风险管理4.金融市场波动率

其中，权重之和必须为1，即：
b 1
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测算波动率（2）— GARCH (1,1）（续…）

令������ = ������������������ ，则 GARCH (1,1) 模型变为：
2 2 2 u b n n 1 n 1

VL 1 b
2 t 2 E[ n ] V ( b ) ( t L n VL )
模型选择
在实践中，方差值常常会被拉回到长期平均值水 平，这种现象被称为均值回归。 GARCH（1,1）模型有均值回归特性，而EWMA 没有均值回归特性。理论上， GARCH（1,1）比 EWMA更具有吸引力。

2 n 2 VL i 1 i u n i m
i 1
i 1
m
令������ = ������������������
ARCH(m) 模型：
2 n 2 u i 1 i ni m
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测算波动率（1）—EWMA模型


在EWMA模型(exponentially weighted moving average model) 中，u2 的权重随着回望时间加长而按指数速度递减。每一 项权重是前一项权重与λ的乘积。 这个模型的特殊形式为
������������+1 = ������������������

更新波动率的简单公式为：
2 2 2 n n ( 1 ) u 1 n 1

参数λ也称为衰减因子
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EWMA模型的优点


需要的数据相对较少
仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值 对波动率进行跟踪监测 RiskMetrics 采用λ=0.94来更新每天波动率的估计，用 λ=0.97估计月数据。
变量 i 为第i天以前的观察值所对应的权重。
当选择这些变量时需要保证在i>j时，������������ > ������������
也就是我们将更少的权重施予更旧的数据上，权重之 和必须等于1.

i 1
m
i
1
8
ARCH(m) 模型


ARCH(m) 模型最早是由Engle提出，m为观察值的数量 假设对于权重选择，存在一个长期平均方差 VL，这种推 广对应以下模型：
������������ = 0.00023336 = 1.53%
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采用GARCH（1,1）模型预测波动率
2 2 2 n 1 b VL un b 1 n 1
2 2 2 n VL (un V ) b ( 1 L n 1 VL )
测算波动率（2）— GARCH (1,1）

在 GARCH (1,1) 模型中，我们为长期平均方差赋予一定的 权重，则，第n天的方差估计就是由长期平均方差、第n-1 天的波动率和最近一天变化率������������−1 确定。GARCH(1,1)的 表达式为：
2 2 2 V u b n L n 1 n 1
ui ln Si S i 1
m 1 2 n (u n i u ) 2 m 1 i 1
1 m u u n i m i 1
5
风险管理实践中的简化形式

定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1
假设 ui 期望为0


用 m 代替 m-1
1 m 2 un i m i 1
2 易知，对应于������������−������ 权重为������������������−1 ,权重以������的速度下降。参 数������也成为衰减速度。

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例1：

假设 某一每天观察数据估算的GARCH (1,1）模型为：
0.000002 0.13u
2 n

2 n 1
2 n
风险的时间序列

移动平均
考虑一个传统问题，一个风险经理观察T期的收益率序列������������ ，希望估计它 的波动率。简单一点，忽略收益率均值，在时刻t，方差的估计为：
������
������������2 = (1 ������)
������=1
2 ������������−������
0.86
2 n 1

长期平均方差是0.0002 ，换句话讲，由模型隐含的每天长 期方差平均为0.0002，对应的日波动率为1.4%。 假设对应于n-1天的日波动率估计为1.6%，第n-1天的市场 价格降低了1%。则波动率的最新估计为1.53%.即：
0.000002 0.13 0.0001 0.86 0.000256 0.00023336
这是一个简单的移动平均，以前各期的权重为������������ = 1/������ .然而这也许 并没有最好地利用历史数据，特别是在最近的观察值与下一个更加相关 时候。
加权权重的格式
我们的目标是估计当前波动率的水平，因此将权重应用在 最新数据就很有意义。这样做的一种模型为：

2 n

2 u i 1 i n i m
31.73 4.55 0.27 0.01 0.00 0.00
2
肥尾问题
幂律：正态分布的代替

在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要比正态分
布更好
Prob(v > x) = Kx-a

P152：例10-4
估计波动率的标准方法



定义 n 第n-1天所估计的市场变量在第 n天的波动率, 2 相应的方差为 n 定义Si 为市场变量在第 i天的市场价值 定义 ui为第i天连续复利收益率（第i-1天末至第i天末的 收益），于是有

作业4

10.9、10.14、10.17、10.18、10.19、10.23
（1）
（2）
（3） 更新后的波动率估计是多少？
（4 ）
金融市场波动率
讲师：郭战琴 guozhanqin@
金融变量的每日变化量是否服从正态 分布? （表10.1, p209）
标准差的天数 现实世界(%) 正态模型(%)
>1 SD >2SD >3SD >4SD >5SD >6SD
25.04 5.27 1.34 0.29 0.08 0.03
在将来的n+t天，我们有：
2 2 2 n V ( u V ) b ( t L n t 1 L n t 1 VL )
2 2 un 的期望为 t 1 n t 1
2 2 E[ n V ] ( b ) E ( t L n t 1 VL )