高中数学教案：二 极坐标系
高中数学极坐标教案
高中数学极坐标教案教学目标1. 理解极坐标系的定义及其与直角坐标系的区别与联系。
2. 掌握极坐标系中的点的位置表示方法。
3. 学会基本的极坐标图形的绘制，如圆、直线等。
4. 能够将极坐标方程与直角坐标方程相互转换。
5. 解决一些简单的极坐标应用问题。
教学内容极坐标系的基本概念- 引入极坐标系的概念，解释极点、极轴、极径、极角等基本元素。
- 通过实例演示极坐标系与直角坐标系的转换关系。
极坐标下的点的位置表示- 详细讲解如何在极坐标系中表示一个点的位置。
- 强调极径和极角的取值范围和特点。
极坐标图形的绘制- 教授如何在极坐标系中绘制基本图形，例如圆和直线。
- 分析极坐标图形的特性和方程形式。
极坐标方程与直角坐标方程的转换- 通过具体例题，展示如何将极坐标方程转换为直角坐标方程。
- 同样地，讲解如何将直角坐标方程转换为极坐标方程。
极坐标的应用- 探讨极坐标在物理学、工程学等领域的实际应用。
- 解决一些实际问题，如定位、导航等。
教学方法- 采用启发式教学，鼓励学生主动思考和探索。
- 结合多媒体教学工具，使抽象概念形象化。
- 开展小组合作学习，促进学生之间的交流与合作。
教学过程1. 导入新课：回顾直角坐标系的知识，引出极坐标系的概念。
2. 新课讲解：按照教学内容的顺序，逐一讲解极坐标系的相关知识。
3. 实践操作：指导学生在极坐标纸上绘制图形，进行方程转换练习。
4. 应用探究：提出实际问题，引导学生运用极坐标解决问题。
5. 小结反馈：总结本节课的重点内容，对学生的学习情况进行评价。
教学评价- 通过课堂提问，了解学生对极坐标概念的理解程度。
- 布置相关习题，检验学生对知识点的掌握情况。
- 收集学生的反馈意见，评估教学方法的有效性。
结语。
高中数学《4.1.2 极坐标系(1)》教案 新人教A版选修4-4
江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案教学目标：1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．教学重点：极坐标系的理解与应用．教学难点：极坐标系的概念．教学过程：一、问题情境：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？练习如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：1．他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、探究新知：思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？这些描述的对应位置是否惟一确定？（2）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？探究结果：（1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定．（2）到达图书馆，该位置惟一确定．（3）正东方向60m处与西北方向50m处．重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础．三、建构数学：（一）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点．引一条射线OX，叫做极轴．再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）．这样就建立了一个极坐标系．（二）极坐标的表示与注意点：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标．特别强调：ρ表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；θ表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角．③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ．M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈四、数学应用：例1 写出下图中各点的极坐标：例2 在极坐标系中，1．已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2．已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈， 说明满足上述条件的点M 的所组成的图形．变式训练1．若ABC ∆的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A 2．若A ．B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积．（O 为极点）例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标．⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点． 变式训练：1．在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 ． )6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A 2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标． 五、课堂练习：1．已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标．2．建立极坐标系，并画出点,6,4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B 3．在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________．4．设点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴．直线l ．极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）．5．（2006年上海高考题）在极坐标系中，设O 是极点，A ．B 两点的极 坐标分别是(4,)3π．5(5,)6π-，则⊿OAB 的面积是 ． 6．在极坐标系中，已知两点2(3,),(1,)33A B ππ-，求A ，B 两点间的距离． 7．在极坐标系中，已知1122(,),(,)A B ρθρθ12(0,0)ρ>ρ>，求⊿AOB 的面积．六．回顾小结：1．建立一个极坐标系需要哪些要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向．2．极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种．是因为极角引起的．3．一点的极坐标有否统一的表达式？有．（ρ，2kπ+θ）七．课后作业：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
二极坐标系
一、导学提示，自主学习 二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业来自一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标 （1）理解极坐标系的概念 . （2）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置 的区别. （3）掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进 行极坐标和直角坐标的互化. 学习重点： （1）极坐标系的概念 ； （2）极坐标和直角坐标的互化 学习难点：极坐标和直角坐标的互化
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
例5. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
化成极坐标.
