2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4：第一章 1.5 1.5.2 球坐标系
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：第一章 1.3 绝对值不等式的解法
[对应学生用书P10][读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[对应学生用书P10][例1] 解下列不等式： (1)1＜|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b |＞c (c ＞0)或|ax ＋b |＜c (c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1＜x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1＜－(x －2)≤3，由①得3＜x ≤5，由②得－1≤x ＜1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4或x ＞2}． (3)①当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2， 且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎩⎨⎧|x |＞2，x 2－2≥|x |等价，x 2－2≥|x |即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式组的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．含一个绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇒－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义．(2)形如|f (x )|＜g (x )，|f (x )|＞g (x )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )，②|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )(其中g (x )可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂． (3)形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a . (4)形如|f (x )|＜f (x )，|f (x )|＞f (x )型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f (x )|＞f (x )⇔f (x )＜0， |f (x )|＜f (x )⇔x ∈∅.1．设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1可化为|2x －3|≥1， 由此可得x ≥2或x ≤1.故不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．(2)由f (x )≤0得|2x －a |＋5x ≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，－(2x －a )＋5x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a 2，x ≤a7或⎩⎨⎧x <a 2，x ≤－a3，因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤－a 3.由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.[例2] 解不等式|x ＋7|－|3x －4|＋3－22>0. [思路点拨] 先求出零点即x ＝－7，43，再分段讨论．[精解详析] 原不等式化为 |x ＋7|－|3x －4|＋2－1>0，当x >43时，原不等式为x ＋7－(3x －4)＋2－1>0，得x <5＋22，即43<x <5＋22；当－7≤x ≤43时，原不等式为x ＋7＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >－12－24，即－12－24<x ≤43；当x <－7时，原不等式为 －(x ＋7)＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >6－22，与x <－7矛盾； 综上，不等式的解为－12－24<x <5＋22.(1)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c ， (x ≤a )，b －a －c ， (a ＜x ＜b )，2x －a －b －c ， (x ≥b ).这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．(3)形如|f (x )|＜|g (x )|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f (x )|＜|g (x )|⇔[f (x )]2＜[g (x )]2 ⇔[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＜0.2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)解不等式f (x )≥4； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解：(1)由题意得，f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|＝⎩⎨⎧－x －4， x <－12，3x －2， －12≤x ≤3，x ＋4，x >3，所以不等式f (x )≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，3x －2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，x ＋4≥4，解得x ≤－8或x ≥2.所以原不等式的解集为{x |x ≤－8或x ≥2}． (2)由(1)知，当x <－12时，f (x )＝－x －4，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减； 当－12≤x ≤3时，f (x )＝3x －2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，3上单调递增； 当x >3时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )在(3，＋∞)上单调递增． 故当x ＝－12时，y ＝f (x )取得最小值，此时f (x )min ＝－72.[例3] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. 如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a 进行分类讨论，求出函数f (x )的最小值，然后求a 的取值范围．[精解详析] 若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 进行讨论，得到关于参数a 的不等式(组)，进而求出参数的取值范围．3．(辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4， 解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[对应学生用书P12]一、选择题1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6， 即－8＜ax ＜4. 又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C2．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－13或x >13解析：解不等式1x <2得x <0或x >12；解不等式|x |>13得x >13或x <－13.