椭圆性质的运用(公开课)

高二数学公开课教案：椭圆性质的运用曾木顺三维目标1、知识与能力(1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。

4.教学重、难点：（1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。

教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标（±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )（二）进行新课例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为23，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为556。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求⋅的取值范围。

【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。

解：(1)由离心率23==a c e ，得 2112=-=e a b ∴ b a 2= ① ∵原点O 到直线AB 的距离为556∴55622=+ba ab ② ，将①代入②，得92=b ，∴362=a 则椭圆C 的标准方程为193622=+y x （2）∵ EQ EP ⊥ ∴ 0=⋅ ∴ 2)(=-⋅=⋅设),(y x P ，则193622=+y x ，即4922x y -= ∴6)4(434996)3(222222+-=-++-=+-==⋅x x x x y x EP QP EP ∵ 66≤≤-x ， ∴ 816)4(4362≤+-≤x则QP EP ⋅的取值范围为[]816，　。

巩固练习 1.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP •的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量与OM 是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；（3）设焦点三角形21F QF 中,21θ=∠QF F 则2tan221θb S QF F =∆。

解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。

∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。

（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。

(3)θcos 2)2(2122212212QF QF QF QF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=QF QF QF QF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c QF QF QF QF 2tan sin cos 1sin ||||21222121θθθθb b QF QF S QF F =+==∆巩固练习 2. P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，F 1 F 2是焦点，若∠F 1PF 2=600,则∆ F 1PF 2的面积是___________________巩固练习 3. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点, P 是椭圆上的一点, ,90021=∠PF F 求椭圆的离心率的最小值。

巩固练习 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+= (三)小结：1.注意椭圆简单几何性质在问题中作为隐含条件的运用2. 注意椭圆定义及数学思想方法的运用 （四）作业1.已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点， 求AP AQ ⋅的取值范围．解．（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． 圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C=111,22k k ==或． 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2． 椭圆E 的方程为：221182x y +=．（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞上的两点Q P 、在x 轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且Q P 、两点的连线的斜率为2。

（1）求椭圆的离心率e 的大小；（2）设点M （0，3）在椭圆内部，若椭圆C 上的点到点M的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围。

解（1）设点00()()P c y Q c y --，，，，其中00y ＞， ∵ 点P 在椭圆上，∴ 220221y c a b +=，∴422002b b y y a a==±，∴22()()b b P c Q c a a--，，，，∴22222PQ b b a k c ac ===，22)a c ac -=2)e e -=，解得e =2e =. （2）由（1）知，a c b ==，，故椭圆方程为222212x y b b+=∵点M （0，3）在椭圆内部，∴ 3b ＞.设()N x y ，为椭圆上任意一点，则22222(3)(3)218MN x y y b =+-=-+++ 其中b y b -≤≤.∵3b ＞，∴3b --＜，∴当3y =-时，2MN 的最大值为2218b +.依题意:250MN MN ≤∴≤, ∴221850b +≤. ∴ 04b ≤＜， 又3b ＞，∴34b ≤＜，即628b ≤＜ ∴椭圆的短轴长的取值范围是(]68，.（五）备选习题1.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x •=---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，227164m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，2. 如图，A 为椭圆12222=+by a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2．当AC 垂直于x 轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1（I ）求该椭圆的离心率；（II ）设B F AF 111λ=，C F AF 222λ=，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（I ）当A C 垂直于x 轴时，12:3:1AF AF =，由122AF AF a +=，得132a AF =，22a AF = 在Rt△12AF F 中，21AF =222(2)AF c +解得 e=2． （II ）由e =22，则221222=-=-=e a c a a b ，c b =． 焦点坐标为12(0)(0)F b F b -，，，，则椭圆方程为122222=+by b x ， 化简有22222b y x =+．设00()A x y ，，1122()()B x y C x y ，，，， ①若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为)(00b x bx y y --=代入椭圆方程有0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b ．由韦达定理得：022022023bx b y b y y --=，∴0202223bx b y b y --=所以bx b y y CF AF 02022223-=-==λ，同理可得b x b b x b 0012323+=---=λ 故λ1+λ2=66=bb．②若直线AC x ⊥轴，b x =0，12=λ，5231=+=bbb λ ∴λ1+λ2＝6．综上所述：λ1+λ2是定值6．。