2014高考数学一轮复习练习4-5-63

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2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版

第五节数列的综合问题[备考方向要明了]考什么怎么考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年T16，T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学容，在每个数学容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：选B 由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( )解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y＝54，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设数列{a n}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案：152 41 2x yz5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：由S n ＝23a n －13得当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1. 令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，以－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *得k ＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n n －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n(n ∈N *)．在本例(2)的条件下，试比较a n 与S n 的大小．解：显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，∴当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ；当n ＝1，2或n ≥9时，a n >S n . ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．1．(2013·模拟)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d >0，所以a 2<a 4，则a 2＝5，a 4＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，又q >0，解得b 1＝1，q ＝3. 所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n n －12×4＝2n 2－n ；当n >5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…b n ) ＝(2×52－5)＋351－3n －51－3＝3n－1532.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.数列与函数的综合应用[例2] (2012·高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}x n .(1)求数列{}x n 的通项公式；(2)设{}x n 的前n 项和为S n ，求sin S n .[自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n＝－sin2nπ3.当n ＝3m －2(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－43π＝－32；当n＝3m－1(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－23π＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sin S n＝－sin 2mπ＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n＝3m－2m∈N*，32，n＝3m－1m∈N*，0，n＝3m m∈N*.———————————————————解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，a n＋1＝a n－f a nf′a n(n＝1,2，…)．(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n，都有a n>α，记b n＝lna n－βa n－α(n＝1,2，…)，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，又∵α，β是方程的两个实根，且α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)∵f ′(x )＝2x ＋1，∴a n ＋1＝a n －f a n f ′a n ＝a n －a 2n ＋a n －12a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋1.∵a n >α>β(n ＝1,2,3，…)，且a 1＝1， ∴b 1＝ln 1－β1－α＝ln β2α2＝4ln 5＋12.或b 1＝ln 1－β1－α＝ln1－－1－521－－1＋52＝ln3＋524＝2ln3＋52＝2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝4ln5＋12b n ＋1＝ln a n ＋1－βa n ＋1－α＝ln a 2n －2βαn －β＋1a 2n －2αa n －α＋1＝lna n －β2－β2－β＋1a n －α2－α2－α＋1＝ln a n －β2a n －α2＝2lna n －βa n －α＝2b n . 即{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．故数列{b n }的前n 项和S n ＝b 11－2n1－2＝(2n－1)·4ln 5＋12＝(2n ＋2－4)ln5＋12. 数列与不等式的综合应用[例3] (2012·高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[自主解答] (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：∵1a n＝13n－2n＝13n·11－⎝⎛⎭⎪⎫23n≤13n·11－23＝3·13n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n≤3⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝3×13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n<32.———————————————————数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．3．等比数列{a n}为递增数列，且a4＝23，a3＋a5＝209，数列b n＝log3a n2(n∈N*)．(1)求数列{b n}的前n项和S n；(2)T n＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使T n>0成立的最小值n.解：(1)∵{a n}是等比数列，设其公比为q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝23，a1q2＋a1q4＝209，两式相除得，q 1＋q 2＝310，q ＝3或q ＝13， ∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281.∴a n ＝a 1qn －1＝281·3n －1＝2·3n －5， ∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n －4＋n －52＝12(n 2－9n )． (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0，即2n>5n ＋1.∵24<5×4＋1,25>5×5＋1，∴n min ＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用[例4] (2012·高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[自主解答] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力．4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，解得n ≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意可知a n>0.85b n，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6.故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．3个注意——递推、放缩与函数思想的考查(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).创新交汇——数列的新定义问题1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．[典例] (2011·高考)若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2 011；(3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．[解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)．所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…a 2－a 1≤1，所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999. 又因为a 1＝12，a 2 000＝2 011，所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列．综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1. 因为a 2＝a 1＋c 1，a 3＝a 1＋c 1＋c 2，…a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]＝n n －12－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1，…，n －1)．所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数，所以要使S (A n )＝0，必须使n n －12为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a1＝0，S(A n)＝0.[名师点评]1．本题具有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口．[变式训练]1．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…b n满足b1＝a n，b k ＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为______；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{a n}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－a n)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－a n)，….因为n是偶数，所以b n ＝a n＋(－1)n(a1－a n)＝a1.设{b n}的“衍生数列”为{c n}，则c i＝b i＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i·(a1－a n)＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i(a1－a n)＋(－1)i·(a n－a1)＝a i，其中i＝1,2,3，…，n.则{b n}的“衍生数列”是{a n}．答案：2,1,4,5 {a n}2．(2012·高考改编)对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{a n}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)证明：因为b k＝max{a1，a2，…，a k}，b k＋1＝max{a1，a2，…，a k，a k＋1}，所以b k＋1≥b k.因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. 等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．(2013·模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月解析：选C 由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)，再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9.5．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.6．(2013·模拟)在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 若k ＝0时，则a n ＋2－a n ＋1＝0，因为a n ＋2－a n ＋1可能为分母，故无意义，故k 不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误；由定义知④正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1008．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点( a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x－a k )．令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．由题意知使用n 天的平均耗资为3.2×104＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n 2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：800三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．11．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2kn a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2. ∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴ T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.① 由①×4，得4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.②①－②得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×421－4n －11－4－()2n ＋1×4n ＋1， ∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.(3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6. ∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)．又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n＝6＋(n－1)×12＝12n－6.∴{c n}的通项公式为c n＝12n－6.1．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式及S n；(2)设A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n，B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较A n与B n 的大小．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由⎝⎛⎭⎪⎫1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以a n＝na，S n＝an n＋12.(2)因为1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n>n＋1，即1－1n＋1<1－12n，所以，当a>0时，A n<B n；当a<0时，A n>B n.2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102(m 2)，第4年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103(m 2)，第5年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ≈1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1. (1)求k 的值和S n 的表达式； (2)是否存在正整数m ，n ，使得S n －m S n ＋1－m <12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，得S 2＝kS 1＋2，即a 1＋a 2＝ka 1＋2，∵a 1＝2，a 2＝1，∴2＋1＝2k ＋2，得k ＝12.于是，S n ＋1＝12S n ＋2，设S n ＋1＋x ＝12(S n ＋x )，即S n ＋1＝12S n －12x ，令－12x ＝2，得x ＝－4，∴S n ＋1－4＝12(S n －4)，即数列{S n －4}是首项为－2，公比为12的等比数列．∴S n －4＝(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (n ∈N *)．(2)由不等式S n －m S n ＋1－m <12，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m <12，即2n4－m －42n4－m －2<12.令t ＝2n(4－m )，则不等式变为t －4t －2<12，解得2<t <6，即2<2n(4－m )<6.假设存在正整数m ，n ，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是2n(4－m )＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n＝2，4－m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2n＝4，4－m ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.于是，存在正整数m ＝2，n ＝1或m ＝3，n ＝2，使得S n －m S n ＋1－m <12成立．由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n .[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n. 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n qn ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q pn ，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1. 令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n，代入(*)式，得a n ＝2·3n－n －1. 6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2n －1＝lg a 1－2n，即lg a n ＝lg a 1－2n，所以a n ＝a1－2n.7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2.二、破解数列中的4类探索性问题 1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N *)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[解] (1)由已知得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1，所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)．又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n ＋1.因为b n ＋1＝4b n ＋6，即b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，又b 1＋2＝a 1＋2＝4，所以数列{b 2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．所以b n ＝4n－2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n－2，所以c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n＋(－1)nλ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，化简得3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立，即(－1)n －1λ<2n －1恒成立，①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n 要注意利用S n 与a n 的关系将其转化为a n ，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋n a n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.。

