《非线性系统分析与控制》资料教材

的解。因此，二次型性能指标的线性最优控制问题 称为LQR问题，即线性· 二次型· 黎卡梯问题。
非线性系统分析与控制
wenku.baidu.com
U
B
BU
(t ) X


A
X (t )
C
Y(t )
KX (t )
K * R 1BT P*
P*
解：PA A TP PBR 1BTP Q 0
线性二次型最优控制系统结构图
特点：1、以一阶线性自变量对时间的微分方程组来对 系统进行描述的，其数学模型与分析方法是时域的； 2、所用到的数学工具主要是线性常微分方程理论与 线性代数理论； 3、它的建模理论与数学方法使得这种控制理论体系 适应于线性多输入多输出系统； 4、它建立了一整套最优控制设计原理与方法，使得 所求得的控制规律能保证系统性能指标达到极值； 5、对于参数可能在较大范围内变化的线性系统，最 优控制设计方法与线性系统参数辨识技术相结合，可 得到自适应的或称之为自动寻找最优点的控制系统。
例2. 线性化可以改变系统的结构，有可能变成不可控系统。
1 cos x3 x x 2 sin x3 3 x 0
0 u1 0 u2 1
某一机器人运动系统；在 x3 (t ) 0 点线性化后有：
1 1 0 x u1 x 2 0 0 u 2 x 0 1 3
T
(t ) AX(t ) BU(t ) X Y(t ) CX(t )
上式称为：线性动态系统的状态空间方程。
非线性系统分析与控制
• 所有线性动态系统的数学模型都可归结为上式 所示的矩阵形式的状态方程；矩阵代数（线性 代数）中的几乎所有方法都可以用来对线性动 态系统的各个问题，如可控性问题、动态品质 问题、稳定性问题、参数辨识问题以及综合校 正（即控制系统的设计问题）等问题进行分析 和研究 。 • 线性最优控制 （最有影响的分支之一）
• 电力系统是一个巨维数的强非线性系统，电力 电子技术在电力系统中的广泛应用进一步增加 了系统的复杂程度；现代互连电网可以用重压、 高度非线性、不连续来描述，因而难以在数学 甚至概念上建模。这使得输配电网络的安全性、 动态性能、传输控制的研究必须在非线性的基 础上展开。
非线性控制的最新研究成果主要表现在以 下几个方面： 1、微分几何法 ；
2、微分代数方法； 3、变结构控制理论； 4、非线性控制系统的镇定设计； 5、逆系统方法； 6、神经网络方法； 7、非线性频域控制理论； 8、混沌动力学方法。
§1.2 非线性系统的数学描述及其 近似线性化建模方法的局限性
1、相当广泛的一类非线性系统可用 n阶常微分来描述：
显然，对状态变量 x2 (t ) 是不可控的。
§1.3 非线性系统的主要特征
1.多平衡点 非线性状态反馈系统数学模型的一般形式为： f [x(t )], t 0 x 令 f [x(t )] 0 ，该方程的一个解 x e ，就确定了非线性系统 的一个平衡状态，即平衡点（速度为零的点）。 非线性系统一般有多个平衡点。笼统的谈其稳定性是没 有任何意义的，只能讨论在某个具体平衡点的稳定性。 判断非线性系统在某平衡点处是否稳定的方法有： 1）根据线性系统理论，用其在该点近似线性化的线性系
三、非线性控制理论
有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下 将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态 品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例 如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们 熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统 理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的， 并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述 函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、 输入输出稳定性理论等。
d n y(t ) d n1 y(t ) h t , y(t ), y(t ), , , u (t ), t 0 n n 1 dt dt 可写成向量微分方程的形式：
(t ) f [t , x(t ), u (t )], t 0 x
上述微分方程代表最一般化的非线性控制系统的方程。如果 函数与 t 无关，则称此系统为自治的，否则称为非自治的。 在许多控制系统中输入量 u(t ) 可以从函数 f 中分列出来， 系统方程可写成以下形式： (t ) f [t , x(t )] B(t , x)u(t ), t 0 x 这类系统为仿射非线性系统。
非线性系统分析与控制
•近似线性化局限性的例题分析
例1.
(t ) x(t ) x 2 (t ) x x(0) x0
(t ) x(t ) x x(t ) x0 exp(t )
关于稳定的平衡点 x(t ) 0 ，近似线性化系统及其解可描述 为： 原系统的解：
x0 exp(t ) x(t ) 1 x0 x0 exp(t )
1、冯纯伯 等《非线性控制系统分析与设计》 2、曹建福 等《非线性系统理论及应用》 3、斯洛廷，李卫平译《应用非线性控制》
非线性系统分析与控制
第一章 绪论
线性系统与非线性系统的主要区别： 1.线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足； 2.一般来说对于非线性系统不能求得完整的解，只能定 性分析； 研究非线性控制的理由： 1. 改进现有的控制系统； 2. 硬非线性特性分析； 3. 对模型不确定处理； 4. 设计简化。 §1.1 控制理论发展概述 一、古典控制理论 1.数学模型理论；2.响应分析；3.稳定性分析； 4.综合校正。
ax x 3 0 x
当
a 由正变负时，一个平衡点分裂为三个点
（x e 0, a , a ），这表明系统的动态特性的质变，
a 0 为一临界分叉值。
4.混沌
1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具 有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非 周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别 常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三 条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和 对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、 奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度 熵等。
统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyapunov第二方法。
2.极限环
非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周 期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。
例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼 器系统）为： 2c( x 2 1) x kx 0 m x
c 和 k 为正常数，分析该系统的特点） （ m、 • 非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持 续振荡。 • 极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和 有益两种情况，应分别对待。
特点：独特的建模方法 若有一自变量为时间
t 的函数 x(t )，使得积分


