北京三十五中2015-2016学年九年级上数学期中考试试题及答案

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2015-2016学年北京市第三中学九上期中数学试卷

2015年北京市第三中学九年级上期中数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，在中，若，，若的面积等于，则的面积等于 ( )A. B. C. D.2. 在平面直角坐标系中，已知点和点，则等于 ( )．A. B. C. D.3. 抛物线的顶点坐标是 ( )A. B. C. D.4. 在中，，若，，则的值为 ( )A. B. C. D.5. 下列三角函数值错误的是 ( )A. B. C. D.6. 如图，身高为米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是 ( )A. 米B. 米C. 米D. 米7. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为 ( )A. B. C. D.8. 如图，将的三边分别扩大一倍得到（顶点均在格点上），若它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是 ( )A. B. C. D.9. 同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是 ( )A. B.C. D.10. 如图，正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动．设运动时间为（），的面积为（），则（）与（）的函数关系可用图象表示为 ( )A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，在中，分别交，于点，，若，，则与的周长的比为．12. 点，在二次函数的图象上，若，则与的大小关系是．（用“ ”、“ ”、“ ”填空）13. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为．14. 关于的二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．15. 如图，在中，，，，于点，那么的值是．16. 在平面直角坐标系中，直线和抛物线在第一象限交于点，过作轴于点．如果取，，，，时对应的的面积为，，，，，那么；．三、解答题（共13小题；共169分）17. 计算：．18. 若二次函数的图象经过、两点，求此二次函数的解析式．19. 如图，中，点在上，，若，，求的长．20. 已知二次函数（1）用配方法将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当时，求的取值范围．21. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树顶的仰角高度为（、、三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度．（结果保留根号）22. 如图，矩形中，平分，且于点，联结，如果，，求的值．23. 已知抛物线（）（1）求证：该抛物线与轴总有两个交点．（2）当抛物线与轴的两个交点横坐标为整数时，求的整数值．24. 某工厂设计了一款产品，成本为每件元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足（），设销售这种产品每天的利润为（元）．（1）求销售这种产品每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少元?25. 如图1，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，得到．联结、，设和的面积分别为和．（1）直接写出︰的值．（2）如图2，，，，当旋转角为（）时，求与的比值．26. 如图，在四边形中，，于，，，与交于点，，．（1）求、的长；（2）证明：；（3）求的长．27. 阅读理解：如图，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫作四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫作四边形的边上的强相似点．解决问题：（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2 中画出矩形的边上的一个强相似点；（3）拓展探究：如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．28. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量的取值范围是；（2）下表是与的几组对应值．求（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：．29. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，，是线段上的一个动点（与点、点不重合），过点作交于点，连接．（1）求过、、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在平行于的直线，使得该直线与抛物线只有一个公共点，若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式；（4）在（3）的条件下试说明是否存在最大值?若存在，请直接写出的最大值．答案第一部分1. D2. B3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. D 【解析】A．由图中抛物线开口向下可知，，，直线，故A错误；B．由图中抛物线开口向上可知，，，所以对称轴位于轴左侧，故B错误；C，由直线可知，由图中抛物线开口向上可知，，，故C错误．10. B【解析】易证，，四边形四边形第二部分11.12.13.14. （答案不唯一）15.16. ，【解析】，时，，的面积．，，，，，．第三部分原式17.18. 二次函数的图象经过、两点，解得二次函数的解析式为．19. ，，．．，，．．．20. （1）．（2）（3）当时，．21. ，．．（米）．在中，（米）．答：这棵树的高度为米．22. 过点作于点．四边形是矩形，，．是的角平分线，．，，，．在中，，．在中，，，．．在中，，．．23. （1）且该抛物线与轴总有两个交点．（2）令，则，解得：，．又为整数，且方程的根为整数，且．．24. （1）（2）．当销售单价定为元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是元．25. （1）︰︰（2）绕点顺时针旋转角得到，．，，．．︰︰︰．26. （1），．，．．，，．，．（2），．．，，．．．（3），，．．．，．．27. （1）点是四边形的边上的相似点．理由：，．，．．，．点是四边形的边上的相似点．（2）作图如下，（3）点是四边形的边上的一个强相似点，．由折叠可知，，，，，．在中，，，．28. （1）（2）令，，．（3）如图，（4）①该函数没有最大值②该函数在处断开③该函数没有最小值④该函数图象没有经过第四象限29. （1）点的坐标为，，．设二次函数的解析式为，把、、三点代入可得解析式，得解得二次函数的解析式为（2）、直线的解析式为．又，，．设直线的解析式为因为该直线与抛物线只有一个公共点则联立①②，得．令，得．解得．直线的解析式为．（3）过点作的垂线，垂足为．，．，，，．在和中即，（4）最大值【解析】由（3）可知．，存在最大值，当时，最大值为．。

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初中数学试卷桑水出品2015-2016学年第一学期九年级期中联考数学试卷答案三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分） 17．（5分）解： a ＝4.b ＝-8,c ＝-1 ……………………………………………… 1’ ∵ b 2-4ac ＝(-8) 2-4×4×(-1)＝80＞0…………………………………………………… 2’∴x ＝a ac b b 242-±-＝4280)8(⨯±--＝252±……………….4’∴x 1＝252+ ,x 2＝252- …………………………………….5’18.（8分）解：（1）P(摸到红球)＝31…………………… ……2’ (2)………… 6’一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次取出相同颜色球的结果有3种，…∴P （两次取出相同颜色球）＝93＝31…… ……………… 8’19（8分）证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知）， ∴AB ∥DE ，AB=DE （平行四边形的对边平行且相等）； ∴∠B=∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB=AC （已知）， ∴AC=DE （等量代换），∠B=∠ACB （等边对等角）， ∴∠EDC=∠ACD （等量代换）； ∵在△ADC 和△ECD 中，，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；(证得AC=DE 给2分，证得∠EDC=∠ACD 给2分，最后结论1分) （2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD=AE （平行四边形的对边平行且相等）， ∴AE ∥CD ；又∵BD=CD ，∴AE=CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 7’ 由（1）可知，AC=DE ，∴▱ADCE 是矩形． 8’ 20．（6分） .解：（1）画图略 2分（2）画图略 2分坐标为（1,0） 1分（3）面积10平方单位 1分21.（8分）解：设每件衬衫应降价x 元. 1’ 则依题意，得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 5’整理，得2302000x x -+=，解得:1210,20x x ==. 7’∵商场要尽快减少库存， ∴只取x 2=20答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元． 8’22.（8分）（1）证明∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，1’∴AE=DE，AF=DF，2’∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，3’同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，4’∵AE=DE∴▱AEDF是菱形. 5’（2）解：∵▱AEDF是菱形.∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，6’∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，8’23.（9分）解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,∴BC∥x轴, BA∥y轴，∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），1’代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；2’∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线y=3x上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；3’（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若△FBC∽△DEB，则即：∴FC=4 3∴OF=3-43=53∴点F1的坐标为（0，）4’设直线F1B的解析式y1=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线F1B的解析式y1=2533x+5’若△FBC∽△E DB，则CF BC EB DB=即：2 31 2CF=∴FC=3∴OF=3-3=0∴点F2的坐标为（0，0）6’设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）则2m=3,解得：m=32，∴直线F2B的解析式y2=32x 7’当点F在点C上方时，同理可得：y3=21333x-+;y4=362x-+综上所述，直线FB的解析式有4种可能，分别是：y1=2533x+；y2=32x；y3=21333x-+;y4=362x-+9’。

2015-2016北京海淀区九年级数学期中试题与答案

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（分数：120分时间：120分钟）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．2,1,3B ．2,1,3-C ． 2,1,3-D ．2,1,3-- 2．下列图形是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =+ D ．()22y x =- 6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为A ．9πB ．6πC ．3πD ．π 7．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是A ．()221x -= B ．()227x -= C ．()227x += D ．()221x +=8．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中不正确．．．的是A ．0a <B ．0c >C ．0 <12ba-< D ．0a b c ++< 9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若 33=∠DBC ，则A ∠等于A ． 33B ．57C ．67D ．6610．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表： x /分 … … y /米……下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 A ．7分 B ．分 C ．6分 D ．分二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程240x -=的解为_______________．12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ，则a____b （填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，则∠ABC =______°． 15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取）．16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），得到'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB ．（1）''A OB ∠=_______〬；（2）当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232=-．x x18．若抛物线23=++与x轴只有一个交点，求实数a的值．y x x a19．已知点(3, 0)在抛物线k-=)3(32上，求此抛物线的对称轴．+xxky-+20．如图，AC是⊙O的直径，P A, PB是⊙O的切线，A, B为切点，∠BAC．求∠P的=25度数．21．已知x=1是方程22x ax a-+=的一个根，求代数式250--的值．a a315722．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为，求水面下降的高度．23．已知关于x的方程)0a-axax.-(-)3(032>=（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（5取2.2 ）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 的度数．26．抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若14≤≤-x ，则21y y -的最小值为________.27.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠.（1）求证：CP 为⊙O 的切线；（2）BP =1，5CP =. ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，则OM +DM 的最小值为 .28.探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；(2)如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2 解决问题：1(1)(2)04x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <.若12b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为（用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1）如图1，若点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，则α=________︒；（2）若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数；（3）当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.图1 图2 备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320.x x -+= ……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ． ∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分 ∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º. ∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． …………………………2分在Rt △OAM 中， ∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2， ∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m. …………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为．…………………………5分25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º．在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒． ∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º． …………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b ∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分（2）12-. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . (1)分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º．∴∠PCD+∠OCD =90º．∴∠OCP =90º．∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分（2）解：①设⊙O 的半径为r .在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示： ……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29. 解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠.∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分（3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分xy F E PQ A O M N。

2015-2016学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案

()
（2）以坐标原点 O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于 2：1．
21．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，且 = ，连结 DE．若 AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
3．如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE 的是 ()
A．∠ADE=∠B B． = C．∠AED=∠C D． =
4．如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、B 间的距离：先在 AB 外
选一点 C，然后测出 AC，BC 的中点 M，N，并测量出 MN 的长为 12m，由此他就知道了
x
…
0
1
2
3
4
y
…
4
1
0
1
4
点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当 1＜x1＜2，3＜x2＜4 时，y1 与 y2C．y1≥y2 D．y1 ≤y
2
10．如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别从 B，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC，CD 运动，到点 C，D 时停止运动，设运动时间为 t（s），△OEF 的面积为 s（cm2），则 s（cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为
A、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是(
)
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是(