2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲

2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲不等式选讲第1讲含有绝对值的不等式及其解法、证明不等式的基本方法1.不等式|2x-1|<3的解集为.【答案】{x|-1<x<2}< p="">【解析】(1)当2x-1≥0,即x≥时,不等式变为2x-1<3,即x<2,所以≤x<2;(2)当2x-1<0,即x<时,不等式变为-(2x-1)<3,即x>-1,所以-1<x<.< p="">综上,原不等式的解集为={x|-1<x<2}.< p="">2.(2012·江西卷,15(2))在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.【答案】3.若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.【答案】(-∞,3]【解析】(方法一)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是a≤3.(方法二)∵|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|B C|=3,∴|AB|+|AC|≥3.故a≤3.(方法三)设f(x)=|x+1|+|x-2|=作出函数f(x)的图象如图所示,由图易知f(x)≥3.故a≤3.4.不等式|x-x2-2|>x2-3x-4的解集是.【答案】{x|x>-3}【解析】∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2>0恒成立,∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,即2x>-6,x>-3.故原不等式的解集为{x|x>-3}.5.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1【解析】a>(|x-3|-|x-4|)min,令y=|x-3|-|x-4|,由几何意义得-1≤y≤1,故a>-1.6.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是. 【答案】(1,3)【解析】∵≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得1<a<3.< p="">7.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=,则集合A∩B=.【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解不等式|x+3|+|x-4|≤9.(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x≤9,则x≥-4,即-4≤x<-3;(2)当-3≤x≤4时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-x≤9恒成立,则-3≤x≤4;(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|=x+3+x-4≤9,则x≤5,即4<x≤5.< p="">综上所述,A={x∈R|-4≤x≤5}.∵t∈(0,+∞),∴x=4t+-6≥2-6=-2,当且仅当t=时等号成立.于是B={x∈R|x≥-2}. 故A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.8.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或解之可得≤x<或-2<x<.< p="">故原不等式的解集是.9.(2012·江苏卷,21D)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.10.若n∈N+,n≥2,求证:-<++…+<1-.【证明】∵++…+>++…+=++…+=-,又++…+<++…+=++…+=1-,∴-<++…+<1-.11.若x,y∈{x|x>0,且x+y>2},求证:<2和<2中至少有一个成立.【证明】假设<2和<2都不成立,则有≥2,≥2同时成立.∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x同时成立.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.这与条件x+y>2相矛盾.因此,<2和<2中至少有一个成立.12.(2012·辽宁卷,24)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.【解】(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=从而可知|h(x)|≤1,因此k≥1.拓展延伸13.(2012·课标全国卷,24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解】(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;< p="">当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;综上,可知f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|4-x-(2-x)≥|x+a|-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].</x<3时,f(x)≥3无解;<></x<.<></x≤5.<></a<3.<></x<2}.<></x<.<></x<2}<>。

2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第4章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

19 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质一、填空题1．设f (x )＝sin 2x ，若f (x ＋t )⎝⎛⎭⎫－π2<t <π2是偶函数，则t 的值为__________． 2．(2013届江苏无锡高三)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，且函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，则函数解析式为________． 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为__________． 4．使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现两次最大值，则ω的最小值为__________．5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈ [0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是________． 6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝__________.7．(2012课标全国高考改编)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.8．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝__________.9．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则结论：①f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12；②f (x )在区间⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数；③f (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0；④f (x )的最大值是A .其中正确的是__________．二、解答题10．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．11.(2012湖南高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． 12．(2013江苏江阴中学月考)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．参考答案一、填空题1.π4或－π4 解析：由f (x ＋t )＝sin 2(x ＋t )＝sin(2x ＋2t )是偶函数，得2t ＝k π＋π2，∴t ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∵－π2＜t ＜π2，∴t ＝－π4或π4. 2．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 解析：由y ＝sin(Ωx ＋φ)(Ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π知，Ω＝2.又图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，则sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，所以φ－2π3＝k π，即φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又由0＜φ＜π知，φ＝23π，所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 3．y ＝sin 4x4.5π2 解析：要使y ＝sin Ωx (Ω＞0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值，只需要54·2πω≤1，所以Ω≥5π2.从而Ωmin ＝5π2. 5．2 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x 2(x ∈ [0,2π])，画出图象可得在[0,2π]上它们有2个交点． 6.9π10 解析：由题图可知函数的半周期为2π－3π4＝5π4⇒T ＝5π2⇒Ω＝45，进而有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫45x ＋φ，将点(2π，1)代入有8π5＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ⇒φ＝2k π－11π10，k ∈Z ，由于－π≤φ＜π，所以令k ＝1得φ＝9π10. 7.π4解析：由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故Ω＝1， ∴f (x )＝sin(x ＋φ)．令x ＋φ＝k π＋π2，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4， ∵0＜φ＜π，∴φ＝π4. 8．－π6解析：因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 9．③ 解析：因为T ＝π，所以Ω＝2.又对称轴为x ＝2π3，所以2×2π3＋φ＝k π＋π2. 因为|φ|＜π2，所以φ＝π6. 所以函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0.因为A 的大小、符号不确定，故只有③正确．二、解答题10．解：(1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈ [0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 故当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2；当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 11．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以Ω＝2πT＝2，因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0, 1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 12．解：(1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，所以12＝12cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－φ，即cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1. 又0＜φ＜π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以4x ∈ [0，π]，因此4x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故－12≤cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.。

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：5-4

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．数列{1＋2n－1｝的前n项和为（）A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n解析：S n＝n＋错误!＝n＋2n－1。

