2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高三(上)2月段考数学试卷(文科) Word版含解析
贵州省凯里市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题
【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|24}A x x =-<<，{|lg(2)}B x y x ==-则()R AC B =（ ） A ．(2,4) B ．(2,4)- C ．(2,2]-D ．(2,)-+∞ 2．已知复数z 满足21i z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC ．D ．4 3．已知{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若57a =，则10S =（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 4．设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则2a b -=（ ）A ．5B ．25CD ．105．若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．a c b >> 6．某几何体的三视图及尺寸大小如右图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．6B ．3C ．2D ．47．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时C ．64千瓦·时D ．68千瓦·时8．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b +的最小值为（ ）AB ．4C ．92D ．5 9．已知函数最小正周期为，则函数的图象( ) A ．关于直线对称 B ．关于直线对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称10．设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]2,4C ．[]2,5D ．[]3,5 11．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A B ．2 C D 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(1)()f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()sin2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[]2018,2019-上零点的个数为（ ）A ．2018B ．2019C ．4036D ．4037二、填空题 13．曲线():2xC f x e =+在0x =处的切线方程为_______．14．已知变量满足约束条件，则的最小值为__________． 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，.若2342a a a +=，且314S =．则n a =________．16．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为此抛物线的方程为__________．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin cos a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若a =，且2217b c +=，求ABC ∆的面积.18．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，由以上数据完成下列22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”．为了做好调查工作，决定用分层抽样的方法从“移动支付达人”中抽取6人进行问卷调查，再从这6人中选派2人参加活动．求参加活动的2人性别相同的概率？附公式及表如下：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =AA 1=2，点Q 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面1AQC ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）求点B 到平面AQC 1的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为2，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为4+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()1y k x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，若点Q 的坐标为7(,0)4，则QA QB⋅是否为定值？若是，求该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数()ln 1f x x ax =++．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 23．已知函数()=|3|+|1|f x tx x --（t 常数）.（Ⅰ）当2t =时，求不等式()2f x ≥的解集；（Ⅱ）当1t =时，若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足28M a b+=，证明9a b +≥.参考答案1．C【解析】分析：利用对数函数的定义域化简集合B ，求出其补集，利用交集的定义求解即可. 详解：因为(){|lg 2}B x y x ==-{}2x x =， {}|2R B x x ∴=≤，又因为集合{|24}A x x =-<<，()(]2,2R A B ∴⋂=-，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.2．B【解析】分析：利用()212i i +=化简复数z ，利用复数模的计算公式求解即可. 详解：因为21i z i =+()2111i i i +==++，z ∴== B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．D【解析】分析：由{}n a 是公差为2的等差数列，57a =，可得1427a +⨯=，解得1a ，利用等差数列求和公式求解即可.详解：{}n a 是公差为2的等差数列，57a =，1427a ∴+⨯=，解得11a =-，则10S =109102802⨯-+⨯=，故选D. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4．A【解析】分析：首先根据向量垂直的充要条件求出a 的坐标，进一步求出()()()222,11,23,4a b -=--=，利用向量模的坐标表示可得结果.详解：已知()(),1,1,2a x b ==-，由于a b ⊥，0,a b ∴⋅=20x ∴-=，解得2x =，()2,1a =，()()()222,11,23,4a b -=--=， 9165a b +=+=，故选A.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．C【解析】∵0.63>03=1,0.63log <13log =0, 0<30.6<00.6=1，∴b >1，a<0，0<c <1，∴b c a >>故选C6．C【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，结合图中数据利用棱锥的体积公式求解即可.详解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且底面直角梯形的上底边为1，下底边为2，梯形的高为2，四棱锥的高为2，∴该四棱锥的体积为()111222232V =⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7．A【分析】 根据回归直线方程经过样本中心点，求得(),x y ，代入回归直线可求得a ；代入回归方程后，可预报当气温为2℃时，当天的用电量．【详解】 171410+-1)104x ++==（ 243438+64404y ++== 代入回归直线方程，求得4010260a =+⨯=所以回归直线方程为2ˆ60yx =-+ 当温度为2℃时，代入求得22ˆ6056y=-⨯+=千瓦·时 所以选A【点睛】本题考查了回归方程的简单应用，注意回归直线方程一定经过样本的中心点，而不是样本的某个点，属于基础题．8．C【解析】∵2是4a 和2b 的等比中项，(2)2424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，2121559()()2222b b a a a b a b a b ∴+=++=++≥+=，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D【解析】分析：利用两角和的正弦公式化简()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由26x k ππ+=可得结果.详解：化简可得()12cos 226f x sin x x sin x πωωω⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由周期公式可得2ππω=，解得2ω=，故()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由126226x k x k πππππ+=+⇒=+，可得,A B 错误， 令26x k ππ+=，可得对中心横坐标为1,212x k k Z ππ=-∈， 令1k =得512x π=， 所以函数()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选D. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.10．B【解析】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆224470x y x y +-++=，即()()22221x y -++=，圆心为()2,2-，半径1r =，由圆心到直线的距离3d ==，∴圆上动点到直线的最小距离为312-=，最大距离为314+=，即d 的取值范围是[]2,4，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 11．D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点． 12．D 【分析】函数()()xg x f x e-=-在区间[]2018,2019-上零点的个数⇔函数()f x 的图象与xy e-=的图象交点个数,根据奇偶性与周期性画出图象，利用数形结合思想求解即可.【详解】函数()()xg x f x e-=-在区间[]2018,2019-上零点的个数⇔函数()f x 在区间[]2018,2019-上的图象与xy e-=的图象交点个数，因为()()1f x f x +=-，所以，()()()21f x f x f x +=-+=所以()f x 是周期为2的函数，且()f x 是偶函数， 由[]0,1x ∈时，()sin2f x x π=，作出()y f x =与xy e -=图象如下图所示，由图可知在每个周期内有2个交点，所以函数()()xg x f x e-=-，在区间[]2018,2019-上零点的个数为201821403614037⨯+=+=，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点个数，函数的周期性、函数的奇偶性，以及运用数形结合的方法求解函数的零点的问题，属于难度题.判断方程()y f x = 零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x = 零点个数就是方程()0f x = 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，13．30x y -+= 【解析】分析：求出()'f x ,由()0f 的值可得切点坐标，求出()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程. 详解：()()2,'x x f x e f x e =+∴=，∴曲线()2x f x e =+在点()0,3P 处的切线的斜率为01k e ==，∴曲线()2x f x e =+在点()0,3P 处的切线的方程为3yx ，即为30x y -+=， 故答案为30x y -+=.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.14．4- 【解析】分析：画出可行域，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()1,2--时，直线在y 轴上的截距最小，从而可得结果.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由31010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,2--A ， 由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点()1,2--A 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小. 将()1,2--A 的坐标代入目标函数2z x y =+ 可得2124z =-⨯-=-，即2z x y =+的最小值为4-，故答案为4-.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．2n 【解析】分析：根据2342a a a +=，且314S =列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，即可得结果.详解：设正项等比数列{}n a 的首项1a ，公比q ， 因为2342a a a +=，且314S =所以()231113121141a q a q a q a q q⎧+=⎪-⎨=⎪-⎩， 解得1122222n n n a a q -=⎧⇒=⨯=⎨=⎩，故答案为2n . 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 16．26y x = 【分析】根据抛物线的定义可得AB AF BF ==，ABF ∴∆是等边三角形，由ABF ∆的面积为6,BF =从而得sin303,BF p ==进而可得结果.【详解】因为以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，90ABD ∠=， 由抛物线的定义可得AB AF BF ==，ABF ∴∆是等边三角形， 30FBD ∴∠=，ABF ∆的面积为2=， 6,BF ∴=F 到准线的距离为303,BF sin p ==此抛物线的方程为26y x =，故答案为26y x =.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.17．（Ⅰ ）3A π=（Ⅱ）ABC S ∆【解析】分析：（Ⅰ）由sin cos a B A =，利用正弦定理可得sin sin cos A B B A =，从而得tan A =进而可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，1317bc ∴=-，即4bc =，11sin 4222ABC S bc A ∆∴==⨯⨯=详解：（I ）由题意得：sin sin cos A B B A =.sin 0,sin B A A ≠∴=，即tan A =又0A π<<，3A π∴=(Ⅱ)2222cos a b c bc A =+-，1317bc ∴=-，即4bc =11sin 422ABC S bc A ∆∴==⨯=点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．（Ⅰ ）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关， （Ⅱ）()715p M = 【解析】分析：（Ⅰ）根据样本数据制成22⨯列联表，根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判；（Ⅱ）利用分层抽样确定抽取人数，利用列举法可得基本事件共15个，其中参加活动的2人性别相同有共7个，由古典概型概率公式可得结果.详解：（I ）由表格数据可得22⨯列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算得：()22100201525408.2497.87945556040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关. （II ）抽取的男生人数为156245⨯=，设为A ，B ； 抽取的女生人数为306445⨯=， 设为,,,a b c d 则有基本事件()()()()()()()()(),,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d ，，，，，，，，，()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共15个，其中参加活动的2人性别相同有(),A B ，()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共7个， 设事件M 为“从6人中选派2人参加活动．参加活动的2人性别相同” 则()715p M =点睛：本题主要考查独立性检验的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ，()12,A B …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B …..()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．（Ⅰ ）见解析（Ⅱ）5d = 【解析】分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得AQ BC ⊥，由线面垂直的性质可得1B B AQ ⊥，从而可得AQ ⊥平面11B BCC ，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）设点B 到平面AQC 1的距离为d ，由（I ）知，AQ ⊥平面11B BCC ，则1AQ QC ⊥,111 22AQC S AQ C Q ∆=⋅=，122ABQ S BQ AQ ∆=⋅=，利用11B AQC C ABQ V V --=可得结果. 详解：（I ）由题意知：AB AC =，Q 为BC 的中点，∴AQ BC ⊥. 由1B B ⊥平面ABC 得：1B B AQ ⊥∵1,BC B B ⊂平面11B BCC ，且1BC B B B ⋂=∴AQ ⊥平面11B BCC ，又∵AQ ⊂平面1AC Q ，∴平面1AC Q ⊥平面11B BCC （II ）设点B 到平面AQC 1的距离为d ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1CC ⊥平面ABQ ，故1CC 为三棱锥 C 1-ABQ 的高． 由（I ）知，AQ ⊥平面11B BCC ，则1AQ QC ⊥,易求得1AQ QC =故1112AQC S AQ C Q ∆=⋅=，12ABQ S BQ AQ ∆=⋅=因为11B AQC C ABQ V V --=，所以111133AQC ABQ S d S CC ∆∆⋅=⋅，即11233d =，则d =点睛：本题主要考查空间垂直关系以及“等积变换”变换的应用，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.20．（1）22142x y +=（2）1516-，理由见解析 【分析】（1）由题意，得2c e a ==①，224a c +=+②，解方程组即可得到本题答案； （2）联立椭圆和直线方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得()2222124240k x k x k +-+-=， 2122412k x x k +=+，21222412k x x k-=+，QA QB ⋅先用1212,x x x x +表示出来，代入韦达定理，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意，得2c e a ==①，224a c +=+②， 联立①②解得2a =，c =∴b =∴椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆和直线方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去y ，得()2222124240kxk x k +-+-=，2122412k x x k +=+，21222412k x x k-=+， ()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>，117,4QA x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，227,4QB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112212127777,,4444QA QB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222121212127774911144416x x k x x k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=++--+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222222224744984491511241216121616k k k k k k k kk ---⎛⎫=++--++=+=- ⎪+++⎝⎭ 故QA QB ⋅定值，且定值为1516-． 【点睛】本题主要考查求椭圆标准方程及圆锥曲线的定值问题，联立直线方程与圆锥曲线方程和运用韦达定理，是解决此类题目的关键.21．（Ⅰ ）当0a ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减（Ⅱ）1a ≤- 【解析】分析：（Ⅰ）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）若函数()0f x ≤恒成立，则有()max 0f x ≤，由（Ⅰ）知，当0a <时，函数()f x有最大值，且()max 1f x f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1ln 0a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭从而可得结果 .详解：（I ）()1f x a x'=+，()0x > ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1x a>-， 此时，函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；在1a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）若函数()0f x ≤恒成立，则有()max 0f x ≤ 由（Ⅰ）知，当0a <时，函数()f x 有最大值，且()max1f x f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1ln 0a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭解之得，1a ≤-点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.22．（1）22440x y x y +-+=；（2）2【分析】（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P （2，0）作斜率为1直线l 的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t 的方程，运用韦达定理，以及参数t 的几何意义，即可求出结果． 【详解】（Ⅰ）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得：4cos 4sin ρθθ=-，24cos 4sin ρρθρθ∴=-， 即22440x y x y +-+=，∴C 的直角坐标方程为：()()22228x y -++=． （Ⅱ）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，直线2,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和圆的方程联立得：240t +-=，所以，12t t +=-124<0t t =-．所以，1212121111t t PA PB t t t t -+=+==． 【点睛】本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．23．（Ⅰ ）2{|3x x ≤或2}x ≥（Ⅱ）见解析 【解析】分析：（Ⅰ）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（Ⅱ）当1t =，()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，可得 141a b +=，()14a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得结果. 详解：（Ⅰ）当2t =，即求解2312x x -+-≥①当32x ≥时,2312,2x x x -+-≥∴≥ ②当312x <<时, 3212,22,0x x x x -+-≥∴-≥∴<； ③当1x ≤时, 23212,32,3x x x x -+-≥∴≤∴≤ . 综上,解集为2{|3x x ≤或2}x ≥. （Ⅱ）证明：当1t =，()()()31312f x x x x x =-+-≥---= 所以282M a b +==，即 141a b+=所以()14a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 4559b a a b =++≥+= 点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
贵州省凯里市第一中学、贵阳一中2017-2018学年高三上学期适应性月考(一)数学(理)试题 Word版含答案
理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{1}A x x =<，{21}xB x =<，则A B = （ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．(1,0)- 2.若1iz i=+，则z z ∙=（ ）A ．2-B ．12C ．2D ．12-3.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则9a 等于（ ） A ．172 B ．192C ．9D ．10 4.若双曲线C 的顶点和集点分别为椭圆22195x y +=的焦点和顶点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22159x y -= B ．22195x y -= C ．22154x y -= D ．22145x y -= 5.一个底面为正方形的棱锥的三视图如图1所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．134π B C ．13π D6.某程序框图如图2所示，若输出的67S =，则判断框内可填入的是（ ） A ．9?k < B ．8?k < C ．7?k < D ．6?k <7.从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则()P B A =（ ） A ．25 B ．12 C ．14D ．188.已知(,)2παπ∈，且sin cos αα+=cos 2α=（ ）A．3 B．3- C．3 D．3- 9.用数字5和3可以组成（ ）个四位数. A ．22 B ．16 C ．18 D ．2010.若点(,)M x y （其中,x y Z ∈）为平面区域25027000x y x y x y +->⎧⎪+->⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的一个动点，点A 坐标为(3,4)，O 为坐标原点，则OA OM ∙的最小值为（ ）A ．13B ．17C ．16D ．1911.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线28y x =-与抛物线C 相交于,A B 两点，则tan AFB ∠=（ ）A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 12.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，若(0)6f =，则不等式5()1xf x e >+（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(5,)+∞C ．(,0)(5,)-∞+∞D ．(,0)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13. 7(1)x -的二项展开式中，x 的系数与3x 的二项式系数之和等于_________.14.已知向量,a b 满足,6a b π= ，1a =，2a b -= b = _____________.15.已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为__________. 16.“求方程512()()11313x x +=的解”，有如下解题思路：设512()()()1313x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =，类比上述解题思路，不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知a =b =2B A =. （1）求sin A ； （2）求边长c .18.（本小题满分12分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2960)，(13,3830)，(17,4750)，(22,5500)，（(25,6370)），(3,8140)，（(37,8950)），(45,1070)，设由这8组数据得到的回归直线方程为^1110y bx=+ ，李先生2018年1月购买一辆价值20万元的新车. （1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2018年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如下（并用相应频率估计车辆在2018年度出险次数的概率）：根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）19.（本小题满分12分）如图3所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =，1AD =，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求： （1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值；（2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图4，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，点A 是椭圆上的一点，且椭圆C 的离心率为2，直线AO 与椭圆C 交于点B ，且,C D 是椭圆上异于,A B 的任意两点，直线,AC BD 相交于点M ，直线,AD BC 相交于点N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.21.（本小题满分12分）已知函数()ln()f x x x k =-+（0k >）. （1）若()f x 的最小值为0，求k 的值；（2）当()f x 的最小值为0时，若对[0,)x ∀∈+∞，有2()f x ax ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）当（2）成立时，证明：2222()2121ni n f i n =-<--∑（*2,n n N≥∈）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，A 为圆O 外一点，AO 与圆交于B ，C 两点，4AB =，AD 为圆O 的切线，D 为切点，8AD =，BDC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于,EF 两点.