北京三十五中2015-2016学年九年级上数学期中考试试题及答案

A
2．如图，在△ABC中，若 DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于 2， D E
则△ABC的面积等于（
）
A.
B 3.如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是（）
A． sin A
5 3
cos A 2
B．
3
C． sin
A
CD 的长为（）
A．
4 3
B．8
C．12
D．16
九年级数学共 6 页第 1 页
于
M
,
M
',
N
',
N
,l
与
DC
的夹角为
，那么
MM ' NN
的值为（用含
的三角比表示）.
三、解答题（本大题共 13 小题，共 72 分，第 1'7-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
北京市第三十五中学 2015-2016 学年度第一学期期中质量检测
九年级数学（满分 120 分，时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.抛物线 y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是（）
A．（2，－3） B. （－2，3） C. （2，3） D. （－2，－3）
（3）根据图象写出 y2 < y1 时， x 的取值范围．
21.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，sin B 3 ， 5
点 D 在 BC边上，DC= AC = 6，

北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)

北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．34．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+37．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞08．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．89．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1y2．（用“＞”或“＜”填空）．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n 为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是，顶点坐标是；y的取值范围是．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．2015-2016学年北京市教院附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变，可得答案．【解答】解：4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质：等式的两边都除以20是解题关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．18【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可以求出AD：BD=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=DE：BC=1：3，∴S△ADE：S△ABC=（AD）2：（AB）2=1：9，∵△ADE的面积等于2，∴△ABC的面积等于18，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理，得AB==．cosB===，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】位似变换．【专题】计算题．【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．9．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4﹣x），配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴=，即=，∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1＞y2．（用“＞”或“＜”填空）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性，x＜2时，y随x 的增大而减小解答．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∵2＞﹣1＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， =，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意画出图形，设BC=4x，则AC=3x，根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=4x，则AC=3x，∴AB==5x，∴s inB===．故答案为：．【点评】本题考查的是互余两三角函数的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【解答】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= 6 ，A n B n= n（n+1）．（n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣×1+=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】先把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a和b的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得．所以此二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC；（2）∵△AED∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴，∴AE=．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出△ABC放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点坐标，进而得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求，A′（10，2），B′（10，6），C′（2，4）．【点评】此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3 ．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）根据抛物线y=x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3．解得x1=﹣1，x2=3．抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴，∴．∴CE=3+1.7=4.7．答：这棵树的高度为4.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600（2）w=2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．【解答】解：【尝试】（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，∴点A（2，0）在抛物线l上．（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．【应用1】将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点评】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，。

2016三十五中初三(上)期中数学

2016三十五中初三（上）期中数学一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣24．（3分）为拉动内需促进消费，某品牌的电视机经过两次降价，从原来每台6000元降到现在的每台4860元，求平均每次的降价率是多少？设每次降价率为x，由题意列方程为（）A．4860（1+x）2=6000 B．4860（1﹣x）2=6000C．6000（1﹣x）2=4860 D．6000（1+x）2=48605．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠C的度数为（）A．116°B．58°C．42°D．32°6．（3分）在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A． B． C．24 D．167．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′坐标为（）A．（3，4）B．（7，4）C．（7，3）D．（3，7）9．（3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点A，作直线l∥BC，折叠三角形纸片ABC，使点B落在直线l上的P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，若设AP的长为x，MN的长为y，则下列选项，能表示y与x之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（每一空2分，共32分）11．（2分）如图所示，∠AOB=∠COD=46°，∠BOD=38°，扇形AOB顺时针旋转度后能与扇形DOC重合．12．（2分）若二次函数y=2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“=”或“＞”）．13．（2分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．14．（16分）抛物线y=3x2+6x﹣1化成顶点式是，它的顶点坐标是，对称轴方程是，当x 时，函数y随x的增大而增大，当x 时，函数y随x的增大而减小；当x=时，函数有最值为．15．（2分）如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为度．16．（4分）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B的坐标为（0，1），将△AOB绕原点O顺时针旋转60°到△A'OB'，A'B'恰好过点B，则B'的坐标为，重叠部分△BOE的面积为．17．（2分）已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8，则AC的长为．18．（2分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）三．解答题（第19-24题，每小题5分，第25题6分，第26题8分，第17、28题，每题7分）19．（5分）解方程：3x2﹣6x﹣2=0．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（5分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）当AB=4，AD：DC=1：3时，求DE的长．22．（5分）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x …0 1 2 3 4 5 …y … 3 0 ﹣1 0 m 8 …（1）可求得m的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．23．（5分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．24．（5分）阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．25．（6分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？26．（8分）已知：二次函数y=ax2+bx+c，y与x的一些对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 4 …ax2+bx+c … 3 ﹣1 3 …（1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为；（2）填齐表格中空白处的对应值并利用上表，用五点作图法，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是；（4）设y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连结PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．27．（7分）已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．数学试题答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故A选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D 选项错误．故选：C．2．【解答】因为y=（x+1）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选D．3．【解答】函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；故选B．4．【解答】依题意得：第一次降价的售价为：6000（1﹣x），则第二次降价后的售价为：6000（1﹣x）（1﹣x）=6000（1﹣x）2，∴6000（1﹣x）2=4860．故选C．5．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=32°，∴∠C=32°．故选D．6．【解答】如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵∠AOB=90°，∠A=∠AOC=45°，∴OC=AC，∵CO=4，∴AC=4，∴OA=4，∴⊙O的直径长为8．故选B．7．【解答】：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．8．【解答】当x=0时，y=﹣x+4=4，则B点坐标为（0，4）；当y=0时，﹣x+4=0，解得x=3，则A点坐标为（3，0），则OA=3，OB=4，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，∴∠OAO′=90°，∠AO′B′=∠AOB=90°，AO′=AO=3，O′B′=OB=4，即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，∴点B′坐标为（7，3）．故选C．9．【解答】①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．∴a﹣2b+4c＞0，故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．10．【解答】如图1中，作CG⊥AP于G．当点N与C重合时，在Rt△PGC中，∵∠G=90°，PC=CB=13，CG=AB=5，∴PG==12，∴PA=1，如图2中，当M与A重合时，易知AP=5，∵定端点M、N分别在AB、BC边上移动，∴1≤x≤5，观察图A、B、C、D都是正确的．如图3中，设MP=MB=a，在Rt△AMP中，a2=x2+（5﹣a）2，∴a=，由△APB∽△BMN，可得=，∴=，∴y=，观察图象可知：A、B、D是错误的（取特殊点代入判断即可）．故选C．二．填空题（每一空2分，共32分）11．【解答】∵∠AOB=∠COD=46°，∠BOD=38°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=84°，∴扇形AOB顺时针旋转84°后能与扇形DOC重合．故答案为：84．12．【解答】∵A（﹣3，m）、B（2，n）在函数y=2x2﹣3的图象上，∴m=2×（﹣3）2﹣3=15，n=2×22﹣3=5，∴m＞n，故答案为：＞．13．【解答】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．故答案为：2．14．【解答】y=3x2+6x﹣1=3（x+1）2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴方程为x=﹣1；当x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，函数y随x的增大而减小；当x=﹣1时，函数有最小值为﹣4．故答案为3（x+1）2﹣4；（﹣1，﹣4）；x=﹣1；＞﹣1；＜﹣1，小，﹣4．15．【解答】∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，∵∠ACO=40°，OA=OC，∴∠C=∠CAO=40°，∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．故答案为30°．16．【解答】过点B′作B′F⊥x轴于点F，根据旋转性质可得：OB=OB′=1，∠AOA′=∠BOB′=60°，∴∠BOE=∠B′OF=30°，在Rt△B′OF中，OF=OB′cos∠B′OF=1×=，B′F=OB′sin∠B′OF=1×=，∴点B′的坐标为（，），在Rt△AOB中，∵OB=1，AO=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=60°，∴∠OEB=90°，在Rt△BOE中，OE=OBsin∠ABO=，BE=OBcos∠ABO=，∴S△BOE=BE•OE=，故答案为：（，），．17．【解答】连结OA，∵AB⊥CD，∴AM=BM=AB=×8=4，在Rt△OAM中，OA=5，∴OM==3，当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8，在Rt△ACM中，AC==4；当如图2时，CM=OC﹣OM=5﹣3=2，在Rt△ACM中，AC==2．故答案为4或2．18．【解答】由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；﹣=﹣1，∴b=2a，∴②错误；根据图象关于对称轴x=﹣1对称，与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；∵b=2a＞0，∴﹣b＜0，∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，∴④错误．故答案为：①③．三．解答题（第19-24题，每小题5分，第25题6分，第26题8分，第17、28题，每题7分）19．【解答】∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=20．【解答】（1）∵关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0，∴m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是2，∴原方程为x2+3x+=0，解得：x1=，x2=．21．【解答】（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴△ABD≌△CBE，∴∠A=∠BCE=45°，∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°．（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB=4，∴AC=4，又∵AD：DC=1：3，∴AD=，DC=3．由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，∴DE2=DC2+CE2=2+18=20，∴DE=2．22．【解答】（1）（2）根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=x2﹣4x+3，当x=4时，m=16﹣16+3=3；（3）函数的顶点坐标是：（2，﹣1），当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3．故答案是：3；﹣1≤y＜3．23．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2，∴AP==2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2，∠ACD=60°，∴AD=AC•tan∠ACD=6．∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．24．【解答】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．25．【解答】（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．26．【解答】（1）∵由表格可知，x=0时，y=3；x=2时，y=﹣1；x=4时，y=3．∴解得a=1，b=﹣4，c=3．∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3．故答案为：y=x2﹣4x+3．（2）如下表所示：x …﹣1 0 1 2 3 4 …ax2+bx+c …8 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）由第（2）问的函数图象可知，当1＜x≤4时，y的取值范围是：﹣1≤x≤3；（4）∵y=x2﹣4x+3的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连结PC，∴点A的坐标为：（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），设P点坐标为（m，0），则PB=3﹣m．设过点A、C的直线的解析式为：y=kx+b∴解得，k=﹣3，b=3．∴y=﹣3x+3．∴设过点P（m，0）、E的直线的解析式为：y=﹣3x+c．∴0=﹣3m+c，得c=3m．∴y=﹣3x+3m．设点E的坐标为（x，﹣3x+3m）．∵S△PBC=，S△PBE=，∴S△PEC=S△PBC﹣S△PBE==．设过点B（3，0）、C（0，3）的解析式为：y=kx+c．∴解得k=﹣1，c=3．∴过点B、C的直线解析式为：y=﹣x+3．∵点E（x，﹣3x+3m），∴﹣x+3=﹣3x+3m．解得x=．∴S△PEC=．化简，得S△PEC==．∴m=2时，△PEC的面积最大．∴点P的坐标为：（2，0）．27．【解答】（1）当α=60°时，BD⊥A'A．（2）补全图形如图2，BD⊥A'A仍然成立；（3）猜想BD⊥A'A仍然成立．证明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点E，F，如图3，则∠AEC=∠A'FC'=90°．∵BC=BC'，∴∠BCC'=∠BC'C．∵∠ACB=∠A'C'B=90°，∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°．∴∠ACE=∠A'C'F．在△AEC和△A'FC'中，∴△AEC≌△A'FC'．∴AE=A'F．在△AED和△A'FD中，∴△AED≌△A'FD．∴AD=A'D．∵AB=A'B，∴△ABA'为等腰三角形．∴BD⊥A'A．28．【解答】（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2﹣（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．。