答案：C2．(2013年杭州期末）数列｛a n｝的通项公式为a n＝（－1)n－1·(4n －3)，则它的前100项之和S100等于（）A．200 B．－200C．400 D．－400解析：S100＝(4×1－3）－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3）＝4×［（1－2）＋（3－4）＋…＋（99－100)］＝4×(－50）＝－200。

答案：B3．(2013年锦州模拟)设函数f（x）＝x m＋ax的导函数f′（x)＝2x＋1，则数列错误!（n∈N*)的前n项和是( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：∵f′(x)＝mx m－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.∴f（x)＝x2＋x,f(n)＝n2＋n。

∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!。

∴S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＝1－错误!＝错误!.答案：A4．（2012年高考大纲全国卷)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B。

错误!n－1C。

错误!n－1 D.错误!解析：利用等比数列知识求解．∵S n＝2a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＝2a n.∴a n＝S n－S n－1＝2a n＋1－2a n.∴3a n＝2a n＋1。

∴a n＋1a n＝错误!.又∵S1＝2a2，∴a2＝错误!.∴错误!＝错误!.∴｛a n}从第二项起是以错误!为公比的等比数列．∴S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1＋错误!＝错误!n－1。

错误!错误!答案：B5．(2013年焦作模拟)已知数列{a n｝满足a n＋1＝12＋错误!，且a1＝错误!，则该数列的前2 012项的和等于（）A。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编18：数列 Word版含答案-推荐下载

an
Sn

2( 1 n
根据题意,由于数列 an 的通项为

n
a1+a2 ++an
3 1 1 2 n 1 n 2 ,故选 D
1
) 2
,那么可知数列的前

2[(1 1

1) 3
(1 2

n
1) 4
13.．（山东省潍坊市 2014 届高三上学期期中考试数学（理）试题）等差数列{ an }的前 20 项和为
an
+( 1 n
C．90
C． 8
C．（1）94 3
4
C．
5

1 anan1
2 n(n

n

1
2)
可以变形为
)] 可知结论为 2
an

C．20
C．1
C．93
3
C．
10
D．90
D．25
D．-2
D．189
1
D．8（）Fra bibliotek（）
（）
（）
（）
【答案】C 7. ．（山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）在各项均为正数的
8.
等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2++log3a10=
A．12
【答案】D
B．2+log35
C．8
．（山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等差数列an的公差
d 0 ,若 a1 a2 a3 a2013 2013at ( t N* ),则 t

2014年高考复习理科数学试题(63)

2014年高考复习理科数学试题(63)第一部分选择题(40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．有下列四个命题，其中真命题是A ．n n R n ≥∈∀2, B.m n m R m R n =⋅∈∀∈∃,, C.n m R m R n <∈∃∈∀2,, D.n n R n <∈∀2, 2．已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则f(x)的图象A ．与g(x)的图象相同B ．与g(x)的图象关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得到g(x ）的图象D ．向右平移2π个单位，得到g(x)的图象3．已知a ，b ∈R ，且集合},1,2{}22,,1{b a b b a a +-=+--，则b-a=A.-1B.1C.-2D. 24．已知b a ,是夹角为1200的单位向量，则向量b a +λ与b a 2-垂直的充要条件是实数λ的值为A ．45 B.25 C.43 D.235．设a,b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是A ．βαβα⊥⊥,//,b a B.βαβα//,,⊥⊥b a C.βαβα//,,⊥⊂b a D.βαβα⊥⊂,//,b a6．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-02,01,02a y x y x 目标函数t=x-2y 的最大值为2，则实数a 的值是A.-2B.0C.1D.27．将三棱锥A-BCD 沿三条侧棱剪开，展开图形是一个边长为22的正三角形（如图所示），则该三棱锥的外接球的表面积是A. 48πB.36πC.12πD.3π8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621,100|,lg |)(x x x x x f 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c ），则c b a ⋅⋅的取值范围是A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为____10．已知20072008)(ax x x f +=82009--xb ，10)1(=-f ,则f(1)=___________11.定积分⎰+edx x x 1)21(=___________.12．函数)632cos(32sinπ++=x x y 的图象中相邻两条对称轴的距离是____． 13.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若15,1054≤≥S S ，则a 4的最大值为_________。

2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第15章选考部分选修4-5不等式选讲

70 不等式选讲1．(2013江苏南京学情调研)解不等式：|2x －1|＋3x ＞1.2．(2013江苏南京高三质检)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若对任意x ∈ (－∞，0]，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a －b 的最大值．3．已知函数f (x )＝|x －2a |，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)若存在x ∈R ，使不等式f (x )＋f (x ＋2)＜m 成立，求实数m 的取值范围．4．(2012江苏盐城二模)设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m .求证：1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥92m. 5．(2013江苏苏北四市二模)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －2b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．参考答案1．解：不等式|2x －1|＋3x ＞1可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1＋3x >1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋3x >1，解得x ≥12或0＜x ＜12，所以不等式的解集为{x |x ＞0}．2．解：(1)由于 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x ≤12，3x ，x >12，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)结合函数图象，比较直线y ＝ax ＋b 与y ＝－3x 的斜率及y ＝2－x 在y 轴上的截距，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－3，b ≥2时，不等式f (x )≤ax ＋b 在(－∞，0]上恒成立， ∴a －b ≤－5，即a －b 的最大值为－5.3．解：(1)由f (x )≤4得|x －2a |≤4，解得2a －4≤x ≤2a ＋4，又已知不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝－2，2a ＋4＝6，解得a ＝1. (2)由(1)可知，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋2)，即g (x )＝|x －2|＋|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x <0，2，0≤x ≤2，2x －2，x >2.当x ＜0时，g (x )＞2；当0≤x ≤2时，g (x )＝2；当x ＞2时，g (x )＞2.综上，g (x )≥2，故m ＞2.4．证明：因为⎝⎛⎭⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·[ (a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1·33(a 1＋a 2)·(a 2＋a 3)·(a 3＋a 1)＝9.当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m 3时等号成立，由⎝⎛⎭⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2m ≥9，知1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥92m. 5．解：原式等价于|a ＋b |＋|a －2b ||a |≥|x －1|＋|x －2|. 设b a＝t ，则原式变为|t ＋1|＋|2t －1|≥|x －1|＋|x －2|对任意t 恒成立．因为|t ＋1|＋|2t －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，t ≥12，－t ＋2，－1<t <12，－3t ，t ≤－1，当t ＝12时取到最小值，其最小值为32.所以32≥|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3，x ≥2，1，1<x <2，3－2x ，x ≤1，解得x ∈⎣⎡⎦⎤34，94.。