（1）求证：BD ADCD AC=； （2）求DE DF ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)4P x y -+=，圆22:(1)4Q x y ++=.（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P 和圆Q 的极坐标方程，并求出这两圆的交点,M N 的极坐标； （2）求这两圆的公共弦MN 的参数方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bc ++≥+，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y =的最大值.贵阳一中--凯里一中2017-2018学年高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由于{|11}A x x=-<<，{|0}B x x=<，∴{|10}A B x x=-<<，故选D．2．∵i1i1i2z+==+，∴1i2z-=，∴12z z=，故选B．3．∵1d=，由已知可以求得11 2a=，∴917 2a=，故选A．4．由已知，可得双曲线的顶点为(20)±，，焦点为(30)±，，∴双曲线C的方程为221 45x y-=，故选D．5，∴24π13πS R==表，故选C．6．由程序框图知，当67S =，7k =时输出，故判断框内的条件应填8k <，故选B ． 7．2()5P A =，1()10P AB =，∴()1(|)()4P AB P B A P A ==，故选C ．8．平方得2sin 23α=-，25(cos sin )3αα-=，又ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos sin αα-=，∴22cos2cos sin ααα⎛=-== ⎝⎭，故选A ． 9．①4个“5”（或4个“3”）共2个；②3个“5”（或3个“3”）共34C 28⨯=个；③2个“5”（或2个“3”）共24C 6=个．综上，一共有16个，故选B ．10．画出可行域，34OA OM x y =+在点(4，1)处取得最小值16，故选C ．11．可求得(88)A ，，(24)B -，，(20)F ，，作AM ⊥x 轴于点M ，在Rt △AFM 中，3cot 4AFM ∠=， 3tan tan(90)cot 4AFB AFM AFM ∠=︒+∠=-∠=-，故选B ．12．令()e ()e 5x x g x f x =--，则()e [()()1]0x g x f x f x ''=+->，∴()g x 在R 上递增．又 ∵(0)(0)60g f =-=，所以不等式的解集为(0)+∞，，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．17C ()rr r T x +=-，∴x 的系数为−7，3x 的二项式系数为35，∴和为28．14．由已知得，222|2|4||||413a b a b a b -=+-=，∴2|||90b b --= ，∴||b = 15．由已知得113(1)n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴31n n a =-．16．令3()f x x x =+，则()f x 在R 上递增，∴22x x >+，∴21x x ><-或， 故不等式解集为(1)(2)-∞-+∞ ，，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据正弦定理，有sin sin a bA B=，=， ………………………………………………………（2分）∴cos A = ………………………………………………………（4分）∴sin A =． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）在△ABC 中，根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，∴283c +-=，280c -， ………………………………………………………（8分）∴c c ==． ……………………………………………………（10分）当c ∵c a =，且B =2A ，∴4A π=与sin A =………………………………………………………（11分）∴c =． ………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）25x =万元，6400y =元，………………………………………………（2分）直线ˆˆ1110ybx =+经过样本中心()x y ，， 解得ˆ211.6b=， …………………………………………………………………（4分）则回归直线方程为ˆ211.61110yx =+， ……………………………………………（5分）李先生购买20万元车时应缴纳保费211.62011105342⨯+=元． ………………（6分）且X 的分布列为X 0.85 1 1.25 1.5 1.75 2 P0.50.380.10.0150.0040.001…………………………………………………………（9分）2017年保费的期望倍率为E (X )=0.850.5+10.38+1.250.1+1.50.015+1.750.004+2⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 0.001=0.9615．………………………………………………………（10分）该车辆估计2017年1月应缴纳保费为5342⨯0.9615≈5136元． ………………（11分）因0.9615＜1，基于以上数据可知， 车险新政总体上减轻了车主的负担． ……………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图1，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，因为AD =1，CD AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =π3， ∴AD ∥BC ．(000)A ，，，10)B -，，10)C ，(010)D ，，， 102O ⎫⎪⎪⎝⎭，，，112P ⎫⎪⎪⎝⎭，，，…………………………………………（2分）10)AB =- ，，112CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， …………………………………（3分）cos ||||AB CP AB CP AB CP 〈〉===⨯，， …………………………………（5分）异面直线AB 与PC． ……………………………………（6分）（Ⅱ）设平面P AB 法向量为1n=(x 1，y 1，z 1)，可得111111020y z y ++=-=，， 令11x =，则1(1n = ， ………………………………………………（8分）又1100)2DP DC ⎫=-=⎪⎪⎝⎭，，，， 设平面PCD 法向量为2222()n x y z =，，，可得22221020x y z -+==，， 令21y =，则2n =1012⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ………………………………………………（10分）121212cos =||||n n n n n n 〈〉，．平面PAB 与平面PCD……………………（12分）20．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：如图2，∵c e a ==，∴c =， ………………………………………（1分） ∴2222221122b a c a a a =-=-=．……………………………………………（2分）又22211a b +=， ∴2242a b ==，，∴该椭圆的方程为22142x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：由已知，A为1)，B为(1)-． ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设CA ，DA 的斜率分别为12k k ，，点C 坐标为00()x y ，，显然12k k ≠；220220021112222CA CBx y k k x x ---====--- ， ………………………（6分）∴112CB k k =-，同理212DB k k =-， …………………………………………（7分）则直线AD的方程为21(y k x -=， 直线CB的方程为111(2y x k +=-+，由211(11(2y k x y x k ⎧-=⎪⎨+=-+⎪⎩，， 图2解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点N的坐标为1212N ⎝⎭． …………………（8分） 用2k 代1k ，用1k 代2k ，得到M点坐标为12212112124212121k k k k M k k k k ⎛⎫---+ ⎪ ⎪++⎝⎭，，………………………………………………………………………………（9分）所以12211212)4()MN k k k k k -===- ………………………………………………………………………………（10分）②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题目要求，至多只有一条直线斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，此时点C为1)-，设直线DA 斜率仍为2k ，由①知212DB k k =-， 直线CA方程为x = 直线DB方程为211(2y x k +=-+，联立得交点21M ⎫⎪⎪⎭． 直线BC 方程为1y =-，直线AD方程为21(y k x -=，联立得交点221N k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，所以222MN k k == 综上所述，直线MN 的斜率为定值． …………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为()k -+∞，，11()1x k f x x k x k+-'=-=++． …………………………………………（1分）由()0f x '=，得1x k =-．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x(1)k k --， 1k - (1)k -+∞，()f x ' ＜0 0 ＞0 ()f x↘极小值↗……………………………………………………（2分）当1x k =-时，()f x 取最小值(1)10f k k -=-=， ∴1k =．……………………………………………………（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()ln(1)f x x x =-+， 由题意，2()0f x ax -≤对于0x ≥恒成立． 当0a ≤时，取1x =，(1)1ln 20f a a -=-->， ∴0a ≤不符合题意．当0a >时，令22()()ln(1)g x f x ax x x ax =-=-+-， 12212()1211a ax x a g x ax x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=--=++， 令()0g x '=，得0x =或122ax a-=．…………………………………………（5分）①当12a ≥时，1202aa -≤，∴()0g x '<在(0)+∞，上恒成立， ∴()g x 在[0)+∞，上单调递减， ∴当[0)x ∈+∞，时，()(0)0g x g =≤， ∴2()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立．∴12a ≥符合题意．………………………………………………………………（6分）②当102a <<时，1202a a->， 当1202a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，∴()g x 在1202a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增．取01202a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，0()(0)0g x g >=，即200()f x ax >，不满足题意．…………（7分）综上，12a ≥，∴min 12a =．………………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当12a ≥时，2()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立，即2()2x f x ≤，∴2222221121212(21)(23)(21)2321i f i i i i i i ⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=<=- ⎪------⎝⎭≤， ……………（10分）∴222111111112123213352321nn i i f i i i n n ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1221(2*)2121n n n n n -=-=∈--N ≥，． ……………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AD ∵为圆O 的切线，∴ADB DCA ∠=∠． ………………………（2分）又A ∠为公共角，ABD ∴△∽ADC △，…………………………………………（4分）BD ADCD AC=∴． ………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AD 是圆O 的切线，AC 是过圆心的割线，2AD AB AC = ∴，∴AC =16，则BC =12．………………………………………………………………（6分）又BDC ∠∵是直角， 222144BD CD BC +==∴，再由（Ⅰ），81162BD AD CD AC ===，BD ∴CD ………………………………………………………（7分）连接BF ，CF ，BDF CDF ∠=∠∵，DBE DFC ∠=∠， DBE ∴△∽DFC △，BD DEDF CD=∴， ………………………………………………………………（9分）2885DE DF BD CD ===∴． ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆P 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=， ………………………………（1分）圆Q 的极坐标方程为22cos 3ρρθ+=． …………………………………………（2分）联立222cos 32cos 3ρρθρρθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，解得ρ=cos 0θ=， …………………………………………………………（3分）所以M ，N 的极坐标分别为π2⎫⎪⎭，，3π2⎫⎪⎭，．………………………………（5分）注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（Ⅱ）M ，N 的直角坐标分别为(0，(0，， ………………………………（7分）所以公共弦MN 的参数方程为0[x t y t =⎧∈⎨=⎩，，． …………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：222222222()()()2a b c d ac bd a d b c adbc ++-+=+-…………………（2分）2()0ad bc =-≥， ………………………………………………………………（4分）当且仅当0ad bc -=时，等号成立．………………………………（5分） （Ⅱ）解：函数的定义域为[35]，，且0y >，………………………………（6分）则24y =………………（8分）=………………………………………………………………（9分）当且仅当=时，等号成立，即175x =时函数取最大值 …………………………………………………（10分）。
2014-2015学年贵州省黔东南州凯里一中高三(上)2月段考数学试卷(文科)
2014-2015学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）2月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}2．若复数z满足=3﹣4i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．905．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+…+log2a11=（）A．46 B．35 C．55 D．507．执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n＞4 B．n＞8 C．n＞16 D．n＜16 8．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．49．设a=log52，b=e，c=log3π，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 10．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期，直线x=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．y=4sin（4x+）B．y=2sin（4x+）+2C．y=2sin（4x+）+2 D．y=2sin（2x+）+211．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知点P（x，y）满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．16．若函数f（x）=x﹣sinx对任意的θ∈（0，π），f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0恒成立，则m的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知某校在一次考试中，5名学生的历史和语文成绩如下表：学生的编号i 1 2 3 4 5历史成绩x 80 75 70 65 60语文成绩y 70 66 64 68 62（Ⅰ）若在本次考试中，规定历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分）的为优秀，计算这五名同学的优秀率；（Ⅱ）根据上表利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+，其中=0.28；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，试估计历史90分的同学的语文成绩．（四舍五入到整数）18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin（B+C）=asin（﹣B）．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC周长的最大值．19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图，把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．20．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．21．椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】2014秋•凯里市校级月考）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求+的值．【选修4-5：不等式选讲】2015•泉州模拟）设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．2014-2015学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）2月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，∴∁U A={3，4，5}，则（∁U A）∪B={2，3，4，5}．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数z满足=3﹣4i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求得复数z在复平面内对应的点的坐标得答案．解答：解：由=3﹣4i，得z=（3﹣4i）（1+2i）=3+6i﹣4i+8=11+2i．∴复数=3﹣4i在复平面内对应的点的坐标为（11，2），位于第一象限，故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数代数形式的表示法及其几何意义，是基础题．3．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．解答：解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．90考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知数据可得d的方程，解方程得d值，再由求和公式计算可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2，∴S9=9a1+d=﹣54故选：B点评：本题考查等差数列的求和公式，得出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：简易逻辑．分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解答：解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．6．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+…+log2a11=（）A．46 B．35 C．55 D．50考点：数列的求和；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得log2a1+log2a2+…+log2a11===55．解答：解：∵等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2 (11)===55．故答案为：55．点评：本题考查对数的前11项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．7．执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n＞4 B．n＞8 C．n＞16 D．n＜16考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 4第三圈是7 8第四圈是15 16，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．8．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．9．设a=log52，b=e，c=log3π，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性与性质以及指数函数的单调性与性质，推出a，b，c的范围，即可比较大小，得到答案．解答：解：∵0＜log52＜log5=，即a∈（0，）；1=e0＞e=＞=，即b∈（，1），log3π＞c=log33=1，即c＞1∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期，直线x=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．y=4sin（4x+）B．y=2sin（4x+）+2C．y=2sin（4x+）+2 D．y=2sin（2x+）+2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0联立方程组求解A，m的值，再由函数周期求得ω值，最后验证B，C得答案．解答：解：∵函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，则，解得．又函数y=Asin（ωx+φ）+m的最小正周期，∴，|ω|=4．结合选项可知函数解析式为y=2sin（4x+φ）+2．又直线x=是其图象的一条对称轴，经验证y=2sin（4x+）+2符合，即φ=．∴适合题目中条件的解析式是y=2sin（4x+）+2．故选：B．点评：本题考查了由函数的部分图象求函数的解析式，训练了验证法，是中档题．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意可得|MF|=|OF|，再利用双曲线的几何性质表示出a，b，c的关系式，进而求得a和c的关系，则双曲线离心率可得．解答：解：设右焦点为F，由条件可得，⇒由e＞1可得，故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了直线与圆锥曲线的位置关系．综合考查了学生基础知识的掌握和理解．12．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•﹣为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1﹣x）∴•﹣=•（﹣）==（x﹣1，1﹣x）•（﹣x，x﹣1）=﹣x（x﹣1）+（1﹣x）（x﹣1）=（x﹣1）（1﹣2x）=﹣2x2+3x﹣1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知点P（x，y）满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（2，﹣1）将A（2，﹣1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y=4+1=5．即z=2x﹣y的最大值为5．故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答：解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16．若函数f（x）=x﹣sinx对任意的θ∈（0，π），f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0恒成立，则m的最大值是3．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ）＞f（2﹣msinθ），再借助于函数的单调性可得1﹣2sin2θ≤2﹣msinθ，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x﹣sinx，在R上是奇函数，f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0，∴f（cos2θ）≤f（2﹣msinθ）∵f′（x）=1﹣cosx＞0，∴函数f（x）是增函数，∴cos2θ≤2﹣msinθ恒成立．∴1﹣2sin2θ≤2﹣msinθ恒成立．设t=sinθ∈（0，1]，等价于2t2﹣mt+1≥0在t∈（0，1]恒成立．只要g（t）=2t2﹣mt+1在（0，1]的最小值大于等于0即可，函数g（t）的对称轴x=≤0时，g（t）min＞g（0）=1，函数g（t）的对称轴0＜＜1时，g（t）min=g（）=1，函数g（t）的对称轴x=≥1时，g（t）min＞g（1）=2﹣m+1≥0，解得：m≤3，故答案为：3．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知某校在一次考试中，5名学生的历史和语文成绩如下表：学生的编号i 1 2 3 4 5历史成绩x 80 75 70 65 60语文成绩y 70 66 64 68 62（Ⅰ）若在本次考试中，规定历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分）的为优秀，计算这五名同学的优秀率；（Ⅱ）根据上表利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+，其中=0.28；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，试估计历史90分的同学的语文成绩．（四舍五入到整数）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（I）这五名学生中共有2名历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分），从而求优秀率；（II）由题意求出x，y的平均数，代入线性回归方程=x+，求出值，从而求出回归方程，（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，令x=90，可估计出历史90分的同学的语文成绩．解答：解：（Ⅰ）这5名学生中有2名历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分），所以这五名同学的优秀率为×100%=40%，（Ⅱ）=（60+65+70+75+80）=70，=（62+68+64+66+70）=66，∴这组数据的样本中心点是（70，66），∴66=0.28×70+，∴=46.4，所以线性回归方程是：=0.28x+46.4，（III）当x=90时，0.28×90+46.4=71.6≈72，所以历史90分的同学的语文成绩约是72分．点评：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin（B+C）=asin（﹣B）．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC周长的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用诱导公式，结合正弦定理，同角的商数关系，可得角B；（Ⅱ）由余弦定理，可得a，c的关系，结合基本不等式，即可得到周长的最大值．解答：解：（Ⅰ）由bsin（B+C）=asin（﹣B），得：bsinA=acosB，结合正弦定理有：sinBsinA=sinAcosB，因为在△ABC中，sinA≠0，所以sinB=cosB，即tanB=．又0＜B＜π，则B=．（Ⅱ）由余弦定理b2=c2+a2﹣2accosB，因为B=，b=2，所以12=a2+c2﹣ac，即（a+c）2﹣12=3ac．①因为ac≤（）2，②由①②得（a+c）2﹣12≤3•（）2，解得a+c≤4．所以当且仅当a=c=2时，△ABC周长的最大值为6．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角公式和诱导公式的运用，基本不等式的运用，属于中档题．19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图，把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，进而可求点M到平面ACD的距离．解答：（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD…（2分）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．∴CD⊥平面ABD…（4分）又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB…（6分）（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M （1，1，0）．∴，…（8分）设平面ACD的法向量为，则∴令x=1，得平面ACD的一个法向量为…（10分）∴点M到平面ACD的距离…（12分）点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．20．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0，+∞）上恒成立，构造函数g （x）=，b≤g（x）min即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，则，f（2）=1﹣ln2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ），令f′（x）＞0，得x＞1，列表：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘0 ↗∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；（Ⅲ）依题意对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立可得在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，令g′（x）=0，得x=e2列表：x （0，e2）e2（e2，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘↗∴函数y=g（x）的最小值为，根据题意，．