2015-2016学年北京市第三十五中学九年级上学期期中数学试题

北京市第三十五中学2015-2016学年度第一学期期中质量检测九年级数学（满分120分，时间120分钟）5•已知2sin 〉=1 （二为锐角），则二的度数为（）A . 30°B. 45°C.15°D.60 °6•已知二次函数 y=2（x+1）（x - a ），其中a>0，若当x <2时，y 随x 增大而减小，当x 》2时y 随x 增大而增大，则a 的值是（） A. 3 B. 5C. 7D.不确定7•将/ a 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tan a 的值是（）C .二一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1•抛物线y =— （x + 2）2- 3的顶点坐标是（） A . （2, - 3） B.(-2， 3)C. (2, 3)D. (- 2,- 3)2.如图，在△ ABC 中, 若 DE// BC AD ： BD=1 : 2,若厶ADE 的面积等于 2,则厶ABC 的面积等于 ()A.6B.8C.12D.183.如图，△ ABC 中，/ 0=90°, A . sin A 53 BC=2, AB=3 ,2COS A 一32C . sin A3D . tanA 亠24•若如图所示的两个四边形相似，则• 的度数是（）A . 87B .60 C . 75 D . 1202、5 5o9.如图，□ABCD 中，EF // AB , DE : EA = 1 : 2, EF = 4，则 CD 的长为（）A.- B . 8C . 12 D. 163C10.如图，已知矩形ABCD的长AB为5,宽BC为4. E是BC边上的一个动点，AE丄EF,EF交CD于点F.设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）已知a b b= 2，则牛——-12.已知方程ax2 bx 0（a = 0）的解是为=5, x2 = -3,那么抛物线y =ax2 +bx+c（a式0）与x轴的两个交点的坐标分别是_________________BE13.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则-的值是.15•如图，这个二次函数图象的表达式可能是. （只写出一个）.16•我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫做“方环形”，易知方环形四OM ,M , N ,N ,l与DC的夹角为MMNN的值为（用含的三角比表示）周的宽度相等.当直线l与方环形的邻边相交时（如图），I分别交AD, AD',DC ',DC AD,于三、解答题(本大题共13小题，共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7 分，第29题8分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算：tan 30 "-cos60 tan 45 sin 30 .18.如图，在△ ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，.ABC ADE ,AB =7, AD =3 , AE=2.7,求AC 的长19.已知：如图，△ ABC 中，/ ACB = 90° CD丄AB 于D,220.如图，二次函数y1 = x + bx+ c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且点B的坐标为(1,0), 点C的坐标为(0, -3)，一次函数y2= mx+ n的图象过点A、C.(1 )求二次函数的解析式；(2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；(3)根据图象写出y2 < y1时，x的取值范围.321. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, sin B=^~,求：sin/ ACD的值及AD的长.O5点D在BC边上，DC= AC = 6 ,O求tan / BAD的值.O22. 飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是s =60t -1.5t2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？飞机着陆后滑行多长时间能停下来?23. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）（1 ）将厶ABC向上平移3个单位得到△ A I B I C I，请画出厶A I B I C I；（2）请画一个格点△ A2B2C2，使△ A2B2C2SA ABC，且相似比不为1.r------ 1------ ----- 1 ------- T --r —1 IF--~ -- .I11II11ii111li111iii■ ■广■"T"I "■ F ■■「-■ ■厂■1i1i i111|I1j i I11I11* r *c1111I1■1111•-丄.-J -咅L .1■V■1t1111!11i1iU■亠■■」■-J --1 --L ..'L■亠-■Ii111111j1II111ih■■」■■J -■ 4 ■■ b ■■—・■ ■111-111n111li11111!- F ■”11»/i.■1i111乂11J1A*>1” c«11111111p I11111■ -r ■* T■ T ■"T "w r ■J1111111111!V I111i"T 'H"1 ""T "■ r •■「■T "1i11I'11II i11l11■1-□24. 如图，矩形ABCD中, E为AD中点，EF丄EC交AB于点F,连接FC （AB>AE , △ AEF和厶EFC相似吗？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由O25. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架。