2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第四篇第4讲函数y=asin(ωx+φ)的图象及性质

第4讲函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013·兰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D. 答案 D2．(2013·东营模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )．A.π6B.π3C.π4D.π12解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4. 答案 C3．(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．解析把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，故选A. 答案 A4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则下列结论中正确的是 ( )．A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象 D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ＝f (x )·g (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x .T ＝2π2＝π，最大值为12，∴选项A ，B 错误．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________. 解析因为T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入解析式可得：76π＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案 2 π36．(2012·长沙调研)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·陕西)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2， ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3.8．(13分)(2012·山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·潍坊期末)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C2．(2012·东莞二模)若函数f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，且在x ＝π6处函数有最小值，则a ＋ω的一个可能的取值是 ( )．A ．0B ．3C ．6D ．9解析因为函数f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)＝1＋a 2·sin(ωx ＋φ)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，且在x ＝π6处函数有最小值，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ3＋φ＝k π，ωπ6＋φ＝2n π－π2，k ，n ∈Z ，两式相减得：ωπ6＝(k －2n )π＋π2，即ω＝6(k －2n )＋3＝6m ＋3，k ，n ，m ∈Z ，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m ＋3，k ，n ，m ∈Z 代入f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)，得y ＝sin(6m ＋3)x ＋a cos(6m ＋3)x .当图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称时，有sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6m ＋3)·π3＋a cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6m ＋3)·π3＝0，即a ＝0.所以函数解析式应为f (x )＝sin ωx (ω>0)．回验a ＋ω＝3时的函数性质与题设中在x ＝π6处函数有最小值不符，故只有a ＋ω＝9，故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·东北四校一模)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π44．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．其中正确结论的编号为________．解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2，又其图象关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3，k ∈Z . 由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )． ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．故②正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得 k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．∴④正确．答案 ②④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 6．(13分)(2012·安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解 (1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。

2014年高考理科数学总复习试卷第4卷题目及其答案

补2014年高考理科数学总复习试卷第4卷题目及其答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1|<=x x P ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=01|x x Q ，则=Q P A.{}0<x x B.{}1>x x C.{}10><x x x 或 D.空集φ2．若复数)(12R a iai∈+-是纯虚数（i 是虚数单位），则=a （） A ．2- B ．12- C ．12 D ．23．若函数)(2sin )(2R x x x f ∈=是（）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4．某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) A ．24 B. 18 C. 16 D. 12一年级二年级三年级女生373x y 男生377370z5．在边长为1的等边∆ABC 中，设a BC =，b CA =，则=⋅b a （）Ａ．12Ｂ．21-Ｃ．23 Ｄ．23-6．已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积是（） A.24+ B. 22+ C.23+ D.6 7．下列命题错误的是（）Ａ．命题“若0=xy ，则y x ,中至少有一个为零”的否定是：“若0≠xy ，则y x ,都不为零” Ｂ．对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ；则p ⌝：R x ∈∀，均有012≥++x x Ｃ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实根，则0≤mＤ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件8．函数1)(2--=x mx x f 在)1,0(内恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]2,(--∞ B. )2,(--∞ C.),2[+∞ D. ),2(+∞9．设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 10．对于函数x e x f =)(定义域中任意)(,2121x x x x ≠有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确的结论个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

山东省2014届高考数学一轮复习试题选编45 复数理新人教A版

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编45：复数一、选择题1 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知复数z 满足()ii z -=+11(i 为虚数单位),则z 等于（）A ．iB ．i -C ．i -2D ．i +2 【答案】B 2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A(l,2),B(-1,3),则21z z =: （）A ．1+iB ．iC ．1-iD ．一i【答案】A 【解析】由复数的几何意义可知1212,13z i z i=+=-+,所以2113(13)(12)55112(12)(12)5z i i i i i z i i i -+-+-+====+++-,选A ． 3 ．（2013山东高考数学（理））若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -【答案】D 【解析】4 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）复数2=()1ii z -,则复数1z +在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】221z=()122i i i ii==---,所以1112z i +=-,对应点位1(1,)2-,选D ．5 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）设i z -=1(i 为虚数单位),则=+zz 22（）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ．i -1【答案】D6 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知i 是虚数单位,若(1)z i i +=,则|z|等于（）A ．1BCD ．12【答案】C 由(1)z i i +=,得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i --====+++-,所以2z ==,选C ．7 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（）A ．)1,1(B ．)1,1(-C ．)1,1(--D ．)1,1(-【答案】D8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）复数2(其中i 为虚数单位)的虚部等于（）A ．i -B ．1-C ．1D ．0【答案】B 【解析】2222222(1)i i i i i ===---,所以虚部为1-,故应选 B ．9 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知i 是虚数单位,复数2(1)(1)z x x i=-++是纯虚数,则实数x 的值为（）A ．—1B ．1C ．±1D ．2【答案】B由题意知210,10x x -=+≠,解得1x =,选B ．10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）复数z 满足1i z z ⋅=+,则z =（）A ．1+iB ．1i -C ．122i-- D ．122i + 【答案】C 由1i z z ⋅=+得(1)1i z -=,所以111111(1)(1)222i i z i i i i ++====----+-,选 C ． 11．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知复数11iz i +=-,则2121i z +-的共轭复数是（）A ．12i -- B ．12i -+ C ．12i - D ．12i + 【答案】B12．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）i 是虚数单位,复数ii+12的实部为（） A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】C222(1)221+21(1)(1)2i i i i i i i i i --===++-,所以实部是1,选 C ．13．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）复数31i z i=+复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 3(1)111=11(1)(1)222i i i i i z i i i i i -----====--+++-,对应点的坐标为11(,)22--,为第三象限,选C ．14．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知复数231ii--(i 是虚数单位),它的实部和虚部的和是（）A ．4B ．6C ．2D ．3【答案】C23(23)(1)551(1)(1)222i i i i i i i i --+-===---+,所以实部为52,虚部为12-,实部和虚部的和为51222-=,选C ．15．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）复数3i 12i+(i 是虚数单位)的实部是（）A ．25B ．25-C ．15D ．15-【答案】B3(12)22112(12)(12)555i i i i i i i i ----===--++-,所以实部是25-,选 B ．16．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）i 是虚数单位,复数21ii-+在复平面上的对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D21i i -+(2)(1)1313(1)(1)222i i i i i i ---===-+-,对应点为13(,)22-,位于第四象限,选 D ． 17．（2010年高考（山东理））已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=（）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选 B ． 18．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）复数311i i-+(i 为虚数单位)的模是（）A B ．C ．5D ．8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i ---+===+++-,所以31121i i i-=+=+,选（）A ．19．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若复数iia 213-+(i R a ,∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为（）A ．2-B ．4C ．6-D ．6【答案】D20．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若复数3i()12ia z a +=∈+R 实部与虚部相等,则a 的值等于（）A ．-1B ．3C ．-9D ．9【答案】A21．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若i z +=1,则(2)z z +⋅= （）A ．42i -B ．42i +C ．24i +D ．4【答案】A 【解析】由i z +=1得z z ⋅+)1((3)(1)i i =+-=31342i i i +-+=-. 二、填空题22．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）计算 ()()=++ii i 2452______________________【答案】i 381-。