（ 1 ）2 解: ( 3 )
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 极坐标概念 题型二 极坐标的综合应用 题型三 极坐标的实际应用 题型四 极坐标与直角坐标的互化 3.自主学习教材P8-P12 二极坐标系
二、新课引入，任务驱动
坐标法
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
三、新知建构，典例分析
思考？
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么这两 种坐标之间有什么关系呢？
三、新知建构，典例分析
问题：若点M的直角坐标为 (1, 3 ) 用极坐标如何表示？
《4.1.2 极坐标系》教案
《4.1.2 极坐标系》教案教学目标:1.认识极坐标,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角坐标间的互化｡教学重点:能用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标的互化｡教学难点:理解用极坐标刻画点的位置的基本思想;点与极坐标之间的对应关系的认识教学过程:一､新课导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系｡有时用别的坐标系比较方便｡还有什么坐标系呢?我们先看下面的问题:(投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性｡)2.在以上问题中,位置是用什么方法确定的?3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置:如台风预报､地震预报､测量､航空､航海等｡这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想｡二､探究新知问题:类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立极坐标系?(学生思考,抽生回答,并补充,最后教师总结｡)1.极坐标系的概念(1)概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系｡(2)点的极坐标的规定:如图:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ;有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ;一般地,不做特殊说明时,我们认为ρ≥0, θ∈R(3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况:问题:在同一极坐标系中描点这些点有什么关系?你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗? 从以下方面探究:① 平面上一点的极坐标是否唯一?② 若不惟一,那有多少种表示方法?③ 坐标不惟一是由谁引起的?④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式?结论:1)给定(ρ,θ),在极坐标平面内确定惟一的一点M;2)给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应;原因在于:极角有无数个; 3)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ) 表示同一个点;4)特别地,极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈R);5)如果限定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了｡ 2.极坐标和直角坐标的互化问题:平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示,那么,这两种坐标之间有什么关系呢?(学生思考,并回答)(1)互化的前提:①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与X 轴的正方向重合;③两种坐标系中取相同的长度单位｡(2)互化公式:⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛πππππππ2-6446426464，，，，，，，X设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)｡ 则极坐标与直角坐标的互化公式为:⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x , ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,t an 222x x y y x θρ｡ 三､运用新知(投影) 学生自学课本例题,教师解决有关问题｡四､巩固练习(投影)1.写出图中各点的极坐标;2.在极坐标系中描出下列各点; ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛356653345,23)2,6(0,3πππππ，，，，，，，，F E D C B A 3.直角坐标与极坐标的互化:(1)已知点的极坐标,求它的直角坐标｡(2)已知点的直角坐标,求它的极坐标｡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32243ππ，，，B A ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---35032233，，，，，E D C五､课堂小结1.极坐标系的概念(三个方面理解);2.极坐标与直角坐标的互化前提及公式｡六､布置作业1.课后练习;2.预习下一节内容｡。
高中数学新人教版A版精品教案《二 极坐标系》
《极坐标系》教学设计一、教材分析极坐标系是高中新教材人教A版选修4-4第一讲第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。
为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。
二、学情分析通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。
三、教学设计原则及策略激发学生的兴趣，充分调动其积极性，让他们真正参与到教学活动中来。
此外，该节课的核心在于自主探究出极坐标系建立的顺其自然和合理性，并熟悉，初步会应用。
基于以上认识，我根据学生的认知特点和接受水平，对教材进行了一些处理，先从实际例子、生活常识出发，抛出问题（甚至是学生自己提出问题），让学生自主探究，过程中加以指导，最终完成整节课的教学。
四、教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。
2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。