2015-2016学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-含详细解析

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，1，3B. 2，1，C. 2，，3D. 2，，2.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.二次函数y=-（x+1）2-2的最大值是（）A. B. C. 1 D. 24.已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定5.将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D.6.已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.7.用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A. B. C. D.8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A.B.C.D.9.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于（）A.B.C.D.10.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A. 7分B. 分C. 6分D. 分二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程x2-4=0的解是______．12.请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式______．13.若二次函数y=2x2-5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a______b（填“＜”或“=”或“＞”）．14.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=________°．15.用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为______米（取1.4）．16.如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=______°；（2）当α=______°时，△A′B′C′的周长最大．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC=25°．求∠P的度数．四、解答题（本大题共12小题，共67.0分）18.解方程：x2=3x-2．19.若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．20.已知点（3，0）在抛物线y=-3x2+（k+3）x-k上，求此抛物线的对称轴．21.已知x=1是方程x2-5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2-15a-7的值．22.一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．23.已知关于x的方程3x2-（a-3）x-a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．24.在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？（取2.2）25.已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．26.抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=-2x+m相交于A（-2，n）、B（2，-3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若-4≤x≤1，则y2-y1的最小值为______．27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为______．28.探究活动：利用函数y=（x-1）（x-2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是______；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程-x-b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2-3x+2=x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为______（用“＜”连接）．29.在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=______°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-1，-3，故选：D．找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】A【解析】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A 是中心对称图形．故选：A．根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3.【答案】A【解析】【解答】∵y=-（x+1）2-2，∴此函数的顶点坐标是（-1，-2），即当x=-1函数有最大值-2故选：A．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（-1，-2），也就是当x=-1，函数有最大值-2．本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4.【答案】A【解析】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y=x2-2．故选：B．根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.【答案】B【解析】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为60°，∴S==6π．故选：B．已知了扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解．本题考查了扇形面积的计算．此题属于基础题，只要熟记扇形面积公式即可解题．7.【答案】C【解析】解：x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选：C．把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8.【答案】D【解析】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x=1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x=1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选D．由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x=1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围．本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．9.【答案】B【解析】解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，而∠DBC=33°，∴∠D=90°-33°=57°，∴∠A=∠D=57°．故选B．连结CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则利用互余可计算出∠D=57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10.【答案】C【解析】解：最值在自变量大于2.945小于3.06之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选C．由题意，最值在自变量大于2.945小于3.06之间，由此不难找到答案．此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．11.【答案】±2【解析】解：x2-4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．12.【答案】y=x2+x+1（答案不唯一）【解析】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+x+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+x+1等．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c=1．13.【答案】＜【解析】解：y=2x2-5的对称轴为x=0，开口方向向上，顶点为（0，-5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．根据二次函数图象的增减性即可解答．本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y 值越小．14.【答案】130【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∠D为弧AC所对的圆周角，∵∠D=∠AOC，而∠AOC=100°，∴∠D=50°，∴∠ABC=180°-50°=130°．故答案为130°．先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．15.【答案】0.6【解析】解：平面图如图所示：连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，则MN=x，OM=AM=OA=×2=，∴x=OM-ON=2-≈0.6（米）．故答案为：0.6米．画出平面图，连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，由正方形的性质得出MN=x，ON=AN=OA=，得出x=OM-ON，即可得出结果．本题考查了正多边形和圆的位置关系、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，画出图形，由正方形的性质求出ON是解决问题的关键．16.【答案】120；150【解析】解：（1）∠A′OB′==120°，故答案是：120；（2）△A'B'C'是等边三角形，△A′B′C′的周长最大，则边长最大，则OB'最大，当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上，OB'最大．∠BAO=∠BAC=30°，则a=180°-30°=150°．故答案是：150．（1）△A'B'C'是等边三角形，根据中心角的定义求解；（2）当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上时，OB'最大，A′B′C′边长最大，则△A′B′C′的周长最大．本题考查了三角形的旋转，正确理解△A′B′C′的周长最大的条件是关键．17.【答案】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵PA为切线，∴CA⊥PA．∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PAB=90°-∠BAC=65°，∴∠P=180°-2∠PAB=50°．【解析】先根据切线长定理得到PA=PB，则利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得∠CAP=90°，于是利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理．18.【答案】解：x2-3x+2=0，（x-2）（x-1）=0，x-2=0或x-1=0，所以x1=2，x2=1．【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19.【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，∴△=0，即9-4a=0．解得：a=．抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，则△=0．本题主要考查的是抛物线与x轴交点，根据题意得到△=0是解题的关键．20.【答案】解：把（3，0）代入y=-3x2+（k+3）x-k得，0=-27+（k+3）×3-k，解得，k=9，∴抛物线为y=-3x2+12x-9，∴对称轴为直线x=-=-=2，即直线x=2．【解析】把（3，0）代入y=-3x2+（k+3）x-k，求得k的值，然后根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟记对称轴公式是解题的关键．21.【答案】解：∵x=1是方程x2-5ax+a2=0的一个根，∴1-5a+a2=0．∴a2-5a=-1，∴3a2-15a-7=3（a2-5a）-7=3×（-1）-7=-10，即3a2-15a-7=-10．【解析】把x=1代入已知方程求得a2-5a=-1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．此题主要考查的是一元二次方程解的定义，注意整体代入思想在代数求值中的应用．22.【答案】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD，∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=1.6，CD=1.2，∴AM=AB=0.8，CN=CD=0.6，在Rt△OAM中，∵OA=1，∴OM==0.6．同理可得ON=0.8，∴MN=ON-OM=0.2（米）．答：水面下降了0.2米．连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23.【答案】（1）证明：△=（a-3）2-4×3×（-a）=（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即△＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：3x2-（a-3）x-a=0，（3x-a）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=．∵方程有一个根大于2，∴＞2．∴a＞6．【解析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．24.【答案】解：设下部应设计为x米，则上部的长度为（2-x）米，根据题意得，=，整理得，x2+2x-4=0，解得，x1=-1+，x2=-1-（舍去），所以，雕像的下部应设计为（-1+）≈1.2米．【解析】设下部应设计为x米，表示出上部长为（2-x）米，然后根据“上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比”列出方程求解即可．本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．25.【答案】解：分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，又∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD-∠OAC=15°；②如图（2），连接OC，OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD+∠CAO=105°，综上，∠CAD等于105°或15°．【解析】分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，得到半径为1，再利用勾股定理的逆定理得到三角形AOC为等腰直角三角形，再由AD=OA=OC得到三角形AOD为等边三角形，由∠OAD-∠OAC即可求出∠CAD的度数；②如图（2），连接OC，OD，同理由∠OAD+∠OAC即可求出∠CAD的度数．此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．26.【答案】-12【解析】解：（1）∵直线y2=-2x+m经过点B（2，-3），∴-3=-2×2+m．∴m=1．∵直线y2=-2x+m经过点A（-2，n），∴n=4+1=5；2∴∴．∴y1=x2-2x-3．（2）y2-y1=-2x+1-（x2-2x-3）=-x2+4，∴y2-y1的最大值是4，代入x=-4得y2-y1=-12，代入x=1得y2-y1=3，∴若-4≤x≤1，y2-y1的最小值为-12．故答案为-12．（1）把B的坐标代入直线y2=-2x+m求得m的值，然后代入A（-2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y2-y1=-x2+4，然后代入x=-4和x=1，求得函数值，即可求得最小值．本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．27.【答案】【解析】（1）证明：连接OC，如图1，∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．（2）解：①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．222解得r=2．∴⊙O的半径为2．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴=，即=，∴CD=，如图2，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，此时OM+DM=ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四边形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在RT△ECD中，EC=2，CD=，∴ED==．∵OM+DM的最小值为．故答案为．（1）连接OC，根据已知证得∠POC=∠PCD，由∠POC+∠OCD=90°．证得∠PCD+∠OCD=90°，即∠OCP=90°，即可证得CP为⊙O的切线；（2）①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，利用勾股定理即可求得；②先证得△COP∽△DOC，根据相似三角形对应边成比例求得CD的长，作点O点关于AC的对称点E，连接ED，交AC于M，此时OM+DM=ED的最小，连接AE，EC，证得四边形AOCE是菱形，进而证得EC=2，∠ECD=90°，然后根据勾股定理即可求得ED，即OM+DM的最小值．本题考查了切线的判定定理，轴对称的性质，菱形的判定和性质，勾股定理28.【答案】x≤1或x≥2；x1＜x3＜x4＜x2【解析】解：（1）∵（x-1）（x-2）≥0，∴x≤1或x≥2；（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如下图所示：（3）方程-x-b=0等价于方程=x+b，方程的两根x1、x2相当于函数y=与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，方程x2-3x+2=x+b的两根为x3、x4，相当于函数y=x2-3x+2=（x-1）（x-2）与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，又∵1＜b＜，所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：（1）根据二次根式的性质，列出不等式，解之即可；（2）由于x≤1或x≥2，所以函数图象应该是两条分支，根据对称性，补全另一分支即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点的横坐标，作出函数图象，一目了然．本题主要考查了函数自变量的取值范围、函数图象的画法、函数图象的交点问题，题目新颖，但难度不大．第（3）问体现了化归与转化的数学思想，将方程与函数巧妙地结合在一起，方程的根转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合，将看似抽像的问题变得形像化了，从而使问题解决起来变得容易．29.【答案】60；（，）或（-，-）【解析】解：（1）如图1，∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°．∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP=90°，∴∠APQ=60°，即α=60°．故答案为60；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，∴∠AMN=∠QMP．在△AMN和△QMP中，，∴△AMN≌△QMP，∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，∴∠AFQ=∠AMQ=60°，∴α的度数为60°；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，∴A、M、F、Q四点共圆，∴∠AFM=∠AQM=60°．∴在Rt△MHF中，tan∠HFM==．在Rt△OGF中，sin∠OFG==，∵OG=1，∴OF=．设HF=x，则MH=x，OH=-x．在Rt△OHM中，由勾股定理可得：（-x）2+（x）2=12，解得x1=x2=，∴OH=-=，MH=，∴点M的坐标为（，）或（-，-）．故答案为（，）或（-，-）．（1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M 作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=，在Rt△MHF中运用三角函数可得=．设HF=x，则MH=x，OH=-x．在Rt△OHM中运用勾股定理可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标．本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．。

2015-2016学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案(数学试卷新课标人教版)

