3.1投影(2)

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第三章投影原理

3.2.3 面的投影
表3.2 特殊位置平面
第二节点、线、面的三面投影
3.2.3 面的投影 (3) 平面内的点和直线点在平面内的几何条件：如果点在已知平面内的一条直线上，则该点必在平面上。直线在平面内的几何条件：如果直线通过已知平面内的两点，则该直线比在已知平面内；如果直线通过已知平面内一点，且平行于已知平面一直线，则该直线也在平面内。
第三节体的投影
3.3.1 基本几何体投影
第三节体的投影
3.3.1 基本几何体投影 (2) 回转体 ②圆锥圆锥是由圆锥面和与其轴线垂直的底面组成。圆锥面是由一直母线SA绕着与它相交的轴线SO旋转而形成的曲面。圆锥面上任一位置的母线称为素线。将圆锥的轴线垂直于H面放置，则得到圆锥的三面投影图。
第三节体的投影
3.3.1 基本几何体投影 (1) 平面立体表面都是由平面围成的立体，称为平面立体。平面立体上相邻两面的交线称为棱线。平面立体主要有棱柱和棱锥两种。 ①棱柱分直棱柱和斜棱柱。
第三节体的投影
3.3.1 基本几何体投影
第三节体的投影
3.3.1 基本几何体投影 (1) 平面立体 ②棱锥棱锥的底面为多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形。当棱锥的底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
第二节点、线、面的三面投影
3.2.3 面的投影 (5) 曲面投影根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。〃按母线的形状分类：直线面和曲线面；〃按母线的运动方式：移动面和回转面；〃母线在运动中变化：定母线和变母线面；〃母线运动有误规律：规则和不规则曲面；〃曲面是否能无皱折地摊平在平面上：可展和不可展曲面。

工程制图(高教版)教案：3.1 基本立体的投影

第一讲基本立体的投影1．知识要点（1）平面基本立体的投影（2）圆柱体的投影（3）圆锥体的投影（4）球体的投影2．教学设计本讲的内容不多，表面上容易，实际上同学掌握起来比较难，所以教学上要注意直观教学和空间想象能力培养的关系，明确教学目的。

虽然在上一章介绍了平面立体三视图的画法，在本章开始时还要进一步归纳平面基本体的投影，及其与平面相交时交线的画法，这是一个难点，要逐步掌握。

通过对圆柱体、圆锥体和球体在三面投影体系中投影的研究，进一步巩固三视图的投影规律，通过研究曲面上点、线的投影，暗示线面分析法的思想方法。

在介绍基本曲面立体的投影时，要紧紧抓住转向轮廓线的概念和投影，这对于接下来的截交线和相贯线的学习也是非常重要的，在讲圆柱截交线时，利用动画、模型、虚拟现实等多媒体技术介绍基本概念和作图方法。

把粗实线圆规铅心的修理、圆规的使用放在这里介绍，目的是分散难点，学生有了绘制粗实线直线的经验，学习绘制粗实线圆弧就容易些。

3．课前准备准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。

4．教学内容（1）圆柱体的投影若圆柱体的轴线垂直于H面,则俯视图的可见轮廓为圆,这个圆反映了圆柱体上、下底面的实形，也表示圆柱侧面的俯视图；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体的上下两底的投影，左右两边为圆柱面最左最右的两条素线的投影，这两条素线将柱面分为前半个柱面和后半个柱面，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线叫作柱面对V面的转向轮廓线。

左视图的图形虽然和主视图相同，但其左右两条边的含义和主视图不同，这两条线表示柱面上最前最后两条素线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线（图3-1）。

图4-1 圆柱体的投影【Flash动画/03-01圆柱体的投影.swf】提问：柱面对V面转向轮廓线的俯、左视图是什么？柱面对W面转向轮廓线的主、俯视图是什么？（2）锥体的投影圆锥体的投影和圆柱体的投影类似,俯视图为圆,这个圆表示圆锥体底面的投影,主视图和左视图为等腰三角形,主视图的两腰为锥面对V面的转向轮廓线的投影,左视图的两腰,为锥面对W面的转向轮廓线的投影。