②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。
采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。
五、教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。
2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解六、教学方法问题探究法、讲解示范法七、教学媒体设计本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系与直角坐标与极坐标的转化的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。
高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教A版选修44
高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教A版选修44二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．2．互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)[解析] x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.[答案] A将点的极坐标化为直角坐标【例1(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[自主解答] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点． (4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π，π)． [解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标【例2】 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．[自主解答] (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝2π3，∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π. (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)， 由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π)， 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4，∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标： (1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．[解] (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23， tan θ＝33， 所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π. (3)ρ＝02＋(－2)2＝2，θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0，所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】 在极坐标系中，如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[自主解答] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2，θ＝54π， ∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2，∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4，∴有⎩⎨⎧ (x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)， ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解．3．本例中，如果点的极坐标仍为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标？[解] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0，∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2， ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？[提示] 以A 为基点，射线AB 为参照方向，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处，办公楼在西北方向50 m 处．2．在极坐标系中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示] 由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点．实际上，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2k π(k ∈Z )都表示这个点．【例4】 设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．。
2极坐标系 学案
高二数学导学案主备人: 备课时间：备课组长：课题:极坐标系(两课时)一、三维目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。
二、教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
三、学法指导：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。
四、知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子五、学习过程：一、极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题答1）：答2）：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为，并以某个方向作为参照。
3极坐标系的概念：1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2)如图：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R4例题例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。