2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A． B． C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( ) A．∠ADE=∠B B．= C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A． B． C． D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A． B． C． D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )A． B． C． D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A． B． C． D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A． B． C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．= C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A． B． C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由表格可知，当1＜x ＜2时，0＜y ＜1，当3＜x ＜4时，1＜y ＜4，由此可判断y 1 与y 2的大小．【解答】解：∵当1＜x ＜2时，函数值y 小于1，当3＜x ＜4时，函数值y 大于1， ∴y 1＜y 2．故选B ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD 中，AB=8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t （s ），△OEF 的面积为s （cm 2），则s （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为( )A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，得到BE=CF=t ，则CE=8﹣t ，再根据正方形的性质得OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS ”可判断△OBE ≌△OCF ，所以S △OBE =S △OCF ，这样S 四边形OECF =S △OBC =16，于是S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8．故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=，所以：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情况进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定，分情况讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定不过（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】首先根据∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再根据D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC 的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直接利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题主要考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）根据函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；（2）根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入计算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，。

2015-2016学年北京市海淀区九年级上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.1．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3 B．2，1，﹣3 C．2，﹣1，3 D．2，﹣1，﹣32．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定5．（3分）将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=（x﹣2）26．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．9πB．6πC．3πD．π7．（3分）用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+2）2=18．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜09．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A 等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°10．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．7分 B．6.5分C．6分 D．5.5分二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）方程x2﹣4=0的解是．12．（3分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式．13．（3分）若二次函数y=2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“=”或“＞”）．14．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=°．15．（3分）用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为米（取1.4）．16．（3分）如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=°；（2）当α=°时，△A′B′C′的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2=3x﹣2．18．（5分）若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．19．（5分）已知点（3，0）在抛物线y=﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．20．（5分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC=25°．求∠P的度数．21．（5分）已知x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．22．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．23．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．24．（5分）在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？（取2.2）25．（5分）已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．26．（5分）抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y2﹣y1的最小值为．27．（7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB 延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为．28．（7分）探究活动：利用函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=x+B 的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为（用“＜”连接）．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.1．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3 B．2，1，﹣3 C．2，﹣1，3 D．2，﹣1，﹣3【解答】解：一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣1，﹣3，故选：D．2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A是中心对称图形．故选：A．3．（3分）二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．4．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．5．（3分）将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2D．y=（x﹣2）2【解答】解：抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y=x2﹣2．故选：B．6．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．9πB．6πC．3πD．π【解答】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为60°，∴S==6π．故选：B．7．（3分）用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+2）2=1【解答】解：x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选：C．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x=1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x=1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选：D．9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A 等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°【解答】解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，而∠DBC=33°，∴∠D=90°﹣33°=57°，∴∠A=∠D=57°．故选：B．10．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．7分 B．6.5分C．6分 D．5.5分【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）方程x2﹣4=0的解是±2．【解答】解：x2﹣4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．12．（3分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式y=x2+x+1（答案不唯一）．【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+x+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+x+1等．13．（3分）若二次函数y=2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a ＜b（填“＜”或“=”或“＞”）．【解答】解：y=2x2﹣5的对称轴为x=0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．14．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=130°．【解答】解：如图，∠D为弧AC所对的圆周角，∵∠D=∠AOC，而∠AOC=100°，∴∠D=50°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°﹣50°=130°．故答案为130°．15．（3分）用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为0.6米（取1.4）．【解答】解：平面图如图所示：连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，则MN=x，OM=AM=OA=×2=，∴x=OM﹣ON=2﹣≈0.6（米）．故答案为：0.6米．16．（3分）如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=120°；（2）当α=150°时，△A′B′C′的周长最大．【解答】解：（1）∠A′OB′==120°，故答案是：120；（2）△A'B'C'是等边三角形，△A′B′C′的周长最大，则边长最大，则OB'最大，当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上，OB'最大．∠BAO=∠BAC=30°，则a=180°﹣30°=150°．故答案是：150．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2=3x﹣2．【解答】解：x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0或x﹣1=0，所以x1=2，x2=1．18．（5分）若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．【解答】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，∴△=0，即9﹣4a=0．解得：a=．19．（5分）已知点（3，0）在抛物线y=﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．【解答】解：把（3，0）代入y=﹣3x2+（k+3）x﹣k得，0=﹣27+（k+3）×3﹣k，解得，k=9，∴抛物线为y=﹣3x2+12x﹣9，∴对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．20．（5分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC=25°．求∠P的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵PA为切线，∴CA⊥PA．∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=65°，∴∠P=180°﹣2∠PAB=50°．21．（5分）已知x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，∴1﹣5a+a2=0．∴a2﹣5a=﹣1，∴3a2﹣15a﹣7=3（a2﹣5a）﹣7=3×（﹣1）﹣7=﹣10，即3a2﹣15a﹣7=﹣10．22．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．【解答】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON ⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD，∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=1.6，CD=1.2，∴AM=AB=0.8，CN=CD=0.6，在Rt△OAM中，∵OA=1，∴OM==0.6．同理可得ON=0.8，∴MN=ON﹣OM=0.2（米）．答：水面下降了0.2米．23．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．【解答】（1）证明：△=（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）=（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即△＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a=0，（3x﹣a）（x+1）=0，解得x1=﹣1，x2=．∵方程有一个根大于2，∴＞2．∴a＞6．24．（5分）在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？（取2.2）【解答】解：设下部应设计为x米，则上部的长度为（2﹣x）米，根据题意得，=，整理得，x2+2x﹣4=0，解得，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣（舍去），所以，雕像的下部应设计为（﹣1+）≈1.2米．25．（5分）已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．【解答】解：分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，又∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD﹣∠OAC=15°；②如图（2），连接OC，OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD+∠CAO=105°，综上，∠CAD等于105°或15°．26．（5分）抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y2﹣y1的最小值为﹣12．【解答】解：（1）∵直线y2=﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3=﹣2×2+m．∴m=1．∵直线y2=﹣2x+m经过点A（﹣2，n），∴n=4+1=5；∵抛物线y1=x2+bx+c过点A和点B，∴∴．∴y1=x2﹣2x﹣3．（2）y2﹣y1=﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+4，∴y2﹣y1的最大值是4，代入x=﹣4得y2﹣y1=﹣12，代入x=1得y2﹣y1=3，∴若﹣4≤x≤1，y2﹣y1的最小值为﹣12．故答案为﹣12．27．（7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB 延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．（2）解：①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=2．∴⊙O的半径为2．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴=，即=，∴CD=，如图2，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，此时OM+DM=ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四边形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在RT△ECD中，EC=2，CD=，∴ED==．∵OM+DM的最小值为．故答案为．28．（7分）探究活动：利用函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≤1或x≥2；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=x+B 的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为x1＜x3＜x4＜x2（用“＜”连接）．【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣2）≥0，∴x≤1或x≥2；（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如下图所示：（3）方程﹣x﹣b=0等价于方程=x+b，方程的两根x1、x2相当于函数y=与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，方程x2﹣3x+2=x+b的两根为x3、x4，相当于函数y=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，又∵1＜b＜，所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：故x1＜x3＜x4＜x2．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=60°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．【解答】解：（1）如图1，∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°．∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP=90°，∴∠APQ=60°，即α=60°．故答案为60；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，∴∠AMN=∠QMP．在△AMN和△QMP中，，∴△AMN≌△QMP，∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，∴∠AFQ=∠AMQ=60°，∴α的度数为60°；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，∴A、M、F、Q四点共圆，∴∠AFM=∠AQM=60°．∴在Rt△MHF中，tan∠HFM==．在Rt△OGF中，sin∠OFG==，∵OG=1，∴OF=．设HF=x，则MH=x，OH=﹣x．在Rt△OHM中，由勾股定理可得：（﹣x）2+（x）2=12，解得x1=x2=，∴OH=﹣=，MH=，∴点M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．故答案为（，）或（﹣，﹣）．。

