分式不等式的解法
分式不等式的解法
专题1 分式不等式的解法学习目标：1．掌握通过分式不等式转化为一元二次不等式求解，分母不为零；2．掌握分式不等式含参的分类讨论.预习检测：1.x−3x+7<0 2. 1−2x x+1>0 3. 1x <12 4. 2x+1x−3≥2x+13x−2新课讲授：归纳分式不等式的解法：（1） 化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式 （2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如：f(x)g(x)>0⇔ f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0⇔f(x)g(x)<0()0()f x g x ≥⇔{f(x)g(x)≥0g(x)≠0 ()0()f xg x ≤⇔{f(x)g(x)≤0g(x)≠0 （3）注意：分母不为零，x 系数为正典型例题：1.5−2x 5x+2≤0 2.x 2−9x+11x 2−2x+1≥7 3. (x−k)(x+3)x+2≤x +14. 当m 为何值时，x 2+mx−12x 2−2x+3<1对任意的x ∈R 都成立？ 5. 已知不等式ax+1x−1<0(a ∈R )． （1）当a =2时，解这个不等式；（2）若ax+1x−1≤1−x 对∀x ∈(−∞,0)恒成立，求实数a 的最大值．课后习题：1. 关于x 的不等式1x <1的解集为（ ） A ．{x |x >1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <0或x >1}D ．{x |x <0或0<x <1} 2. 不等式x+26−2x ≥0的解集是（ ）A ．{x|−2≤x <3}B ．{x|x ≤−2或x ≥3}C ．{|23}x x -≤≤D ．{x|x ≤−2或x >3} 3. 解关于x 的不等式：(a−1)x+(2−a)x−2>0 (a ≠1)。
教学知识点解简单的分式不等式
教学知识点解简单的分式不等式分式不等式是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和推理推导中具有广泛的应用。
通过这篇文章，我们将详细介绍如何解简单的分式不等式。
一、基本概念在开始讨论分式不等式之前，我们先回顾一下分式和不等式的基本概念。
1. 分式分式由分子和分母构成，形如a/b的表达式，其中a和b都是实数。
我们通常将分式记作F(x)，其中x为自变量。
2. 不等式不等式是数学中用不等号表示的关系式，表示两个数之间的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
二、分式不等式的解法解分式不等式的关键是找到使得分式取相应值的自变量范围。
接下来，我们将介绍两种常见的解法。
1. 通分法通分法是解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是将不等式中的分式形式转化为通分形式，然后根据分子和分母的正负关系来确定积的正负性。
例如，对于一个简单的分式不等式：(x+1)/3 < 2，我们可以通过将3分母乘以2得到6，然后得到新的不等式：2(x+1)/6 < 2。
接着我们可以进一步将不等式转化为(x+1)/3 < 3的形式，然后解得：-4 < x < 8。
2. 负号判定法负号判定法是另一种解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是根据分子和分母的正负关系来确定不等式的解集。
对于一个简单的分式不等式：(x-1)/(x+2) > 0，我们可以通过分析分子和分母的正负性来确定不等式的解集。
首先，我们可以得出x ≠ -2，因为分母不能为0。
然后，我们可以使用表格法绘制x-1和x+2的正负号：x | -2 | 1 |---|-----|----|x-1| - | + |x+2| 0 | + |从表格中我们可以观察到，当x< -2或1 < x时，(x-1)/(x+2) > 0。
因此，解集为x < -2或1 < x。
三、实例分析在本节中，我们将通过一个具体的实例来演示如何解简单的分式不等式。
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
分式不等式解法公式(二)
分式不等式解法公式(二)分式不等式解法公式1. 一元一次不等式求解公式•当分子是与x相关的一元一次不等式时，可以通过求解分子中的一元一次方程来求解整个分式不等式。
>3示例：解不等式2x−14=3首先，将不等式转化为方程2x−14解方程得到2x−1=12继续求解得到x=132所以，原不等式的解是x>1322. 一元二次不等式求解公式•当分式的分母是一个一元二次不等式时，可以通过求解分母的一元二次不等式来求解整个分式不等式。
≤0示例：解不等式x+3x2−5x+6首先，分解分母得到x2−5x+6=(x−2)(x−3)然后，列出分母的区间表x−2>0,x−3>0,x−2<0,x−3<解方程得到x>2,x>3,x<2,x<3最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,2)∪(2,3)所以，原不等式的解是x∈(−∞,2)∪(2,3)3. 有理不等式求解公式•当分子和分母都是有理式的不等式时，可以通过将有理式通分后，结合分子和分母的正负性，来求解整个有理不等式。