0
条件下，根据拉氏变换定义可得到
d k x (k ) st 是绝对收敛的；在初始条件为零的 e dt k dt
这样，可把由常系数线性常微分方程描述的线 性系统转换为传递函数描述。
d k x(t ) d k x(t ) st k L e dt s X ( s) dtk 0 dtk
结论分析： x0 1 系统收敛于由线性模型确定的稳定的平衡点； x0 1 系统快速地发散（有限时间逃逸问题）。
非线性系统分析与控制
100
50
0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t/s
初值条件：由右到左依次为1.2,1.5,1.8,2.5
非线性系统分析与控制
状态空间建模理论与方法 ：将能够唯一地确定系统动力学 行为的最小的一组变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
定义为系统的一组状态变量集合或状态向量
x(t ) x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 以每一个状态变量 xi (t )为轴所形成的 n 维欧氏空间 R n 定义 为状态空间。 现代控制理论的建模方法要求用 n个一阶常微分方程所组 成的方程组去描述一个 n 阶的线性动态系统。其数学模 型的标准形式为：
例：分析下面非线性系统
0.1x x 5 6 sin t x (0) 4.01 (0) 4 和 x(0) 3.01, x 在初值分别为 x(0) 3, x
的特征。
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
§1.4 非线性控制理论在电力系统中 的应用现状
2、非线性系统近似线性化建模方法的局限性
近似线性化建模：在某一平衡点处加以近似线性化，从而得 到原非线性系统近似线性化的数学模型---传递函数或线性 状态方程； 要求：当非线性函数在所研究的区域内没有间断点并在所选 择的平衡点附近没有多值关系或者急剧的曲折时，允许进行 近似线性化。 实质：就是在某一选定的系统平衡点处以非线性函数的全微 分代替其增量。 工程设计中广泛采用的原因有： 1、非线性控制系统在平衡状态附近工作，近似线性化所得 到的模型可以满足需要； 2、利用线性控制理论成熟地综合校正与设计方法； 3、线性系统的反馈是状态变量或输出量的线性函数，其控 制规律易于实现。
* U 结论为：线性二次型最优控制规律 是状态变量
的线性函数，即
U * K * X(t )
K * 为最优增益矩阵，其表达式为
K * R 1 B T P * K *为常数矩阵；上式中 P *为黎卡梯 对线性定常系统， （Riccati）矩阵方程
AT P PA PBR1 B T P Q 0
非线性系统分析与控制
古典控制理论有如下基本特点和实用范围：
1.它所运用的数学工具较为简单，主要是拉氏变 换和多项式代数； 2.传递函数所能描述的，只能是线性定常的控制 系统； 3.这种理论与方法主要适用于研究单控制量单输 出量的系统； 4.它难以揭示系统内部的动态行为。
二、现代控制理论（线性多变量系统控制理论） 背景：对控制品质要求的提高和计算机技术的 发展； 理论基础：1960年R.Bellman的《矩阵分析引 论》一书和1963年R.E.Kalman的《线性动态系 统的数学描述》一文 ； 最主要的特征：状态空间的建模理论与线性代 数的数学方法相结合。
对于一个给定的线性系统，提出一个性能指标， 其一般表达式为
J (XT (t )QX(t ) UT (t ) RU(t ))dt
0
* U 问题是：要找出状态反馈规律 (X(t)) ，使得上式

给出的性能指标达到极值，这种控制称为最优 控制。 从数学上来看，就是在状态方程约束条件下求泛 函 J [X(t ), U(t )]的条件极值问题，这是一个典型的 条件变分法问题。条件变分问题中的欧拉 - 拉 格朗日（ Euler-Lagrange）方程是解决线性二 次型最优控制问题的基础。
－

－
m
(t ) x
1 s
(t ) 1 x
s
x(t )
scope
2c


＋
u2
1
－
k
质量-弹簧-阻尼器系统Simulink 结构图
3.分叉
当非线性系统的参数发生变化时，其平衡点的稳定性也可 能变化。这些使系统运动品质特性发生变化的参数值， 称为临界值或分叉值。这种由参数的量变导致系统特性 发生质变的现象，称为分叉现象。 考虑无阻尼达芬（Duffing）方程：
非线性系统分析与控制
《非线性系统分析与控制》
研究生课程：32学时 授课教师：王印松
非线性系统分析与控制
主要教学内容
• • • • • 第一部分：非线性系统的主要特征； 第二部分：李雅普诺夫分析方法； 第三部分：现代稳定理论 第四部分：非线性系统的反馈线性化 第五部分：非线性系统的自适应控制 主要参考书：