数学9年级下册-投影第2课时备作业-浙教版

第3章投影与三视图3.1 投影（第2课时）一、选择题1．如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．③—④—①—②B．②—①—④—③C．④—①—②—③D．④—①—③—②【答案】B【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.【详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案故选B【点睛】本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.2．为了测量操场中旗杄的高度，小明学习了“太阳光与影子”，设计了如图所示的测量方案，根据图中标示的数据可知旗杆的高度为（）A ．4mB ．6mC ．8mD ．9m【答案】B【分析】设出旗杆高，利用两物体影子的长与物高成比例，建立方程即可．【详解】设旗杄高度为：x m ，由题意得出：，3263x =+解得：，6x =故旗杆的高度为6m ．故选则：B ．【点睛】本题考查了平行投影的应用，掌握同一时刻太阳光线下物体影子的长短与物高成比例是解题关键．3．如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（）A ．②④①③B ．①④③②C ．②④③①D ．①③②④【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断，太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向；【详解】太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始时应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列为：①④③②，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影的判定，准确分析判断是解题的关键．4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长【答案】B【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长．【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．故选B．本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．5．如图，太阳光线AC 和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相A C ''等．这利用了全等图形的性质，其中判断ABC ≌的依据是（）A ABC '''V A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∠ACB ＝∠A′C′B′，根据题意可得AB ＝A′B′，∠ABC ＝∠A′B′C′＝90°，然后利用AAS 判定△ABC ≌△A′B′C′．【详解】解：∵AC ∥A′C′，∴∠ACB ＝∠A′C′B′，∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，∴AB ＝A′B′，∠ABC ＝∠A′B′C′＝90°，在△ACB 和△A′B′C′中，，ACB A'C'B'ABC A'B'C'90AB A'B'︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△A′B′C′（AAS ）．【点睛】此题主要考查平行投影，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．6．和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同AB DE 7AB =4BC =时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为（）DE DE A ．米B ．米C ．米D ．米14321224776【答案】B【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长EF 为6m ，∵△ABC ∽△DEF ，AB=7m ，BC=4m ，EF=6m ∴，AB DE BCEF =∴，746DE =∴DE=（m ）212故选：B ．本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．7．矩形的正投影不可能是（）A．线段B．矩形C．正方形D．梯形【答案】D【分析】根据平行投影的特点即可确定答案．【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即得到的应是线段、或特殊的平行四边形；则矩形的正投影不可能是梯形．故答案为D．【点睛】本题主要考查了平行投影的性质，解答本题的关键在于理解同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．8．如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（）A．①②③④B．④③①②C．④①③②D．②①③④【答案】B【分析】根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长．解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②．故选：B ．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．2、填空题9．圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是长为4、宽为3的矩形，则这个圆柱的表面积是__________.（结果保留）π【答案】或20π16.5π【解析】【分析】根据平行投影的性质得出①当圆柱底面圆的直径为3，高为4，②当圆柱底面圆的直径为4，高为3，进而求出其表面积．【详解】解：圆柱的轴截面平行于投影面，且它的正投影是长为4、宽为3的矩形，所以需分两种情况讨论：圆柱底面圈的直径为4、高为3，圆柱底面圆的直径为3、高为4，①当圆柱底面圆的直径为4、高为3时，圆柱的表面积为；22232220⨯⨯+⨯=πππ②当圆柱底面圆的直径为3、高为4时，圆柱的表面积；22 1.542 1.516.5⨯⨯+⨯=πππ故答案为：或.20π16.5π【点睛】根据平行投影的性质得出①当圆柱底面圆的半径为1.5，高为4，②当圆柱底面圆的半径为2，高为3，进而求出其表面积．10．如图，晚上小红由路灯A 走向路灯B ，当她走到点P 时，发现她的影子顶部正好接触到路灯B 的底部，此时她距离路灯A ，距离路灯B .如果小红的身高为，那么路灯A 的高度是___________m .20m 5m 1.2m【答案】6【解析】【分析】小亮的身影顶部正好接触路灯B 的底部时，构成两个相似三角形，利用对应线段成比例解答此题．【详解】解：如图，根据题意，得，1.2205===，，CP m AP m BP m 则，20525=+=+=（）AB AP BP m由中心成影性质可知，BAD BPC ∆∆∽，PC PB AD AB ∴=，1.2525AD ∴=，6m AD ∴=∴路灯A 的高度是.6m 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．11．如图是一个球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会_____________.（填“逐渐变大”“逐渐变小”）【答案】逐渐变大【解析】【分析】在灯光下，离点光源越近，影子越大；离点光源越远，影子越小，所以当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大．【详解】解：根据中心投影的特点，可得：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大，故答案为：逐渐变大.【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．12．如图，小明在A时测得旗杆的影长是2米，B时测得旗杆的影长是8米，两次的日照光线恰好互相垂直，则旗杆的高度是______米．【答案】4【分析】如图，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．【详解】解：如图，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D ，∴Rt △PCQ ∽Rt △DPQ ，∴=PQ QC QD PQ 即，8=2PQ PQ ∴PQ=4，即旗杆的高度为4m ．故答案为4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，也考查了平行投影，找准相似三角形是解答此题的关键．13．在同一时刻，测得身高的小明同学的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗1.8m 3m 20m 杆的高度为____________________．m 【答案】12【分析】根据同时同地物高与影长成比例列式计算即可得解．【详解】解：设旗杆高度为xm ，由题意得，，1.8=320x 解得：x=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成比例，需熟记．14．如图是小孔成像原理的示意图，点与物体的距离为，与像的距离是，O AB 30cm CD 14cm . 若物体的高度为，则像的高度是_________.//AB CD AB 15cm CDcm 【答案】7【分析】根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案.【详解】作OE ⊥AB 与点E ，OF ⊥CD 于点F根据题意可得：△ABO ∽△DCO ，OE=30cm ，OF=14cm ∴OE AB OF CD =即301514CD =解得：CD=7cm故答案为7.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也成比例，周长同样成比例，均等于相似比.3、解答题AB BC DE EF M 15．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有MN一颗大树，它的影子是．()1P试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线．()2在图中画出表示大树高的线段．()3D若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；（2）利用AB，DE，确定大树的高，（3）运用视角连接AD，即可得出能否看见大树．【详解】()1()2()3解：根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；如图所示：如图所示，小明的眼睛D近似地看成是点，小明不能看见大树．【点睛】本题考查平行投影，视点、视角和盲区.16．如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角为，窗户的一部分在教室地面BPC ∠30所形成的影长为米，窗户的高度为米．求窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离PE 3.5AF 2.5D ．，结果精确米）AD 1.7≈0.1【答案】窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离为．D AD 0.8m 【解析】【分析】如下图，过E 作EG ∥AC 交BP 于G ，根据平行线的性质，可得在Rt △PEG 中，∠P=30°；已知PE=3.5m ．根据三角函数的定义，解三角形可得EG 的长，进而在Rt △BAD 中，可得tan30°=，解可ABAD 得AD 的值．【详解】过E 作EG ∥AC 交BP 于G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BFEG 是平行四边形。