示例：解不等式x+2x−1−x−1x+2>0首先，通分得到(x+2)(x+2)−(x−1)(x−1)(x−1)(x+2)>0展开并化简得到x 2+4x+4−(x2−2x+1)x2+x−2>0进一步化简得到6x+3x2+x−2>0然后，列出分子和分母的区间表6x+3>0,x2+x−2>0解方程得到x>−12,x>12,x<−2,x<1最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,−2)∪(−12,1)所以，原不等式的解是x∈(−∞,−2)∪(−12,1)4. 绝对值不等式求解公式•当分式中含有绝对值时，可以通过绝对值的性质来求解整个分式不等式。
示例：解不等式|x−2x+1|<2首先，将不等式转化为两个不等式x−2x+1>−2和x−2x+1<2解方程得到x>−32和x<1所以，原不等式的解是x∈(−32,1)以上是几种常见的分式不等式解法公式，可以根据不同问题选择合适的解法公式来解决分式不等式问题。
分式不等式的解法与应用
分式不等式的解法与应用分式不等式是指一个或多个分式的大小关系。
解分式不等式需要使用一系列的求解方法和技巧。
本文将介绍分式不等式的解法与应用，并以实际问题为例说明其在实际中的应用。
一、基本概念在解分式不等式之前，我们先了解一些基本概念：1. 严格不等式和非严格不等式：严格不等式使用"<"或">"表示，非严格不等式使用"≤"或"≥"表示。
2. 分母不为0：在分式不等式中，分母不能为0，即分母不等于0。
二、解分式不等式的一般步骤解分式不等式的一般步骤如下：1. 确定不等式的定义域：将分母不等于0的条件列出，得到不等式的定义域。
2. 求解不等式的等价形式：将不等号转化为等号，得到不等式的等价形式。
3. 求解等价形式中的方程：将等价形式中的方程求解，得到不等式的解集。
4. 判断解集的正负情况：根据不等式的定义域和解集的正负情况，确定最终的解集。
三、分式不等式的解法1. 基本不等式的解法：对于一元一次分式不等式，可以使用基本不等式的解法来求解。
将不等式化为一个基本不等式，然后根据基本不等式的解法求解。
2. 分离变量法：对于一些特殊的分式不等式，可以使用分离变量法来求解。
将分式不等式拆分为两个不等式，然后对每个不等式进行求解，并确定最终的解集。
3. 全等变换法：对于某些具有特殊结构的分式不等式，可以使用全等变换法来求解。
通过变换分式不等式的形式，使得求解过程更加简单明了。
4. 图像法：对于一些复杂的分式不等式，可以使用图像法来求解。
绘制函数对应的图像，观察曲线和坐标轴的位置关系，通过图像来推断和确定不等式的解集。
四、分式不等式的应用分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以一个实际问题为例，说明分式不等式的应用：问题：某工人一天加工铁件个数至少为x个，且一小时加工铁件个数不得超过y个。
求出满足这个条件的x和y的取值范围。
分式不等式的解法
分式不等式的解法郭浴琼目标：掌握简单的分式不等式的解法．重难点：简单的分式不等式的解法．一．知识要点1.进行同解变形：()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>；分式不等式转化为整式不等式来解．()()()0()00()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩； 2.有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但必须注意分母不为零．二．例题精讲例1.解关于x 的不等式。
（1）222232x x x x x +-<+-；（2）2251031372x x x x -+≥-+.例2.已知对任意x R ∈，总有222321x tx x x +--<<-+，求实数t 的取值范围． 例3.设1a <，解关于x 的不等式2220x ax a x x a +>+--．例4.设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-，试求不等式()1x f x ≤的解集．例5.若不等式()()0x a x b x c ++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞，求a+b 的值。
例6.已知函数()23x f x x a +=-（x a ≠，a 为非零常数）． （1）解不等式()f x x <；（2）设x a >，()f x 的最小值为6，求a 的值．例7.（1）解关于x 的不等式220ax x a x a --+≤；（2）解关于x 的不等式221ax x +≥+； （3）已知关于x 的不等式()()2226149282120k k x k x k k ⎡⎤⎡⎤++-+--<⎣⎦⎣⎦的解集M 与整数集Z 满足{}1MZ =，求实数k 的取值范围．。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在数学学科中，我们经常会遇到分式方程和分式不等式的求解问题。
分式方程是指含有分数形式的方程，而分式不等式则是含有分数形式的不等式。
本文将介绍分式方程和分式不等式的基本解法。
一、分式方程的解法分式方程的解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程中的分式化简为整式，消除分式。