高中数学备课教案极坐标系与参数方程
高中数学备课教案极坐标系与参数方程高中数学备课教案：极坐标系与参数方程一、引言数学中的坐标系是描述平面上点位置的重要工具，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
而参数方程则是一种描述曲线的方程形式。
本教案将介绍高中数学中的极坐标系和参数方程，并探讨其应用。
二、极坐标系1. 定义与转换公式极坐标系是以原点为中心，极轴为正方向的坐标系。
任意点P在极坐标系中的位置可以由两个量确定：极径r和极角θ。
其中，极径r表示点P距离原点的长度，极角θ表示点P与极轴的夹角。
将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)的公式为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，曲线的方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是关于θ的函数。
常见的极坐标曲线有：- 极径为常数：以原点为圆心的圆。
- 极径关于角度的函数：如r = a + bsin(θ)，表示螺旋线。
- 极径为角度的函数：如r = aθ，表示阿基米德螺线。
三、参数方程1. 定义与示例参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
常用的参数方程形式为x = f(t)和y = g(t)，其中x和y分别表示平面上的横纵坐标，t是参数。
例如，参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，描述了一个单位圆的轨迹。
2. 参数方程与直角坐标系之间的转换将参数方程x = f(t)和y = g(t)转换为直角坐标系中的方程，可以通过消去参数t来实现。
通常使用代数方法或几何方法进行转换，并根据具体情况选择适当的方法。
四、极坐标系与参数方程的应用1. 曲线的绘制极坐标系和参数方程在曲线的绘制中具有很强的优势，特别适用于描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。
通过设置极角或参数的范围，可以绘制出完整的曲线图形。
2. 积分计算对于一些特殊形状的区域，使用极坐标系可以简化积分计算。
通过转换成极坐标系的面积元素，可以减少积分的复杂程度，简化计算过程。
高中数学新苏教版精品教案《4.1.2 极坐标系》
极坐标系一、教材分析极坐标系是苏教版高中教材选修4-4第一章坐标系中第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化，为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定根底二、学情分析1有利因素学生通过对?坐标系?第一节直角坐标系的学习对平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系有了更加深刻的理解；学生通过平时的高中数学学习，已具备了一定的观察、归纳、分析和概括能力，另外极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受，这些为本节课的学习打下了良好的根底2不利因素由于学生对极坐标系还不熟悉，加之负极径的理解能力要求较高，因此，本节学生学习起来有一定难度三、教学目标分析1知识与技能理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：会在极坐标系内描出极坐标的点；会写出极坐标平面内点的极坐标；掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化2过程与方法通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比拟和归纳能力3情感态度与价值观通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦四、教学重难点教学重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的根本思想，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学方法问题探究法六、教学过程一问题引入1苏州市气象台2021年09月15日7:30发布台风警报：今年第14号台风"莫兰蒂"台风级今天7点钟中心位于苏州南偏西方向大约760公里的福建省泉州市安溪县境内，也就是北纬度、东经度探讨：报道中是如何刻画台风中心的位置？2一个路人在苏州乐园门口问路，去高新区美罗商城的路怎么走？探讨：如何指路能够让路人快速地找到美罗商城？设计意图：通过探讨两个现实问题的共同点是什么？了解建立极坐标系的必要性和便捷性二建构新知1极坐标系的定义在平面内取一个定点O，自点O引一条射线OX，再选定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系其中点O称为极点，射线OX称为极径2极坐标系内一点极坐标的规定用ρ表示线段OM的长度,θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对〔ρ，θ〕就叫做点M的极坐标一般地，规定ρ≥0，θ三例题示范例1：说出以下图中各点的极坐标：变题：在图上描出以下各点：，，小结：由极坐标描点的一般步骤1先按极角找到点所在射线； 2在此射线上按极径描点四深化概念探究一：在极坐标系中描出以下各点，你发现了什么？，，，问题1这些极坐标之间有何异同？极径相同，极角不同问题2这些极角有何关系？极角的始边相同，终边也相同，即：它们是终边相同的角问题3这些极坐标所表示的点有什么关系它们表示同一个点探究二：在极坐标系下，点与它的极坐标的对应情况如何？问题4极坐标系内的点与有序数对是一一对应吗？结论：[1]给定〔ρ,θ〕,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M；[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应极坐标系内的点与有序数对要建立一一对应关系，应附加什么条件？结论：如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了探究三：关于负极径的认识问题5向量中，如果一个向量前加负号，表示原向量的相反向量，它与原向量的关系模相等、方向相反在极坐标系中，极径通常取正值，但在有些情况下也允许取负值当ρ<0时如何规定ρ, θ对应的点的位置？结论：当ρ<0时，点Mρ, θ的位置规定，点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ|请大家试着描出极坐标是的点？师生共同得出负极径的定义及描点的步骤例2：在极坐标系中描出以下各点，，，问题6极坐标系中根据极坐标描点的步骤是什么？〔注意分正、负极径〕给定ρ，θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点问题7极坐标系中极坐标有哪些统一表达式？，探究四：极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别探究五：极坐标与直角坐标如何互化例3：把以下点的极坐标化成直角坐标：，,变题：把以下点的直角坐标化成极坐标：，,说明：直角坐标转化为极坐标时，注意极角确实定五拓展阅读edean ira〕，亦称“〞当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线〞，其首次由阿基米德在著作??中给出了定义六课后作业课本第16页练习第1，2，4，5，6，7题七反思回忆今天你学到了哪些数学知识和数学思想方法？〔学生独立思考后答复，教师补充完善〕。