3《室内设计工程制图》第三章制图投影绘制1-投影与制图、三视图

透视投影图
3.透视投影图
透视投影图是物体在一个投影面上的中心投影，简称为透视图。这种图形象逼真，如照片一样，但它度量性差，作图繁杂，如图所示。在建筑设计中常用透视投影来表现所设计的建筑物建成后的外貌。
4.标高投影图
标高投影图是一种带有数字标记的单面正投影图。它用正投影反映物体的长度和宽度，其高度用数字标注，如图所示。这种图常用来表达地面的形状。作图时将间隔相等而高程不同的等高线（地形表面与水平面的交线）投影到水平的投影面上，并标注出各等高线的高程，即为标高投影图。这种图在土木工程中被广泛应用。
课后习题：
1. 什么是投影？ 2．什么是投影现象？投影法有几种？ 3．正投影法中的点、直线、平面有哪些投影特征？ 4．三视图都有那些内容？ 5．三视图的对应关系是什么？
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图 3-2 中心投影法
图 3-2 中心投影法与透视图
3.1 投影与制图
2．平行投影法所有的投影线相互平行的投
影方法叫平行投影法，如太阳离地球较远，所照射出的光线可作为平行光线，所得的投影称为平行投影。
根据投影线是否与投影面垂直，平行投影法又分为正投影法和斜投影法。
1）正投影——投影线垂至于投影面称为正投影法，所得的投影 △abc称为正投影，如图3-3所示。
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第三章制图投影绘制
目录
1 3.1 投影与制图 2 3.2 三面投影图及其对应关系 3 3.3 点、直线、平面的投影 4 3.4 体的投影
2
3.1 投影与制图
3.1.1 投影法
•
在日常生活中，存在着一些投影现象。例如物体在灯光或阳光的照射下，