2. 通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程。
3. 求解一元一次方程，得到方程的解。
举例说明：假设我们要解以下分式方程：(2/x) + 1 = 5首先，我们将方程中的分式化简为整式：2/x + 1 = 5然后，通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程：2 + x = 5x接下来，我们求解一元一次方程，得到方程的解：2 = 5x - xx = 1/2因此，原方程的解为x = 1/2。
二、分式不等式的解法分式不等式的解法可以分为以下几个步骤：1. 将不等式中的分式化简为整式。
2. 根据不等式的性质，进行等价变形。
3. 确定不等式的解集。
举例说明：假设我们要解以下分式不等式：(3/x) - 2 ≥ 1首先，我们将不等式中的分式化简为整式：3/x - 2 ≥ 1然后，根据不等式的性质，进行等价变形：3/x ≥ 3x ≤ 1最后，确定不等式的解集：解集为x ≤ 1。
分式方程的解法包括将分式化简为整式、转化为一元一次方程、求解一元一次方程等步骤。
而分式不等式的解法则包括将分式化简为整式、进行等价变形、确定解集等步骤。
掌握这些解法，我们就能够准确地求解各种类型的分式方程和不等式问题。
通过以上的讲解，我们对分式方程与分式不等式的解法有了更深入的理解。
希望本文对您在学习和应用中有所帮助。
高一数学分式不等式及其解法
专题讲解 分式不等式及其解法资料编号:20190725分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解; （3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解; （4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f . 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.例1. 解不等式012<-+xx . 解:原不等式可化为:012>-+x x ,它的同解不等式为:()()012>-+x x 解之得:1>x 或2-<x ∴原不等式的解集为{}21-<>x x x 或.例2. 解不等式21-+x x ≤2. 解:原不等式可化为:25--x x ≥0,它的同解不等式组为:()()⎩⎨⎧≠-≥--02052x x x解之得:x ≥5或2<x ∴原不等式的解集为{}25<≥x x x 或.例3. 解不等式51372>++x x . 解: ()()0125101275012750513751372222222<+--⇒<++-⇒>+-+-⇒>-++⇒>++x x x x x x x x x x x x x ∵012>+x∴原不等式的同解不等式为:()()0251<--x x解之得:152<<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<152x x . 习题1. 解下列不等式:（1）xx -+32≥0; （2）14312>--x x .习题2. 若集合{}3121≤+≤-=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02x x x B ,则=B A ____________. 习题3. 不等式xx 1+≤3的解集为____________. 例4. 解不等式0322322<--+-x x x x . 解:原不等式可化为:()()()()03121<-+--x x x x 它的同解不等式为:()()()()03211<---+x x x x由标根法解之得:11<<-x 或32<<x ∴原不等式的解集为{}3211<<<<-x x x 或.提示:分式不等式经过等价变形后,如果是高次不等式,应结合序轴标根法求解. 注意:（1）未知数的系数化为正数;（2）奇穿偶不穿.习题4. 解不等式:32532-+-x x x ≥2.含参数的分式不等式的解法举例例5. 解关于x 的不等式:02<--a x a x . 解:原不等式的同解不等式为:()()02<--a x a x当2a a >,即10<<a 时,原不等式的解集为{}a x a x <<2;当2a a =,即0=a 或1=a 时,原不等式的解集为∅;当2a a <,即1>a 或0<a 时,原不等式的解集为{}2a x a x <<.习题5. 解关于x 的不等式:01>+-x x a .例6. 解关于x 的不等式:()121>--x x a )1(≠a . 解:原不等式可化为:()()[]0212>-+--a x a x当1>a 时,原不等式可化为:()0122>⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x ∵01122>-=---a a a a ,∴122-->a a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧--<>122a a x x x 或; 当1<a 时,原不等式可化为:()0122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x①若122-->a a ,即0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212x a a x ; ②若122--=a a ,即0=a 时,原不等式的解集为∅; ③若122--<a a ,即10<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122a a x x . 