高中数学第一讲坐标系二极坐标系互动课堂学案新人教A版选修4.doc
二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活屮，如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置•用距离和方向表示平而上一点的位置，就是极坐标.2.如图，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点血用Q表示线段0『的长度，用〃表示从血到购的角度，Q叫做〃的极径，〃叫做点対的极角，有序数对（Q, 〃）就叫做財的极坐标•把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意：（1）①极点,②极轴，③长度单位，④角度单位和它的止方向构成了极坐标系的四要素，缺一不可.⑵特别地，当〃在极点吋，它的极坐标P=o, 0可以取任意值.极点。
的坐标为（0, 〃）（化R）.⑶一般地,不作特殊说明时，。
三0, 〃可取任意实数.3.建立极坐标系后，给定q（qNO）和〃，就可以在平面内唯一确定点必确定的方法是：⑴由0定射线.根据0角确定点〃所在的射线OM;⑵由P取点.在射线如上取丨酚二Q,点於的位置即可确定.4.给定平面内任意一点必也可以找到它的极坐标（Q, 〃）（ Q 20）.特别注意：⑴一般地，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2k兀）（kWZ）表示同一个点•和直角坐标不同, 平而内一个点的极坐标有无数种表示.⑵如果规定Q MO,OW0<2.那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（q, 〃）表示；同吋,极坐标（Q, 〃）表示的点也是唯一-确定的.5.为完整起见，现作一补充:若Q〈0,贝卜Q>0,我们规定点#（p, 0）与点P（-Q, 0）关于极点对称.点畝Q, 〃）（Q〈0）的位置的确定方法是：⑴由〃定射线.先找出〃角的终边所在的射线，确定其反向延长线⑵由P取点.在射线防上取丨创1=-Q,点対的位置即可确定,如图.进一步可以得出，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2斤兀）（WWZ）（-门，〃+n+2斤兀）（WWZ）表示同一点.应当指出，若Q<0,应有说明；否则,可认为心0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系屮的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与/轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的氏度单位.P2=AZ tan ^ = — (xHO).X3.极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘以(或除以)P 等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时，要注意点所在象限，从而确定极角0.试一试：5兀⑴已知点A的极坐标(-4,兰)，求它的直角坐标；3(2)已知点B、C、D的直角坐标为(2,-2), (0,-15), (-12, 5),求它的极坐标(Q>O,OW〃<2兀). 解：⑴点力的直角坐标为(-2,2^3).(2)・・・P = y]x2+y2 = 722+(-2)2二2迈,怕门〃二二？二-1,且点位于第四象限，(注意!)2:・9=—，点〃的极坐标为(2 V2 ,—).4 4_ 3兀又VA=0, jKO, Q二15,・••点C的极坐标为(15,——).4对于〃(-12, 5), P = 13, tan O--—.12：•〃在第二象限内，・；0- JI -arctan — .12・：〃点坐标为(13, n -arctan — ).12活学巧用7T 71【例1】已知两点的极坐标水3, —)、〃(3,—),贝i\AB\ =,昇〃与极轴正方向所成2 6的角为_______ .,即为正三角形.答案：3 —6点评：在极坐标系中，点A(Q1, ”1)、P2I P 2, 0 P \、。
高中数学极坐标的教案
高中数学极坐标的教案
教学目标：
1. 了解极坐标的概念和基本表示方法；
2. 掌握极坐标系下向量的表示和运算方法；
3. 能够进行极坐标系下的函数图像的绘制和分析。
教学重点：
1. 极坐标概念的理解和运用；
2. 向量在极坐标系下的表示和运算；
3. 极坐标系下函数的图像绘制和解析。
教学难点：
1. 极坐标系下向量的运算；
2. 极坐标系下的函数图像绘制。
教学准备：
1. 教师准备课件、教材和教具；
2. 学生准备笔记本和作业本。
教学步骤：
第一步：导入
引导学生回顾直角坐标系下的向量表示和运算方法，然后介绍极坐标概念及其与直角坐标系的关系。
第二步：讲解
1. 讲解极坐标的定义和表示方法；
2. 介绍向量在极坐标系下的表示和运算；
3. 分析极坐标系下的函数图像特点和绘制方法。
第三步：练习
1. 让学生进行向量在极坐标系下的表示和运算练习；
2. 让学生尝试绘制一些简单函数在极坐标系下的图像。
第四步：总结
总结极坐标系的特点和应用，并强调极坐标系与直角坐标系的联系和区别。
第五步：作业
布置相关的作业，在家里继续巩固和练习所学知识。
教学反思：
教师应根据学生的理解情况和反应及时调整教学方法和策略，保证教学效果和进度的顺利推进。
同时，多鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
高二数学人选修课件二极坐标系
参数方程形式
相对于普通方程，参数方程将曲线上的点的坐标表示为参数的函数。常见的参数方程形 式有直线参数方程、圆的参数方程等。
参数方程与普通方程互化
参数方程化为普通方程
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程。具体步骤包括 联立参数方程中的两个等式，解出其中一个变量（如$x$或 $y$），然后将解出的变量代入另一个等式，得到曲线的普通 方程。
XX
PART 06
二极坐标系综合应用举例
REPORTING
几何问题综合应用
点的位置关系
01
利用二极坐标表示点的位置，通过比较二极坐标的大小关系，
判断点与直线、圆等几何图形的位置关系。
图形变换
02
通过二极坐标的变换，实现图形的平移、旋转、缩放等变换，
进而研究图形的性质和特征。