如图所示：∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13.答案：B3．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案：D4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：作出y ＝|x ＋1|与l1；y ＝kx 的图象如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]． 答案：C 二、填空题5．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．解析：原不等式即|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >146．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－32 7．若不等式| x ＋1x | ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1x |≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.答案：1＜a ＜38．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 三、解答题9．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|＜1. 解：(1)当x ＞2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得x ＞2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得－65＜x ≤2. (3)当x ＜－3时，原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)＜1，解得x ＜－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＜－12或x ＞－65. 10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为|2x －1|＋|x －2|≤3，当x >2时，得3x －3≤3，则x ≤2，无解；当12≤x ≤2时，得x ＋1≤3，则x ≤2，所以12≤x ≤2； 当x <12时，得3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]．(2)原不等式可化为|x －2a |≤3－|2x －1|，因为x ∈[1,2]，所以|x －2a |≤4－2x ，即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[1,2]恒成立．当1≤x ≤2时，3x －4的最大值为2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为1.11．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －a |(a >0)．(1)当a ＝4时，已知f (x )＝7，求x 的取值范围；(2)若f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}，求a 的值．解：(1)因为|x ＋3|＋|x －4|≥|x ＋3－x ＋4|＝7，当且仅当(x ＋3)(x －4)≤0时等号成立． 所以f (x )＝7时，－3≤x ≤4，故x ∈[－3,4]．(2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3－2x ， x ≤－3，a ＋3，－3<x <a ，2x ＋3－a ， x ≥a ，当a ＋3≥6时，不等式f (x )≥6的解集为R ，不合题意；当a ＋3<6时，不等式f (x )≥6的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，a －3－2x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，2x ＋3－a ≥6， 即⎩⎨⎧ x ≤－3，x ≤a －92或⎩⎨⎧ x ≥a ，x ≥a ＋32. 又因为f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}，所以a ＝1.。
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：第一章 1.5 1.5.2 综合法和分析法
1 1 » 8．若不等式 ＋ ＋ >0 在条件 a>b>c 时恒成立，则 a－b b－c c－a » 的取值范围是 ________．
1 1 » 解析：不等式可化为 ＋ > . a－b b－c a－c ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0， a－c a－c ∴»< ＋ 恒成立． a－b b－c a－c a－c a－b＋b－c a－b＋b－c ∵ ＋ ＝ ＋ a－b b－c a－b b－c
[小问题 ·大思维]
1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？
提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证 A 只需证 B”表示，说明只要 B 成立，就一定有 A 成立，所以 B 必须是 A 的充 分条件才行，当然 B 是 A 的充要条件也可． 2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？
第 一 章
1 ． 5 不 等 式 证 明 的 基 本 方 法
1 ． 5. 2 综 合 法 和 分 析 法
读教材·填要点 理解教材新知 小问题·大思维 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
1．5
不等式证明的基本方法
1．5.2
综合法和分析法
[读教材 ·填要点]
1．综合法 从 命题的已知条件 出发，利用公理、已知的定义及定理， 逐步推导，从而最后导出 要证明的命题 ，这种方法称为综合法． 2．分析法 从 需要证明的命题 出发，分析使这个命题成立的充分条件， 利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件 (或 者一个已证明过的定理或一个明显的事实 )，这种证明方法称为分 析法．
10 当且仅当 5x＝7y＝10 即 x＝2，y＝ 时取等号． 7
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。
人教课标版B版高中数学选修45第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值的三角不等式.ppt
１．分类讨论时要层次分明，不重不漏， 先对二次项系数进行讨论，再根据二次项 系数的正负和差别式的值的正，负，零进 行第二次的划分与讨论．
2....对 于 二 次 项 系 数a 0的 情 形, 我 们 一 般 把 它 先 化 成 二 次 项系 数 为 正 的 情 形, 再 求 解.
(iii).当a 0时不等式的解集是R
例2. 解不等式 x2 2x 3 0.
Ⅰ. 降次, 化为不等式組.
解: 原不等式可化為 x 3x 1 0.
所以有
1.xx
3 1
0 ,
0
或
2.
x x
3 1
0 .
0
由1可得, x 3; 由2可得, x 1.
所以原不等式的解為 x 1, 或 x 3.
x x2}
{x | x R且 x b } 2a
R
ax2+bx+c<0 {x | x1 x x2}
高次不等式：a0 x n a1 x n1 a2 x n2 an 0(a0 0)
1、将原不等式的左边因式分解， 化为：( x x1 )(x x2 )( x xn ) 0
2、把方程的根标在数轴上：x1,x2…,xn
5
1 1 5 3
x 1, 5 3, .
综上, 原不等式的解为 x , 5 3, .
总结
1、一元一次不等式的解法 2、一元二次不等式的解法 3、高次不等式的解法 4、分式不等式的解法 5、绝对值不等式的解法 6、无理不等式的解法 7、指数不等式、对数不等式、幂指数不等式的解法 8、三角不等式
解: 原不等式可化为
x 2x 3x 4x 1 0.