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．21．椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形，算出a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1•k2；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，直线的斜率公式和直线l方程化简k1•k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1•k2≤1，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题：，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，∴k1•k2==；②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线代入椭圆方程，消去x，整理得（m2+2）y2+2my﹣3=0．∴y1+y2=，y1y2=．∵x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1•k2=•===+．令t=4m+1，则=≤，∴k1•k2=+≤1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立．综合①②，可得k1•k2的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即x﹣y﹣1=0．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用；平面的基本性质及推论；圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．解答：证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．【选修4-4：坐标系与参数方程】2014秋•凯里市校级月考）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求+的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）圆C的极坐标方程ρ=4cosθ﹣4sinθ，化为ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ．利用即可得出直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得t，可得根与系数的关系，可得+=，即可得解．解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cos（θ+）得，ρ=4cosθ﹣4sinθ，所以ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即圆C的直角坐标系方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=8 ①（Ⅱ）设A，B两点对应的参数为t1，t2，与①式联立得t，所以t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0，根据参数t的意义可知：+====．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】2015•泉州模拟）设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x﹣2|＞1可求其解集，从而可知x2﹣ax+b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；（Ⅱ）通过导数法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值时x的值．解答：解：（Ⅰ）∵|x﹣2|＞1，∴x＞3或x＜1．∴不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同，∴1和3是方程x2﹣ax+b=0的根，∴a=1+3=4，b=1×3=3．（Ⅱ）∵f（x）=4+3（3≤x≤5），∴f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=．由f′（x）＞0得，3≤x＜，由f′（x）＜0得，＜x≤5．∴f（x）在[3，）上单调递增，在（，5]上单调递减，∴当x=时，f（x）取得最大值，即f（x）max=f（）=4+3=5．点评：本题考查绝对值不等式的解法，利用导数法求函数的最值是难点，也是关键，考查分析、运算的能力，属于难题．。
贵州贵阳一中、凯里一中联考2016-2017学年高三上学期适应性数学试卷(文科) 含解析
2016-2017学年贵州省贵阳一中、凯里一中联考高三（上）适应性数学试卷（文科)(1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知P=｛y|y=cosθ，θ∈R}，Q=｛x｜x2+(1﹣）x﹣=0｝，则P∩Q=（）A．∅B．｛0｝C．｛﹣1} D．2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣13．角α的终边过点(﹣2,4）,则cosα=（)A．B．C．D．4．设点O在△ABC的内部，且有+2+3=,则△AOB的面积与△ABC的面积之比为( )A．B． C． D．5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知l为平面α内的一条直线,α，β表示两个不同的平面,则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为( )A．16 B．32 C．48 D．968．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切,则圆C的方程为( ）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+(y﹣1）2=19．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班,每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为( )A．B． C． D．10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上,则a为（)A．﹣3 B．C． D．311．以双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)中心O（坐标原点）为圆心,焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．212．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f(m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．［﹣2，2］B．∪ C．∪D．（﹣∞，﹣2］∪［2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置。
2017年贵州省黔东南州高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数是虚数单位，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，1}C．{1}D．{1，2}3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2（a2•a3•a5•a7•a8）=5，则a1•a9=（）A．4 B．5 C．2 D．254．已知三个数a=0.60.3，b=log0.63，c=lnπ，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．5 B．3 C．﹣1 D．6．已知向量，满足：||=2，||=4，＜，＞=，则|3﹣2|=（）A．52 B．C．100﹣48D．7．在集合M={x|0＜x≤5}中随机取一个元素，恰使函数大于1的概率为（）A．B．C．D．8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．39．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x=0和均相切，则该圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣2）2+（y+2）2=2C．（x﹣2）2+（y+2）2=4 D．（x﹣2）2+（y+2）2=410．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．20π11．已知抛物线y2=4x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．2﹣1 B． +1 C．8﹣8 D．2﹣212．设f′（x）、g′（x）分别是函数f（x）、g（x）（x∈R）的导数，且满足g（x）＞0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0．若△ABC中，∠C是钝角，则（）A．f（sinA）•g（sinB）＞f（sinB）•g（sinA）B．f（sinA）•g（sinB）＜f（sinB）•g（sinA）C．f（cosA）•g（sinB）＞f（sinB）•g（cosA）D．f（cosA）•g（sinB）＜f（sinB）•g（cosA）二、填空题（本大题共计4小题，每小题5分，共20分.）13．已知x，y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值为．14．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1=1，a n+2S n•S n+1=0，则该数列的前+12017项和S2017=．16．若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣log a x＜0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，=﹣3．（1）求△ABC的面积；（2）求AC边的最小值．18．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．19．如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点D（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，且N在D、M之间，设，求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=e x+b在（1，f（1））处的切线为y=ax．（1）求f（x）的解析式．（2）若对任意x∈R，有f（x）≥kx成立，求实数k的取值范围．（3）证明：对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立．请考生在第22、23二道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+t|的单调递增区间为[﹣1，+∞）．（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；（4）设a，b∈M，证明：|ab+1|＞|a+b|．2017年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数是虚数单位，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵，∴z在复平面内对应的点的坐标为（3，2），在第一象限．故选：A．2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，1}C．{1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}，∴A∩B={1，2}，故选：D．3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2（a2•a3•a5•a7•a8）=5，则a1•a9=（）A．4 B．5 C．2 D．25【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知推导出a2•a3•a5•a7•a8=a55=25=32，从而a1•a9=．【解答】解：∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，log2（a2•a3•a5•a7•a8）=5，∴a2•a3•a5•a7•a8==25=32，∴a5=2，a1•a9=．故选：A．4．已知三个数a=0.60.3，b=log0.63，c=lnπ，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：三个数a=0.60.3∈（0，1），b=log0.63＜0，c=lnπ＞1，∴c＞a＞b．故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．5 B．3 C．﹣1 D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过C（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最大．∴z=2×2+1=5．故选：A．6．已知向量，满足：||=2，||=4，＜，＞=，则|3﹣2|=（）A．52 B．C．100﹣48D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与模长根式，计算即可．【解答】解：向量，满足：||=2，||=4，＜，＞=，∴•=2×4×cos=4，∴=9﹣12•+4=9×4﹣12×4+4×16=52，∴|3﹣2|==2．故选：B．7．在集合M={x|0＜x≤5}中随机取一个元素，恰使函数大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】解不等式≥1，可得0＜x≤，以长度为测度，即可求在集合M={x|0＜x≤5}中随机取一个元素，恰使函数大于1的概率．【解答】解：解不等式≥1，可得0＜x≤，∴在集合M={x|0＜x≤5}中随机取一个元素，恰使函数大于1的概率为=．故选D．．8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得5＞n≥4，即可得解输入n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=160，k=4不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=484，k=5由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得：5＞n≥4，所以输入n的值为4．故选：C．9．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x=0和均相切，则该圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣2）2+（y+2）2=2C．（x﹣2）2+（y+2）2=4 D．（x﹣2）2+（y+2）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心坐标为（a，﹣2）（a＞0），则圆心到直线的距离d==2，求出a，即可求出圆的标准方程．【解答】解：设圆心坐标为（a，﹣2）（a＞0），则圆心到直线的距离d==2，∴a=2，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2=4，故选C．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．20π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，PC=2，由此可求球O的表面积．【解答】解：由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，PC=2，半径为，∴球O的表面积为4π•2=8π，故选B．11．已知抛物线y2=4x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．2﹣1 B． +1 C．8﹣8 D．2﹣2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c，根据AF⊥x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点（1，0）和双曲线的焦点相同，∴c=1，∵A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=2，∴A（1，2），∵点A在双曲线上，∴﹣=1，∵c=1，b2=c2﹣a2，∴a=﹣1，∴e==1+，故选：B．12．设f′（x）、g′（x）分别是函数f（x）、g（x）（x∈R）的导数，且满足g（x）＞0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0．若△ABC中，∠C是钝角，则（）A．f（sinA）•g（sinB）＞f（sinB）•g（sinA）B．f（sinA）•g（sinB）＜f（sinB）•g（sinA）C．f（cosA）•g（sinB）＞f（sinB）•g（cosA）D．f（cosA）•g（sinB）＜f（sinB）•g（cosA）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：∵=，当x＞0时，＞0，∴在（0，+∞）递增，∵∠C是钝角，∴cosA＞sinB＞0，∴＞，∴f（cosA）g（sinB）＞f（sinB）g（cosA），故选：C．二、填空题（本大题共计4小题，每小题5分，共20分.）13．已知x，y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值为．【考点】线性回归方程．【分析】计算、，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．【解答】解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=，即m的值为．故答案为：．14．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V棱锥==24（cm3）故答案为：24．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1=1，a n+1+2S n•S n+1=0，则该数列的前2017项和S2017=．【考点】数列的求和．【分析】将a n+1=S n+1﹣S n代入a n+1+2S n•S n+1=0化简后，由等差数列的定义判断出数列{}是等差数列，由条件求出公差和首项，由等差数列的通项公式求出，再求出S n和S2017．【解答】解：∵a n+2S n•S n+1=0，+1∴S n﹣S n+2S n•S n+1=0，+1两边同时除以S n•S n+1得，，又a1=1，∴数列{}是以2为公差、1为首项的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，则S n=，∴该数列的前2017项和S2017==，故答案为：．16．若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣log a x＜0恒成立，则实数a的取值范围是＜a＜1．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得，时，函数y=2﹣2x的图象在函数y=log a x的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜log a，解此对数不等式求得a的范围【解答】解：若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣log a x＜0恒成立，即对于任意的实数，都有log a x＞2﹣2x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=图象的上方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜log a，即＞，∴a＞，综上可得，＜a＜1，故答案为：＜a＜1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，=﹣3．（1）求△ABC的面积；（2）求AC边的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由（2a﹣c）cosB=bcosC，求出B，利用=﹣3，求出ac，即可求△ABC的面积；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求AC边的最小值．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可化为：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC⇔2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，即，∵0＜B＜π，∴B=，…又，得accos（π﹣B）=﹣3，∴，即ac=6，…∴△ABC的面积，…（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…解得：b2=a2+c2﹣6 …配方，得：b2=（a+c）2﹣18 …由均值不等式知：a+c≥2=2…∴b2=（a+c）2﹣18≥6∴AC=b≥，即AC边的最小值为为．…18．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图，能求出该校高三学生本次数学考试的平均分．（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，由此能求出抽取的6人中分数在[130，150]的人数．（3）抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1，A2，A3，A4，分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，由此利用列举法能求出分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为：0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．…（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）…（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1，A2，A3，A4分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，从中随机抽取2人总的情形有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）15种；而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）8种故分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率…19．如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接CB1交BC1于点O，连接EC，EB1，推导出EO⊥CB1，EO⊥BC1，从而EO⊥平面BCC1B1，由此能证明平面EBC1⊥平面BCC1B1．（2）取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，推导出C1H⊥平面BB1A1A，则∠C1BH 为直线BC1与平面BB1A1A所成的角，由此能求出直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．【解答】证明：（1）如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，连接EC，EB1，依题意有；EB=EC1=EC=EB1，…∴EO⊥CB1，EO⊥BC1，∵CB1∩BC1=O，∴EO⊥平面BCC1B1，∵OE⊆平面BC1E，∴平面EBC1⊥平面BCC1B1．…解：（2）如图2，取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，∵AA1⊥平面ABC，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A，平面A1B1C1∩平面BB1A1A=A1B1，又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1，∴C1H⊥平面BB1A1A，则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角．…令棱长为2a，则C1H=，BC1=，∴所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为．…20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点D（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，且N在D、M之间，设，求λ的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆定义得，由，得c=2，由此能求出椭圆方程．（2）当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，；当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足．∴，得，由得c=2，由c2=a2﹣b2得b=1，∴椭圆方程为．…（2）由题意可知：当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，；…当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，△=（20k）2﹣4×15（1+5k2）＞0，得k2＞，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…．由得（x2，y2﹣2）=λ（x1，y1﹣2）∴x2=λx1代入上式得再消去，得，∵，∴，∴，即，∴，解得，…又N在D，M之间，∴，…由上综合可得．…21．已知函数f（x）=e x+b在（1，f（1））处的切线为y=ax．（1）求f（x）的解析式．（2）若对任意x∈R，有f（x）≥kx成立，求实数k的取值范围．（3）证明：对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出切线方程，得到b的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的具体范围即可；（3）法一：构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2），根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证e x＞2+lnx，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f′（x）=e x得k=f′（1）=e=a，所以切线为y=ex，…由切点为（1，e+b）在切线y=ex上，b=0，所以f（x）=e x…（2）当k＜0时，对于x∈R，e x≥kx显然不恒成立…当k=0时，e x≥kx显然成立…当k＞0时，若要e x﹣kx≥0恒成立，必有（e x﹣kx）min≥0设t（x）=e x﹣kx，则t′（x）=e x﹣k易知t（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，则t（x）min=k（1﹣lnk）若e x﹣kx≥0恒成立，即t（x）min=k（1﹣lnk）≥0，得0＜k≤e综上得0≤k≤e…（3）证法1：由（1）知e x≥ex成立，构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t ≤2），所以（t≤2）有ex≥lnx+t成立（当时取等号）．由（1）知e x≥ex成立（当x=1时取等号），所以有e x＞t+lnx成立，即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…证法2，因为t≤2，所以要证e x＞t+lnx，只须证e x＞2+lnx令，令t（x）=xe x﹣1，t′（x）=e x+xe x＞0，所以t（x）在（0，+∞）递增，t（x）＞t（0）=﹣1，由于t（0）=﹣1＜0，t（1）=e﹣1＞0所以存在x0∈（0，1），有，则，x0=﹣lnx0即h′（x）＞0得得0＜x＜x0所以所以e x﹣2﹣lnx＞0成立，即e x＞t+lnx成立即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…请考生在第22、23二道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出点M的直角坐标为（0，3），从而直线方程为y=﹣x+3，由，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，从而得到圆上的点到直线L的距离最大值，由此能求出△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，∴x=3cos=0，y=3sin=3，∴点M的直角坐标为（0，3），∴直线方程为y=﹣x+3，…．由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，∴圆上的点到直线L的距离最大值为，而弦∴△PAB面积的最大值为．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+t|的单调递增区间为[﹣1，+∞）．（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；（4）设a，b∈M，证明：|ab+1|＞|a+b|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；（2）利用分析法证明即可．【解答】（1）解：由已知得t=1，…．所以|x+1|+1＜|2x+1|当x＜﹣1时，﹣（x+1）+1＜﹣（2x+1），得x＜﹣1当时，（x+1）+1＜﹣（2x+1）得x∈ϕ当时，（x+1）+1＜（2x+1）得x＞1综上得M={x|x＜﹣1或x＞1}…..（2）证明：要证|ab+1|＞|a+b|，只须证（ab）2+2ab+1＞a2+2ab+b2即证（ab）2﹣a2﹣b2+1＞0因为（ab）2﹣a2﹣b2+1=a2（b2﹣1）﹣b2+1=（b2﹣1）（a2﹣1）由于a，b∈{x|x＜﹣1，x＞1}，所以（b2﹣1）（a2﹣1）＞0成立即|ab+1|＞|a+b|成立．…..2017年3月15日。
贵州省凯里市第一中学、贵阳一中2017-2018学年高三上学期适应性月考(一)数学(文)试题 Word版含答案