习题6. 解关于x 的不等式:12>-x ax .例7. 已知关于x 的不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,求不等式()()b x a xc x ---≤0的解集. 解:∵不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴3,1,2=-==b a c 或1,3,2-===b a c ∴()()b x a x c x ---≤0即()()312-+-x x x ≤0 解之得:1-<x 或2≤3<x ∴不等式()()b x a x c x ---≤0的解集为{}321<≤-<x x x 或.。
分式不等式的解法
(4)当a<0时,原不等式解集为：
小结：
{x | a 2 < x < 2} a 1
１．本题对 a实施了两次讨论，第一次就“a>1,a<1” 分类讨论，第二 次在“a<1”的前提下，又就与2的关系进行分类讨论。
２．解含字母的分式不等式：
①必须分清对字母分类讨论的依据
练一练：
3x 5 2
x2 2x 3
解：
3x 5 x2 2x 3 2
x
2
3x 5 2x
3
2
0
2x2 x 1 x2 2x 3
0
(2x 1)(x 1) ( x 3)(x 1)3)(x
1)
0
+
-3
o
-
-1 +
- 1/2
Ⅱ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合序轴标 根法求解！注意点:
（1）x的系数必须是正数； （2）分清空实点； （3）奇穿偶不穿。
(1) : ( x 1)( x 2) < 0 2x 1
(2) : ( x 1)( x 2) 0 2x 1
(3) : ( x 1)2 ( x 2)3 0 2x 1
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
例1 ：解不等式
x 1 1 2x 1
解：当2x 1 0，即x 1 时
2
原不等式可化为x 1 2x 1
则x 2 x 1
当2 x
1
<
2
0，X即 ≥-2与xX><-1/2
1 2
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$解分式不等式的一般步骤如下：1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。
等式$2x-5y<0$的解。
结论本文简要介绍了分式方程和分式不等式的解法。
对于分式方程，我们通过通分和整理方程，将其转化为整式方程来求解。
对于分式不等式，我们通过通分和整理不等式，将其转化为整式不等式来求解。
分式不等式的解法高中数学
分式不等式的解法高中数学
分式不等式第一种解法：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在代数学中，我们经常会遇到涉及到分式方程和分式不等式的问题。
了解如何解决这些问题，对于解决各种数学难题至关重要。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并提供几个例子来帮助读者更好地理解。
一、分式方程的解法分式方程是指带有分式的等式。
一般来说，我们需要找到能够使方程两边相等的未知数值。
下面我们将介绍两种常见的分式方程解法。
1. 通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
当方程两边的分母相同时，我们可以通过扩展分子来消去分母，从而得到一个简单的等式。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$我们可以通过通分消去分母，将方程转化为：$3x + \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$然后，我们再进一步化简等式，最终求解出未知数的值。
2. 方程转化法在一些情况下，我们可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x-1}{3} = \frac{x+2}{4}$我们可以通过将分式的等式两边进行交叉乘法，得到：$4(x-1) = 3(x+2)$然后，我们展开并整理等式，再次求解未知数的值。
二、分式不等式的解法分式不等式是指带有分式的不等式，例如 $\frac{x}{2} > 3$。
解决分式不等式的关键是找到使不等式成立的未知数范围。
下面我们将介绍两种常见的分式不等式解法。
1. 分数法分数法是解决分式不等式的一种常见方法，它可以通过一些数学性质来找到不等式的解。
例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x+1}{2} \leq 3$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$x+1 \leq 6$然后，我们进一步化简等式，最终求解出未知数的范围。
2. 区间法区间法是一种几何方法，可以直观地找到分式不等式的解。