-4
测控指导高中数学人教B版选修4-4课件：1.5 柱坐标系和球坐标系
【做一做1-2】 柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形 是 . 答案:以z轴所在直线为轴,以2为底面半径的圆柱的侧面
-4-
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2.球坐标系 (1)定义:设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),点M在xOy坐标面上 的投影点为M0,连接OM和OM0.如图所示,设z轴的正向与向量������������ 的夹角为������, ������轴的正向与������������0 的夹角为������, ������点到原点������的距离为������, 则由三个数������, ������, ������构成的有序数组(������, ������, ������) 称为空间中点������的球坐标. 若设投影点������0在������������������平面上的极坐标为 (������, ������), 则极坐标������就是上述的第二个球坐标������. 在球坐标中限定������ ≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π.
1 = ������cos������, 则有 1 = ������sin������, ������ = 1,
解得ρ= 2, ������ = .
因此,点M的柱坐标为 2 , ,1 .
-11-
π 4
π 4
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知识梳理 题型五
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反思由直角坐标求柱坐标,可以先设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变 ������ = ������cos������, ������ 换公式 ������ = ������sin������, 求ρ;也可以利用ρ2=x2+y2求ρ,利用tan θ= 求θ, ������ ������ = ������ 在求θ时,要特别注意角θ的终边所在的象限,从而确定θ的取值.
人民教育出版社B版高中数学目录(全)
人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结。
2018年秋人教B版数学选修4-4课件：本章整合1
|MA|=
������2 + 62 -2 × 6������cos(π-������)
= ������2 + 36 + 12������cos������. 由|MA|· |MB|=36,得(ρ2+36)2-144ρ2cos2θ=362, 即ρ4+72ρ2-144ρ2cos2θ=0, 即ρ2=72(2cos2θ-1)=72cos 2θ. 故点M的轨迹的极坐标方程为ρ2=72cos 2θ.
π
π
解析: 由极坐标系中圆的方程 ρ=4sin θ,可得 ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心,2 为半径的圆.又 θ= 6 (������ ∈R)表示直线 y= 3.
3 ������, 由点到直线的距离公式可得d= 3 2 1+ 3
3
2
=
1 1 2 3 ������
专题一
专题二
专题三
专题二 极坐标系及其应用 在极坐标系中,点M(ρ,θ)的极坐标统一表达式为(ρ,2kπ+θ),k∈Z. 如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐 标(ρ,θ)表示,同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
专题一
专题二
专题一
专题二
专题三
专题三 求轨迹的极坐标方程 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,在极坐标 中仍然适用,注意求谁设谁,找出所设点的坐标ρ,θ的关系. 应用1设P为曲线ρ2-12ρcos θ+35=0上任意一点,O为极点,求OP的 中点M的轨迹的极坐标方程. 提示:本题可以用相关点代入法,用点M的坐标把点P的坐标表示 出来,然后代入到曲线方程中去即可. 解:设点M的极坐标为(ρ,θ),则点P的极坐标是(2ρ,θ). ∵点P在曲线ρ2-12ρcos θ+35=0上, ∴4ρ2-24ρcos θ+35=0. 即OP的中点M的轨迹的极坐标方程为4ρ2-24ρcos θ+35=0.
2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.1 比较法课件 新人教B版选修4-
一、选择题
1．下列关系中对任意 a＜b＜0 的实数都成立的是 ( )
A．a2＜b2
B．lgb2<lga2
C．ba>1
D．
1 2
a
2
＞
1 2
b2
解析：∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.
(－a)2>(－b)2>0.
即 a2>b2>0. ∴ab22＜1.
又 lg b2－lg a2＝lgba22＜lg 1＝0. ∴lg b2＜lg a2.
1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋x2. 证明：∵x＞－1，
∴1＋x>0， 1＋x>0. ∵ 1＋x－(1＋x2)＝ 1＋x－x＋21＋1 ＝ x＋1－x＋2 1－12 ＝－12[(x＋1)－2 x＋1＋1] ＝－12( x＋1－1)2≤0， ∴ 1＋x≤1＋x2.
比较法的实际应用
[例 2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲 有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路 程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走．如果 m≠n，问 甲、乙二人谁先到达指定地点？
[小问题·大思维]
作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等 式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个 数(或式子)与 0 的大小关系.
比较法证明不等式
[例 1] 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
a+b
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 2 .