文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知{cos ,}P y y R θθ==∈，2{(10}Q x x x =+，则P Q =（ ）A ．φB ．{0}C ．{1}-D ．{1- 2.曲线3ln y x x =-在点(1,3)处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．25y x =-+C ．21y x =+D ．21y x =- 3.角α的终边过点(2,4)-，则cos α=（ ）A ．． D 4.设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．13 B ．53 C ．12 D ．235.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n 为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.已知l 为平面α内的一条直线，,αβ表示两个不同的平面，则“αβ⊥”是“l β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知一空间几何体的三视图如图1所示，则其体积为（ ） A ．24 B ．16 C ．20 D ．128.已知圆C 的圆心为214y x =的焦点，且与直线4320x y ++=相切，则圆C 的方程为（ ） A ．2236(1)25x y -+=B ．2236(1)25x y +-= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y +-=9.某校新生分班，现有,,A B C 三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ．3410.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数31a iz i-=-在复平面上对应的点在y 轴上，则a 为（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．3 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+交于M 点（第一象限），12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，过M 点作x 轴垂线，垂足恰为2OF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A1 BC1 D ．212.函数()f x 是自变量不为零的偶函数，且2()log (0)f x x x =>，32,01()1,1x x g x x x⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数n 使得()()f m g n =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．1[2,]2--1[,2]2 C ．1[,0)2-1(0,]2D ．(,2]-∞-[2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且24710220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b =_____. 14.函数2()f x =的最小值为__________.15.设,,a b c 分别表示ABC ∆的内角,,A B C 的所对的边，(,)m a =，(sin ,cos )n B A =，若a =2b =，且m n ⊥，则ABC ∆的面积为__________.16.正方形ABCD 边长为a ，BC 的中点为E ，CD 的中点为F ，沿,,AE EF AF 将ABE ∆，EFC ∆，ADF ∆折起，使,,D B C 三点重合于点S ，则三棱锥S AEF -的外接球的体积为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设函数2()2sin()cos sin )2f x x x x x π=+-.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）将()f x 的图象向右平移12π个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()y g x =，求()4g π的值. 18.（本小题满分12分）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； （2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.19.（本小题满分12分）如图2，2AC =，4BC =，23ACB π∠=，直角梯形BCDE 中，//BC DE ，2BCD π∠=，2DE =，且直线AE 与CD 所成角为3π，AB CD ⊥. （1）求证：平面ABC ⊥平面BCDE ; （2）求三棱锥C ABE -的体积.20.（本小题满分12分） 函数2()ln f x x m x nx =--.（1）当1m =-时，函数()f x 在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围；（2）当0m >，0n =时，关于x 的方程()f x mx =有唯一解，求实数m 的取值范围. 21.（本小题满分12分）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，直线PQ 过F 交椭圆于,P Q 两点，且2maxmin4a PFQF ∙=. （1）求椭圆的长轴与短轴之比（2）如图3，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于,D E 两点，求DFMDOES S ∆∆的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4所示，A 为圆O 外一点，AO 与圆交于B ，C 两点，4AB =，AD 为圆O 的切线，D 为切点，8AD =，BDC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于,EF 两点.（1）求证：BD ADCD AC=； （2）求DE DF ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)4P x y -+=，圆22:(1)4Q x y ++=.（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P 和圆Q 的极坐标方程，并求出这两圆的交点,M N 的极坐标； （2）求这两圆的公共弦MN 的参数方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bc ++≥+，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y =的最大值.贵阳一中--凯里一中2017-2018学年高考适应性月考卷（一） 文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[11]P =-，，{1Q =-，{1}PQ =-，故选C ．2．13y x'=-，所以曲线过点(13)，处的切线斜率为312k =-=，切线方程为32(1)y x -=-，即21y x =+，故选C ．3．角α的终边过点(24)-，，r cosx r α===，故选B ． 4．取M N ，分别为AC BC ，中点，由已知得2()0OA OC OB OC +++=，即240OM O N +=，所以2OM ON =-，即O M N ，，三点共线，且O 在中位线MN 上，所以AOB S △12ABC S =△，故选C ．5．因为 12132n n n a a a a a a --+=+=+，所以13()94116210n a a +=+=，所以170n a a +=，所以1()7028022n n n a a n S +⨯===，所以8n =，故选D ． 6．由平面与平面垂直的判定定理知，如果l 为平面α内的一条直线且l β⊥，则αβ⊥，反过来则不一定，所以“αβ⊥”是“l β⊥”的必要不充分条件，故选B ．7．几何体为长方体去掉一角，所以5243206V =⨯⨯⨯=，故选C ．8．214y x =的焦点为(01)，，所以圆C 为222(1)1x y r r +-===，，所以22(1)1x y +-=，故选D ．9．甲乙两同学分班共有以下情况：()()()()()()()A A A B A C B A B B B C C A ，，，，，，，，，，，，，， ()()C B C C ，，，，其中符合条件的有三种，所以概率为3193=，故选A ． 10．3i (3i)(1i)3(3)i1i 22a a a a z --++--===-，由3030a a +=⎧⎨-≠⎩，，所以3a =-，故选A ． 11．12||2F F c =，三角形2M O F 为正三角形，2||MF c =，在直角三角形12F MF 中2221212||||||MF MF F F +=，1||MF =∴，12||||2MF MF c a -=-=∴，c e a ==1，故选C ．12．()[11]g x ∈-∵，，存在n 使得()()f m g n =，1(||)1f m -≤≤，即21log ||1m -≤≤，1||22m ≤≤，112222m ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴，，，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．{}n a 是等差数列，22410747107722240a a a a a a a a +=-+=-=∴，∴，7704a a ==∴或．{}n b ∵ 为等比数列，2775970416n b b a b b b ≠====∴，∴，∴． 14．())f x t =∈+∞∵．又1y t t =+∵在)+∞上为增函数，0t x y =∴当时最小，即min ()(0)f x f ===． 15．因为m n ⊥，sin cos 0sin sin cos 0a B A A B B A ==∴，∴．又sin 0B ≠∵，tan A ∴π0π3A A <<=∵，∴，2sin sin sin 3B B ==，∴a b >∵，A B >∴，cos B =∴πππsin sin()sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭∴所以△ABC的面积为1sin 2S ab C ==．16．补体为长方体2222223(2)4222a a r a r a ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2238r a =，r =，34π3V r ==∴3334466ππ33a a ⎫==⎪⎪⎝⎭．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2π()2sin cos sin )2f x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭22cos 2sin cos )x x x =- …………………………………………………（1分）1cos22x x =+…………………………………………………（2分） π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭………………………………………………………（4分）由ππ32π2π2π()262k x k k +++∈Z ≤≤，………………………………（5分） 得π2πππ63x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，． ……………………………………………………（6分）注：回答开区间亦可．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）用x y，分别表示小陈、小李到班的时间，则[1030]x∈，，[1030]y∈，，…………………………（2分）所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图1所示．………………………………………………（5分）注：画出图中正方形即可．（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y-≥，………………………………（7分）对应区域为BEF△，………………………………………………………………（9分）注：在图中画出阴影，或在过程中明确表述都可．所求概率1151592202032BEFABCDSPS⨯⨯===⨯△．……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为BC⊥CD，AB⊥CD，AB BC B=，所以CD⊥平面ABC，…………………………………………………………（3分）又CD⊂平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE．………………………（5分）（Ⅱ）解：如图2，过E 作EF ⊥BC ，连接AF ， 由（Ⅰ），易得EF ⊥平面ABC ， 且EF CD ∥， CF =DE =2， …………………………………………………………………………（7分）所以π3AEF ∠=． ……………………………………………………………（8分）在ACF △中，22222cos π3AF AC CF AC CF =+-=12，所以AF =． ………………………………………………………………（9分）在Rt AEF △中，易得EF =2，…………………………………………………（10分）所以111224sin π23323ABC C ABE E ABC V V S EF --===⨯⨯⨯⨯⨯△三棱锥三棱锥……（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1m =-时，2()ln f x x x nx =+-， 依题意有1()20f x x n x'=+-≥对(0)x ∈+∞，恒成立， ……………………………（2分）只需min 12n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤．………………………………………………………………（3分）因为12x x+≥x =时取等，………………………………（4分）所以n ≤ ………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）设2()()ln g x f x mx x m x mx =-=--， 依题意，()0g x =有唯一解．…………………………………………………………（6分）22()20m x mx mg x x m x x--'=--==，由00x m >>，，解得10x =<（舍），2x =．…………………………（7分）当2(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 在2(0)x ，上单调递减； 当2()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 在2()x +∞，上单调递增． 所以min 2()()g x g x =．………………………………………………………………（8分）因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，………………………………（9分）则有22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，，即2222222ln 020x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，两式相减并化简得222ln 10x x +-=．设()2ln 1h x x x =+-，易知()h x 在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 则()0h x =恰有一解，即21x =， …………………………………………（11分）代入2()0g x =得1m =． ………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设(0)F c ，，则max ||PF a c =+，min ||QF a c =-，………………………………………………（2分）则有2224a a c -=，又因为222b a c =-，所以224a b =， ………………………………（3分） 得长轴与短轴之比为2:22a b =．………………………………（4分）（Ⅱ）由:2a b =，可设椭圆方程为222214x y b b+=．依题意，直线PQ 存在且斜率不为0，设直线PQ 的方程为()y k x c =-，P 11()x y ，，Q 22()x y ，， ………………………（5分）联立2222()14y k x c x y bb =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222(41)8440k x k cx kc b +-+-=， 得2122841k cx x k +=+．………………………………………………………………（6分）所以121222(2)41kcy y k x x c k +=+-=-+， ………………………………（7分）21212224224141x x y y k ckc M k k ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴，，．………………………………（8分）MD PQ ⊥∵，设D 3(0)x ，，2232411441kck k k c x k +=--+∴，解得232341k cx k =+．…………………………………………………………（9分）DMF ∵△∽DOE △，222222222243414141111199341DFM DOEk c k c kc k k k S DM S OD k k c k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭===+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎪+⎝⎭△△∴． ………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AD ∵为圆O 的切线，∴ADB DCA ∠=∠．…………………………………………………………………（2分）又A ∠为公共角，ABD ∴△∽ADC △，………………………………………………………………（4分）BD ADCD AC=∴． …………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AD 是圆O 的切线，AC 是过圆心的割线，2AD AB AC =∴，∴AC =16，则BC =12．………………………………………………………………（6分）又BDC ∠∵是直角， 222144BD CD BC +==∴，再由（Ⅰ），81162BD AD CD AC ===，BD =∴CD ． ………………………………………………………（7分）连接BF ，CF ，BDF CDF ∠=∠∵，DBE DFC ∠=∠， DBE ∴△∽DFC △，BD DEDF CD=∴， ………………………………………………………………（9分） 12288555DE DF BD CD ==⨯=∴． ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）圆P 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=， ………………………………（1分）圆Q 的极坐标方程为22cos 3ρρθ+=．…………………………………………（2分）联立222cos 32cos 3ρρθρρθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，解得ρcos 0θ=， …………………………………………………………（3分）所以M ，N 的极坐标分别为π2⎫⎪⎭，，3π2⎫⎪⎭，．………………………………（5分）注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（Ⅱ）M ，N 的直角坐标分别为(0，(0，， ………………………………（7分）所以公共弦MN 的参数方程为0[x t y t =⎧∈⎨=⎩，，． …………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：222222222()()()2a b c d ac bd a d b c adbc ++-+=+-…………………（2分）2()0ad bc =-≥，………………………………………………………………（4分）当且仅当0ad bc -=时，等号成立．………………………………（5分） （Ⅱ）解：函数的定义域为[35]，，且0y >，………………………………（6分）则24y =………………（8分）=………………………………………………………………（9分）当且仅当=时，等号成立，即175x 时函数取最大值 …………………………………………………（10分）。
贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学(文)试题扫描版含答案
凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试 2018.3.26文科数学参考答案一、选择题：1、【解析】98(98)(12)25105212(12)(12)5i i i i i i i i ++--===-++-故选A 2、【解析】{|13},{|12},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，故选C3、【解析】1||()1a =-= ||||cos 162a b a b θ∴⋅==⨯=，故选C4、【解析】由3542y x =- 得34100x y --=， 所以1025d ====，故选B 5、【解析】5、【解析】如图所示，该三视图对应的直观图为四棱锥P ABCD -,由两条异面直线所成的角的定义知：AD BC 、与PC 所成的角相等，AB CD 、与PC 所成的角相等，均等于BCP ∠，且PDC PBC PAC ∆≅∆≅∆在Rt PBC ∆中，cosBC BCP PC ∠===. 故选D 6、【解析】由幂函数的性质可得01c a <<<，由0.521b =>，所以c a b <<.故选D 7、【解析】)6sin(2)]cos(21)sin(23[2)cos()sin(3)(πθθθθθ++=+++=+++=x x x x x x f ,由于f (x )为偶函数，则2)6sin(2)0(±=+=πθf ， ∴1)6sin(±=+πθ,∴26πππθ+=+k ，∴3k πθπ=+，∵]20[πθ，∈，∴ 3πθ=，故选B8、【解析】由题知线段AB 是椭圆的通径,线段AB 与y 轴的交点是椭圆的下焦点1F ,且椭圆的1c =,又60FAB ∠=，323260tan ||||11===c FF AF,1||2||AF AF ==,由椭圆定义知1||||2AF AF a +==，∴3=a ,3331===a c e ，故选C 9、【解析】该程序框图的功能是求满足下列条件的正整数n ：①被3除余数为2； ②被5除余数为3；③被7除余数为2.结合选项，符合题意的正整数为23 故选D10、【解析】1,1a b >>Q ，log 2,log 2a b m n ==，，0,0m n ∴>>， 22+1111log log log 2log 2a b m n a b mn m n =+=+=+()2log ab =2222log log 122a b ⎛⎫+⎛⎫≤== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b == 故选A 11、【解析】如图所示，设已知的正八面体为SABCDI ，易知SI ⊥平面ABCD 于球心O ，且点O 为 正方形ABCD 的中心，设球O 与正四棱锥S ABCD -的侧面SBC 相切于点F ，连接SF 并延长，交BC 于点E ，易知E 为BC 的中点，连接,OE OF ，则1,OE SE SO ===1122SOE S SE OF SO OE ∆=⨯⨯=⨯⨯，得3OF =，即正八面体的内切球的半径为3，所以内切球的表面积为284(33O S ππ=⨯⨯=球，故选A 12、【解析】令()0F x =得()f x ax =，函数()()F x f x ax =-有4个零点，即函数()y f x = 与函数y ax =图像有4个交点.当1x e <≤时，()ln f x x =，设y ax =是()ln f x x =的切线，切点为()00,x y ，()1'f x x =Q ，000001ln a x y x y ax ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=⎪⎪⎩,解之得1a e =.当2e x e <<时，()()2f x f e x =-，故函数()f x 图像关于直线x e =对称，由图知，当10a e<<时，符合题意.故选B二、填空题：13、【解析】如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形OAB 内部包括边界，当直线2t x y =+与直线20x y +=重合时，目标函数2z x y =+取得最大值0,；当直线2t x y =+经过可行域中的点(2,1)A --时，目标函数2z x y =+取到最小值min 22(1)4z =-+⨯-=-，所以z 的最大值与最小值之和为4-14、【解析】因为tan tan 3,tan tan 2B C B C +==-，所以tan tan tan()11tan tan B C B C B C ++==-⋅，得4B C π+=，所以34A π=，因此tan 1A =- 15、【解析】如图所示，连接2MF ,由双曲线的定义知12||||2MF MF a -=122||||||||2||2MQ MF MF MQ a F Q a ∴+=++≥+，当且仅当2Q M F 、、三点共线时取得最小值3，此时，由2(,0)F c 到直线1:b l y x xa a =-=-的距离2||F Q =23231c a a a c +=⇒+=⇒=.由定义知通径等于 222b a =.16、【解析】因为0x <时，()()0'xf x f x +<，而[()]()()''xf x xf x f x =+，故()()F x x f x =在(,0)-∞上为减函数，又()f x 在R 上为奇函数，故()()F x xf x =为偶函数，所以当0x >时，()()F x xf x =为增函数，由22log (log )(1)a f a f ⋅>，根据单调性和奇偶性可得2|log |1a >，解得2a >，或者102a <<所以取值范围是2a >或102a <<. 三、解答题：17、解： (Ⅰ)由题意可得11333(1)n n n a a a ++=+=+，即1(1)3(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；……………………………………………………………（5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)可知13n n a +=，即33log (1)log 3n n n b a n =+==. 故)121121(21)12()12(1)12(211122+--=+⋅-<+⋅=+n n n n n n b b n n ∴21)1211(21)121121(21)5131(21)311(21<+-=+--++-+-<n n n T n ,故12n T <…………（12分） 18、解（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =，即80名群众年龄的中位数55．……………………………（5分）（Ⅱ）由已知得，年龄在[20,30）中的群众有0.0051080=4⨯⨯人，年龄在[30,40）的群众有0.011080=8⨯⨯人， 按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30）的群众46248⨯=+人，记为1,2；随机抽取年龄在[30,40）的群众86=448⨯+人， 记为,,,a b c d .则基本事件有：()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c dG P E DC BA ()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ，()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d ()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 共20个，参加座谈的导游中有 3名群众年龄都在[30,40）的基本事件有：()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 共4个，设事件A 为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在[）”，则41()205p A ==.………………………………………………………………………………（12分）19、解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于G ,连接EG .在三角形ACP 中,中位线 //EG PC ,且EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED ,∴//PC 平面BED ……………………………（6分）（Ⅱ）在Rt PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==， 又4PD AD ==，DE AE DB BE ∴====又A BDE E ABD V V --=，1133ABD BDE S EO S h ∆∆∴⨯=⨯，11114423232h ∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =所以点A 到平面BED12分） 20、解（Ⅰ）由曲线22:1243x y Γ-=，可得2211344x y -=，……………………………………（3分）所以曲线22:11344x y Γ-=是焦点在x 轴上的双曲线，其中2213,44a b ==，故2221c a b =+=， Γ的焦点坐标分别为12(1,0)(1,0)F F -、，因为抛物线的焦点坐标为(,0),(0)2p F p >，由题意知12p =，所以2p =，即抛物线的方程为24y x =…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，显然0m ≠.故2(,)4m M m ，从而直线OP 的方程为y mx =-,联立直线与抛物线方程得24y x y mx ⎧=⎨=-⎩,解得244(,)N m m- ①当2244m m =，即2m =±时，直线MN 的方程为1x =， ②当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线MN 的方程为224()44m m y m x m -=--，整理得MN 的方程为24(1)4m y x m =--， 此时直线恒过定点(1,0)G ，(1,0)也在直线MN 的方程为1x =上，故直线MN 的方程恒过定点(1,0)G . ……………………………………………………………（12分）21、解：（Ⅰ）由2a =，得()()()ln 22,(0)h x f x g x x x x =-=-+>.所以'112()2x h x x x -=-= 令'()0h x <，解得12x >或0x <（舍去）， 所以函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间为 1(,)2+∞……………………………………（4分）（Ⅱ）由()()f x g x <得，(1)ln 0a x x -->当0a ≤时，因为1x >，所以(1)ln 0a x x -->显然不成立，因此0a >.令()(1)ln F x a x x =--，则'1()1()a x a F x a x x-=-=，令'()0F x =，得1x a =. 当1a ≥时，101a<≤，'()0F x >，∴()(1)0F x F >=，所以(1)ln a x x ->，即有()()f x g x <.因此1a ≥时，()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立.②当01a <<时，11a >，()F x 在1(1,)a 上为减函数，在1(,)a+∞上为增函数， ∴min ()(1)0F x F <=，不满足题意.综上，不等式()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是[1,)+∞.……………………（8分）（III ）证明：由131,3n n a a a +=+=知数列{}n a 是33,1a d ==的等差数列，所以3(3)n a a n d n =+-= 所以1()(1)22n n n a a n n S ++== 由（Ⅱ）得，ln (1)1x a x x x <-≤-<在(1,)+∞上恒成立.所以ln 22,ln33,ln 44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<. 将以上各式左右两边分别相加，得 ln 2ln 3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+.因为ln101=< 所以(1)ln1ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+== 所以ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<.…………………………………………………………（12分）22、解：（Ⅰ）由222,sin x y y ρρθ=+=及2240x y y +-=，得24s i n ρρθ=，即4s i n ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=………………………………………（5分） （II ）将l 的参数方程2cos 4sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2240x y y +-=，得24(sin cos)40t t +++=…（6分）2121216(sin cos )1616sin 204(sin cos )4t t t t ααααα⎧=+-=>⎪∴+=-+⎨⎪=⎩所以sin 20α>，又0απ≤<， 所以(0,)2πα∈，且120,0t t <<………………………………………（7分）所以1212||||||||||4(sin cos ))4MA MB t t t t πααα+=+=+=+=+ 由(0,)2πα∈，得3(,)444πππα+∈，所以sin()124πα<+≤. 故||||MA MB +的取值范围是…………………………………………（10分）23、证明（I ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥,三式相加可得222a b c ab bc ca ++≥++2222()222()2()a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ∴++=+++++≥+++++3()9ab bc ca =++=又a b c 、、均为正整数，∴3a b c ++≥成立．…………………………（5分） （II ）：a b R *∈、，1a b +=，2221a ab b ∴++=， 222222221122(1)(1)(1)(1)a ab b a ab b a b a b ++++∴--=--22222222()()=5+59b b a a a b a a b b b a =+++≥+= 当且仅当22a b b a =，即12a b ==时，“＝”成立. …………………………（10分）。
