2015年春季新版苏科版八年级数学下学期9.4、矩形、菱形、正方形导学案10

菱形的性质和判定
学习目标：
1．理解菱形的定义， 掌握菱形的性质和判定；
2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明． 学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握； 学习过程： 一、情境创设：
1、菱形的定义：
菱形的性质： （边） （角）
（对角线） （对称性）
菱形的面积等于 ．
2、如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于
2
1
AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．． 形，你判定的理由是： ． 归纳： 二、探索活动
Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：
1、如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则 ①此菱形的边长为 ．周长为 ． ②此菱形的面积为 ．
③此菱形对角线的交点O 到AB 的距离为 ．
④菱形内部(包括边界)任取一点P ，使△ACP 的面积大于6 cm 2
的概率为 ． 2、若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为 ． Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：
如图如图所示，在菱形ABCD 中，若AB ＝6，∠DAC ＝60°则： ①BD ＝ ． ②AC ＝ ．③S 菱形ABCD ＝ ．
归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于 ，长的对角线等于 ． 三、例题教学：
例1、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，G 是AB 上任一点，DF 交AC 于点E 。

求证：∠AGD=∠CBE
的平行四边形是菱形 的四边形是菱形
例2、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．
试判断四边形AFED的形状，并加以证明．
例3、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
（3）若∠ACB＝30 ，菱形OCED的面积为83，求AC的长．
四、巩固练习：
A组：
1、已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．
2、菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．
3、己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为．
4、如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD= cm2．
5、如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、
AF ，则△AEF 的周长为 cm ．
6、两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．
7、已知：如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EG ∥BC ，EG 交AD 于点G 。

求证：四边形EDCG 是菱形。

B 组：
1、如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论正确的是 （ ）
①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG =
34
CG 2
；③若AF =2DF ，则BG =6GF ． A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②③ D ．①②③
2、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
3、如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ． (1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．
4、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并
予以证明；若不存在，请说明理由．
5、如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO
的延长线交BC于Q.
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向
D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
九年级数学导学案6
课题：正方形性质和判定
学习目标：
1、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
2、在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高分析问题与解决问题的能力。

学习重点：对正方形的性质定理和判定定理的综合应用。

学习过程：
一、情境创设：
正方形的定义： .
正方形的性质： （边） （角）
（对角线） （对称性） 正方形的判定：既是 又是 四边形是正方形．
正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如图。

（请填写它们之间的关系） 二、探索活动：
①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合
1. 如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE ＝ °
2. 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 到E ，使CE =CB ，则∠DBE ＝ °.
3. 如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC ,则下列结论：
（1）∠E =22.5°； (2) ∠AFC =112.5°； (3) ∠ACE =135°；（4）AC =CE ；(5) AD ∶CE =1∶ 2.其中正确的有 （ ）
A ．5个 B.4个 C.3个 D.2个
4. 如图，等边△EDC 在正方形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB ＝ °；∠ACE ＝ °.
②正方形与旋转结合
1. 如图5，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图6所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
3. 如图7，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．
4、如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F ，若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE =OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
图5 图6 图7
③正方形对角线的对称性 1、如图：正方形ABCD 中，AC =10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF = .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .
思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.
2、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ADE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PB ＋PE 的和最小，则这个最小值为 . ④正方形的折叠
1.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 .
2.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 .
3.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是 . 三、巩固练习： A 组：
1、下列说法不正确．．．的是 （ ） A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、如图所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ．若
不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条
P
A
B
D
O
件是 ．
3、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
Ａ．22.5
角
Ｂ．30 角 Ｃ．45
角
Ｄ．60
角
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
5、△ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，E 、F 是垂足。

求证：四边形DECF 是正方形。

6、已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是正方形各边的中点，AF 、BG 、CH 、DE 分别两两相交于点A ’、B ’、C ’、D ’。

求证：四边形是正方形。

B 组：
1、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
2
、如图，将n
个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 .
3、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是
4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长．．
是 . A
A
G
5、如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰
三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ． 6、已知：如图，点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'。

求证：四边形A ‘B ’C ‘D ’是正方形
7、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线
BC 上，且PE=PB .试判断PE 与PD 的关系.
A。