2015-2016学年年北京第三十五中学初三上期中数学试卷

2015年北京第三十五中学初三上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分） #1．抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（）． A ．(2,3)- B ．(2,3)- C ．(2,3) D ．(2,3)--【答案】D【解析】抛物线的顶点为(2,3)--，故答案为D ．#2．如图，在ABC △中，若DE BC ∥，:1:2AD BD =，若ADE △的面积等于2，则ABC △的面积等于（）． A ．6 B ．8 C ．12 D ．18【答案】D【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∽△，则有21()9ADE ABC S AD S AB ==△△．故918ABC ADE S S ==△△．故答案为D ．#3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，2BC =，3AB =，则下列结论正确的是（）． A ．5sin A = B ．2cos 3A =C ．2sin 3A =D ．5tan A =【答案】B【解析】在Rt ABC △中，2sin 3BC A AB ==，25cos 1sin A A =-=，sin tan cos 5A A A ==，故答案为C ．#4．若如图所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（）． A ．87︒ B ．60︒C ．75︒D ．120︒【答案】A【解析】两四边形相似，则各内角相等，且四边形内角和为360︒，所以360601387587α∠=︒-︒-︒-︒=︒．故答案为A ．#5．已知2sin 1α=（α为锐角），则α的度数为（）． A ．30︒ B ．45︒C ．15︒D ．60︒【答案】C【解析】∵2sin 1α=，∴1sin 2α=，即π2π6k α=+或52ππ6k +， ∵α为锐角，∴π6α=，即30︒．故答案为A ．#6．已知二次函数()21()y x x a =+-，其中0a >，若当2x ≤时，y 随x 增大而减小，当2x ≥时y 随x 增大而增大，则a 的值是（）．A ．3B ．5C ．7D ．不确定【答案】D【解析】()2221(1)()2()22221()2a a x ax y x x x a x a a --=-+-=--+-=-，由题意可知，对称轴为2x =，故122a -=，则5a =．故答案为B ．#7．将α∠放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是（）． A ．2 B ．12C ．52D ．255【答案】A【解析】数方格即可．4tan 22α==．故答案为A ．#8．已知函数2y ax bx c +=+的图象如图所示，则函数y ax b =+的图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图中二次函数的图象可看出，0a <，02ba->，即0b >，一次函数y ax b =+，其斜率0a <，函数单调递减，0b >，函数与y 轴的交点在x 轴上方．故答案为B ．#9．如图，平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，: 1:2DE EA =，4EF =，则CD 的长为（）．A ．43B ．8C ．12D ．16【答案】C 【解析】∵EF AB ∥，∴DEF DAB ∽△△，∴13EF DE AB DA ==， ∴312AB EF ==，又四边形ABCD 为平行四边形， ∴12AB CD ==．故答案为C ．#10．如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE EF ⊥，EF 交CD 于点F ．设BE x =，FC y =，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵4BC =，BE x =， ∴4CE x =-． ∵AE EF ⊥，∴90AEB CEF ∠+∠=︒， ∵90CEF CFE ∠+∠=︒， ∴AEB CFE ∠=∠．又∵90B C ∠=∠=︒， ∴Rt Rt AEB EFC ∽△△， ∴AB BECE CF=，即54x x y =-，整理得：22114(4)(2)555y x x x =-=--+，∴y 关于x 的函数关系式为：214(2)55y x =--+（04x ≤≤），由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为4(2,)5，对称轴为直线2x =．故答案为A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） #11．已知52a b b +=，则ba =__________．【答案】32【解析】512a b a b b +=+=，故32a b =．#12．已知方程20ax bx c ++=（0a ≠）的解是15x =，23x =-，那么抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点的坐标分别是__________．【答案】(5,0)、(3,0)-【解析】抛物线与x 轴的两个交点即为方程20ax bx c ++=的解，所以交点坐标为(5,0)和(3,0)-．#13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是__________．【答案】3 【解析】根据特殊三角形的性质可知，AB AC =，3CD AC =，由于AB CD ∥，∴ABE DCE ∽△△， ∴3AB BE CD EC ==．即3BE EC =．#14．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5米，测得2AB =米，14BC =米，则楼高CD 为__________米．【答案】12【解析】根据相似可得：BE AB CD AC =，即1.5212148CD ==+，则12CD =米．#15．如图，这个二次函数图象的表达式可能是__________．（只写出一个）【答案】22y x x =-【解析】二次函数开口向上，即0a >，而该点经过原点，则0c =，又该函数对称轴在y 轴右侧，则0b <．可写出该二次函数的表达式可能为22y x x =-．#16．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫做“方环形”，易知方环形四周的宽度相等．当直线l 与方环形的邻边相交时（如图），l 分别交AD 、A D ''、D C ''、DC 于M 、M '、N '、N ，l 与DC 的夹角为α，那么MM N N''的值为__________（用含α的三角比表示）．【答案】tan α【解析】∵EM CD '∥， ∴EM M DNN α''∠=∠=，在Rt FNN '△中，sin FN NNα'='， ∴sin FN NN α''=，在Rt EMM '△中，cos EM MMα'='， ∴cos EM MM α''=，∴sin cos MM EM N N FN αα''⋅=''⋅，而EM FN ''=， ∴tan MM N Nα'='．三、解答题（本大题共13小题，共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） #17．计算：tan30cos60tan45sin30︒-︒⨯︒+︒．【答案】3 【解析】3113tan30cos60tan 45sin30122︒-︒⨯︒+︒=-⨯+=．#18．如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，7AB =，3AD =， 2.7AE =，求AC 的长．【答案】3．【解析】在ABC △和ADE △中，∵ABC ADE ∠=∠，A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽△△， ∴AB AC AD AE=， ∴7 2.76.33AB AE AC AD ⋅⨯===．#19．已知：如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，8AB =，3BC =．求：sin ACD ∠的值及AD 的长【答案】55，558．【解析】在Rt ABC △中，22228355AC AB BC =-=-=， ∵90ACD BCD B BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴B ACD ∠=∠， ∴55sin sin AC ACD B AB ∠===， 5555sin 558AD AC ACD =⋅∠=⋅=．#20．如图，二次函数21y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,3)-，一次函数2y mxn 的图象过点A 、C ．@（1）求二次函数的解析式．【答案】2123y x x =+-．【解析】点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,3)-，代入到二次函数解析式中21yx bxc ，即2013b c c ⎧=++⎨-=⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，故二次函数的解析式为2123y x x =+-．@（2）求二次函数的图象与x 轴的另一个交点A 的坐标．【答案】(3,0)-．【解析】令2230x x +-=，解得23x =-，即另一个交点A 的坐标为(3,0)-．@（3）根据图象写出21<y y 时，x 的取值范围．【答案】1x >或0x <．【解析】一次函数经过点A 、C ，即03m n n +=⎧⎨=-⎩，解得33m n =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为233y x =-，当21<y y 时，可令23323x x x -<+-，解得1x >或0x <．#21．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5B =，点D 在BC 边上，6DC AC ==，求tan BAD ∠的值．【答案】17．【解析】在Rt ABC △中，∵3sin 5B =，∴4tan 3BAC ∠=，又6DC AC ==，∴tan 1CAD ∠=， ∴41tan tan 13tan tan()41tan tan 7113BAC CAD BAD BAC CAD BAC CAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⋅．#22．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞机着陆后滑行多远才能停下来？飞机着陆后滑行多长时间能停下来？【答案】飞机着陆后滑行20s 后，滑出600m 才能停下来．【解析】飞机要停下来，即s 取最大值．22260 1.5 1.5(40) 1.5(20)600s t t t t t =-=--=--+，∴当20t =时，max 600s =．即飞机着陆后滑行20s 后，滑出600m 才能停下来．#23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC △（顶点是网格线的交点）．DCBA@（1）将ABC △向上平移3个单位得到111A B C △，请画出111A B C △．【答案】【解析】见答案图1．@（2）请画一个格点222A B C △，使222A B C ABC ∽△△，且相似比不为1．【答案】．【解析】见答案图2．#24．如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF EC ⊥交AB 于点F ，连接FC （AB AE >），AEF △和EFC△相似吗？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．【答案】相似，证明见解析．【解析】AEF EFC ∽△△．证明：延长FE 与CD 的延长线交于G ， ∵E 为AD 中点，AE DE =，AEF GED ∠=∠， ∴Rt AEF △≌Rt DEG △．∴EF EG =，∵CE CE =，90FEC CEG ∠=∠=︒， ∴Rt EFC △≌Rt EGC △， ∴AFE EGC EFC ∠=∠=∠．又∵90A FEC ∠=∠=︒， ∴Rt AEF △≌Rt ECF △．#25．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑方二百步，各中开门．出东门一五步有木．问出南门几何步而见木？”译文：“今有正方形小城边长为200步，各方中央开一城门．走出东门15步处有树，问出南门多少步能见到树？”请你结合题意画出图形，并完成求解．【答案】20003．【解析】根据题意作出示意图，100BD AD BF ===，15BC =，则有EAD EFC ∽△△， ∴EA AD EF CF =， ∴100100115AE AE =+，解得：20003AE =．即出南门20003步才能见到树．#26．@（1）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)．在x 轴上任取一点M ，完成下列作图步骤：①连接AM ，作线段AM 的垂直平分线1l ，过M 作x 轴的垂线2l ，记1l 、2l 的交点为P ．②在x 轴上多次改变点M 的位置，用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L ，猜想它是我们学过的哪种曲线．【答案】2114y x =+，抛物线．【解析】如图所示，连接AP ，过点A 作AN PM ⊥， ∵BP 是AM 的垂直平分线， ∴AP PM y ==．∵PM x ⊥轴，∴AN x =，(,)P x y ，2PN y =-，∴222AN PN AP +=，即222(2)x y y +-=，即2114y x =+． @（2）对于曲线L 上任意一点P ，线段PA 与PM 有什么关系？设点P 的坐标为(,)x y ，你能由PA 与PM 的关系得到x 、y 满足的关系式吗？你能由此确定曲线L 是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？【答案】PA PM =，2114y x =+，抛物线．【解析】证明见第一问的解析．#27．已知：抛物线22(1)2(0)y ax a x a a =--+->．@（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点．【答案】证明见解析．【解析】22(1)20ax a x a --+-=， ∴2[2(1)]4(2)4a a a ∆=----=，即0∆>．∴抛物线与x 轴有两个交点．@（2）设抛物线与x 轴有两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中12x x >）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式．【答案】1(0)y a a =->．【解析】由求根公式，得2(1)22a x a-±=， ∴1x =或21x a =-． ∵0a >，12x x >， ∴11x =，221x a=-． ∴211y ax x a =+=-．即1(0)y a a =->为所求．@（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为__________．【答案】203a <≤．【解析】作出函数图象，即可得到． #28．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．@（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，A C ∠≠∠，70A ∠=︒，80B ∠=︒．则C ∠=__________度，D ∠=__________度．【答案】130C ∠=︒，80D ∠=︒．【解析】根据定义可知，80B D ∠=∠=︒，360280130C A ∠=︒-⋅︒-∠=︒@（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论．【答案】证明见解析．【解析】①如图2，连接BD ， ∵AB AD =，∴ABD ADB ∠=∠． ∵ABC ADC ∠=∠，∴ABC ABD ADC ADB ∠-∠=∠-∠． ∴CBD CDB ∠=∠． ∴CB CD =．@（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，5AB =，4AD =．求对角线AC 的长．【答案】27或213．【解析】（Ⅰ）如图，当90ADC ABC ∠=∠=︒时，延长AD 、BC 相交于点E ， ∵90ABC ∠=︒，60DAB ∠=︒，5AB =， ∴10AE =．∴1046DE AE AD =-=-=． ∵90EDC ∠=︒，30E ∠=︒， ∴23CD =．∴27AC =．（Ⅱ）如图，当60BCD DAB ∠=∠=︒时，过点D 作DM AB ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ， ∵DM AB ⊥，60DAB ∠=︒，4AD =， ∴2AM =，23DM =． ∴523BM AB AM =-=-=． ∵四边形BNDM 是矩形，∴3DN BM ==，23BN DM ==． ∵60BCD ∠=︒， ∴3CN =．∴33BC CN BN =+=． ∴213AC =．即27AC =或213．#29．如图1，抛物线2(0)yax bxc a的顶点为M ，直线y m =与x 轴平行，且与抛物线交于点A 、B ，若AM B △为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．@（1）抛物线212yx 对应的碟宽为__________；抛物线24y x 对应的碟宽为__________；抛物线2y ax =（0a >）对应的碟宽为__________；抛物线2(2)3(0)ya xa对应的碟宽__________．【答案】4，12，2a ，2a．【解析】∵0a >， ∴2y ax =的图象大致如下：其必过原点O ，记AB 为其碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA 、OB ， ∵OAB △为等腰直角三角形，AB x ∥轴， ∴OC AB ⊥，∴11904522AOC BOC AOB ∠=∠=∠=⋅︒=︒，∴ACO △与BCO △亦为等腰直角三角形， ∴AC OC BC ==，DA∴A A x y =，B B x y =，代入2y ax =， ∴11(,)A a a -，11(,)B a a ，1(0,)C a， ∴2AB a =，1OC a=，即2y ax =的碟宽为2a． ①抛物线212y x =对应的12a =，得碟宽2a为4； ②抛物线24y x =对应的4a =，得碟宽2a 为12； ③抛物线2y ax =（0a >），碟宽为2a； ④抛物线2(2)3(0)ya x a 可看成2y ax =向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、放心，∴抛物线2(2)3(0)y a x a 的准蝶形≌抛物线2y ax =的准碟， ∵抛物线2y ax =（0a >），碟宽为2a ， ∴抛物线2(2)3(0)y a x a ，碟宽为2a ． @（2）若抛物线254(0)3y ax ax a 对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值．【答案】13a =．【解析】∵22554(2)(4)33y ax ax a x a =--=--+， ∴同（1），其碟宽为2a， ∵2543y ax ax =--的碟宽为6， ∴26a=，解得13a =， ∴21(2)33y x =--． @（3）将抛物线2(0)n n n n n y a x b x c a 的对应准蝶形记为n F （1n =，2，3，…），定义1F ，2F ，…，n F 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若n F 与1n F -的相似比为12，且n F 的碟顶是1n F -的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为1y ，其对应的准蝶形记为1F ．@@①求抛物线2y 的表达式．【答案】【解析】①∵1F 的碟宽：2F 的碟宽2:1=， ∴1224a a =， ∵113a =，∴223a =．∵21(2)33y x =--的碟宽AB 在x 轴上（A 在B 左边）， ∴(1,0)A -，(5,0)B ，∴2F 的碟顶坐标为(2,0)， ∴222(2)3y x =-．②∵n F 的准蝶形为等腰直角三角形， ∴n F 的碟宽为2n h ，∵12:21:2n n h h -=，∴23112311111()()()2222n n n n n h h h h h ----=====， ∵13h =，∴132n n h -=．∵1n n h h -∥，且都过1n F -的碟宽中点，∴1h 、2h 、3h 、…、1n h -、n h 都在一条直线上， ∵1h 在直线2x =上，∴1h 、2h 、3h 、…、1n h -、n h 都在直线2x =上， ∴n F 的碟宽右端点横坐标为1322n -+．令，1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点在一条直线上，直线为5y x =-+．分析如下：考虑2n F -，1n F -，n F 情形，关系如图， 2n F -，1n F -，n F 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ；C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线2x =上，连接右端点BE ，EH ． ∵AB x ∥轴，DE x ∥轴，GH x ∥轴， ∴AB DE GH ∥∥，∴GH 平行相等于FE ，DE 平行相等于CB ， ∴四边形GFEH 、四边形DCBE 都为平行四边形， ∴HE GF ∥，EB DC ∥， ∵1122GFI GFH DCE DCF ∠=⋅∠=⋅∠=∠，∴GF DC ∥，∴HE EB ∥，∵HE 、EB 都过E 点，∴HE 、EB 都在一条直线上， ∴2n F -，1n F -，n F 的碟宽右端点是在一条直线， ∴1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点是在一条直线． ∵2111:(2)33F y x =--准蝶形右端点坐标为(5,0)， 2222:(2)3F y x =-准蝶形右端点坐标为33(2,)22+， ∴待定系数可得过两点的直线为5y x =-+， ∴1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点是在直线5y x =-+上．。