【数学】贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学(文)试题含解析
凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试文科数学试卷第I卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，则（）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】，故选A.2. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选C.3. 已知向量与的夹角为，且，，则（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】，故选C.4. 点到直线的距离是（）A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】由得，，故选B.5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，该三视图对应的直观图为四棱锥，由图可知最长棱为，，都是最短棱，由两条异面直线所成的角的定义知：与所成的角相等，与所成的角相等，均等于，且，在中，，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7. 若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，由于为偶函数，则，，，故选B.8. 已知抛物线的焦点是椭（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知线段是椭圆的通径，线段与轴的交点是椭圆的下焦点，且椭圆的，又，，由椭圆定义知，故选C.9. 中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为（），例如.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图的程序框图，则输出的（）A. 16B. 18C. 23D. 28【答案】D...............10. 设、，已知，，且（，），则的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】，，当且仅当时取等号，故选A.11. 图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，设已知的正八面体为，可知平面于球心，且点为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点，连接并延长，交于点，可知为的中点，连接，则，由，得，即正八面体内切球的半径为，所以内切球的表面积为，故选A.12. 已知函数，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令得，函数有个零点，即函数与函数图象有个交点，当时，，设是的切线，切点为，，解之得，当时，，故函数图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，由图知，当时，函数与函数图象有个交点，函数有个零点，，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷二、填空题：（本题共4小题每题5分，共20分）13. 已知、满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为__________．【答案】【解析】如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形内部包括边界，当直线与直线重合时，目标函数取得最大值，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最小值的最大值与最小值之和为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知、、是的三个内角，且，，则__________．【答案】【解析】，，得，因此，故答案为.15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.【答案】【解析】如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，故答案为.16. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】时，，而，故在上为减函数，又在上为奇函数，故为偶函数，当时，为增函数，由，根据单调性和奇偶性可得，解得，或者取值范围是或，故答案为或.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列满足，且.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）数列满足，判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,根据裂项相消法结合放缩法可得.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，即，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,∴，故.18. 2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到如图所示的频率分布直方图.问：（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设名群众年龄的中位数为，则，解得，从而可得这名群众年龄的中位数；（Ⅱ）按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众人，年龄在的群众人，利用列举法可得人抽取三人的事件数为，其中选派的3名群众年龄都在的基本事件有个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则，解得，即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在中的群众有人，年龄在的群众有人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众人，记为1，2；随机抽取年龄在的群众人，记为.则基本事件有：，共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在的基本事件有：共4个，设事件为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在”，则.【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，,.（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）若，，求三棱锥的高.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线,且平面,平面,∴平面.（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，∴,又∵，∴，∴，解得.所以点到平面的距离为：.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 已知抛物线的焦点曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故，的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得①当，即时，直线的方程为，②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点，也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.21. 已知函数，（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：.【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.试题解析：（Ⅰ）由，得.所以令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，当时，因为，所以显然不成立，因此.令，则，令，得.当时，，，∴，所以，即有.因此时，在上恒成立.②当时，，在上为减函数，在上为增函数，∴，不满足题意.综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.（III）证明：由知数列是的等差数列，所以所以由（Ⅱ）得，在上恒成立.所以. 将以上各式左右两边分别相加，得.因为所以所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知直线， (为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.试题解析：（Ⅰ）由及，得，即所以曲线的极坐标方程为（II）将的参数方程代入，得∴, 所以，又，所以，且,所以,由，得，所以.故的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23. 已知、、均为正实数.（Ⅰ）若，求证：（Ⅱ）若，求证：.【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴，∴.试题解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得∴,.又均为正整数，∴成立．（Ⅱ）：，，∴，∴,当且仅当，即时，“=”成立.。
2017-2018学年贵州省凯里市第一中学高二下学期期末考试文科综合试题
2017-2018学年练习卷2016—2017学年度高二年级第二学期期末考试文综参考答案一、本卷共35个小题，每小题4分，共140分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
二、本卷包括必考题和选考题两部分。
共160分。
第36题—41题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第42题—46题为选考题，考生根据要求作答。
36.（24分）（1）纬度低（赤道地区），气候湿热；高差大（落差大），垂直地带性明显；该岛远离大陆，生存（进化）环独特；板块内部，地质条件相对稳定（地壳运动少）；（任答一点2分，共8分）（2）地势低平，排水不畅；赤道低压区，降水丰富；河流汇集（河网密布），来水量大；植被茂盛，涵养水源能力强；（任答一点2分，共6分）（3）（卡普阿斯河）流经地区地势低平，河流落差小，水能资源不足；河流流程较短，热带丛林区人口稀少，可开发利用资源少；（任答一点2分，共4分）（4）赞同（2分）；理由：卡普拉斯河热带资源丰富，有开发条件；当地降水丰富，易产生洪涝灾害，开发可有效减少灾害；河流开发可促进当地经济发展；促进就业；（任答一点2分，共4分）不赞同（2分）；理由：人口稀少，经济落后，资金技术落后；热带从林区，气候湿热，开发难度大；会带来生态环境问题（开发可能破坏植被；生物多样性减少）；（任答一点2分）（只表明观点不说明理由不给分）37.（22分）（1）地势较高（四川盆地地势低），光照充足（四川盆地云雨雾天多）；夏季风迎风坡，降水量较足；坡地地形，排水条件好；土质疏松（四川盆地为紫色土壤）（（任答一点2分，共6分）（2）加大科技投入，培育良性品种；加大宣传力度，提高产品知名度；提高对自然灾害的监测预报和防治，减少因灾害带来的损失；延长产业链；（任答一点2分，共8分）（3）地形陡峭，山高坡陡；地质条件复杂，山体破碎；夏季降水集中，多暴雨；人为破坏植被；（任答一点2分，共8分）38.（1）结合材料，运用辩证唯物主义和历史唯物主义的相关知识，阐述材料中五项基本原则体现的哲学道理。
贵州省黔东南州2017-2018学年高三数学模拟试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}2．复平面内与复数对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．4．设曲线y=ax2﹣lnx﹣a在点（1，0）处的切线方程为y=2（x﹣1），则a=（）A．0 B．C．1 D．5．若实数x，y满足，则z=的最大值是（）A． B．C． D．36．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．8．在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l 的斜率为（）A．±B．± C．±1 D．±10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3，y1）时，△AEF为正三角形，则此时△AEF的面积为（）A．B．C．2D．411．在平行四边形ABCD中，•=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D ﹣AC﹣B，三棱锥D﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π12．若函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣，）C．（0，]D．（﹣，0）二.填空题（每小题5分，共20分）13．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=．14．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣）=．15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则ω=．16．若对于任意的实数b∈[2，4]，都有2b（b+a）＞4恒成立，则实数a的取值范围是．三.解答题（共5小题，共70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．20．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点（，）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若OP⊥OQ，证明：点O到直线PQ的距离为定值．21．已知函数f（x）=x﹣1+（∈R，e为∈自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．四.选做题（请考试在第22、23、24三道题任选一题作答）[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．2016年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．2．复平面内与复数对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：==﹣2+i，复数对应的点（﹣2，1）所在的象限为第二象限．故选：B．3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故几何体的体积V==，故选：A．4．设曲线y=ax2﹣lnx﹣a在点（1，0）处的切线方程为y=2（x﹣1），则a=（）A．0 B．C．1 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程可得a的方程，即可得到a．【解答】解：y=ax2﹣lnx﹣a的导数为y′=2ax﹣，可得在点（1，0）处的切线斜率为k=2a﹣1，由切线方程为y=2（x﹣1），可得：2a﹣1=2，解得a=．故选：D．5．若实数x，y满足，则z=的最大值是（）A． B．C． D．3【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域而z=的表示可行域内点到原点距离OP，点P在蓝色区域里运动时，点P跑到点B时OP最大，由，可得B（3，8）当在点B（3，8）时，z最大，最大值为=，故选：C．6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B7．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a ＞b，则∠B=（）A．B．C． D．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A8．在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间[﹣5，5]的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．故选：A．9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l 的斜率为（）A．±B．± C．±1 D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），求出圆x2+y2=5的圆心，半径r=，再求出圆心到直线l：y=k（x+2）的距离d，利用过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，由勾股定理得，由此能求出k的值．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），圆x2+y2=5的圆心O（0，0），半径r=，圆心O（0，0）到直线l：y=k（x+2）的距离d=，∵过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，∴由勾股定理得，即5=+3，解得k=±1．故选：C．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3，y1）时，△AEF为正三角形，则此时△AEF的面积为（）A．B．C．2D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和正三角形的性质计算p，得出三角形的边长，即可计算三角形的面积．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵△AEF为正三角形，∴3+=2（3﹣），解得p=2．∴AE=4，∴S△AEF==4．故选：D．11．在平行四边形ABCD中，•=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D ﹣AC﹣B，三棱锥D﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知中•=0，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为BD，进而根据AC=，BC=1，求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径，可得三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•=0，∴AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，∴平面DAC⊥平面ACB，三棱锥D﹣ACB的外接球的直径为DB，∵AC=，BC=1，∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．12．若函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣，）C．（0，]D．（﹣，0）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数零点的定义，由f（x）=xlnx﹣a=0得xlnx=a，设函数g（x）=xlnx，利用导数研究函数的极值即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=xlnx﹣a=0得xlnx=a，设g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，由g′（x）=lnx+1＞0得x＞，此时函数单调递增，由g′（x）=lnx+1＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，即当x=时，函数g（x）取得极小值g（）=ln=﹣，当x→0时，g（x）→0，∴要使函数f（x）=xlnx﹣a有两个零点，即方程xlnx=a有两个不同的根，即函数g（x）和y=a有两个不同的交点，则﹣＜a＜0，故选：D二.填空题（每小题5分，共20分）13．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵|+|==，|﹣|==，平方相减可得：=4，解得=1．故答案为：1．14．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣）=﹣．【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，∴f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则ω=．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和距离公式可得函数的半周期，由周期公式可得．【解答】解：由题意可设AB之间的水平距离为d，则由题意可得d2+[2﹣（﹣2）]2=52，解得d=3，故函数的周期T==2×3，解得ω=，故答案为：．16．若对于任意的实数b∈[2，4]，都有2b（b+a）＞4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式恒成立进行转化即可求出a的取值范围．【解答】解：对于任意的实数b∈[2，4]，都有2b（b+a）＞4恒成立，则等价为b+a，即a＞﹣b=﹣b+22﹣b，设f（b）=﹣b+22﹣b，则函数f（b）在b∈[2，4]上单调递减，∴当b=2时，函数f（b）取得最大值f（2）=﹣2+1=﹣1，则a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）三.解答题（共5小题，共70分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（I）由点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上，可得=n，利用递推式即可得出．（II）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b1b2b3=8，利用等比数列的通项公式可得q，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵点（n，），n∈N*均在函数y=x的图象上，∴=n，化为．=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，也成立，∴a n=2n﹣1．（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=1，b1b2b3=8，∴1×q×q2=8，解得q=2，∴．∴a n+b n=（2n﹣1）+2n﹣1，∴数列{a n+b n}的前n项和T n=[1+3+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）==n2+2n﹣1．18．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；频率分布直方图．【分析】（1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论；（2）由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率【解答】解（1）设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”，则．（2）设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．其中使得事件B成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个则．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．【解答】（Ⅰ）证明：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…（Ⅱ）解：设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO=BC=AB=．连结AB1，则=•CO=AB2•CO=．…因===，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积=2．…．20．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点（，）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若OP⊥OQ，证明：点O到直线PQ的距离为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程：+=1（a＞b＞0），由题意可得：，解得即可得出．（II）当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由OP⊥OQ，可得=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，把根与系数的关系代入可得：5m2=4+4k2．利用点O到直线PQ的距离d=，即可证明．当直线PQ斜率不存在时，验证即可得出．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程：+=1（a＞b＞0），由题意可得：，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（II）证明：当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，x1+x2=，x1x2=，∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，∴﹣+m2=0，化为：5m2=4+4k2．∴点O到直线PQ的距离d===为定值．当直线PQ斜率不存在时也满足上述结论．∴点O到直线PQ的距离d=为定值．21．已知函数f（x）=x﹣1+（∈R，e为∈自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）无极值；当a＞0时，由f′（x）=0，得e x=a，x=lna，求得单调区间，可得f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值；（2）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=x﹣1+，可得导数f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，则f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，得e x=a，即x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，即有f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值；（2）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．四.选做题（请考试在第22、23、24三道题任选一题作答）[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，|PA|==2d∈．∴|PA|的最大值与最小值分别为，．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）由g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥﹣2的解集．（Ⅱ）由f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，知f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，则．由当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，知，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，∴|x+2|≤5，∴﹣5≤x+2≤5，解得﹣7≤x≤3，∴不等式g（x）≥﹣2的解集为{x|﹣7≤x≤3}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，∴f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，则h（x）=，∴．∵当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，∴，解得，所以，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]．2016年7月23日。
贵州凯里市第一中学、贵阳一中2017届高三数学上学期适应性月考试题(一)理(扫描版)