例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x-2}{x+1} > 0$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$\frac{(x-2)(x+1)}{(\lvert x+1 \rvert)(x+1)} > 0$然后，我们可以考虑$x+1$的正负情况以及$(x-2)(x+1)$的正负情况，从而得到未知数的范围。
专题二、分式不等式的解法
（一）分式不等式：型如：或（其中为整式且）的不等式称为分式不等0)()(>x x f ϕ0)()(<x x f ϕ）（、x x f ϕ)(0≠）（x ϕ式。
（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）（3）0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ0)()(0)()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ（2）（4）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ（3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（2）转化为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）（1）分式不等式的解法：解关于x 的不等式0231>-+x x 方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为：或 ⎩⎨⎧>->+02301x x ⎩⎨⎧<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：0231≥-+x x 等价转化为：⎩⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x 比较不等式及的解集。
（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）0231<-+x x 0231≤-+x x练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532)2(≤-x例1、解关于x 的不等式：232≥+-x x 解：0232≥-+-x x03)3(22≥++--x x x 即，038≥+--x x（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）038≤++x x 等价变形为：⎩⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x 原不等式的解集为∴[)3,8--例2、解关于x 不等式23282<+++x x x 方法一：恒大于0，利用不等式的基本性质322++x x方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。
浅谈分式不等式的解法
分式不等式的解法四川省 何成宝解分式不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决，下面举例谈谈含绝对值不等式的几种常用解法. 一、转化为整式不等式0)()(>x g x f ⇔ f （x ）·g （x ）>0 0)()(<x g x f ⇔ f （x ）·g （x ）<0 例1 解不等式0321<+-x x解: 原不等式等价于（1－2x ）（x+3）<0即 （2x －1）（x+3）>0∴ 原不等式的解集为 {x ∣x>21 或 x<－3}二、转化为不等式组0)()(≥x g x f ⇔ ⎩⎨⎧>≥,0)(,0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧<≤,0)(,0)(x g x f0)()(<x g x f ⇔ ⎩⎨⎧<>,0)(,0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧><,0)(,0)(x g x f 例2 解不等式01122≥---x x x解: 原不等式等价于（Ⅰ）⎩⎨⎧>-≥--,01,0122x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧<-≤--,01,0122x x x解（Ⅰ）得: x ≥1+2, 解（Ⅱ）得: 1－2≤x<1. ∴ 原不等式的解集为 {x ∣x ≥1+2 或1－2≤x<1 }. 三、数轴标根法形如0)()(>x g x f ,0)()(<x g x f , f （x ）·g （x ）>0 , f （x ）·g （x ）<0的不等式都可以用数轴标根法来求解. . 例3 解不等式.03223222≤---+x x x x解: 原不等式等价于0)1)(3()2)(12(≤+-+-x x x x .如图1, 数轴上的根为－2,－1,213.∴ 原不等式的解集为 {x ∣－2≤x<－1 或 21≤x<3}.评注: 利用数轴标根法解分式不等式,要注意分母不能为零. 四、等价转化法形如a < )()(x g x f <b 的不等式可等价转化为不等式[)()(x g x f －a][)()(x g x f －b]<0,这样会更加简捷.