组合体投影知识点总结

组合体投影知识点总结一、组合体的概念和特点1.1 组合体的定义组合体是由两个或两个以上的立体图形组成的整体。

组合体由多个立体图形相互组合而成，它不是一个单独的立体图形，而是由多个立体图形构成的整体。

1.2 组合体的特点组合体与常见的立体图形不同，具有以下几个特点：（1）组合体不是一个简单的立体图形，而是由多个立体图形组成的整体。

（2）组合体的表面积和体积等于组成它的各个立体图形的表面积和体积的和。

1.3 组合体的分类根据组合体的组成方式，可以将组合体分为以下几类：（1）基本组合体：由两个或两个以上的基本立体图形组合而成的组合体，如长方体和圆柱体组合成的组合体等。

（2）复合组合体：由多个基本组合体组合而成的组合体，如由长方体和球体组合而成的组合体等。

二、组合体的表面积和体积计算2.1 组合体的表面积组合体的表面积等于组成它的各个立体图形的表面积的和。

计算组合体的表面积时，需要计算每个立体图形的表面积，然后将它们的表面积相加即可得到组合体的表面积。

2.1.1 基本组合体的表面积计算基本组合体的表面积等于各个基本立体图形的表面积之和，如长方体和圆柱体组合成的组合体的表面积等于长方体的表面积加上圆柱体的表面积。

2.1.2 复合组合体的表面积计算复合组合体的表面积等于各个基本组合体的表面积之和，如由长方体和球体组合而成的组合体的表面积等于长方体的表面积加上球体的表面积。

2.2 组合体的体积组合体的体积等于组成它的各个立体图形的体积的和。

计算组合体的体积时，需要计算每个立体图形的体积，然后将它们的体积相加即可得到组合体的体积。

2.2.1 基本组合体的体积计算基本组合体的体积等于各个基本立体图形的体积之和，如长方体和圆柱体组合成的组合体的体积等于长方体的体积加上圆柱体的体积。

2.2.2 复合组合体的体积计算复合组合体的体积等于各个基本组合体的体积之和，如由长方体和球体组合而成的组合体的体积等于长方体的体积加上球体的体积。

方位投影

第三章方位投影3.1 方位投影的种类和基本原理(1)正轴方位投影(2)斜轴方位投影(3)横轴方位投影()f ρϕ= δλ=cos x ρδ=sin y ρδ=6''1A D d AD RdZρμ== ''2sin D C d DC rd R Zρδρμα===面积变形为:天顶距122sin d P ab R ZdZ ρρμμ===最大角度变形为:1212sin 2a b a b μμωμμ--==+- 以上公式也可以写成如下的形式:(90)d d m Rd Rd ρρϕϕ==-- sin(90)d n rd R ρλρλϕ==- 2sin(90)d P mn R d ρρϕϕ==-- sin 2m n m nω-=+ 其中m 和n 分别是经纬线长度比.3.2 等面积方位投影等面积投影的条件为:1221sin d P R ZdZ ρρμμ===因此有:2sin d R ZdZ ρρ=2sin d R ZdZ ρρ=⎰⎰对上式积分得:22cos 2C R Z ρ=- 因为当Z=0时0ρ=,因此有:202C R =- 因此得: 22222(1cos )4sin 2Z R Z R ρ=-= 开方得:2sin 2Z R ρ=因此长度比公式为:1cos d Z RdZ ρμ== 2sec sin Z R Z ρμ==面积比为:P=1,由于secZ ＞cosZ,因此有:2sec a Z μ==1cos b Z μ==最大角度变形值为:tan(45)sec 42Z ω+== 等面积方位投影为兰勃特于1772年所创,故又称为等面积方位投影.3.3 等距离方位投影等距离条件为:11d RdZ ρμ== 因此有: d RdZρ=RZ Cρ=+因为Z=0时ρ=0,因此有:RZ ρ=因此等距离方位投影公式为:11μ= 2sin sin ZR Z Zρμ==12sin Z P Z μμ==tan(45)4ω+==此投影为波斯托于1581年所创.3.4 透视方位投影的种类和一般公式透视方位投影可以分为以下几个种类:(1)正射投影(2)外心投影(3)球面投影(4)球心投影并根据投影面与地球面的不同关系可以分成:正轴、斜轴和横轴投影。