贵州省凯里市第一中学、贵阳一中2017届高三数学上学期适应性月考试题（一）理（扫描版）贵阳一中--凯里一中2017届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．由于{|11}A x x =-<<，{|0}B x x =<，∴{|10}AB x x =-<<，故选D ． 2．∵i 1i 1i 2z +==+，∴1i 2z -=，∴12z z =，故选B ． 3．∵1d =，由已知可以求得112a =，∴9172a =，故选A ． 4．由已知，可得双曲线的顶点为(20)±，，焦点为(30)±，，∴双曲线C 的方程为22145x y -=，故选D ．524π13πS R ==表，故选C ． 6．由程序框图知，当67S =，7k =时输出，故判断框内的条件应填8k <，故选B ．7．2()5P A =，1()10P AB =，∴()1(|)()4P AB P B A P A ==，故选C ．8．平方得2sin 23α=-，25(cos sin )3αα-=，又ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos sin αα-=，∴22cos2cos sin ααα⎛=-== ⎝⎭，故选A ． 9．①4个“5”（或4个“3”）共2个；②3个“5”（或3个“3”）共34C 28⨯=个；③2个“5”（或2个“3”）共24C 6=个．综上，一共有16个，故选B ．10．画出可行域，34OA OM x y =+在点(4，1)处取得最小值16，故选C ．11．可求得(88)A ，，(24)B -，，(20)F ，，作AM ⊥x 轴于点M ，在Rt △AFM 中，3cot 4AFM ∠=，∴3tan tan(90)cot 4AFB AFM AFM ∠=︒+∠=-∠=-，故选B ． 12．令()e ()e 5x x g x f x =--，则()e [()()1]0x g x f x f x ''=+->，∴()g x 在R 上递增．又∵(0)(0)60g f =-=，所以不等式的解集为(0)+∞，，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） (2)+∞，【解析】13．17C ()r r r T x +=-，∴x 的系数为−7，3x 的二项式系数为35，∴和为28． 14．由已知得，222|2|4||||413a b a b a b -=+-=，∴2||23||90b b --=，∴||33b =．15．由已知得113(1)n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴31n n a =-．16．令3()f x x x =+，则()f x 在R 上递增，∴22x x >+，∴21x x ><-或，故不等式解集为(1)(2)-∞-+∞，，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据正弦定理，有sin sin a b A B =，2sin cos A A=， ………………………………………………………（2分）∴cos A ………………………………………………………（4分）∴sin A ==． ………………………………………………………（6分） （Ⅱ）在△ABC 中，根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，∴2683c +-=，280c -=，………………………………………………………（8分）∴c c =． ……………………………………………………（10分）当c =时，∵c a =，且B =2A ，∴4A π=与sin A = ………………………………………………………（11分）∴c ………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）25x =万元，6400y =元， ………………………………………………（2分）直线ˆˆ1110ybx =+经过样本中心()x y ，， 解得ˆ211.6b =， …………………………………………………………………（4分）则回归直线方程为ˆ211.61110yx =+， ……………………………………………（5分） 李先生购买20万元车时应缴纳保费211.62011105342⨯+=元． ………………（6分） （Ⅱ）设该车辆2017年的保费倍率为X ，则X 为随机变量，X 可能的取值为0.85，1，1.25，1.5，1.75，2． ……………（7分） 且X 的分布列为X0.85 1 1.25 1.5 1.75 2 P0.5 0.38 0.1 0.015 0.004 0.001…………………………………………………………（9分）2017年保费的期望倍率为E (X )=0.850.5+10.38+1.250.1+1.50.015+1.750.004+2⨯⨯⨯⨯⨯⨯0.001=0.9615． ………………………………………………………（10分）该车辆估计2017年1月应缴纳保费为5342⨯0.9615≈5136元． ………………（11分） 因0.9615＜1，基于以上数据可知，车险新政总体上减轻了车主的负担． ……………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图1，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，因为AD =1，CD AC =2，所以AD ⊥CD ，∠DAC =π3，∴AD ∥BC ．(000)A ，，，10)B -，，10)C ，(010)D ，，，102O ⎫⎪⎪⎝⎭，，，112P ⎫⎪⎪⎝⎭，，，…………………………………………（2分） (310)AB =-，，，112CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， …………………………………（3分）cos ||||2AB CP AB CP AB CP 〈〉===⨯⨯，， …………………………………（5分） 异面直线AB 与PC ． ……………………………………（6分）（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1n =(x 1，y 1，z 1)，可得111111020y z y ++=-=，， 令11x =，则1(13n =，，， ………………………………………………（8分） 又311(300)2DP DC ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，，，，，，设平面PCD 法向量为2222()n x y z =，，，可得22221020y z -+==，，令21y =，则2n =1012⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ………………………………………………（10分） 121212105cos ==||||35nn n n n n 〈〉， 平面PAB 与平面PCD……………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：如图2，∵c e a =，∴c =， ………………………………………（1分） ∴2222221122b ac a a a =-=-=． ……………………………………………（2分） 又22211a b+=， ∴2242a b ==，， ∴该椭圆的方程为22142x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：由已知，A为1)，B为(1)-． ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设CA ，DA 的斜率分别为12k k ，，点C 坐标为00()x y ，，显然12k k ≠；20200022002111222222CA CB x y k k x x x x ---====----+， ………………………（6分）∴112CB kk =-，同理212DB k k =-， …………………………………………（7分）则直线AD的方程为21(y k x -=-，直线CB 的方程为111(2y x k +=-+，由211(11(2y k x y x k ⎧-=⎪⎨+=-+⎪⎩，， 解得12112122124212121kk x k k k k y k k ⎧-=⎪+⎪⎨--+⎪=⎪+⎩， ∴点N 的坐标为1212N⎝⎭． …………………（8分） 用2k 代1k ，用1k 代2k ，得到M 点坐标为1212M⎝⎭， ………………………………………………………………………………（9分）所以211212MN k -=． ………………………………………………………………………………（10分）②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题目要求，至多只有一条直线斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，此时点C为1)-，设直线DA 斜率仍为2k ，由①知212DB k k =-， 直线CA方程为x ，直线DB方程为211(2y x k +=-+，联立得交点21M ⎫--⎪⎪⎭． 直线BC 方程为1y =-，直线AD方程为21(y k x -=，联立得交点221N k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，所以222MN k k == 综上所述，直线MN 的斜率为定值．…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为()k -+∞，， 11()1x k f x x k x k +-'=-=++． …………………………………………（1分）由()0f x '=，得1x k =-．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x (1)k k --， 1k -(1)k -+∞， ()f x ' ＜0 0＞0 ()f x ↘ 极小值 ↗……………………………………………………（2分）当1x k =-时，()f x 取最小值(1)10f k k -=-=，∴1k =． ……………………………………………………（3分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()ln(1)f x x x =-+，由题意，2()0f x ax -≤对于0x ≥恒成立．当0a ≤时，取1x =，(1)1ln 20f a a -=-->，∴0a ≤不符合题意．当0a >时，令22()()ln(1)g x f x ax x x ax =-=-+-，12212()1211a ax x a g x ax x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=--=++， 令()0g x '=，得0x =或122a x a-=． …………………………………………（5分） ①当12a ≥时，1202a a-≤， ∴()0g x '<在(0)+∞，上恒成立，∴()g x 在[0)+∞，上单调递减，∴当[0)x ∈+∞，时，()(0)0g x g =≤，∴2()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立． ∴12a ≥符合题意． ………………………………………………………………（6分） ②当102a <<时，1202a a->， 当1202a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>， ∴()g x 在1202a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增． 取01202a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，0()(0)0g x g >=，即200()f x ax >，不满足题意． …………（7分） 综上，12a ≥，∴min 12a =． ………………………………………………………（8分） （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当12a ≥时，2()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立，即2()2x f x ≤， ∴2222221121212(21)(23)(21)2321i f i i i i i i ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎝⎭=<=- ⎪------⎝⎭≤， ……………（10分） ∴222111111112123213352321n n i i f i i i n n ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1221(2*)2121n n n n n -=-=∈--N ≥，． ……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：AD ∵为圆O 的切线，∴ADB DCA ∠=∠． ………………………（2分） 又A ∠为公共角，ABD ∴△∽ADC △， …………………………………………（4分）BD AD CD AC =∴． ………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：∵AD 是圆O 的切线，AC 是过圆心的割线，2AD AB AC =∴，∴AC =16，则BC =12． ………………………………………………………………（6分） 又BDC ∠∵是直角，222144BD CD BC +==∴，再由（Ⅰ），81162BD AD CD AC ===，BD ∴CD ………………………………………………………（7分） 连接BF ，CF ，BDF CDF ∠=∠∵，DBE DFC ∠=∠，DBE ∴△∽DFC △，BD DE DF CD =∴， ………………………………………………………………（9分） 12288555DE DF BD CD ==⨯∴． ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆P 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=， ………………………………（1分） 圆Q 的极坐标方程为22cos 3ρρθ+=． …………………………………………（2分）联立222cos 32cos 3ρρθρρθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，解得ρ=cos 0θ=，…………………………………………………………（3分） 所以M ，N 的极坐标分别为π2⎫⎪⎭，，3π2⎫⎪⎭，． ………………………………（5分） 注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（Ⅱ）M ，N 的直角坐标分别为(0，(0，， ………………………………（7分）所以公共弦MN 的参数方程为0[x t y t =⎧∈⎨=⎩，，． …………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：222222222()()()2a b c d ac bd a d b c adbc ++-+=+- …………………（2分）2()0ad bc =-≥， ………………………………………………………………（4分）当且仅当0ad bc -=时，等号成立． ………………………………（5分）（Ⅱ）解：函数的定义域为[35]，，且0y >， ………………………………（6分）则24y =………………（8分）………………………………………………………………（9分）当且仅当=时，等号成立，即175x =时函数取最大值 …………………………………………………（10分）。
贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期第四套模拟考试数学(文)试题(精编含解析)
凯里一中2018届《黄金卷》第四套模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出集合，直接求即可.详解：故选B点睛：本题考查交集的运算，属基础题.2. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）A. -2B.C.D. 2【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，利用实部和虚部互为相反数得答案．详解：∵复数由题复数的实部和虚部互为相反数， ．．故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3. 下图是2017年1-11月汽油、柴油介个走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（ ）A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌【答案】D【解析】分析：根据折线图，依次逐步判断即可.详解：由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌，故选：D点睛：本题考查折线图的识别，解题关键理解折线图的含义，属于基础题.4. 下列四个命题中，正确的是（）A. “若，则”的逆命题为证明题B. “”是“”的充要条件C. “”的否定是“”D. 若为假命题，则均为假命题【答案】C【解析】分析：原命题的逆命题的真假判断，充要条件的判断，命题的否定，复合命题的真假判断.利用复合命题的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；函数的奇偶性的性质判断④的正误；详解：“若，则tanx=1”的逆命题为：“若tanx=1，则”显然是假命题，故A错误；当时，成立，但不成立，故B错误；命题：“∀x ∈R ，sinx≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sinx 0＞1”；满足命题的否定形式，C 正确；若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个假命题，一假即假，故D 错误；故选：C点睛：本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，四种命题的逆否关系，充要条件等，属于基础题．5. 已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】分析：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cosCsinC=sinC ，结合sinC≠0，可求cosC=，结合范围C ∈（0，π），可求C=.详解：△ABC 中，（a 2+b 2﹣c 2）•（acosB+bcosA ）=abc ，由余弦定理可得：2abcosC （acosB+bcosA ）=abc ，∴2cosC （sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，∴2cosCsin （A+B ）=sinC ，2cosCsinC=sinC ，∵sinC≠0，∴cosC=，又∵C ∈（0，π），∴C=点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．6. 若，且，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：对条件两边平方可得，，利用三姊妹关系即可得到结果.详解：由题：，于是由于，.故选：A7. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于11，则输入的正整数的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出S=1+0+1+2+…+（n-1）=的值，结合题意，即可得到结果．详解：该程序框图的功能是：当输入，输出，要使，至少是.故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正方体中的四棱锥，由此求出几何体的外接球的表面积．详解：根据三视图，可得该几何体的直观图如下：利用补形法，外接球半径，进而几何体外接球的表面积为.点睛：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．9. 将函数的图象向左平移的单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解： 将函数的图像向左平移的单位后，得到由题所得图像对应的函数为偶函数，则又，所以的最小值是.故选C ．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，由图像对应的函数为偶函数得到是解决本题的关键．10. 如图，将半径为1的圆周分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分），现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题空白部分的面积为，则阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为考点：几何概型11. 已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意布列关于a ，b 的方程组，从而得到曲线的方程.详解：曲线化为标准形式：圆心坐标为,∴，又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，∴，∵双曲线的顶点到渐近线的距离为，∴，即，又∴∴曲线的方程为故选：D点睛：本题主要考查双曲线方程的求法，直线与圆相切，点到直线的距离，属于中档题.12. 定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，则称为区间上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意可得，所以方程在区间有两个不相等的解.详解：由题意可知，，在区间上存在，，满足，所以方程在区间有两个不相等的解，（1）则，解得，则实数的取值范围是，故选：B．点睛：于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 正方形中，，其中，则__________．【答案】【解析】分析：利用平面向量基本定理构建的方程组，解之即可.详解：由得，，根据平面向量基本定理得，于是.故答案为：点睛：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．14. 若满足约束条件，则的最小值__________．【答案】4【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可．详解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到点D（0，3）的距离的平方，则由图象知D到直线BC：=的距离最小，此时最小值d=，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（）2=，故答案为：．点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15. 设函数的图像过点，且在点处的切线方程为，则__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得：，∵，∴，而，∴.考点：导数的运用.16. 已知抛物线的方程为，为坐标原点，为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为__________．【答案】2【解析】设，，∵，∴．又，，∴，即．又、与同号，∴．∴，即．根据抛物线对称性可知点，关于轴对称，由为等边三角形，不妨设直线的方程为，由，解得，∴。
最新-贵州省凯里一中2018届高三数学10月月考试题 理【会员独享】 精品
2018届高三年级凯里一中第二次月考理 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 考试结束后，本试卷由考生本人妥善保存，将答题卡交回.第I 卷注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2,1,0=M ，{}4,2,0=N ,则=N M)(A {}0,12， )(B {}0,1,24， )(C {}2,0 )(D {}2,1 2、函数)0(log 2>=x x y 的反函数为)(A 2(0)x y x => )(B 2()x y x R =∈ )(C 1()(0)2x y x => )(D 1()()2xy x R =∈3、“||b a >”是“22b a >”的 )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要条件4、设54ln =a ，31log 21=b ，8.03.0=c ，则)(A c b a << )(B a b c << )(C b c a << )(D a c b << 5、从5名男同学，4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有)(A 140 )(B 100 )(C 80 )(D 706、函数)1(log 21-=x y 的定义域为)(A (]2,1 )(B (]2,∞- )(C ),1(+∞ )(D [)+∞,2 7、设)2,2(ππ-∈x ，则方程x x tan sin =的根的个数为)(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 38、将函数x y 2sin =的图象按向量→m 平移后得到函数x y 2cos =的图象，则向量=→m)(A )0,4(π)(B )0,2(π )(C )0,4(π- )(D )0,2(π-9、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点),(1+n n a a 在直线2-=x y 上， 且0113=+a a ，则下列关系式成立的)(A 014>S )(B 76S S < )(C 76S S > )(D 76S S =10、过曲线322+-=x x y 上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21，则切线的倾斜角的取值范围是)(A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π )(B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 )(C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 )(D [)π,011、设函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且y=(-2)f x 为偶函数，当02≤≤-x 时，1)21()(-=xx f ，则=)9(f)(A 1 )(B 21 )(C 1- )(D 21-12、已知球O 的半径为1，点P 为一动点，且5||=PO ，PA ，PB 为球的两条切线，A ,B 为切点，当||→→+PB PA 取最小值时，则=∙→→PB PA)(A512 )(B 512-)(C 4)(D 558 第II 卷注意事项：1．请用直径5.0毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答. （注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 2．第II 卷共10小题，共90分. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在答题卡中横线上。
黔东南州2018届高三第二次模拟考试 文科数学(附答案)
黔东南州2018届高三第二次模拟考试2018.3.9 文科数学第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}10|≤≤=x x M ，{}1|||≥=x x N ，则M N =A 、{}10|≤≤x xB 、{}10x x x ≤-≥或C 、{}101|≤≤-≤x x x 或D 、{}12．若复数11iz i-=+，则z = A 、1B 、1-C 、i D 、i -3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则A 、乙甲乙甲，σσ<<x xB 、乙甲乙甲，σσ><x xC 、乙甲乙甲，σσ<>x xD 、乙甲乙甲，σσ>>x x4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为A 、25B 、45C 、50D 、905．已知2133311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则c b a ,,的大小关系为 A 、c b a >>B 、b c a >>C 、b a c >>D 、a b c >>6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为A 、1B 、34CD 、147．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为A 、5B 、6C 、7D 、228．若函数的定义域为，其导函数为'()f x ．若'()30f x -<恒成立，0)2(=-f ，则()36f x x -<解集为A 、(,2)-∞-B 、)2,2(-C 、)2,(-∞D 、),2(+∞-9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为A 、1B 、23 C 、12-D 、0 10．已知直线134+-=x y 的倾斜角为α，则)sin()45cos(2cos απαπα++的值为A 、22B 、42C 、 82D 、42711．设函数222)()2cos()(e x e x x x f +++-=ππ的最大值为M ,最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为A 、1B 、2C 、20182D 、2018312． 已知点F 是曲线21:4C y x =的焦点，点P 为曲线C 上的动点，A 为曲线C 的准线与其对称轴的交点，则PFPA 的取值范围是A 、02（，B、[2）C、2 D、[2+∞）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知实数y x ,满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =-的最小值是．14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C 三个层次），得A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A ．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：)(x f R甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ； 乙说：我肯定得A ；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是． 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为．16．在平面上，12OB OB ⊥ ，且12OB = ，21OB = ，12OP OB OB =+．若12MB MB = ，则PM的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：21<n T ．18．（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为 1 202 20403 40x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.19、（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若=12AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积. 20．（本小题满分12分）已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :1222=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为21-； （Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+．（Ⅰ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （Ⅱ）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ． （Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9文科数学 参考答案一、选择题二、填空题13．8- 14．甲 15．．[)10+∞三、解答题 17、（12分）解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴1*444(n n n a n N -=⨯=∈） 即数列}{n a 的通项公式为：*4()n n a n N =∈． ………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42nn n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n111(1)2212n =-<+ 故得证. ………………………………………12分18、（12分）解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=； 由于30%29%>, 所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分（III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯=人，记为,,,a b c d ；从乙公司抽取56215⨯=人，记为1,2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c ()()(),1,,2,1,2d d 共15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：(),1a ,(),2a ,(),1b ,(),2b ,(),1c ,(),2c ,(),1d ,(),2d ,()1,2共9个．设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93155p A == ∴ 所求概率为35． …………………………………………………12分19、（12分）（I ）证明：取PD 中点G ，连接,GF GC . 