例4 解不等式－1<2213<+-x x 解: 原不等式等价于（1213++-x x ）·（2213-+-x x ）<0 ,整理得,0)2()5)(14(2<+-+x x x 解得 －41<x<5 .∴ 原不等式的解集为 {x ∣－41<x<5}.五、数形结合法例5 k 为何值时，关于x 的不等式13642222<++++x x k kx x 的解集是一切实数.解：由题意知，即求k 的值，使关于x 的不等式13642222<++++x x k kx x 恒成立.∵ 4x 2+6x+3>0 ,13642222<++++x x k kx x 恒成立,⇔2x 2+2kx+k < 4x 2+6x+3恒成立.即 2x 2+（6－2k ）x+3－k >0恒成立.令f (x) =2x 2+（6－2k ）x+3－k ,由图2知, f (x)>0恒成立 ⇔ △=.0)3(24)26(2<-⨯⨯--k k解得 1<k<3 .∴ 当1<k<3时, 关于x 的不等式13642222<++++x x k kx x 的解集为R.。
分式不等式解法的注意事项
分式不等式解法的注意事项分式不等式是数学中一个重要的概念，正确理解和解分式不等式对于解决各种数学问题具有重要意义。
在解分式不等式时，需要注意以下几个方面：1.认清形式首先需要明确分式不等式的形式，通常包括“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号。
同时要了解分式不等式的性质和基本运算规则，例如分数的性质、等价转化等。
2.转化不等式将分式不等式转化为与之等价的整式不等式，是解分式不等式的关键步骤。
通过因式分解、通分、约分等手段，将分式不等式转化为整式不等式，从而可以利用整式不等式的解法来求解。
3.找到根对于分式不等式，找到根是求解的关键。
可以通过观察分式的分子和分母的系数来寻找根，例如分子常数项的系数等于分母常数项的系数时，该常数项就是根。
此外，也可以通过解方程来找到根。
4.判断符号在找到根之后，需要根据根的大小来判断不等式的符号。
例如，当根小于0时，不等式符号为“<”；当根大于0时，不等式符号为“>”。
需要注意的是，对于多个根的情况，需要分别判断每个根的符号。
5.检验答案在得到不等式的解之后，需要进行检验。
可以通过将得到的解代入原不等式中，观察是否满足原不等式的条件来判断答案是否正确。
如果代入后不等式不成立，则需要重新考虑解法。
6.总结经验在解分式不等式的过程中，需要注意总结经验。
例如，哪些方法在解分式不等式时比较常用、哪些情况容易导致出错等。
通过不断地总结经验，可以逐渐提高解分式不等式的准确性和速度。
总之，解分式不等式需要注意认清形式、转化不等式、找到根、判断符号、检验答案和总结经验等方面。
只有全面掌握这些注意事项，才能更好地解决各种与分式不等式相关的问题。
分式不等式解法课件
欢迎来到分式不等式解法课件。在这个课件中，我们将深入了解分式不等式 的各种解法，包括消元法、通分法、数轴法等等。让我们一起开始吧！
什么是分式不等式
分式不等式是一种包含分数的数学不等式表达式。它们通常涉及分式的大小 关系，我们将学习如何解决这些问题。
分式不等式的基本形式
分式不等式有几种基本形式，包括单独的分数、分数与整数的组合，以及分 式与分式的比较。我们将学习如何识别和解决这些基本形式。
消元法解分式不等式
消元法是解决分式不等式的常用方法之一。通过合并分母或分子，我们可以 简化不等式，并找到解的范围。让我们学习如何应用消元法解决问题。
通分法解分式不等式
通分法是解决包含多个分式的不等式的方法。通过找到公共分母并进行通分，我们可以将不等式 简化为更简单的形式，并找到解的范围。
数轴法解分式不等式
一维图像法解分式不等式
一维图像法是一种直观解决分式不等式的方法。通过绘制分式的图像并观察 图像的特征，我们可以找到解的范围。
数轴法是解决分式不等式的可视化方法。通过在数轴上绘制分式的零点和不 等式的符号，我们可以直观地找到解的范围。
规律法解分式不等式
规律法是解决特殊分式不等式的方法。通过观察分式中的模式和规律，我们 可以找到解的范围，并简化解决问题的过程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻找零点解分式不等式
寻找零点是解决分式不等式的重要策略之一。通过将分子或分母设置为零，并求解方程，我们可 以确定分式不等式的解的范围。
分式不等式的解法笔记
分式不等式的解法笔记一、观察分式不等式的形式分式不等式有几种不同的形式，包括：1. 形如 (numerator/denominator) > 0 或(numerator/denominator) < 0 的不等式；2. 形如(numerator/denominator) ≥ 0 或(numerator/denominator) ≤ 0 的不等式；3. 更复杂的分式不等式，可能包含多个分式项，或者分母有根式等。
二、分式不等式的解法步骤1. 对于形如 (numerator/denominator) > 0 或(numerator/denominator) < 0 的分式不等式：步骤1：首先观察不等式的形式，确定是需要解不等式还是需要验证不等式的解。
步骤2：如果需要解不等式，将分式的分子分解因式，并使不等式两边的分母相同。
步骤3：通过移项、通分等方法，将不等式转化为若干个基本不等式的形式。
步骤4：解出每个基本不等式，得到原不等式的解集。