(2)
aabb
a+b
a-b
高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系人教B版选修4_4
[答案] B
3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，π3，3)
B．(2，23π，3)
C．(2，43π，3)
D．(2，53π，3)
3．设点 M 的直角 [解析] ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，
坐标为(－1，－ 则它的柱坐标是(
3，3)， )
tan
θ＝－－13＝
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2，56π，3)，
x＝ρcos θ＝2cos56π＝－ 3，
∴y＝ρsin
θ＝2sin56π＝1，
z＝3，
因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z)＝( 2，4π，5)，
x＝ρcos θ＝ 2cos4π＝1，
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐
x＝ρcos θ，
标为(ρ，θ，z)代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2
＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，求 θ，在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的 象限，从而确定 θ 的取值．
1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，56π，3)；(2)( 2，4π，5)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要 明确点的球坐标(r，θ，φ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注 意各自的限定范围，即 0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ，
y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
人教版B版高中数学选修4-4(B版)摆线的参数方程
圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点 O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角。试求点M的 轨迹方程。
解：xM＝r·φ－r·cosφ－π2 ＝r(φ－sin φ)，
yM＝r＋r·sin(φ－π2) ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为
由圆的摆线的参数方程的形式可知,只要确定了摆线生成圆的 半径,就能确定摆线的参数方程.要确定圆的半径,通常的做法有:① 根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径;②利用待定系数 法,将摆线上的已知点代入参数方程,从而确定半径.
摆线xy＝＝221t－－scionstt， (0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点的直 角坐标是________．
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
摆线的参数方程
M B OA y
M
B C
OD A
Ex
摆线的参数方程为：xy
d=6 22=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是 6,所以可得摆线方程是 x = 6φ-6������������������φ,(φ 为参数). y = 6-6������������������φ
(3)令 y=0,得 6-6cos φ=0⇒ cos φ=1. 所以 φ=2kπ(k∈Z). 代入 x,得 x=12kπ(k∈Z), 即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点 为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5课件：第一章 1.5 1.5.1 比 较 法
理解教材新知
把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二
1．5
不等式证明的基本方法
1．5.1 比 较 法
[读教材·填要点] 1．定义 要证 a>b，只需要证 a－b>0 ；要证 a<b，只需证 a－b<0 ， 这种证明不等式的方法，称为比较法． 2．用比较法证明不等式的步骤 (1)求差． (2)变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为 乘积式平方和的形式． (3)作出判断．
一、选择题
1．下列关系中对任意 a＜b＜0 的实数都成立的是 ( )
A．a2＜b2
B．lgb2<lga2
C．ba>1
D．
1 2
a
2
＞
1 2
b2
解析：∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.
(－a)2>(－b)2>0.
即 a2>b2>0. ∴ab22＜1.
又 lg b2－lg a2＝lgba22＜lg 1＝0. ∴lg b2＜lg a2.
11．设 m∈R，a>b>1，f(x)＝xm－x1，比较 f(a)与 f(b)的大小． 解：f(a)－f(b)＝am－a1－bm－b1＝a－m·1b·－b－a 1. ∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0， ∴a－b1－·ba－1<0. 当 m>0 时，a－m·1b·－b－a 1<0，f(a)<f(b)； 当 m<0 时，a－m·1b·－b－a 1>0，f(a)>f(b)； 当 m＝0 时，a－m·1b·－b－a 1＝0，f(a)＝f(b)．
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 1.5 1.5.1 柱坐标系
1．5.1 柱 坐 标 系[对应学生用书P13][读教材·填要点]1．柱坐标系的概念设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，θ，z )称为空间中点M 的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[小问题·大思维]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标． 2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．[对应学生用书P14][例1] 已知空间点M 的直角坐标为(43，4,3)，求它的柱坐标． [思路点拨] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．[精解详析]由公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝3.∴ρ2＝(43)2＋(4)2＝48＋16＝64. ∴ρ＝8.tan θ＝y x ＝434＝3，又x >0，y >0，点在第一象限， ∴θ＝π3.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，3.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tan θ，还要根据点M 所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．1．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，－2 解析：选C ∵ρ＝(3)2＋12＝2，tan θ＝13＝33， ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，－2.[例2] 已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π6，4，求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．[精解详析] ∵M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π6，4， ∴ρ＝8，θ＝π6.由公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos π6，y ＝8sin π6，z ＝4，即⎩⎨⎧x ＝43，y ＝4，z ＝4.∴M 点的直角坐标为(43，4,4)．已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z即可．2．已知点M 的柱坐标为(2，π4，1)，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0，∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.∴M 关于原点O 对称的点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.[例3]给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．[思路点拨]本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．[精解详析]以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴，y 轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．