在△PAD 中，有,G F 分别为PD 、AP 中点∴1//2GF AD 在矩形ABCD 中，E 为BC 中点∴1//2CE AD ∴//GF EC∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴//GC EF而GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD∴//EF 平面PCD ………………………………………………6分（II ）解： 四边形ABCD 是矩形∴AD AB ⊥，//AD BC平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD =AB ，AD ⊂平面PAB ∴AD ⊥平面PAB∴ 平面PAD ⊥平面PAB ，//BC 平面PAD=12AD AP PB AB ===∴AB 222AP PB AB += ∴AP PB ⊥ ∴BP ⊥平面PAD //BC 平面PAD∴ 点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离.而 111112224PDF S PF AD =⨯⨯=⨯⨯= ∴1111133412P DEF PDF V S BP -==⨯⨯=∴ 三棱锥P DEF -的体积为112. …………………………………12分20、（12分）解：（I ）设点),(y x P ，)0(≠x ，则1222=+y x ，即2212x y =- ∴11PA PBy y k k x x -+⋅= 221y x -=22112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=12=-故得证． ………………………………5分（II ）假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交． ①当直线l 的斜率0≠k 时，设直线l 为：)2(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(1222x k y y x ，化简得：0288)21(2222=-+++k x k x k由0)28)(21(4)8(2222>-+-=∆k k k，解得022k k -<<≠（）设点),(11y x M ，),(22y x N ，则212221228128212k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴222212121442184)(k kk k k kk x x k y y +=++-=++=+ 取MN 的中点H ，则1212,22x x y y H ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12122121-=⋅+-+k x x y y 即 22221121412kk k k k -+=--+ ，化简得01222=++k k ，无实数解，故舍去． ②当0=k 时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足||||BN BM =，此时直线l 的方程为0y =．综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为0y =． ……………12分21、（12分）解：（I ）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则x x x h ln 11ln )(=-+='．令0)(>'x h ，得1x >，令()0h x '<，得01x <<．故函数()y h x =的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1． …………………………………5分（II ）由已知有()ln x aM x x+=，对于(1)x ∈+∞，，有2)(l n 1ln )(x x a x x M --='． 令()ln 1((1,))a q x x x x =--∈+∞，则221()a x a q x x x x+'=+=． 令0)(>'x q ，有a x ->．而10a -<<，所以01a <-<，故当1x >时，0)(>'x q ．∴ 函数()q x 在区间(1)+∞，上单调递增． 注意到(1)10q a =--<，()0aq e e=->． 故存在∈0x ()1,e ，使得0'()=0M x ，且当0(1,)x x ∈时，'()0M x <，当0(,)x x e ∈时，'()0M x >，即函数()M x 在区间0(1,)x 上单调递减，在区间0()x +∞，上单调递增．∴ 0x 为函数)(x M 的极小值点．故存在01x ∈+∞（，），使得0x 为函数)(x M 的极小值点．…………………12分 22、（10分）解：（I）由已知有''2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=． 将sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得82:=-y x l∴ 曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为82:=-y x l . ………5分（II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：5|8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=πθθθd 故当sin()13πθ-=，即5=6πθ时d 取最大值5512． 此时点P 的坐标为)1,23(-． ……………………………………10分 23、（10分） 解：（I ）当3k =-时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤<+-=1 46131 231 46)(x x x x x x f ，，，， 故不等式4)(≥x f 可化为：1644x x >⎧⎨-≥⎩或11324x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或13644x x ⎧<⎪⎨⎪-+≥⎩ 解得：403x x ≤≥或 ∴ 所求解集为：403x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.……………………………………5分 （II ）当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，由1k >-有：310,30x x k -<+≥ ∴ k x f +=1)(不等式)()(x g x f ≤可变形为：41+≤+x k故3k x ≤+对1,33k x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，即33k k ≤-+，解得94k ≤ 而1k >-，故914k -<≤.∴ k 的取值范围是：91,4⎛⎤- ⎥⎝⎦………………………………………………10分。
2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，满分60分．其中每小题只有一个正确选项）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩（∁R B）＝（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2]2．（5分）已知，i是虚数单位，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．（5分）已知{a n}是公差为2的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，若a5＝7，则S10＝（）A．50B．60C．70D．804．（5分）设x∈R，向量，且，则＝（）A．5B．25C．D．105．（5分）若a＝log30.6，b＝30.6，c＝0.63，则（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．（5分）某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．3C．2D．47．（5分）某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：＝﹣2x+，则由此估计：当气温为2℃时，用电量约为（）A．56度B．62度C．64度D．68度8．（5分）设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则+的最小值为（）A．B．4C．D．59．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称10．（5分）设圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0上的动点P到直线x+y﹣3＝0的距离为d，则d的取值范围是（）A．[0，3]B．[2，4]C．[2，5]D．[3，5]11．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）＝﹣f（x），若当x∈[0，1]时，f（x）＝sin x，则函数g（x）＝f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2019]上零点的个数为（）A．2018B．2019C．4036D．4037二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线C：f（x）＝e x+2在x＝0处的切线方程为．14．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．15．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若2a2+a3＝a4，且S3＝14．则a n＝．16．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|F A|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则此抛物线的方程为．三、解答题（本题共6个小题，满分60分）（一）必考题（共60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a sin B＝b cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，且b2+c2＝17，求△ABC的面积．18．（12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，由以上数据完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”．为了做好调查工作，决定用分层抽样的方法从“移动支付达人”中抽取6人进行问卷调查，再从这6人中选派2人参加活动．求参加活动的2人性别相同的概率？附公式及表如下：K2＝19．（12分）如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，点Q为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面AQC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求点B到平面AQC1的距离．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为4+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为（，0），则•是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．选做题（10分）．请考生在第22，23题中任选一题作答．若多做，则按所做的第一题计分．[]选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|tx﹣3|+|x﹣1|（t为常数）．（Ⅰ）当t＝2时，求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）当t＝1时，若函数f（x）的最小值为M，正数a，b满足+＝M，证明a+b≥9．2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，满分60分．其中每小题只有一个正确选项）1．【解答】解：B＝{x|x＞2}；∴∁R B＝{x|x≤2}；∴A∩（∁R B）＝（﹣2，2]．故选：D．2．【解答】解：∵已知＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴|z|＝，故选：B．3．【解答】解：∵{a n}是公差为2的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，a5＝7，∴a5＝a1+4×2＝7，解得a1＝﹣1，∴S10＝10×（﹣1）+＝80．故选：D．4．【解答】解：∵，∴＝x﹣2＝0，即x＝2，∴＝（2，1），2＝（3，4），∴|2|＝＝5．故选：A．5．【解答】解：∵30.6＞30＝1，log30.6＜log31＝0，0＜0.63＜0.60＝1，∴b＞1，a＜0，0＜c＜1，∴b＞c＞a．故选：C．6．【解答】解：由题意可知几何体是以俯视图为底面的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，底面是直角梯形，如图：几何体的体积为：＝2．故选：C．7．【解答】解：根据题意，计算＝×（17+14+10﹣1）＝10，＝×（24+34+38+64）＝40，代入线性回归方程＝﹣2x+中，求出＝40+2×10＝60，∴线性回归方程为＝﹣2x+60；当x＝2时，＝﹣2×2+60＝56，由此估计当气温为2℃时，用电量约为56度．故选：A．8．【解答】解：根据题意，若2是4a和2b的等比中项，则有4a×2b＝22，即22a+b＝22，则有2a+b＝2，+＝（+）（2a+b）＝[5++]≥（5+2）＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立；故选：C．9．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx），∵最小正周期为π，∴可得ω＝2，那么f（x）＝2sin（2x），令2x＝kπ，那么：x＝，当k＝1时，可得x＝，函数f（x）的图象关于点（，0）对称．故选：D．10．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0转换为标准式（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则：圆心（2，﹣2）到直线x+y﹣3＝0的距离，d＝＞1，所以：直线和圆相离．所以圆上的动点P到直线的距离的最大值为d max＝3+1＝4，圆上的动点P到直线的距离的最小值为d min＝3﹣1＝2．故：2≤d≤4，即d的取值范围是：[2，4]故选：B．11．【解答】解：双曲线线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a＝0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2＝0，即，c2＝5a2，e＝故选：D．12．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2019]上零点的个数⇔f（x）＝sin x函数的图象与y＝e﹣|x|的图象交点个数．由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝sin x，作出y＝f（x）与y＝e﹣|x|图象，如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）＝f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2019]上零点的个数为2018×2+1＝4037．故选：D．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：f（x）＝e x+2的导数为f′（x）＝e x，可得曲线C：f（x）＝e x+2在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，3），则曲线C：f（x）＝e x+2在x＝0处的切线方程为y＝x+3，即x﹣y+3＝0．故答案为：x﹣y+3＝0．14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，，解得A（﹣1，﹣2）此时z最小，此时z＝﹣1×2﹣2＝﹣4，故答案为：﹣4．15．【解答】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，2a2+a3＝a4，且S3＝14．∴，解得a1＝2，q＝2，∴a n＝2n．故答案为：2n．16．【解答】解：∵∠ABD＝90°，∴AD为圆F的直径，即F为AD的中点，且AB∥x轴，∴，∵E（﹣，0），F（，0），∴EF＝p，AB＝2p，∴x A＝，代入y2＝2px可得y A＝p，即BE＝p，又S△BEF＝S△BDF＝S△ABF＝，∴＝，即＝，∴p＝3．∴抛物线的方程为y2＝6x．故答案为：y2＝6x．三、解答题（本题共6个小题，满分60分）（一）必考题（共60分）17．【解答】（本题共10分）解：（I）∵a sin B＝b cos A，∴由题意得：．∵sin B≠0，∴，即，又∵0＜A＜π，∴．…………………………（5分）（Ⅱ）∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴13＝17﹣bc，即bc＝4，∴．…………………………10分18．【解答】解：（I）由表格数据，填写列联表如下；将列联表中的数据代入公式计算得：，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关；……（6分）（II）抽取的男生人数为，设为A，B；抽取的女生人数为，设为a，b，c，d则有基本事件（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15个；其中参加活动的2人性别相同有（A，B），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共7个，设事件M为“从6人中选派2人参加活动，参加活动的2人性别相同”则P（M）＝．………………（12分）19．【解答】解：（I）证明：由题意知，AB＝AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC；由B1B⊥平面ABC，得B1B⊥AQ；∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B＝B，∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1；……（6分）（II）设点B到平面AQC1的距离为d，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABQ，∴CC1为三棱锥C1﹣ABQ的高；由（I）知，AQ⊥平面B1BCC1，则AQ⊥QC1，∴；∴，；又，∴，即，解得．……（12分）20．【解答】解：（I）由题意得：，，a2＝b2+c2，联立解得：，，∴椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，化为（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，△＝16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣4）＝24k2+16＞0，∴，，，．∴＝＝＝．所以为定值，定值为．21．【解答】解：（I）f′（x）＝+a，（x＞0）．a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＜0时，令f′（x）＝＝0，可得：函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由（I）可知：a≥0时不满足题意，舍去．a＜0时，函数f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）max＝＝ln﹣1+1≤0，∴1，解得a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．选做题（10分）．请考生在第22，23题中任选一题作答．若多做，则按所做的第一题计分．[]选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由，可得ρ＝4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2＝4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2＝8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2＝8得t2+2t﹣4＝0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2＝﹣2，t1t2＝﹣4，由t的意义可得＝+＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝2，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2，①当时，2x﹣3+x﹣1≥2，∴x≥2，②当时，3﹣2x+x﹣1≥2，∴2﹣x≥2，∴x＜0；③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，∴3x≤2，∴．综上，解集为或x≥2}．…………………（5分）（Ⅱ）证明：当t＝1，f（x）＝|x﹣3|+|x﹣1|≥|（x﹣3）﹣（x﹣1）|＝2，所以，即…………………（10分）所以＝．。
贵州省黔东南州高三数学上学期第一次联考试题 文-人教版高三全册数学试题
黔东南州2017-2018学年高三第一次联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,2,4,2,1,0,1A B =-=--，则AB =（ ）A ． {}1,0,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}2,0- 2.若()10z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ． 1122i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i - 3.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（ ）A ．0.125B ． 0.25C ．0.375D ． 0.5 4. 若向量()()3,2,8,6a b =-=，则a b =（ ） A ．-36 B ．36 C. 12 D ．-125.已知等差数列的前3项依次为,2,3a a a +，前n 项和为n S ，且110k S =，则k 的值为（ ） A ． 9 B ． 11 C. 10 D ．126. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），且该三棱锥的外接球的表面积为250cm π，则该三棱锥的体积为（ ）A ． 5B ． 10 C. 15 D ．307. 已知直线:l y x a =+将圆224x y +=所分成的两段圆弧的长度之比为1：2，则实数a =（ ）A ．2B ． 2- C. 2± D ．22± 8. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ． 2B ． -1 C. 1 D ．09.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1126n n S a -=+，则a 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C.13- D ．12-10. 在ABC ∆中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如下图），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．92π B ．72π C. 52π D ．32π 11.函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ） A ． B ．C. D ．12. 已知函数()ln a f x x x =-，若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为32，则a 的值为（ ） A ． e ． 2e - C. 32- D ．12e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 已知函数()()2log ,82,8xx x f x f x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()1f =． 14.已知实数,x y 满足0290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值是． 15. 定长为4的线段MN 两端点在抛物线2y x =上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为．16.若函数()2xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值X 围为．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且11sin sin sin 22A B C ==． （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆的周长为5，求ABC ∆的面积．18.经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：min ）作为样本分成5组如下表： 组别 侯车时间 人数 一 [)0,52 二 [)5,10 6 三 [)10,15 2 四 [)15,20 2 五[)20,603（1）估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数；（2）若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，1,//,2AB BC AD BC AB BC AD ⊥==，PAD ∆是正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AD PC ⊥；（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点3⎛ ⎝⎭，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线,AP BP 与直线3y =分别交于,G H 两点．（1）求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；（2）T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求TPA ∆的面积的最大值．21. 设函数()()()ln 10,0f x a x b x x ab =+->≠． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b a =-，求函数()f x 的最值．22. 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知点P的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩（1,2t t ≤≤为参数），点Q 在曲线:2sin C ρθ=上．（1）求在平面直角坐标系xOy 中点P 的轨迹方程和曲线C 的普通方程； （2）求PQ 的最大值．试卷答案一、选择题1-5: CBCDC 6-10:BCCCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14. 0 15. 7416.(),2ln 22-∞- 三、解答题17.解：（1）由11sin sin sin 22A B C ==及正弦定理，得1122a b c ==， 又由余弦定理，得()()222222227cos22228a a abc a A bc a a +-+-===，故sin 8A ==．（2）若ABC ∆的周长为5，又1122a b c ==，所以1,2a b c ===． 故ABC ∆的面积为111515sin 222284S bc A ==⨯⨯⨯=． 18.解：（1）侯车时间不少于20分钟的概率为31155=， 所以估计侯车时间不少于20分钟的人数为14085⨯=．（2）将侯车时间在X 围[)10,20的4名乘客编号为1234,,,a a a a ；侯车时间在X 围[]20,60的3名乘车编号为123,,b b b ．从7人中任选两人包含以下21个基本事件：()()()()()()()()()()()()121314111213232421222334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ，，()()()()()()()()()313233414243121323,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，其中抽到的两人侯车时间都不少于20分钟包含以下3个基本事件：()()()121323,,,,,b b b b b b ，故所求概率为31217P ==． 19.（1）取AD 的中点为M ，连接,PM CM ， 由于PAD ∆是正三角形，所以PM AD ⊥， 又易知四边形ABCM 是平行四边形，所以//,AB CM AB AD ⊥，所以MC AD ⊥，PC ⊂平面,PCM PM ⊂平面PCM ，又MCPM M =，故AD ⊥平面PCM ，又PC ⊂平面PCM ，故AD PC ⊥. （2）解：CE 平行于平面PAB ，理由如下：取PA 的中点为F ，连接,EF BF ． 可知1//,2EF AD EF AD =， 又1//,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCEF 为平行四边形，故//CE BF . 又BF ⊂平面,PAB CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .20.解：（1）由4AP BP +=，得24a =，所以2a =，又椭圆过点1,2⎛ ⎝⎭，所以213144b+=，解得1b =， 故椭圆C 的方程为2214x y +=， 设点()00,P x y ，则由GPHAPB ∆∆，得3GH y AB y -=，03y y -=，则031GH y ⎫=-⎪⎭， 由001y <≤，得031y ⎫-≥⎪⎭， 所以线段GH的长度取得最小值（2）由（1）可知，当GH 的长度取得最小值时，01y =，将点()00,x y 代入2214x y +=，得00x =，故此时点()0,1P ， 则直线AP的方程为1y x =+，此时2AP =，当平行于AP 的直线l 与椭圆下方相切时，TPA ∆的面积取最大值，设直线:3l y x m =+，则由22314y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，则()()224712120m ∆=-⨯-=，所以3m =-，或3m =（舍去）． 由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP 的距离d ==. 故()max 11222TPA S AP d ∆==⨯=， 即TPA ∆. 21.解：（1）()()0a f x b x x '=+>，令()0af x b x'=+>，得()0x bx a +>， ①若0,0b a >>，则()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； ②若0,0b a ><，则由()0f x '>，得a x b >-；由()0f x '<，得0ax b<<-， 所以函数()f x 在,a b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③若0,0b a <>，则由()0f x '>，得0a x b <<-；由()0f x '<，得a x b>-， 所以函数()f x 在0,a b ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在,a b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④若0,0b a <<，则()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递减. （2）若2b a =-，①当0a >时，0b <，由（1）得，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，故0a >时，函数()f x 有最大值111ln 2ln 2222f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，无最小值； ②当0a <时，0b >，由（1）得，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故0a <时，函数()f x 有最小值1ln 22f a a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，无最大值. 22.解：（1）由31x ty t =⎧⎪⎨=-⎪⎩消去参数t ，得31y x =-，又312t ≤≤，∴312x ≤≤， 故点P 的轨迹方程是331012x y x ⎛⎫--=≤≤⎪ ⎪⎝⎭， ∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，故曲线C 的普通方程为()2211x y +-=.（2）如图：由题意可得，点P 33101x y x ⎫--=≤≤⎪⎪⎝⎭上，点Q 在圆()2211x y +-=上， ∵圆()2211x y +-=的圆心()0,1C 310x y --=的距离()11112d ⨯--==，310x y --=与圆()2211x y +-=相切，且切点为31,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，331012x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭上存在一点()31P ，则点()31P 与圆心C 的连线PC ，与圆的交点Q 满足PQ 取最大值.即当点P坐标为()1时，PQ取最大值.∵maxPC==∴PQ的最大值为max 1PC r+=.。
