝2m ，BC ＝8m.

∵太阳光AC ∥DE ， ∴∠E ＝∠ACB .

又∵∠B ＝∠DCE ＝90°，∴△ABC ∽△DCE .

∴

AB DC ＝BC CE ，即AB 1.6＝82

. 解得AB ＝6.4（m ）. 故旗杆的高度是6.4m.

方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.

【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量

如图①，在离某建筑物CE 4m 处

有一棵树AB ，在某时刻，1.2m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2m ，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2m ，那么这棵树的高是多少？

解：方法一：延长AD ，与地面交于点M ，如图②.

根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，

所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH

.

因为CD ＝2m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，BC ＝4m ，

所以CM ＝10

3

m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝

22

3

（m ）. 所以AB 223＝1.2

2，AB ＝4.4（m ）.

故这棵树的高是

4.4m.

方法二：过点D 作AB 的垂线，交AB 于点M ，如图③.

由题意可知

AM DM ＝FG

GH

，而DM ＝BC ＝4m ，AM ＝AB －CD ＝（AB －2）m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，

所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.

故这棵树的高是

4.4m.

方法三：过点C 作AD 的平行线交AB 于点P ，如图④.

由题意可知BP BC ＝FG

GH ，而BP ＝AB －CD

＝（AB －2）m ，BC ＝4m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，

所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.

故这棵树的高是4.4m.

方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.

探究点二：利用标杆测量高度

如图，小明为了测量一棵树CD

的高度，他在距树24m 处立了一根高为2m

的标杆EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m ，求树的高度.

解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，则可得△AEM ∽△ACN .

解：过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，因为人、标杆、树都垂直于地面，

所以∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDF ＝90°， 所以AB ∥EF ∥CD ，所以∠EMA ＝∠CNA .

因为∠EAM ＝∠CAN ，

所以△AEM ∽△ACN ，所以

EM CN ＝AM AN

. 因为AB ＝1.6m ，EF ＝2m ，BD ＝27m ，

FD ＝24m ，

所以

2－1.6CN ＝27－24

27

，所以CN ＝3.6（m ），

所以CD ＝3.6＋1.6＝5.2（m ）. 故树的高度为5.2m. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.

探究点三：利用镜子的反射测量高度

为了测量一棵大树的高度，某同

学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB 底部15m 的E 处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m 的C 处，目高CD 为1.5m ；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？

解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.

解：如图，∵∠1＝∠2， ∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DCE ∽△BAE .

∴DC BA ＝CE AE ，即1.5BA ＝1.215

， 解得BA ＝18.75（m ）. 因此，树高约为18.75m. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.

三、板书设计

利用相似三角形测高

⎩⎨⎧利用阳光下的影子测量高度

利用标杆测量高度

利用镜子的反射测量高度

通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.