(2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．3．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系．求点A的柱坐标．解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转17π16，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫203，17π16，2.8.[对应学生用书P15]一、选择题1．点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，转换为直角坐标为( )A ．(5,8,83)B ．(8,83，5)C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)解析：选B由公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5.即M 点的直角坐标为(8,83，5)．2．已知点M 的直角坐标为(3,3,3)，则它的柱坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，7π4，1 解析：选A由公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧3＝ρcos θ，3＝ρsin θ，3＝z .∴ρ2＝32＋32＝18.∴ρ＝3 2. ∴cos θ＝22，sin θ＝22. 又∵θ∈[0,2π)， ∴θ＝π4.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3. 3．在柱坐标系中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D ．以原点为球心，半径为2的球面解析：选C 由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面．4．空间点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，它关于点O (0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )A ．(－ρ，－θ，－z )B ．(ρ，θ，－z )C ．(ρ，π＋θ，－z )D ．(ρ，π－θ，－z )解析：选C 点M (ρ，θ，z )关于点O (0,0,0)的对称点为M ′(ρ，π＋θ，－z )． 二、填空题5．已知点M 的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x ＞0，y ＝0，∴tan θ＝0，θ＝0， ρ＝12＋02＝1. ∴柱坐标为(1,0,5)． 答案：(1,0,5)6．点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点M 与原点的距离为________． 解析：点M 的直角坐标为(42，42，2)， ∴它与原点的距离为(42－0)2＋(42－0)2＋(2－0)2＝217. 答案：2177．设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则点M 的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2. tan θ＝－31＝－ 3.又x ＞0，y ＜0， ∴θ＝5π3.∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，48．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称的点的柱坐标为________．解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1三、解答题9．求点M (1,1,3)关于xOz 平面对称的点的柱坐标． 解：点M (1,1,3)关于xOz 平面的对称点为(1，－1,3)．由变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－11＝－1.又x ＞0，y ＜0，∴θ＝7π4.∴其关于xOz 平面对称的点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，3.10．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中什么曲面？方程z ＝－1表示什么曲面？解：方程ρ＝1表示以z 轴为中心轴，以1为底面半径的圆柱面；方程z ＝－1表示与xOy 坐标面平行的平面，且此平面与xOy 面的距离为1，并且在xOy 面的下方．11．如图所示，一个底面半径为r ，高为h 的圆柱OO ′，四边形ABCD 是其轴截面，EF 是圆柱的一条母线，且∠BOE ＝π4，G 为EF 的中点．试建立适当的柱坐标系，求A ，C ，G 的坐标．解：如图所示，建立柱坐标系．则A 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，3π2，0，C 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，h ，G 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π4，h 2.。
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 章末小结 知识整合与阶段检测
对应阶段质量检测(一)P45](时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 解析：选B 因为ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2， tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6. 所以点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6.2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3 解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝ 3.因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为( ) A.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝yB.⎩⎨⎧2X ＝5x ，Y ＝2yC.⎩⎨⎧2X ＝x ，5Y ＝2xD.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y解析：选D 法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4. 令⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25 x ，Y ＝y 2，得X 2＋Y 2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y 为所求．法二：将x 2＋y 2＝4改写为X 2＋Y 2＝4. 设满足题意的伸缩变换为⎩⎨⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0).代入X 2＋Y 2＝4得a 2x 2＋b 2y 2＝4， 即a 2x 24＋b 2y 24＝1.与椭圆x 210＋y28＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝110，b 24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝12.∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25x ，Y ＝12y ，即⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y .4．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )解析：选C ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，∴圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22.结合四个图形，可知选C.5．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 解析：选A 法一：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，可以看成由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转π4得到．而ρ＝2sin θ的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，顺时针旋转π4得到⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，∴ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.法二：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1.圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ解析：选C 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1.7．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．