03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换

a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面

建筑工程技术《第3章投影基本知识》

第三章投影的基本知识3．1 投影的形成与分类一、投影的概念产生投影必须具备：1、光线——投影线；2、形体——只表示物体的形状和大小，而不反映物体的物理性质；3、投影面——影子所在的平面。

投影三要素：投影线；物体；投影面。

二、投影的分类投影分为两种：中心投影和平行投影。

1、中心投影法——由点光源产生放射状的光线，使形体产生投影，叫做中心投影。

2、平行投影法——当点光源向无限远处移动时，光线与光线之间的夹角逐渐变小，直至为0，这时光线与光线互相平行，使形体产生的投影，叫做平行投影。

平行投影又分为正投影和斜投影。

正投影是投影线与投影面垂直的投影。

正投影具有作图简单，度量方便的特点，被工程制图广泛应用，其缺点是直观性较差，投影图的识读较难。

标高投影是带有数字的正投影图。

投影线与投影面倾斜的投影称为斜投影，这种投影直观性较好，但视觉效果没有中心投影图逼真。

三、平行投影的特性定比性；积聚性；类似性；平行性；度量性；3 2 三面投影图一、投影面的设置三面投影的必要性。

由于三面投影图能唯一的确定形体的形状，因此，作形体投影图时，应建立三面投影体系，即水平投影面（H）、正立投影面V、和侧立投影面W。

形体在三面投影体系中的投影，称作三面投影图。

二、三面投影图的形成及展开规则1、水平投影图水平投影面用字母H表示，形体的水平投影反映形体的长度和宽度。

2、正面投影图正立投影面用字母V表示，形体的正面投影反映了形体的长度和高度，如图所示。

3、侧面投影图侧立投影面用字母W表示，形体的侧立投影反映了形体的高度和宽度。

三、三面投影图的特性作形体投影图时，形体的位置不变，展开后，同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐——长对正，同时反映形体高度的正面图和侧面图上下对齐——高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影前后对齐——宽相等。

“长对正、高平齐、宽相等”是形体三面投影图的规律，无论是整个物体，还是物体的局部都符合这条规律。

《工程制图及CAD绘图》投影法基础知识

3.4.1 各种位置的直线
3.4.1 各种位置的直线
(3)一般位置直线。若空间直线相对于三个投影面均处于倾斜位置，这样的直线称之为一般位置直线。该直线的三面投影均与投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如图所示。
3.4.2 直线上的点
(1)投影面平行面。若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行面，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在与其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上的投影积聚成一条直线，且平行于相应的投影轴，如表所示。
3.5.2 各种位置平面及其投影特性
YH
Z
az
a"
O aYW YW
aYH YH
3.3.2 点的三面投影与直角坐标的关系
空间点A到三个投影面的距离，也就是A点的三个直角坐标X 、Y、Z。即，点的投影与坐标有如下关系：
（1）点A到W面的距离 Aa"=a'aZ=aaYH=OaX=XA；（2）点A到V面的距离 Aa'=a"aZ=aaX=Oay=YA；（3）点A到H面的距离 Aa=a'aX=a"aYW=OaZ=ZA。
3
3.3 点的投影
3.3.1 点在三投影面体系中的投影
在三投影面体系中，三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX、OY、OZ，它们相互垂直并交于O点，形成三投影面体系。
Z
V a'
az
A
ax X
a"W O
Ha
ay
Y
V a'
ax X

土木工程制图第三章点直线和平面的投影

则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等；各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法：若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行相交交叉垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d

建筑制图与识图3立体的投影

3
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面，与截平面求交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。