2. 对于形如(numerator/denominator) ≥ 0 或(numerator/denominator) ≤ 0 的分式不等式：步骤1：同样观察不等式的形式，确定需要解不等式还是验证不等式的解。
步骤2：如果需要解不等式，同样要将分式的分子分解因式，并使不等式两边的分母相同。
步骤3：通过移项、通分等方法，将不等式转化为若干个基本不等式的形式。
步骤4：对于每个基本不等式，分别考虑其正负性，得到原不等式的解集。
三、特殊情况的处理方法1. 对于形如|numerator/denominator| ≤ k 的分式不等式，其中 k 为常数，可以采用绝对值不等式的解法进行处理。
2. 对于形如numerator ≤ denomimator 的分式不等式，可先将分子与分母交换位置，再按上述方法进行处理。
3. 对于形如 (numerator + denomimator) / denomimator ≤ k 的分式不等式，可先移项再按上述方法进行处理。
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
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一 不等式的解法
1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）
利用绝对值的定义：（零点分段法）
利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离
||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为
}|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为
}|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.
2 整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；
2） 分解因式；
3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。
注意：能取
的根打实心点，不能去的打空心）；
4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。
注意：偶次重根不能穿过)；
一元二次不等式解法步骤：
1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；
2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断∆，当0∆≥时解方程（利用求根公式）
3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）
3 分式不等式的解法
1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()
f x
g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩； 4 指数、对数不等式的解法
①当1a >时
()()()()f x g x a a f x g x >⇔> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >⇔>> ②当01a <<时
()()()()f x g x a a f x g x >⇔< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >⇔<<
x =
0x x ≥ 0x x -<
二．练习
1. 不等式222310372x x x x ++>-+的解集是
2. 不等式3113x x
+>--的解集是 3. 不等式2223712x x x x +-≥--的解集是 4. 不等式1111
x x x x -+<+-的解集是 5. 不等式229152x x x --<+的解集是 6. 不等式22320712
x x x x -+>-+的解集是 7. 不等式2121x x x +≤+的解集是 8. 不等式2112
x x ->-+的解集是 9. 不等式23234
x x -≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)x x x -<+-的解集是 11. 不等式2206x x x x +<+-的解集是 12. 不等式2121
x x x +<-的解集是 13. 不等式
2321x x x x +>++的解集是 14. 不等式211(3)x >-的解集是 15. 不等式(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--的解集是 16. 不等式2311
x x +≥+的解集是 17. 不等式1230123x x x +->---的解集是 18. 不等式25214x x
+≤--的解集是 19. 不等式221421x x x ≥--的解集是 20. 不等式221(1)(2)
x x x -<+-的解集是
答案
1. 2. (-2，3)
3. 4.
5. 6.
7. 8. (1，2)
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. [-1，2] 17. 18.
19. 20.。