北京十五中九年级上册期中数学试卷含解析

九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题）1．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣13．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°4．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．在学习了《圆》这一章节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题：甲：相等的弦所对的圆心角相等；乙：平分弦的直径垂直于这条弦．下面对这两个命题的判断，正确的是（）A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错6．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB 的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．108．下表时二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：x…012…y…﹣1m﹣1n…则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③D．③④二．填空题（共8小题）9．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d 4．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．11．请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式．12．若x＝1是方程2ax2+bx＝3的根，当x＝2时，函数y＝ax2+bx的函数值为．13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是．15．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2所示．请回答：（1）线段BC的长为 cm；（2）当运动时间t＝2.5秒时，P、Q之间的距离是 cm．三．解答题（共12小题）17．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线y＝﹣2x﹣2上．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（4）当﹣1＜x＜4时，直接写出y的取值范围．18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．下面是小雯的解法，请帮他补充完整．解：在⊙O中，∵D是的中点∴＝，∴∠l＝∠2（）（填推理的依据）∵∠BAC＝70°∴∠2＝35°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（）（填推理的依据）∴∠B＝90°﹣∠2＝55°∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（）（填推理的依据）∴∠C＝l80°﹣∠B＝（填计算结果）19．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．20．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点D．求证：CM是⊙O的切线．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，点O是CD的中点，到点O的距离等于OC的所有点组成图形M，图形M分别交AC，BC于点E，F两点，过点F 作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与图形M的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°，求FG的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2012345…y… 1.969 1.938 1.875 1.7510﹣2﹣1.50 2.5…小孙同学根据学习函数的经验，利用上述表格反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x＝﹣1时，对应的函数值y的为；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：．26．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣（2a+2）x+b（a≠0）在x＝0和x＝6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y＝﹣2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n（n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P 的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵PB⊥l于B，∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1【分析】抛物线y＝a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x＝h．【解答】解：y＝（x﹣2）2+1，对称轴是x＝2．故选：A．3．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°【分析】根据旋转的定义得到即可．【解答】解：因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，故选：C．4．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，故选：B．5．在学习了《圆》这一章节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题：甲：相等的弦所对的圆心角相等；乙：平分弦的直径垂直于这条弦．下面对这两个命题的判断，正确的是（）A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错【分析】根据圆心角、弦、弧的关系和垂径定理判断．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，甲错，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，乙错，故选：D．6．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB 的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】连接OA，OB，AD，BD．根据∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，可得40°＜∠AMB＜80°，由此即可判断；【解答】解：连接OA，OB，AD，BD．∵∠AOB＝2∠ACB＝80°，∠ADB＝∠ACB＝40°，又∵∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，∴40°＜∠AMB＜80°，故选：D．7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．10【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14，【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．8．下表时二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：x…012…y…﹣1m﹣1n…则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③D．③④【分析】由图表可得二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，a＞0，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣1；当x＝，y＝﹣；当x＝，y＝﹣；∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．∴a＞0即二次函数有最小值则①④错误由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；故选：A．二．填空题（共8小题）9．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d　＜　4．【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．【解答】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，∴d＜4，故答案为＜．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为　5　．【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．11．请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式　y＝x2+2x﹣1　．【分析】根据题意写出满足题意二次函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：y＝x2+2x﹣1，故答案为：y＝x2+2x﹣112．若x＝1是方程2ax2+bx＝3的根，当x＝2时，函数y＝ax2+bx的函数值为　6　．【分析】由x＝1是方程2ax2+bx＝3的根，得到2a+b＝3，由x＝2时，得到函数y＝ax2+bx ＝4a+2b＝2（2a+b），代入即可．【解答】解：∵x＝1是方程2ax2+bx＝3的根，∴2a+b＝3，∴当x＝2时，函数y＝ax2+bx＝4a+2b＝2（2a+b）＝6，故答案为6．13．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝x2﹣5x＝24；当x＝2时，y2＝x2﹣5x＝﹣6；∵24＞﹣6，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是　3cm　．【分析】连接OA，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：作OB⊥AB，连接OA，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故答案为：3cm．15．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是　4区　（选填区域名称）【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故答案为：4区．16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2所示．请回答：（1）线段BC的长为　5　cm；（2）当运动时间t＝2.5秒时，P、Q之间的距离是 cm．【分析】（1）根据图2可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E 时点Q到达点C，从而得到BC的长度；（2）如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB＝4，由矩形的性质和锐角三角函数的定义求得PF的长度，然后在直角△PBF中，由勾股定理求得BF＝1.5，再在直角△PFQ中，由勾股定理求得PQ的长度．【解答】解：（1）根据图2可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，∴BC＝BE＝5cm．故答案是：5；（2）如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB＝4，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝，∴PF＝PB•sin∠PBF＝2.5×＝2，∴在直角△PBF中，由勾股定理得到：BF＝＝＝1.5，∴FQ＝2.5﹣1.5＝1．∴在直角△PFQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝．故答案是：．三．解答题（共12小题）17．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线y＝﹣2x﹣2上．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（4）当﹣1＜x＜4时，直接写出y的取值范围．【分析】（1）把x＝1代入y＝﹣2x﹣2即可得到结论；（2）把抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）代入抛物线的解析式即可得到结论．（3）利用五点法画出图象即可；（4）根据图象求得即可．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝﹣2x﹣2得，y＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，即抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（3）画出图象如图：（4）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．下面是小雯的解法，请帮他补充完整．解：在⊙O中，∵D是的中点∴＝，∴∠l＝∠2（　等弧所对的圆周角相等　）（填推理的依据）∵∠BAC＝70°∴∠2＝35°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）∴∠B＝90°﹣∠2＝55°∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（　圆内接四边形的对角互补　）（填推理的依据）∴∠C＝l80°﹣∠B＝　125°　（填计算结果）【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题；【解答】解：在⊙O中，∵D是的中点∴＝，∴∠l＝∠2（等弧所对的圆周角相等）∵∠BAC＝70°∴∠2＝35°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）∴∠B＝90°﹣∠2＝55°∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形的对角互补）∴∠C＝l80°﹣∠B＝125°故答案为：等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，125°．19．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．【分析】过O作OC⊥AB于C，求出∠AOB度数，求出∠OAB，解直角三角形求出OA，根据扇形的面积公式求出即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，则∠ACO＝90°，∵OC过O，OC⊥AB，AB＝12米，∴AC＝BC＝6米，∵旋转喷水装置的旋转角度为240°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBC＝（180°﹣120°）＝30°，∴OA＝＝＝4（米），∴这种装置能够喷的草坪面积是＝32π（平方米）．20．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．【分析】根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，据此可得CE＝BD＝BC﹣CD＝2．【解答】解：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴CE＝BD，∵BC＝6，CD＝4，∴CE＝BD＝BC﹣CD＝2．21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：　y＝16﹣2x　；②自变量x的取值范围是　3.5≤x＜8　；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．【分析】（1）①根据篱笆的长度是16米列出函数关系式；②根据x、y都是正数写出自变量的取值范围；（2）由矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：（1）①写出y与x的函数关系是：y＝16﹣2x．故答案是：y＝16﹣2x．②因为x＞0，9≥y＞0，∴3.5≤x＜8．故答案是：3.5≤x＜8；（2）依题意得：x（16﹣2x）＝30，解得x1＝5，x2＝3，答：园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，此时边AB的长为5米或3米．22．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点D．求证：CM是⊙O的切线．【分析】通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再证明OC ⊥CD．【解答】证明：连OC，BC，如图1，∵AC平分∠BAE，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝3，∴∠1＝∠3，∴AD∥OC．又∵CD⊥AE，∴OC⊥CD．又∵OC是圆O的半径，∴CM是⊙O的切线．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为　3　．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的腰长求出OB＝OC＝3，进而求出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出抛物线的对称轴，进而求出点C'的坐标，找出PA+PC的最小值为AC'，再求出点A坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵△OBC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，∴OB＝OC，∵腰长为3，∴OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n中，得，，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴直线为x＝2，∵点C（0，3），∴点C关于抛物线的对称轴x＝2的对称点C'（4，3），连接AC'交抛物线的对称轴于P，此时，PA+PC的值最小，最小值为AC'，针对于抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得，x＝1或x＝3，∴A（1，0），∵C'（4，3），∴AC'＝＝3，即：PA+PC的最小值为3，故答案为：3．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，点O是CD的中点，到点O的距离等于OC的所有点组成图形M，图形M分别交AC，BC于点E，F两点，过点F 作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与图形M的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°，求FG的长．【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；（2）连接DF，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）FG与⊙O相切，理由：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切；（2）连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴BC＝AB＝3，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝，∵sin∠ABC＝＝，即＝，∴FG＝．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2012345…y… 1.969 1.938 1.875 1.7510﹣2﹣1.50 2.5…小孙同学根据学习函数的经验，利用上述表格反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x＝﹣1时，对应的函数值y的为　1.35（答案不唯一）　；②若函数值y＞0，则x的取值范围是　x＜0.96或x＞4　；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：　当x≥﹣2时，函数值y随x的增大而增大（答案不唯一）　．【分析】（1）通过描点借口画出函数图象；（2）直接从图象读取相关数值即可．【解答】解：（1）通过描点画出如下函数图象：（2）答案为近似值，不唯一，①当x＝﹣1时，从图象可以看出：y＝1.35；②函数值y＞0，则x＜0.96或x＞4；③当x≥﹣2时，函数值y随x的增大而增大；26．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣（2a+2）x+b（a≠0）在x＝0和x＝6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y＝﹣2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n（n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．【分析】（1）把x＝0和x＝6代入二次函数的解析式得出关于a的方程，求出a即可；（2）先求交点坐标为（2，﹣4），代入二次函数的解析式中可得b的值，从而得结论；（3）根据图象和解析式分别计算B、C、A、F四个点的坐标，再计算上下两个端点相交时，点n的值即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣（2a+2）x+b（a≠0）在x＝0和x＝6时函数值相等，∴代入得：b＝36a﹣6（2a+2）+b，解得：a＝；（2）当x＝2时，m＝﹣4，∴二次函数的图象与直线y＝﹣2x的一个交点为（2，﹣4），把（2，﹣4）代入y＝ax2﹣（2a+2）x+b得：﹣3×2+b＝﹣4，b＝0，∴二次函数的解析式是：y＝x2﹣3x；（3）当x＝2时，y＝﹣3×2＝﹣4，当y＝0时，＝0，解得：x＝0或6，当y＝﹣4时，＝﹣4，解得：x＝2或4，﹣2x﹣4＝0，x＝﹣2，∴F（6，0），A（﹣2，0），C（2，﹣4），B（0，﹣4），B'（4，﹣4），∴BC＝2，AF＝6﹣（﹣2）＝8，BB'＝4，∵图象G为二次函数在2≤x≤7的部分，∴从下端看最早相交的点为B与C相交，即n＝＝1时，从上端看，A与F相交，即n ＝＝4时；∴由图象得：当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围是2≤n≤4或n＝1．27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据圆周角为90°所对的弦为直径，可得圆心的位置；②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证点E一定在⊙O上；（2）①根据题意画图；②在AE上截取AM＝BE，由题意可证△ACM≌△BCE，可得CM＝CE，即ME＝CE，可得AE＝BE+CE，由旋转可得∠AFE＝∠EAF＝45°，可求EF＝AE，即可得AF＝AE═（BE+CE）＝BE+2CE．【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC的外接圆⊙O的圆心O的位置在是斜边AB的中点；②如图：设斜边AB的中点为O，连接OE，OC，则OA＝OC＝OB，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴OE＝AB＝OA，∴点E一定在⊙O上；（2）AF＝BE+2CE在AE上截取AM＝BE∵∠ACB＝∠AEB＝90°∴点A，点C，点E，点B四点共圆∴∠CAE＝∠CBE，且AC＝BC，AM＝BE∴△ACM≌△BCE（SAS）∴CM＝CE，∠ACM＝∠BCE∵∠ACM+∠MCB＝90°∴∠BCE+∠MCB＝90°∴∠MCE＝90°，∴ME＝＝CE∴AE＝AM+ME＝BE+CE∵旋转∴∠EAF＝45°，且∠AEF＝90°∴∠AFE＝∠EAF＝45°∴EF＝AE∴AF＝＝AE＝（BE+CE）＝BE+2CE28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为　4　．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P 的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．【分析】（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，由此即可解决问题；（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的正方形的边长为2．分两种情形分别求解即可；（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．利用两种特殊位置解决问题即可；②如图2﹣1中，由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y＝ax2+2ax ﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3；【解答】解：（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，∴紧覆盖的边长为4，故答案为4．（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的边长为2．①当点P在第一象限时，作PH⊥x轴于H则PH＝2，y＝2时，2＝﹣2x+3，x＝，∴P（，2）．②当点P′在第三象限时，作P′H′⊥y轴，则P′H′＝2，当x＝2时，y＝﹣1，∴P′（2，﹣1）．综上所述，满足条件的点P坐标为（，2）或（2，﹣1）．（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．由题意A（﹣1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，AB＝，∵•OA•OB＝•AB•OH，∴OH＝，当⊙O经过点A时，r＝1，此时由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长为4，观察图象可知满足条件的r的范围为：≤r＜1．②如图2﹣1中，如图由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3．由题意E（﹣3，3），F（﹣3，0），G（2，0），H（2，3）．当抛物线经过点G时，4a+4a﹣2＝0，∴a＝，∵抛物线的对称轴x＝﹣1，经过（0，﹣2），观察图象可知，当a≥时，在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC 的紧覆益的边长为3．当a＜0时，抛物线经过点A时，解析式为y＝﹣2（x+1）2，观察图象可知，当a≤﹣2时，在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC 的紧覆益的边长为3．综上所述，满足条件的a的值为a≥或a≤﹣2．。