机械制图第三章

V
a
Z
a
Z
a
A
b
b
b
a
W
X
O
YW
X
b
B
a(b)
YH
a(b)
投影特性：1． a b 积聚成一点 Y
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
z a
b
X
O
YW
a
b YH
投影特性： 1． ab 积聚成一点
2． ab OX ; ab OZ
k
a K
B
A
X
O
因k不在a b上，
a k
故点K不在AB上。
b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。
V b
k
a K
B
A
X
O
a k
b
因k不在a b上，故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
１、平行两直线
b
d
V
d
b c
D a
c
B
a
X
o
X
A
CO
b
d
b
d
2． a b、ab、a b 均倾斜于投影轴
3．不反映、、实角
3.投影面平行线
水平线正平线侧平线
水平线 — 只平Z 行于水平投影面的Z 直线
V
a b
a
b
a
b
A
a W
B
b X
O
YW
X
a
a

《3.1投影》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级下册

《投影》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《投影》课程的学习，使学生掌握投影的基本概念、性质及在几何中的应用。

通过作业练习，巩固学生对投影知识的理解，提高其应用能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 基础概念理解：学生需熟记投影的定义、分类及基本性质，包括正投影与斜投影的区别，平行投影与中心投影的特点等。

2. 理论应用：设计一系列题目，让学生运用投影知识解决简单的几何问题。

例如，通过画图分析，理解在给定条件下如何进行投影变换，并求解相关几何量。

3. 实践操作：布置与投影相关的手工操作作业，如利用纸张、尺规等工具制作简单的投影模型，观察并记录投影变化的过程和结果。

4. 综合练习：设置综合性的题目，要求学生综合运用所学知识，解决较为复杂的实际问题。

例如，设计一个场景，让学生分析在不同投影方式下，物体形状和大小的变化。

三、作业要求1. 认真阅读教材及相关资料，理解并掌握投影的基本概念和性质。

2. 独立完成作业，不抄袭他人答案。

3. 对于实践操作部分，要认真观察、记录，并附上清晰的图文说明。

4. 作业中遇到的疑难问题，应通过自主学习或请教老师、同学等方式解决。

5. 按时提交作业，按照教师指定的格式和要求完成。

四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和反馈。

2. 评价内容包括学生对基本概念的掌握程度、理论应用的正确性、实践操作的认真程度及综合练习的完成情况等。

3. 对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，及时指出并给予指导。

五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，总结学生在学习中存在的问题和不足，并给出相应的建议和指导。

2. 对于共性问题，可以在课堂上进行讲解和示范，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

3. 鼓励学生主动向教师提问，及时解决学习中的疑惑和困难。

4. 定期与学生进行交流和沟通，了解学生的学习情况和需求，以便更好地指导学生的学习。

工程制图点、直线及平面的投影

工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院机械系张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院机械系张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院机械系张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线二、一般位置直线
20
工学院机械系张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院机械系张文斌
红河学院（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A

3章点的投影

学习要求§3.1 点的投影§3.2 两点的相对位置第三章点的投影本章目录第3章点的投影点是构成形体的最基本元素，熟练掌握点的投影规律及其它们之间的相互关系，为学习直线、平面、曲线、曲面及立体等打下良好的基础。

本章将讨论本章学习基本要求熟练熟悉两点的相对位置的判别。

能熟练判别重影点的可见性。

3.1.1 点在三面投影体系中的投影如图3－1(a)所示，将空间点Ａ放置在三面投影体系中，通过点Ａ分别向Ｈ面、Ｖ面和Ｗ面作垂直投射线，则三条投射线与三个投影面的交点分别为点Ａ在Ｈ面的投影a；在Ｖ面的投影a‘及在Ｗ面的投影a″。

a、a′、a″即为空间点Ａ的三面投影。

展开投影面体系后，如图３－１（b）所示。

动画演示点在三投影面中的表示:空间点用英文大写字母（如A、Ｂ…）表示，其投影用小写字母(如Ｈ面用a、b…)表示,V面投影用相应小写字母并在右上方加一撇(如a′、b′…）表示，W 面投影用相应小写字母并在右上方加两撇（如a″、b″…3.1.2 点的投影特征点在三面投影体系中的投影特征为：１．点的投影连线垂直于相应投影轴，如aa′⊥ox 。