3 3D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C (3，π2)，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3.8．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是( )A ．向左平移π6 B ．向右平移π6 C ．向左平移π3D ．向右平移π3解析：选A 设y ′＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝x ＋λ，y ′＝μy ，将其代入y ′＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，得μy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋λ＋π6，∴μ＝1，λ＝－π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y .由函数y ＝sin2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y ，故是向左平移π6个单位．9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)(r >0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. ① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)． ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分) 11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0.取θ－α＝π2. 答案：θ＝π2＋α12．(陕西高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为32ρsin θ－12ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3－3×1＋2|12＋(－3)2＝1.答案：113．(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：314．已知柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________.解析：设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连接PN ， 则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影． ∵MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， ∴PN ⊥直线Oy .∴|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1，∴|OM |＝ρ2＋z 2＝22＋(5)2＝3.在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°， ∴|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝(5)2＋12＝ 6.答案：3 6三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b 1＋12＝13b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C 1：ρ＝2cos θ和C 2：ρ＝2sin θ，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知： 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，C 1(1,0)，圆C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 即x 2＋(y －1)2＝1，C 2(0,1)．∴过两圆圆心的直线方程为x ＋y －1＝0， ∴对应的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.17．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14.它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆．将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－12，0)到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．18．(本小题满分14分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P ，P ′，使OP ·OP ′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0,2)，B ′(0，－2)．设P (a,0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ，0，直线BP 的方程为x a ＋y 2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a ＋y－2＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B ′P ′：2ax －9y －18＝0.设M (x ，y )，则由⎩⎨⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18a a 2＋9，y ＝2a 2－18a 2＋9(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．。
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1．5.2 球坐标系[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设zÆ，x的夹角为¸，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，¸，Æ构成的有序数组(r，¸，Æ)称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤¸<2 À，0≤Æ≤À.2．直角坐标与球坐标的转化空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，Æ，¸)之间的变换关系为[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标¸就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标¸.将球坐标化为直角坐标[例1] 已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M的球坐标为，∴r＝5，Æ＝，¸＝.由变换公式得故它的直角坐标为.已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是Æ，哪个角是¸.1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝r sin Æcos ¸＝4sin cos＝2，y＝r sin Æsin ¸＝4sin sin ＝2，z＝r cos Æ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).将直角坐标化为球坐标[例2] 设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意¸与Æ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r＝＝＝2.由r cos Æ＝z＝，得cos Æ＝＝，Æ＝.又tan ¸＝＝1，¸＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，¸，Æ)，再利用变换公式求出r，¸，Æ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan ¸＝，cos Æ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，¸和Æ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由r cos Æ＝z＝－得cos Æ＝－，Æ＝.又tan ¸＝＝(r>0，y>0)，得¸＝，∴M的球坐标为.球坐标系的应用[例3] 在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ，B 8，¸B ，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA ＝OB ＝8，∠AOO 1＝，∠BOO 1＝.∴在△AOO 1中，OO 1＝4.在△BOO 2中，∠BOO 2＝，OB ＝8，∴OO 2＝4，则O 1O 2＝OO 1＋OO 2＝8.即两个截面间的距离O 1O 2为8.一、选择题1．已知一个点P 的球坐标为，点P 在xOy 平面上的投影点为P 00OP u u u r 的夹角为( )A ．－ B.C. D.解析：选A ∵Æ＝，∴OP 与OP 0之间的夹角为＝.2．点M 的球坐标为(r ，Æ，¸)(Æ，¸∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－Æ，－¸)B ．(r ，π－Æ，π－¸)C ．(r ，π＋Æ，¸)D ．(r ，π－Æ，π＋¸)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则点M 关于(0,0,0)的对称点M ′的直角坐标为(－x ，－y ，－z )，设M ′的球坐标为(r ′，Æ′，¸′)，因为所以可得即M ′的球坐标为(r ，π－Æ，π＋¸)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A．