2015-2016学年度北师大版九年级上期中考试数学试题及答案

2015—2016学年度九年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟；试卷总分100分※ 考生注意:请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共16分) 1、下列方程,是一元二次方程的是（ ) ①3x 2+x=20，②2x 2—3xy+4=0,③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2—3x+3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤ 2、已知1=x 是方程022=++ax x 的一个根,则方程的另一个根为（ ) A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 3、观察下列表格,一元二次方程21.1x x -=的一个近似解是( )x1.1 1。

2 1。

3 1.4 1。

5 1.6 1。

7 1.8 1.9 2x x -0。

110.240。

390。

560。

750。

961。

191。

441。

71A ．0。

11B ．1。

6C ．1。

7D ．1。

19 4、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，则对角线BD 的长是（） A ．1B ．3C ．2D ．234题图5题图a b cA B C DEF mn6题图5、如图，已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3,则BF 等于( ） A ． 7 B ． 7。

5C ． 8D ． 8。

56、某小组做“用频率估计概率"的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是（ ) A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀"B ．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是47、如图，矩形ABCG （AB<BC ）与矩形CDEF 全等,点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点在线段BD 上移动,使∠APE 为直角的点P 的个数是( ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、如图,边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P,连接NQ ，下列结论：①AM=MN;②MP=BD ；③BN+DQ=NQ ；④为定值．其中一定成立的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④7题图11题图8题图二、填空题(每小题2分，共16分）9、()x x 6542=+-化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________10、抽屉里有２只黑色和１只白色的袜子,它们混在一起,随意抽出两只刚好配成一双的概率是 ___________11、如图,为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点。

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1九年级（上）期中数学复习试卷（分式及其运算）一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．22．如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣3．化简的结果是（）A ．B ．C ．x+1D ．x ﹣14．已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式的值是（）A ．3B ．2C ．D ．5．设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则的值等于（）A ．2B ．C ．D ．3二、填空题 6．若分式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．7．化简：（ +）= ．8．当a=﹣1时，代数式的值是．9．已知实数a 、b 、c 满足a+b=ab=c ，有下列结论： ①若c ≠0，则+=1； ②若a=3，则b+c=9； ③若a=b=c ，则abc=0；2④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）． 10．已知三个数x ，y ，z 满足，，，则的值为．三、解答题 11．计算或化简：（1）﹣；（2）（a+1﹣）•．12．先化简，再求值：（1）（﹣）÷（﹣1），其中x=2；（2）（1﹣）÷﹣，其中x 2+2x ﹣15=0．13．已知﹣=3，求代数式的值．14．已知（1）化简A ；（2）若x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．15．设abc=1，试求++的值．32016-2017学年北京市朝阳区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（分式及其运算）参考答案与试题解析一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．2【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x ﹣2=0， ∴x=2．故选：D ．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2．如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=2， ∴原式=•=a+b=2故选：A ．【点评】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．43．化简的结果是（）A ．B ．C ．x+1D ．x ﹣1【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故选A【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式的值是（）A ．3B ．2C ．D ．【考点】分式的值．【专题】计算题；分式．【分析】已知等式变形求出x ﹣=3，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式整理得：x ﹣=3，则原式===，故选D【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则的值等于（）A ．2B ．C ．D ．3【考点】分式的值．5【分析】由m 2+n 2=4mn 得（m ﹣n ）2=2mn 、（m+n ）2=6mn ，根据m ＞0、n ＞0可得m ﹣n=、m+n=，代入到=计算可得．【解答】解：∵m 2+n 2=4mn ， ∴m 2﹣4mn+n 2=0，∴（m ﹣n ）2=2mn ，（m+n ）2=6mn ， ∵m ＞0，n ＞0， ∴m ﹣n=，m+n=则===2，故选：A ．【点评】本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n 、m ﹣n 的值是关键．二、填空题 6．若分式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≠5 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】分式有意义时，分母x ﹣5≠0，据此求得x 的取值范围．【解答】解：依题意得：x ﹣5≠0，解得x ≠5．故答案是：x ≠5．【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．7．（2016•内江）化简：（ +）= a ．【考点】分式的混合运算．【分析】先括号里面的，再算除法即可．6【解答】解：原式=•=（a+3）•=a ．故答案为：a ．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 8．当a=﹣1时，代数式的值是．【考点】分式的值．【分析】根据已知条件先求出a+b 和a ﹣b 的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．【解答】解：∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a ﹣b=+1﹣+1=2，∴===；故答案为：．【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．9．已知实数a 、b 、c 满足a+b=ab=c ，有下列结论： ①若c ≠0，则+=1； ②若a=3，则b+c=9； ③若a=b=c ，则abc=0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是 ①③④ （把所有正确结论的序号都选上）．【考点】分式的混合运算；解一元一次方程．【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．【解答】解：①∵a+b=ab ≠0，∴ +=1，此选项正确；7②∵a=3，则3+b=3b ，b=，c=，∴b+c=+=6，此选项错误； ③∵a=b=c ，则2a=a 2=a ，∴a=0，abc=0，此选项正确；④∵a 、b 、c 中只有两个数相等，不妨a=b ，则2a=a 2，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8．当a=c 时，则b=0，不符合题意，b=c 时，a=0，也不符合题意；故只能是a=b=2，c=4；此选项正确其中正确的是①③④．故答案为：①③④．【点评】此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．10．已知三个数x ，y ，z 满足，，，则的值为 ﹣4 ．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】所求式子分子分母除以xyz 变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵=﹣2，=，=﹣， ∴+=﹣， +=， +=﹣， ∴++=﹣，则==﹣4．故答案为：﹣4【点评】此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．三、解答题 11．计算或化简：（1）﹣；（2）（a+1﹣）•．8【考点】分式的混合运算．【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算即可；（2）根据分式的四则混合运算的法则计算结论．【解答】解：（1）﹣=﹣=；（2）（a+1﹣）•=•=2a ﹣4．【点评】本题考查整式与分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号里的．12．先化简，再求值：（1）（﹣）÷（﹣1），其中x=2；（2）（1﹣）÷﹣，其中x 2+2x ﹣15=0．【考点】分式的化简求值．【分析】（1）先将各分式分子、分母因式分解，再约分、计算括号内的加减法，最后再约分即化简，将x 的值代入即可得；（2）先根据分式混合运算的顺序和法则化简原式，将x 2+2x=15整体代入可得答案．【解答】解：（1）原式=[+]÷（﹣）=（+）÷=•=，当x=2时，原式=．9（2）原式=•﹣=﹣=﹣==，当x 2+2x ﹣15=0，即x 2+2x=15时，原式=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．13．已知﹣=3，求代数式的值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x ﹣y=﹣3xy ，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵﹣==3，∴x ﹣y=﹣3xy ，则原式===4．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2016•毕节市）已知（1）化简A ；（2）若x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．10【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数x 的值，代入计算即可求出A 的值．【解答】解：（1）A=（x ﹣3）•﹣1=﹣1==；（2），由①得：x ＜1，由②得：x ＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，即整数x=0，则A=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．设abc=1，试求++的值．【考点】分式的化简求值．【分析】由abc=1得ac=，将abc=1代入第一个分式、将ac=代入第三个分式，再将第一个分式分子、分母都除以a ，第三个分式化简，最后根据分式的加法即可得答案．【解答】解：∵abc=1≠0， ∴ac=，∴原式=++=++=，=1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据已知条件通过变形将原式变形成同分母分式是解题的关键．11【本文由书林工作坊整理发布，谢谢你的关注！】。

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