精品解析：贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学(文)试题(解析版)
凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试文科数学试卷第I卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】，故选A.2.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选C.3.已知向量与的夹角为，且，，则（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】，故选C.4.点到直线的距离是（）A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】由得，，故选B.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，该三视图对应的直观图为四棱锥，由图可知最长棱为，，都是最短棱，由两条异面直线所成的角的定义知：与所成的角相等，与所成的角相等，均等于，且，在中，，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，由于为偶函数，则，，，故选B.8.已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知线段是椭圆的通径，线段与轴的交点是椭圆的下焦点，且椭圆的，又，，由椭圆定义知，故选C.9.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为（），例如.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图的程序框图，则输出的（）A. 16B. 18C. 23D. 28【答案】D【解析】该程序框图的功能是求满足下列条件的正整数：①被除余数为；②被除余数为；③被除余数为，结合四个选项，符合题意的正整数只有，故选D.10.设、，已知，，且（，），则的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】，，当且仅当时取等号，故选A.11.图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，设已知的正八面体为，可知平面于球心，且点为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点，连接并延长，交于点，可知为的中点，连接，则，由，得，即正八面体内切球的半径为，所以内切球的表面积为，故选A.12.已知函数，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令得，函数有个零点，即函数与函数图象有个交点，当时，，设是的切线，切点为，，解之得，当时，，故函数图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，由图知，当时，函数与函数图象有个交点，函数有个零点，，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷二、填空题：（本题共4小题每题5分，共20分）13.已知、满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为__________．【答案】【解析】如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形内部包括边界，当直线与直线重合时，目标函数取得最大值，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最小值的最大值与最小值之和为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知、、是的三个内角，且，，则__________．【答案】【解析】，，得，因此，故答案为.15.过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.【答案】【解析】如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，故答案为.16.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】时，，而，故在上为减函数，又在上为奇函数，故为偶函数，当时，为增函数，由，根据单调性和奇偶性可得，解得，或者取值范围是或，故答案为或.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列满足，且.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）数列满足，判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,根据裂项相消法结合放缩法可得.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，即，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,∴，故.18.2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到如图所示的频率分布直方图.问：（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设名群众年龄的中位数为，则，解得，从而可得这名群众年龄的中位数；（Ⅱ）按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众人，年龄在的群众人，利用列举法可得人抽取三人的事件数为，其中选派的3名群众年龄都在的基本事件有个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则，解得，即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在中的群众有人，年龄在的群众有人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众人，记为1，2；随机抽取年龄在的群众人，记为.则基本事件有：，共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在的基本事件有：共4个，设事件为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在”，则.【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，,.（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）若，，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线,且平面,平面,∴平面.（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，∴,又∵，∴，∴，解得.所以点到平面的距离为：.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20.已知抛物线的焦点曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故，的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得①当，即时，直线的方程为，②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点，也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.21.已知函数，（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：.【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时，在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论.试题解析：（Ⅰ）由，得.所以令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，当时，因为，所以显然不成立，因此.令，则，令，得.当时，，，∴，所以，即有.因此时，在上恒成立.②当时，，在上为减函数，在上为增函数，∴，不满足题意.综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.（III）证明：由知数列是的等差数列，所以所以由（Ⅱ）得，在上恒成立.所以. 将以上各式左右两边分别相加，得.因为所以所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线，(为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.（1）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.试题解析：（Ⅰ）由及，得，即所以曲线的极坐标方程为（II）将的参数方程代入，得∴,所以，又，所以，且,所以,由，得，所以.故的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23.已知、、均为正实数.（Ⅰ）若，求证：（Ⅱ）若，求证：【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴，∴.试题解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得∴,.又均为正整数，∴成立．（Ⅱ）：，，∴，∴,当且仅当，即时，“=”成立.。
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2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）2月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}2．若复数z满足=3﹣4i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．905．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+…+log2a11=（）A．46 B．35 C．55 D．507．执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n＞4 B．n＞8 C．n＞16 D．n＜16 8．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．49．设a=log52，b=e，c=log3π，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 10．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期，直线x=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．y=4sin（4x+）B．y=2sin（4x+）+2C．y=2sin（4x+）+2 D．y=2sin（2x+）+211．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知点P（x，y）满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．16．若函数f（x）=x﹣sinx对任意的θ∈（0，π），f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0恒成立，则m的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知某校在一次考试中，5名学生的历史和语文成绩如下表：学生的编号i 1 2 3 4 5历史成绩x 80 75 70 65 60语文成绩y 70 66 64 68 62（Ⅰ）若在本次考试中，规定历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分）的为优秀，计算这五名同学的优秀率；（Ⅱ）根据上表利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+，其中=0.28；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，试估计历史90分的同学的语文成绩．（四舍五入到整数）18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin（B+C）=asin（﹣B）．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC周长的最大值．19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图，把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．20．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．21．椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】2014秋•凯里市校级月考）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求+的值．【选修4-5：不等式选讲】2015•泉州模拟）设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）2月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，则（∁U A）∪B=（）A．{3，5} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，5}，∴∁U A={3，4，5}，则（∁U A）∪B={2，3，4，5}．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数z满足=3﹣4i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求得复数z在复平面内对应的点的坐标得答案．解答：解：由=3﹣4i，得z=（3﹣4i）（1+2i）=3+6i﹣4i+8=11+2i．∴复数=3﹣4i在复平面内对应的点的坐标为（11，2），位于第一象限，故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数代数形式的表示法及其几何意义，是基础题．3．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．解答：解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．90考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知数据可得d的方程，解方程得d值，再由求和公式计算可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2，∴S9=9a1+d=﹣54故选：B点评：本题考查等差数列的求和公式，得出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．5．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：简易逻辑．分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解答：解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．6．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+…+log2a11=（）A．46 B．35 C．55 D．50考点：数列的求和；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得log2a1+log2a2+…+log2a11===55．解答：解：∵等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2 (11)===55．故答案为：55．点评：本题考查对数的前11项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．7．执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n＞4 B．n＞8 C．n＞16 D．n＜16考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 4第三圈是7 8第四圈是15 16，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．8．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．9．设a=log52，b=e，c=log3π，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性与性质以及指数函数的单调性与性质，推出a，b，c的范围，即可比较大小，得到答案．解答：解：∵0＜log52＜log5=，即a∈（0，）；1=e0＞e=＞=，即b∈（，1），log3π＞c=log33=1，即c＞1∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期，直线x=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．y=4sin（4x+）B．y=2sin（4x+）+2C．y=2sin（4x+）+2 D．y=2sin（2x+）+2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0联立方程组求解A，m的值，再由函数周期求得ω值，最后验证B，C得答案．解答：解：∵函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，则，解得．又函数y=Asin（ωx+φ）+m的最小正周期，∴，|ω|=4．结合选项可知函数解析式为y=2sin（4x+φ）+2．又直线x=是其图象的一条对称轴，经验证y=2sin（4x+）+2符合，即φ=．∴适合题目中条件的解析式是y=2sin（4x+）+2．故选：B．点评：本题考查了由函数的部分图象求函数的解析式，训练了验证法，是中档题．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意可得|MF|=|OF|，再利用双曲线的几何性质表示出a，b，c的关系式，进而求得a和c的关系，则双曲线离心率可得．解答：解：设右焦点为F，由条件可得，⇒由e＞1可得，故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了直线与圆锥曲线的位置关系．综合考查了学生基础知识的掌握和理解．12．已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•﹣为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1﹣x）∴•﹣=•（﹣）==（x﹣1，1﹣x）•（﹣x，x﹣1）=﹣x（x﹣1）+（1﹣x）（x﹣1）=（x﹣1）（1﹣2x）=﹣2x2+3x﹣1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知点P（x，y）满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（2，﹣1）将A（2，﹣1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y=4+1=5．即z=2x﹣y的最大值为5．故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答：解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16．若函数f（x）=x﹣sinx对任意的θ∈（0，π），f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0恒成立，则m的最大值是3．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ）＞f（2﹣msinθ），再借助于函数的单调性可得1﹣2sin2θ≤2﹣msinθ，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x﹣sinx，在R上是奇函数，f（cos2θ）+f（msinθ﹣2）≤0，∴f（cos2θ）≤f（2﹣msinθ）∵f′（x）=1﹣cosx＞0，∴函数f（x）是增函数，∴cos2θ≤2﹣msinθ恒成立．∴1﹣2sin2θ≤2﹣msinθ恒成立．设t=sinθ∈（0，1]，等价于2t2﹣mt+1≥0在t∈（0，1]恒成立．只要g（t）=2t2﹣mt+1在（0，1]的最小值大于等于0即可，函数g（t）的对称轴x=≤0时，g（t）min＞g（0）=1，函数g（t）的对称轴0＜＜1时，g（t）min=g（）=1，函数g（t）的对称轴x=≥1时，g（t）min＞g（1）=2﹣m+1≥0，解得：m≤3，故答案为：3．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知某校在一次考试中，5名学生的历史和语文成绩如下表：学生的编号i 1 2 3 4 5历史成绩x 80 75 70 65 60语文成绩y 70 66 64 68 62（Ⅰ）若在本次考试中，规定历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分）的为优秀，计算这五名同学的优秀率；（Ⅱ）根据上表利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+，其中=0.28；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，试估计历史90分的同学的语文成绩．（四舍五入到整数）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（I）这五名学生中共有2名历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分），从而求优秀率；（II）由题意求出x，y的平均数，代入线性回归方程=x+，求出值，从而求出回归方程，（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，令x=90，可估计出历史90分的同学的语文成绩．解答：解：（Ⅰ）这5名学生中有2名历史成绩在70以上（包括70分）且语文成绩在65分以上（包括65分），所以这五名同学的优秀率为×100%=40%，（Ⅱ）=（60+65+70+75+80）=70，=（62+68+64+66+70）=66，∴这组数据的样本中心点是（70，66），∴66=0.28×70+，∴=46.4，所以线性回归方程是：=0.28x+46.4，（III）当x=90时，0.28×90+46.4=71.6≈72，所以历史90分的同学的语文成绩约是72分．点评：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin（B+C）=asin（﹣B）．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC周长的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用诱导公式，结合正弦定理，同角的商数关系，可得角B；（Ⅱ）由余弦定理，可得a，c的关系，结合基本不等式，即可得到周长的最大值．解答：解：（Ⅰ）由bsin（B+C）=asin（﹣B），得：bsinA=acosB，结合正弦定理有：sinBsinA=sinAcosB，因为在△ABC中，sinA≠0，所以sinB=cosB，即tanB=．又0＜B＜π，则B=．（Ⅱ）由余弦定理b2=c2+a2﹣2accosB，因为B=，b=2，所以12=a2+c2﹣ac，即（a+c）2﹣12=3ac．①因为ac≤（）2，②由①②得（a+c）2﹣12≤3•（）2，解得a+c≤4．所以当且仅当a=c=2时，△ABC周长的最大值为6．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角公式和诱导公式的运用，基本不等式的运用，属于中档题．19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图，把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，进而可求点M到平面ACD的距离．解答：（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD…（2分）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．∴CD⊥平面ABD…（4分）又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB…（6分）（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M （1，1，0）．∴，…（8分）设平面ACD的法向量为，则∴令x=1，得平面ACD的一个法向量为…（10分）∴点M到平面ACD的距离…（12分）点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．20．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0，+∞）上恒成立，构造函数g （x）=，b≤g（x）min即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，则，f（2）=1﹣ln2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ），令f′（x）＞0，得x＞1，列表：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘0 ↗∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；（Ⅲ）依题意对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立可得在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，令g′（x）=0，得x=e2列表：x （0，e2）e2（e2，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘↗∴函数y=g（x）的最小值为，根据题意，．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．21．椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为2的等腰直角三角形，算出a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1•k2；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，直线的斜率公式和直线l方程化简k1•k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1•k2≤1，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题：，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，∴k1•k2==；②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线代入椭圆方程，消去x，整理得（m2+2）y2+2my﹣3=0．∴y1+y2=，y1y2=．∵x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1•k2=•===+．令t=4m+1，则=≤，∴k1•k2=+≤1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立．综合①②，可得k1•k2的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即x﹣y﹣1=0．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用；平面的基本性质及推论；圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．解答：证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．【选修4-4：坐标系与参数方程】2014秋•凯里市校级月考）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求+的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）圆C的极坐标方程ρ=4cosθ﹣4sinθ，化为ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ．利用即可得出直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得t，可得根与系数的关系，可得+=，即可得解．解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cos（θ+）得，ρ=4cosθ﹣4sinθ，所以ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即圆C的直角坐标系方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=8 ①（Ⅱ）设A，B两点对应的参数为t1，t2，与①式联立得t，所以t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0，根据参数t的意义可知：+====．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】2015•泉州模拟）设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x﹣2|＞1可求其解集，从而可知x2﹣ax+b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；（Ⅱ）通过导数法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值时x的值．解答：解：（Ⅰ）∵|x﹣2|＞1，∴x＞3或x＜1．∴不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同，∴1和3是方程x2﹣ax+b=0的根，∴a=1+3=4，b=1×3=3．（Ⅱ）∵f（x）=4+3（3≤x≤5），∴f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=．由f′（x）＞0得，3≤x＜，由f′（x）＜0得，＜x≤5．∴f（x）在[3，）上单调递增，在（，5]上单调递减，∴当x=时，f（x）取得最大值，即f（x）max=f（）=4+3=5．点评：本题考查绝对值不等式的解法，利用导数法求函数的最值是难点，也是关键，考查分析、运算的能力，属于难题．。