2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第4章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象和性质

18 三角函数的图象和性质一、填空题1．(2013江苏南通四校联考)若π4是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x (a R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________．2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.3．(2013江苏盐城高三年级模拟考试)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间为________．4．(2012山东高考改编)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．5．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0中心对称．其中命题正确的是__________．(填序号)6．(2012全国高考改编)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ [0,2π])是偶函数，则φ＝________. 7．(2013江苏南通高三调研考试)已知函数f (x )＝3sin x 2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2013江苏泰州调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________．9．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.二、解答题10．(2013江苏南通四校联考)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x (其中x R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )图象的对称轴．11.(2012江苏南通月考)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x .(1)若α[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x [0，π]，求f (x )的单调增区间．12．(2012重庆高考改编)设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)若周期为π，当x ⎝⎛⎭⎫－π12，π3时，求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．参考答案一、填空题1．π 解析：由题意，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π2＋a cos 2π4＝0，即1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 从而f (x )＝sin 2x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，故f (x )的最小正周期为π.2．0 解析：由于函数f (x )＝ta n Ωx 的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，所以该函数的周期T ＝πω＝π4，因此Ω＝4，函数解析式为f (x )＝ta n 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝ta n ⎝⎛⎭⎫4×π4＝ta n π＝0. 3.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 4．2－3 解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤76π，当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最小值2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，当π6x －π3＝π2时， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最大值2.∴最大值与最小值之和为2－ 3.5．①④ 解析：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的最大值为2，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°，但ta n 45°＞ta n(30°＋360°)，即ta n α＜ta n β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4，得sin 3π2＝－1，所以直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得sin π2＝1，所以点⎝⎛⎭⎫π12，0不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心．综上所述，只有①④正确．6.3π2 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3为偶函数，∴x ＝0时，f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2(k Z )，即φ＝3k π＋3π2(k Z )，∵φ [0,2π]，∴ k ＝0时，φ＝3π2符合题意． 7．2π 解析：根据题意可知，实数x 1，x 2分别表示f (x )取得最小值与最大值时x 的值，故|x 1－x 2|的最小值是半个周期，即2π.8.⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π(k Z ) 解析：要使函数有意义必须有∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .9.62 解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故g ⎝⎛⎭⎫π4＝62. 二、解答题10．解：f (x )＝52sin 2x －531＋cos 2x 2＝52sin 2x －532cos 2x －532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x －532＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－532，(1)f (x )最小正周期T ＝π.(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k Z ，得f (x )的单调减区间为k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k Z . (3)由2x －π3＝k π＋π2(k Z )，得f (x )的对称轴为x ＝k π2＋5π12(k Z )． 11．解：(1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin αcos α＞0，α [0，π]， ∴α⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝43，得sin α＋cos α＝233， ∴f (α)＝233. (2)∵f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由题意得2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，即2k π－34π≤x ≤2k π＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 12．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin Ωx ＋cos 2Ωx ＝23sin Ωx cos Ωx ＋2sin 2Ωx ＋cos 2Ωx －sin 2Ωx＝3sin 2Ωx ＋1.因T ＝2π2ω＝π，所以Ω＝1，此时2x ⎝⎛⎭⎫－π6，2π3，－12＜sin 2x ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤1－32，1＋3. (2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2Ωx ＋1(Ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω (k Z )上为增函数．依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k Z 成立，此时必有k ＝0，于是解得Ω≤16，故Ω的最大值为16.。

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：选修4-5-2

［命题报告·教师用书独具］考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难比较法证明不等式2、78、9、10综合法与分析法证明不等式1、5、6放缩法证明不等式3、41112一、选择题1．若实数x，y适合不等式xy〉1，x＋y≥－2，则( ) A．x>0，y〉0 B．x〈0,y<0 C．x〉0,y〈0 D．x〈0，y>0解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D。

假设x<0，y〈0，则x〈错误!.∴x＋y〈y＋错误!≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．又xy≠0，∴x〉0，y>0.答案：A2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是（）A．M≥N B．M≤NC．M＝N D．不能确定解析:M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝错误!［（x2＋y2－2xy)＋（x2－2x＋1）＋（y2－2y＋1)］＝错误!［（x－y)2＋（x－1）2＋（y－1）2］≥0.故M≥N。

答案：A3．若x>1，则函数y＝x＋错误!＋错误!的最小值为( )A．16 B．8C．4 D．非上述情况解析:y＝x＋错误!＋错误!＝x＋错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝2＋错误!时等号成立．答案：B4．设M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则（)A．M＝1 B．M<1C．M〉1 D．M与1大小关系不定解析：∵210＋1>210，210＋2>210，…，211－1〉210，∴M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈1210＋1210＋…＋1210＝1。

答案：B5．（2013年黄冈模拟)若不等式错误!≤a≤错误!在t∈（0，2］上恒成立,则a的取值范围是（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!解析：由已知错误!对任意t∈(0,2］恒成立，于是只要当t∈（0,2］时，错误!记f（t)＝t＋错误!，g(t）＝错误!＋2错误!2，可知两者都在(0，2］上单调递减，f（t）min＝f（2）＝错误!，g（t)min＝g（2）＝1,所以a∈错误!,选B。