a′a″⊥oz2．点的投影到投影轴的距离等于空间点到相邻投影面的距离。

a′a x = a″a y w=Aaaa x =a″a z =Aa′aa yH =a′a z =Aa″。

由上可知，点到某一投影面的距离等于点在另两投影面上的投影到相应投影轴的距离。

动画演示例3-1 已知点A 的水平投影a 及正面投影a′，求作点A 的侧面投影a″(图3-2a)。

分析：根据点在三面投影体系中投影特征：a′a″⊥oz ；aa x = a″az ，即可求得a″。

作图：(1)过a′作oz 轴的垂线；(2)量取aa x =a″a z ，a″即为所求，如图3-2（b ）所示。

用图3-2（c ）、（d ）、（e ）所示的三种方法也可求得同一结果。

动画演示3.1.3 特殊位置的点当点距某一投影面的距离为零时，该点便在此投影面内。

工程制图第3章

9
高等平面倾斜于投影面时，平面倾斜于投影面时，则平面在该投影面上的投影形状与教原形状类似，表现为边数、平行关系、凹凸、育原形状类似，表现为边数、平行关系、凹凸、直或曲线边均机保持不变械多边形ABCDE 类多边形专与H面倾斜面倾斜业
6.类似性
机械工程
投影后，投影后，多边形 abcde与ABCDE类似与类似
实长
实长
实长实长
小结：直线在所垂直的投影面上的投影成一点，机小结：1. 直线在所垂直的投影面上的投影成一点，有械积聚性工 2.其它两投影都反映线段实长其它两投影都反映线段实长, 程 2.其它两投影都反映线段实长,且垂直于相应投影轴
制作：李俊武
30
高等教育机械类专业
11
高等教育机械类专业
2.点的三面投影 2.点的三面投影
(1)点的三面投影 1）将空间点A置于三面投影中 ax 2）过点A分别向三个投影面作垂线 3）三个垂足即为点A的三面投影图
ay az
机面上的投影——用a、b、c……表示用械在H 面上的投影工在V 面上的投影面上的投影——用a′、b ′ 、c ′……表示用表示程在W 投影连线：aa′，aaa″，aaY ，a’’a″……表示 a 面上的投影——用 ’ ″、b ″ 、c Y 面上的投影用表示
机械工程制作：李俊武
7
高等直线、平面平行于投影面时，直线、平面平行于投影面时，则在该投影面的投影反映直教线的实长或平面的实形育机 AB//P，∆ABC//P ，械类专业
4.实形性
机械工程
ab = AB（反映实长）； ∆ abc反映 ABC的实形反映∆ （反映实长）；反映的实形制作：李俊武

3.1投影法概念

二、投影法分类
1、中心投影法
投射线汇交一点的投影法
2、平行投影法斜投影法：投射线∠投影面
投射线互相平行的投影法
正投影法：投射线⊥投影面
三、正投影的投影特性
1、实形性
2、积聚性
3、类似性
4、平行性
5、从属性
6、定比性
教学
程序
教学内容及教学活动
教学手段与
教学方法
新授：
第3章三视图及投影基础
§3-1投影法的基本知识
一、投影法概念பைடு நூலகம்
物体被灯光或日光照射，在地面或墙面上就会留下影子，这就是投影现象。物体--影子
投影法——投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。
投影——根据投影法所得到的图形
投影面——投影法中得到投影的面
二、投影法分类
1、中心投影法
投射线汇交于一点的投影法，称为中心投影法。
用中心投影法所得到的投影不能反映物体原来的真实大小，它不适用于绘制机械图样。
╲斜投影立体感机械辅助图样
三、正投影的基本特性
1、实形性
直线∥投影面：其投影反映直线的实长
平面图形∥投影面：其投影反映平面图形的实形
2、积聚性
直线、平面、柱面⊥投影面：其投影分别积聚为点、直线、曲线
3、类似性
直线、平面∠投影面：直线投影仍为直线，平面投影为类似形
4、平行性
空间相互平行的直线，其投影一定平行
在平行投影法中，投射线与投影面垂直时，称为正投影法。按正投影法得到的投影称为正投影。
机械图样按正投影法绘制。因为正投影法所得到的投影能真实地反映物体的形状和大小，度量性好，作图简便。
分类条件优点、缺点应用
小结：投影法╱中心投影法：光源汇交-物体-面立体感失实放大建筑外形设计