2015-2016学年高中数学 第2章 1从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4

→ → → → 又已知两正方形对应边平行，所以 AB ＝ DC ＝a， BC ＝ AD → → → → → → → ＝c， BA ＝ CD ＝e， CB ＝ DA ＝g， AC ＝b， CA ＝f， BD ＝d， → DB＝h. (2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所 → 以与AB共线的向量有：a、e； → 与BC共线的向量有：c、g； → 与AC共线的向量有：b、f； → 与BD共线的向量有：d、h.
向量表示的模型
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点 B，然后又改变方向向西偏北50° 行驶了200千米到达点C，最 后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D． → → → (1)作出向量AB，BC，CD； → (2)求|AD|.
[思路分析]
首先确立指向标，然后再根据行驶方向和距
离作出向量，进而求解．
[规律总结]
(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大
小和方向，相等向量必须二者都相同才成立．同时，也可以看 出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同． (2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与 向量的大小无关，故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所 在的直线是否共线或者重合即可．
再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． (2) 要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型， “数学建模”是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中
不断积累经验．
已知飞机从甲地按北偏东30° 的方向飞行2000km到达乙 地，再从乙地按南偏东30° 的方向飞行2000km到达丙地，再从 丙地按西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲地的什 么方向？丁地距甲地多远？ [解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、
Байду номын сангаас
给出下列说法： → → ①若 AB ＝ DC ，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个 → → 顶点；②在平行四边形ABCD中，一定有 AB ＝ DC ；③若a＝ b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥C． 其中正确的序号为________．
[答案] ②③
[解析]
→ → AB ＝ DC ，A，B，C，D四点可能在同一条直线
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． → (1)与向量ED相等的向量为________； → → (2)若|AB|＝3，则向量EC的模等于________．
→ → [答案] (1)AB、DC
(2)6
[解析] (1)在平行四边形ABCD和ABDE中， → → → → → → ∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC. → → (2)由(1)知，ED＝DC， → → → → ∴E、D、C三点共线，|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝6.
→ → 作有向线段AB的长度，记作|AB|.
(2)向量可以用有向线段 ________来表示．有向线段的长度表示
向量的方向 ． 向量的大小 ，箭头所指的方向表示___________ ____________
(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，„来表示，书 → → → 写用 a ， b ， c ，„来表示． 3．向量的长度(模)
→ → |a| |AB| ________( 或________) 表示向量 AB (或a)的大小，即长度
(也称模)．
4．四种重要的向量
→
0 零向量 ， 记 作 ________ (1) 长 度 为 零 的 向 量 叫 作 ________ 或
________ ，它的方向与任一向量平行． 0 单位1 的向量，叫作a方 同方向 ，且长度为________ (2)与向量a________ a0 向上的单位向量，记作________ ． 相等 相同 的向量叫作相等向量，向 (3)长度________ 且方向________ 相等 ． 量a与b相等，记作a＝b．规定所有的零向量________ (4) 如 果 表 示 两 个 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 平行或重合 ，则称这两个向量 ________ 平行 或 ________ 共线 ， a 与 b _____________ 平行或共线，记作a∥b．
再按逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，按此方法
继续操作下去． (1)作图说明，若α＝ 45°，则操作几次时，赛车的位移是 零； (2)按(1)中操作得到的向量中，写出相等或共线的向量． [思路分析] 移刚好是零． 当赛车总共转了360°之后，回到起点时，位
[规范解答]
(1)如图所示，由条件知赛车转了360° 后，回
相等向量与共线向量
以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各 顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h. (1)在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形 ABCD中找出与它们相等的向量； → → → → (2)写出分别与AB、BC、AC、BD共线的向量．
[思路分析]
(1)要找出具体相等向量，只需在正方形
[ 规律总结 ]
对于一些意义相近的概念，一定要准确把
握，仔细分辨．如有向线段与向量，不能混同，有向线段是向 量的几何表现形式，不仅有大小和方向，还有起点和终点，而 向量只有大小和方向．比如向量 a 的单位向量有两个，这两个 单位向量方向相反．再如向量共线与向量同向，共线不一定同 向，但同向一定共线．
箭在古代又叫“矢”，物理上的“矢量”在数学中又叫 “向量”．本章将要学习平面向量的有关知识，通过本章的学 习，我们将知道，平面向量的知识在生活中有着广泛的应 用．花荣有如此神功，说明他射箭的方向和距离(力度)掌握的 恰到好处．那么花荣是如何掌控箭的方向和距离的呢？学完本 章后，你就明白了．
第二章
§1 从位移、速度、力到向量
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，请问：猫能否追
到老鼠(如图)?