2014届高考数学文一轮复习方案人教A版课程标准卷：滚动基础训练卷63页15套附详细解析

2014届高考数学文一轮复习方案人教A版课程标准卷：滚动基础训练卷63页15套附详细解析45分钟滚动基础训练卷(一) (考查范围：第1讲～第3讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·惠州调研] 集合M＝{4，5，－3m}，N＝{－9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为()A．3或－1 B．3C．3或－3 D．－12．[2013·哈尔滨三中月考] 已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝()A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}3．[2012·开封二模] 下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝3 2B．∀x∈(0，＋∞)，e x>x＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．[2012·东北四校一模] 集合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N *⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫12x ∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．125．[2012·银川一中一模] 有下列命题： ①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件；②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：“若b ∈M ，则a ∉M ”；③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题； ④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”．则上述命题中为真命题的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④6．[2012·河北名校俱乐部模拟] “k ＝1”是“函数y ＝sin 2kx －cos 2kx ＋1的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2012·鹰潭一模] 关于x 的不等式ax 2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是()A．a<1 B．a≤1C．0<a<1 D．a<08．[2012·豫南九校四联] 在下列四个命题中，其中为真命题的是()A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”B．若命题p：所有幂函数的图象不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q为真C．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋3>0，则綈p：∃x0∈R，x20－2x0＋3<0D．若a>b，则a n>b n(n∈N*)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是________．10．设全集U＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|x2＋3≤4x}，则图中阴影部分所表示的集合是________．图G1－111．[2012·泉州四校二联] 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的有________个．①若x ∈E 或x ∈F ，则x ∈E ∪F ；②若关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ，则a >0； ③若2x 是有理数，则x 是无理数．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·荆州中学月考] 已知集合A ＝x ∈R ⎪⎪⎪3x ＋1≥1，集合B ＝{x ∈R |y ＝－x 2＋x －m ＋m 2}．若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．13．命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．14．已知集合A＝{x∈R|log2(6x＋12)≥log2(x2＋3x＋2)}，B＝{x|2x2－3<4x，x∈R}．求A∩(∁R B)．45分钟滚动基础训练卷(二) (考查范围：第4讲～第7讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·吉林质检] 下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是()A．y＝log 12x B．y＝1xC．y＝sinx D．y＝x2－x2．函数y＝x＋1－x－1的最大值为()A．2 2 B. 2 C．1 D．43．[2012·吉林一中二模] 已知定义在R上的函数f(x)关于直线x＝1对称，若f(x)＝x(1－x)(x≥1)，则f(－2)＝()A．0 B．－2 C．－6 D．－124．[2012·银川一中月考] 已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f(x＋4)为偶函数，则()A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)5．函数y ＝2x －5x －3的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52<x ≤72 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52≤x ≤72 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≤52或x ≥72 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52≤x <3或3<x ≤72 6．[2012·昆明二模] 已知函数f (x )＝x 2－|x |，则{x |f (x －1)>0}等于( )A ．{x |x >1或x <－1}B ．{x |x >0或x <－2}C ．{x |x >2或x <0}D ．{x |x >2或x <－2}7．[2012·武昌调研] 函数y ＝f (x )的图象如图G2－1 图G2－1①函数y ＝f (x )的定义域是[－1，5]；②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2，4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数； ④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确的是( )A．①②B．①③C．②③D．②④8．[2012·信阳二调] 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·哈尔滨三中月考] 函数f(x)＝tan x－1＋1－x2的定义域为________．10．已知函数f(x)为R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝1x，设a＝f⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，b＝f⎝⎛⎭⎪⎪⎫log212，c＝f(32)，则a，b，c的大小关系为________．11．[2013·保定摸底] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)＝e x＋a，若f(x)在R 上是单调函数，则实数a的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．13．[2013·珠海模拟] 对于函数f(x)＝a－2(a∈R，b>0且b≠1)．b x＋1(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？并说明理由．14．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若13≤a≤1，且f(x)在[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)2．log 318＋log 132＝( )A ．1B ．2C ．4D ．53．[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．[2012·正定中学月考] 函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为()图G3－15．某商店按每件80元的成本购进某种商品，根据市场预测，销售价为每件100元时可售出1 000件，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件() A．100元B．110元C．150元D．190元6．有以下程序，若函数g(x)＝f(x)－m在R 上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是()IF x<＝－1THENf(x)＝x＋2ELSEIF x>－1AND x<＝1THENf(x)＝x∧2ELSE f(x)＝－x＋2END IFEND IFPRINT f(x)A．m>1 B．0<m<1C．m<0或m＝1 D．m<07．[2012·哈尔滨师大附中期中] 函数y＝log a(2－ax)在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．(1，2)C．(1，2] D．[2，＋∞)8．[2012·山东卷] 设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·江苏卷] 函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．10．[2012·银川一中月考] 函数f(x)在R上是奇函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝2x(x－1)，则f(x)＝__________________．11．已知函数f(x)＝4cosπx（4x2＋4x＋5）（4x2－4x＋5），对于下列命题：①函数f(x)不是周期函数；②函数f(x)是偶函数；③对任意x∈R，f(x)满足|f(x)|<14.其中真命题是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12内各有一个实数根．13．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．14．[2012·上海闵行区三模] 某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x h 该药剂在动物体内释放的浓度y (mg/L)满足函数y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋2x ＋5（0<x ≤4），－x －lg x ＋10（x >4）.当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(mg/L)时，称为该药剂达到有效．(1)若m ＝2，试问该药达到有效时，一共可持续多长时间(取整数小时)?(2)为了使在8 h 之内(从投放药剂算起包括8 h)达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值(取整数)．45分钟滚动基础训练卷(四) (考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A. 2 B．1C．－1 D．02．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋23．[2012·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为()A．[a，b] B．[－b，－a]C．[－b，b] D．[a，－a]4．[2012·银川一中月考] 过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．[2012·乌鲁木齐押题卷] 设f(x)为可导函数，且满足 f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．设f(x)＝x(ax 2＋bx ＋c)(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b)B ．(a ，c)C ．(b ，c)D ．(a ＋b ，c)8．[2012·山西四校联考] 设曲线y ＝x n ＋1(n∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n，则log2 012x1＋log2 012x2＋…＋log2 012x2011的值为()A．－log2 0122 011 B．－1C．－1＋log2 0122 011 D．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·福州质检] 函数f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1处有极值，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．10．[2012·课程标准卷] 曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．11．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50＜x≤80时，每天售出的件数为P＝105，若要使每天获得的利润最多，销售（x－40）2价格每件应定为多少元？13．已知函数f(x)＝e x(ax2＋x＋1)．(1)设a>0，讨论f(x)的单调性；(2)设a＝－1，证明：对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<2.14．已知函数f(x)＝e x＋1x－a.(1)当a＝12时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；(2)当a>1时，判断方程f(x)＝0实根的个数．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第16讲～第19讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos －20π3的值等于( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－322．[2012·昆明一中一模] 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－433．[2012·济南三模] 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin2x ＋1.其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π4个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是( )A ．y ＝2sin2x －2B ．y ＝2cos2x －2C ．y ＝2cos2x ＋2D ．y ＝2sin2x ＋25．[2012·吉林模拟] 为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π12个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π6个长度单位 6．函数f (x )＝|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为( )A.34B ．1C ．2 D.127．[2012·商丘三模] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的最小正周期为4π，则对该函数的图象与性质判断错误的是( )A ．关于点－π3，0对称 B ．在0，2π3上递增 C ．关于直线x ＝5π3对称 D ．