(1,0,0) B．(－1，－1,0)C．(0，－1,0) D．(－1,0,0)解析：选D x＝r sin Æcos ¸＝1·sin ·cos À＝－1，y＝r sin Æsin ¸＝1·sinsin À＝0，z＝r cos Æ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A．P(5,1,1)，BB．P(1,1,5)，BC．P，B(1,1,5)D．P(1,1,5)，B解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x，y，z)，则x＝cos ＝×＝1，y＝sin ＝1，z＝5.设B点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，，.答案：6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) 7．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________．解析：由坐标变换公式，得r＝＝＝2，cos Æ＝＝，∴Æ＝.∵tan ¸＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴¸＝.∴M的球坐标为.答案：8．在球坐标系中，方程r＝1表示________，方程Æ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为Æ.设M在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为¸.这样点M的位置就可以用有序数组(R，¸，Æ)表示．∴M点的球坐标为M(R，¸，Æ)．10．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式得∴点P的直角坐标为.11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)解：O是△BCD的中心，则OC＝OD＝OB＝，AO＝.∴C，D，B，A.对应学生用书P19]对应学生用书P19]利用平面直角坐标系解决几何问题1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．[解] 以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P的轨迹方程为x2－y2＝.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(X，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(X－5)2＋(Y＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X－5)2＋(Y＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得2＋(y＋3)2＝.该曲线是以为圆心，为半径的圆.极坐标的求法1．在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(Á，¸)＝0.如果曲线C 是由极坐标(Á，¸)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(Á，¸)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标Á，¸的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(Á，¸)．△ABC内，设∠B＝¸，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝Á，所以由正弦定理，得＝.化简，得A 点轨迹的极坐标方程为Á＝10＋20cos ¸.极坐标与直角坐标的互化1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为Ácos ¸，Ásin ¸的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以Á即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)Á＝2a cos ¸(a＞0)；(2)Á＝9(sin ¸＋cos ¸)；(3)Á＝4；(4)2Ácos ¸－3Ásin ¸＝5.[解] (1)Á＝2a cos ¸，两边同时乘以Á，得Á2＝2a Ácos ¸，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以Á得Á2＝9Á(sin ¸＋cos ¸)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将Á＝4两边平方得Á2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2Ácos ¸－3Ásin ¸＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.柱坐标系与球坐标系1．柱坐标：设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的射影为M0，用(Á，¸)(Á≥0,0≤¸＜2 À)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(Á，¸，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O -xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为Æ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为¸，则M(r，¸，Æ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(Á，¸，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足Á＝1,0≤¸<2 À，0≤z≤2的动点M(Á，¸，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2 À.[例6] 如图，长方体OABC—D′A′B′C′中，OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．[解] r＝|OP|，Æ＝∠D′OP，¸＝∠AOB，而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，¸＝∠AOB＝.∴点P的球坐标为.对应学生用书P21]一、选择题1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )A. B.C. D.，k∈Z解析：选C Á2＝(－1)2＋()2＝4，∴Á＝2.又∴∴¸＝À＋2kÀ，k∈Z.即点M的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程Á2cos ¸－Á＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选C Á(Ácos ¸－1)＝0，Á＝＝0，或Ácos ¸＝x＝1.3．极坐标方程Ácos ¸＝2sin 2¸表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆解析：选C Ácos ¸＝4sin ¸cos ¸，cos ¸＝0，或Á＝4sin ¸(Á2＝4Ásin ¸)，则x ＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线Á＝2cos ¸上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.解析：选A 将曲线Á＝2cos ¸化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5Á2cos2¸＋Á2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线Á＝4cos ¸于A，B 两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线Á＝4cos ¸化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：28．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆Á＝－4cos ¸的切线，则切线长为________．解析：圆Á＝－4cos ¸化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：2三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为10．已知A，B两点的极坐标分别是，，求A，B两点间的距离和△AOB的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|Á1Á2sin(¸1－¸2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(Á，¸)为圆C上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝Á，|CM|＝1，∠COM＝.根据余弦定理，得1＝Á2＋9－2·Á·3·cos .化简整理，得Á2－6·Ácos ＋8＝0为圆C的轨迹方程．(2)设Q(Á1，¸1)，则有Á－6·Á1cos ＋8＝0.①设P(Á，¸)，则OQ∶QP＝Á1∶(Á－Á1)＝2∶3⇒Á1＝Á，又¸1＝¸，所以代入①得Á2－6·Ácos＋8＝0，整理得Á2－15Ácos＋50＝0为P点的轨迹方程．。