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了． 分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD实际上都是 有长短、有方向的量． 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并
第二章
平面向量
箭射雁头服群雄 《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带 弓箭的，急取过一支好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣 射断绒绦，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未 敢夸口，这支箭要射雁行内第三只雁的头上．射不中时，众头 领休笑．”花荣搭上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射 去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下，急叫军士取来看 时，那支箭正穿在雁头上，晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都 称花荣做“神臂将军”．
→ → → 上，故①不正确．在平行四边形ABCD中，| AB |＝| DC |， AB 与 → → → DC 平行且方向相同，所以 AB ＝ DC ，故②正确．若a＝b，则|a| ＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，则b与c方向相 同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故③正确．对于 ④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
丙地、丁地，依题意知，△ABC为正三角形，
∴AC＝2000(km)． 又∵∠ACD＝45° ，CD＝1000 2(km)， ∴△ACD 为直角三角形，即 AD＝1000 2(km)，∠CAD＝ 45° . 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.
向量的应用 一位模型赛车手遥控一辆赛车面向正东方向， 向前行进1m，逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，
4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．
[答案] 0 [解析] 零向量可以与任意向量平行． → → → 5．设O是正△ABC的中心，则向量 AO ， OB ， OC 是
________．(填上正确的序号) ①平行向量；②模相等的向量；③相等向量．
[答案] ② [解析] 由O是正△ABC的中心，知O点到三个顶点A，
1 ．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速．其中 向量有( )
A．①②
C．②④ [答案] C
B．②③
D．③④
[解析] 主要考查向量与数量的区别． 由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数 量，故选C． 实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负
之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大
[思路分析]
一判断对错． [答案] (4)
[规范解答]
本题涉及了向量的几个重要概念．解答时可
从向量定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐
(1)错误，只有速度、位移是向量.
(2)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方 向的关系． (3)错误.0的模|0|＝0.
(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可 以任意移动的，因此相等向量可以起点不同． (5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反 → → 即可，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上．
B，C的距离相等，但三个向量的方向既不相同也不相反，所 → → → 以AO，OB，OC的模相等．
课堂典例讲练
向量的有关概念
给出下列几种说法： (1)温度、速度、位移这些物理量都是向量； (2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (3)向量的模一定是正数； (4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； → → (5)向量 AB 与 CD 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直 线上． 其中正确的序号是________．
360° 到起点，此时位移是零. 45°＝8，所以操作了8次．
→ (2)如图所示为正八边形路线图形，其中共线向量是： AB → → → → → → → 与EF、BC与FG、CD与GH、DE与HA.
[规律总结]
向量相等或共线与表示向量的有向线段的起
点无关，仅决定于向量的长度和方向．
中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图 所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都 是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处， → → 用向量 AA1 、 AA2 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、 C处走了一步的所有情况．
小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量．
2．下列关于向量的说法中，正确的是(
A．长度相等的两向量必相等 B．两向量相等，其长度不一定相等 C．向量的大小与有向线段的起点无关 D．向量的大小与有向线段的起点有关
)
[答案] C
[解析] 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故 A 错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故 B 错；向量的 大小与有向线段的起点并无关系，故D错．
[规范解答] (1)如图所示．
→ → (2)由题意，易知AB与CD方向相反， → → 故AB与CD共线． → → 又∵|AB|＝|CD|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD．
∴四边形ABCD为平行四边形． → → ∴|AD|＝|BC|＝200千米．
[规律总结]
(1)准确画出向量的方法是先确定向量起点，
指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识．
1．向量的概念
方向 的量叫作向量． 大小 ，又有________ 既有________
2．向量的表示方法
方向和长度 的线段，叫作有向线段．以A为始 (1)具有___________
→ → AB 点，以B为终点的有向线段记作________，线段 AB 的长度也叫
→ → 3．如图， AB ＝ DC ，AC与BD相交于点O，则相等的向量 是( )
→ → A．AD与CB → → C．AC与DB
→ → B．OA与OC → → D．DO与OB
[答案] D
→ → [解析] ∵AB＝DC， ∴四边形ABCD为平行四边形． → → ∴AC与BD的交点O为BD中点，DO＝OB.
ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可； (2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可．
[规范解答] |g|＝1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.