在－4π3，0上递增 8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图G5－1，则( )图G5－1A ．f (x )＝－4sin π8x ＋π4B ．f (x )＝4sin π8x －π4C ．f (x )＝－4sin π8x －π4D ．f (x )＝4sin π8x ＋π4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·沈阳二模] 已知tan α＝2，则sin （π＋α）－sin π2＋αcos 3π2＋α＋cos （π－α）的值为________． 10．若g (x )＝2sin2x ＋π6＋a 在0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________．11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的部分图象如图G5－2所示，则当t ＝150s 时，电流强度是________A.图G5－2 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知函数f(x)＝3sin2x－2sin2x.(1)若点P(1，－3)在角α的终边上，求f(α)的值；(2)若x∈－π6，π3，求f(x)的值域．13．[2012·沈阳四校联考] 已知函数f(x)＝2cos x·cos x－π6－3sin2x＋sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)把f(x)的图象向右平移m个单位后，在0，π2上是增函数，当|m|最小时，求m的值．14．已知函数f (x )＝2sin 2π4－x －23cos 2x ＋3.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )<m ＋2在x ∈0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第16讲～第23讲，以第20讲～第23讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·河北五校联盟调研] 已知sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，则sin α＝( ) A.25 B ．－25C.7210 D ．－72102．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.5π63．[2012·银川一中月考] 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．154．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋3945．[2012·汕头测评] 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°6．[2012·江西师大附中模拟] 下列函数中，周期为π，且在0，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π27．为了得到函数y ＝sin2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos x 3的图象( )A ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移π3个单位 B ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移2π3个单位 C ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π个单位D ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π3个单位 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知tan α＝2，计算1cos2α＋tan2α的值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A 2＝255，求sin C 的值．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，C ＝π3，c ＝2，求△ABC 的面积．14．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 三内角所对的边分别为a ，b ，c .设m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，a ＝7，且m·n ＝－12. (1)b ＝3，求△ABC 的面积；(2)求b ＋c 的最大值．45分钟滚动基础训练卷(七) (考查范围：第24讲～第27讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a ＋k b，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是()A．－72B．－12C．－43D．－832．已知向量a＝(n，4)，b＝(n，－1)，则n ＝2是a⊥b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于()A．4 B.114．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b互相垂直，则|a ||b |等于( ) A.14B ．4 C.12D ．2 5．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－16．已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB→＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE→·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－67．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若|b|＝2|a |，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．±2D ．±48．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM→·AN →的最大值为( ) A ．3 B ．2 3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，下列结论中正确的是________．①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 10．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．11．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)．(1)试计算a·b 及|a ＋b |的值．(2)求向量a 与b 的夹角的正弦值．13．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－k a＋1t b，m∈R，k，t为正实数．(1)若a∥b，求m的值；(2)若a⊥b，求m的值；(3)当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．14．[2012·沈阳二模] 已知向量m＝sin2x＋1＋cos2x2，sin x，n＝12cos2x－32sin2x，2sin x，设函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈0，π2，求函数f(x)的值域．45分钟滚动基础训练卷(八) (考查范围：第28讲～第30讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}共有10项，公差为2，奇数项的和为80，则偶数项的和为()A．90 B．95C．98 D．1002．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 7＝( )A ．9B ．1C ．2D ．33．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.324．[2012·黄冈中学二联] 已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n －1) B.83(4n －1) C.163(2n －1) D.23(4n －1)5．[2012·唐山三模] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7＝21，S 11＝121，则该数列的公差d ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．26．[2012·衡阳八中月考] 已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )A ．10B ．2 2C ．8 D.27．[2012·合肥一中质检] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n8．[2012·珠海一中模拟] 设正项等比数列{a n }，若等差数列{lga n }的公差d ＝lg3，且{lga n }的前三项和为6lg3，则{a n }的通项为( )A ．a n ＝nlg3B ．a n ＝3nC ．a n ＝3nD ．a n ＝3n －1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________．10．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 2∶S 5＝1∶4，则a 5∶a 9＝________．11．[2012·包头一模] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2 013项和等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求T n＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．13．[2012·河北名校俱乐部模拟] 已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设公比大于1的等比数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，若a3＝b2＋2，T3＝7，求T n.14．[2012·长春二调] 在等差数列{a n}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝1S n＋n，求数列{b n}的前n项和T n.45分钟滚动基础训练卷(九) (考查范围：第28讲～第32讲，以第31讲～第32讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11＝8，则a2a8＝()A．4 B．6C．12 D．162．[2012·朝阳一模] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5＝() A．－16 B．16C．31 D．323．[2012·豫东、豫北十校联考] 已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n是关于n的二次函数”是“数列{a n}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2012·惠州三调] 公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA→＋a 2 012OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 012＝( )A ．1 000B ．2 001C ．2 010D ．1 006 6．[2012·东北三校一模] 等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 257．[2012·陕西师大附中三联] 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.6（66－1）6－1只 B ．66只C ．63只D ．62只 8．[2012·南阳联考] 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1)B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．{a n }为等比数列，公比q ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11－29，则a 1＝________．10．{a n }是首项a 1＝－3，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 013，则n ＝________．11．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么ac ＝________，b ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·唐山模拟] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝27(8n－1)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.13．[2012·济南模拟] 在数列{a n }中，a 1＝1，并且对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＝a n 2a n ＋1.(1)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设数列{a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求使得T n >1 0002 011的最小正整数n .14．[2012·黄冈模拟] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n 且S n ＋1＝32S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n<12S n＋2的n值．45分钟滚动基础训练卷(十) (考查范围：第33讲～第36讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0，1)2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知命题p ：m<0，命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0成立．若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <04．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定 5．[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．[2012·金山一中考前测试] 若“p ：x －32－x≥0”，“p 成立”是“q 成立”的充要条件，则满足条件的q 是( )A ．q ：(x －3)(x －2)≤0B ．q ：x －2x －3≤0C ．q ：lg(x －2)≤0D ．q ：|5－2x |≤17．[2012·合肥质检] 已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．[2012·东北师大附中月考] 已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的任意一点，且使OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，＋∞B ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，0)∪[3，＋∞) D ．(－∞，0]∪[3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．10．[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．11．[2012·长春三调] 如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，当3∈M 且5∉M 时，求实数a 的取值范围．。

2014高考数学一轮复习练习4-5选修系列综合测试卷

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t(t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2y －2＝32t∴y －2＝3(x －1)，即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20 答案 B3．已知函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋|x －2|－5)，则函数f (x )的定义域为( ) A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) C ．(－2,3) D ．(－3,2) 答案 A解析由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2x ＋1＋x －2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2x ＋1－x ＋2>5，或⎩⎨⎧x <1－x －1－x ＋2>5，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3) 答案 A解析 ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2，圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．5．曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5ty ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)、(12，0)B ．(0，15)、(12，0)C ．(0，－4)、(8,0)D ．(0，59)、(8,0) 答案 B解析当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为(0，15)；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为(12，0)．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D 、点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1 答案 A解析连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ， ∵∠A ＝45°，又∵CE 为⊙O 的直径， ∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°， ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a ， ∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2，即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5C.95 5D.9510答案 B 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9,5t 2＋8t －4＝0|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝125 5.8．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant y ＝1tan t答案 D解析 xy ＝1，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1 B ．1∶1 C ．1∶2 D ．2∶1.5 答案A解析如图所示，连结OD 、OC . ∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点．又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC ， ∴△AOD ≌△COD .∴∠1＝∠2，又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB .∴OA ＝2OB .故选A.10．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1)∪(1,2) 答案 D解析 ∵log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0，∴log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴0<x <1或1<x <2. 11．直线⎩⎨⎧x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 答案 A解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos75°y ＝cos θ－t sin75°，消去参数t 得，y －cos θ＝－tan75°(x －sin θ)，∴k ＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°，故直线的倾斜角是105°.12．如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5 答案 D解析如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°，又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8，∴cos ∠BAC ＝35，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ，2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85，∴cos ∠BAD ＝255，又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，则x ＋23y 的最小值＝________.解 C ：x 2＋y 2＝1 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y ∴⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′代入C 得∴C ′：x 24＋y 2＝1设椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin(θ＋π6) 则x ＋23y 的最小值为－4.14．(2010·陕西卷，理)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．答案 {x |x ≥1}解析令x ＋3＝0得x ＝－3；令x －2＝0得x ＝2.当x ≤－3时，原不等式变为：－x －3＋x －2≥3，解集为Ø.当－3＜x ＜2时，原不等式变为：x ＋3＋x －2≥3，解得x ≥1，∴1≤x ＜2；当x ≥2时，原不等式变为：x ＋3－x ＋2≥3，解集为R ， ∴x ≥2.综上所述：{x |x ≥1}． 15.如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，P A ＝2.则AC 的长＝________.解析 ∵P A 2＝PC ·PD ，P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4，又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，∵∠P AC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ～△CBA ，∴PC AC ＝ACAB ， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.16．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎨⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 m <0或m >10解析问题等价于圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1与直线3x ＋4y ＋m ＝0无公共点，则圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离d ＝|3×1＋4(－2)＋m |32＋42>r ＝1，解得m <0或m >10.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知x 、y 、a 、b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求x ＋y 的最小值．解析 ∵x 、y 、a 、b ∈R ＋，a x ＋by ＝1， ∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2]·[(a x )2＋(b y )2]≥(a ＋b )2，当且仅当x ·b y ＝y ·a x ，即：x y ＝ab 时取等号， ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2. 18．(本小题满分12分)如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，求MN 的长．解析由相交弦定理，P A ·PB ＝PC ·PD ，即8×6＝PC ·4，得PC ＝12. 又∵MN 为⊙O 切线，∴MN 2＝MC ·MD ＝6×(6＋12＋4)＝132， ∴MN ＝233.19．(本小题满分12分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t ，(t 为参数)距离的最小值．解析(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.20.(本小题满分12分)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC 的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.(Ⅰ)求证：FB＝FC；(Ⅱ)求证：FB2＝F A·FD；(Ⅲ)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．解(Ⅰ)∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(Ⅱ)∵∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB.∴FBFD＝F AFB，∴FB2＝F A·FD.(Ⅲ)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2 3.∴AD＝2AC＝43cm.21．(2010·福建理)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. ①求圆C 的直角坐标方程；②设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.解析解法一 ①由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. ②将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 解法二 ①同解法一．②因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1.y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.22．(2010·辽宁卷，理)(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析证法一因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以(1a ＋1b ＋1b )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．证法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ， ②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3. ③ 所以原不等式成立当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：选修4-5-1

1.［命题报告·教师用书独具］考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难绝对值不等式的解法6、7、811绝对值不等式的证明10绝对值不等式的综合应用1、2、3、4、5、912一、选择题1．(2013年大庆模拟）函数y＝｜x－4｜＋|x－6｜的最小值为（）A．2 B.错误!C．4 D．6解析：y＝|x－4｜＋｜x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.答案：A2．（2013年济南模拟)对于实数x，y,若｜x－1｜≤1，|y－2｜≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ）A．5 B．4C．8 D．7解析：由题易得，｜x－2y＋1｜＝|(x－1)－2（y－1）｜≤｜x －1|＋|2(y－2)＋2｜≤1＋2｜y－2|＋2≤5，即｜x－2y＋1｜的最大值为5.答案：A3．（2013年益阳模拟)不等式｜x＋3｜－｜x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（)A．(－∞，－1]∪［4，＋∞)B．（－∞，－1）∪（4，＋∞）C．(－∞,－4]∪［1，＋∞)D．(－∞，－1]∪［4，＋∞）解析：∵|x＋3|－|x－1｜≤4，∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0.解得a≤－1或a≥4。

答案：A4．已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1｜≥m，命题q：∃x ∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么,“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的（)A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由绝对值不等式的几何性质可知，∀x∈R,|x＋2｜＋｜x －1|≥|（x＋2)－(x－1)｜＝3,故若命题p为真命题,则m≤3；当命题q为真命题时,方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0有根，则Δ＝（－2m)2－4(m2＋m－3)＝12－4m≥0，解得m≤3;所以“命题p为真命题"是“命题q为真命题”的充要条件．答案：A5．（2013年淄博模拟)当|a｜≤1，|x|≤1时，关于x的不等式｜x2－ax－a2｜≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A。

2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练选修4-5不等式选讲4-5-1

A．2 B. C．2 D．1
答案：A
5．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足()
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案：D
6．已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：∃x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的()
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
二、填空题
7．不等式|x＋1|＋|2x－4|＞6的解集为__________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
一、选择题
1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()
A．2B. C．4D．6
答案：A
2．已知a＞0，b＞0且＋＝1，则a＋2b的最小值为()
A．7＋2 B．2
C．7＋2 D．14
答案：A
3．不等式＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值范围为()
A. B. C. D.
答案：B
4．已知a＞0，ab＝1，则的最小值是()
12．已知对任意非零实数m，不等式|2m－1|＋|1－m|≥|m|(|x－1|－|2x＋3|)恒成立，求实数x的取值范围．
解析：由题＝1，
∴只需|x－1|－|2x＋3|≤1，
(1)当x≤－时，原式1－x＋2x＋3≤1，即x≤－3，∴x≤－3.
(2)当－＜x＜1时，原式1－x－2x－3≤1，即x≥－1，∴－1≤x＜1.