曲线方程
03
在二极坐标系下，建立曲线的方程，研究曲线的形状、性质以
几何形状分析
通过分析二极坐标系下图形的面 积性质，研究几何形状的特征和
性质。
XX
PART 05
二极坐标系与三角函数结 合
REPORTING
三角函数在二极坐标系中表示
三角函数定义
在二极坐标系中，三角函数可以通过极径和极角来表示，如正弦函数sin(θ)和余 弦函数cos(θ)。
三角函数图像
通过二极坐标系，可以绘制出三角函数的图像，如正弦曲线和余弦曲线，进而研 究其性质。
圆心在原点、半径为r的圆方程可表示 为ρ=r；圆心在(a,0)、半径为r的圆方 程可表示为ρ=2acosθ+r（其中a>r） 。
曲线方程应用举例
求解交点
通过联立两个曲线方程，可以 求解它们的交点坐标。
高中数学新人教版A版精品教案《二 极坐标系》30
极坐标和直角坐标的互化教学设计yyO1x x（三）尝试应用B级），（23π，B），（63π，则直线AB的倾斜角为A6πB3πC32πD65π4在极坐标系中,)32,6(),6,6(ππBA、B两点的距离为A23 B 33C26 D36学生尝试完成练习，可小组内讨论、交流，小组之间比赛，老师根据学生回答，画图分析、点评熟悉并记忆极坐标和直角坐标的互化公式，巩固所学；增加难度，加强知识应用能力的培养探索用不同方法解决问题，拓展延伸，强调数形结合思想，以形助数（三）尝试应用A级数学小史,激发热情教师利用多媒体播放广告，讲解数学家笛卡尔的情书，讲述笛卡尔与平面直角坐标系，提出问题：平面直角坐标系是刻画平面内的点的唯一方法吗进而引入新课引入数学小史旨在让学生了解数学知识产生的背景，激发学生学习数学的热情，引导学生主动思考，为引入极坐标系埋下伏笔增加难度，提高思维的灵活性，拓展延伸为下一节内容的学习做好铺垫（四）课时小结：1知识点总结2思方法总结学生谈本节课的收获？引导学生对所学的知识、思想方法进行归纳小结，深化认识。
高中数学新人教版A版精品教案《二 极坐标系》2
二极坐标系的的概念备课人：刘涛审核人：闫耀武教学目标：知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。
过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，会实现极坐标和直角坐标之间的互化。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解极坐标的意义，对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解。
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置，极直互化关系式的掌握。
授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学教学过程：一、情境设计：情境：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、极坐标系的概念：从情境中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。
）2、极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π时,平面上的点除去极点就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角3、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
《4.1.2 极坐标系》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《4.1.2 极坐标系》教案教学目标:1.认识极坐标,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角坐标间的互化｡教学重点:能用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标的互化｡教学难点:理解用极坐标刻画点的位置的基本思想;点与极坐标之间的对应关系的认识教学过程:一､新课导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系｡有时用别的坐标系比较方便｡还有什么坐标系呢?我们先看下面的问题:(投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性｡)2.在以上问题中,位置是用什么方法确定的?3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置:如台风预报､地震预报､测量､航空､航海等｡这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想｡二､探究新知问题:类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立极坐标系?(学生思考,抽生回答,并补充,最后教师总结｡)1.极坐标系的概念(1)概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系｡(2)点的极坐标的规定:如图:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ;有序实数对(,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ;一般地,不做特殊说明时,我们认为ρ≥0, θ∈R(3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况:问题:在同一极坐标系中描点这些点有什么关系?你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗? 从以下方面探究:① 平面上一点的极坐标是否唯一?② 若不惟一,那有多少种表示方法?③ 坐标不惟一是由谁引起的?④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式?结论:1)给定(ρ,θ),在极坐标平面内确定惟一的一点M;2)给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应;原因在于:极角有无数个; 3)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ) 表示同一个点;4)特别地,极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈R);5)如果限定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了｡ 2.极坐标和直角坐标的互化问题:平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示,那么,这两种坐标之间有什么关系呢?(学生思考,并回答)(1)互化的前提:①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与X 轴的正方向重合;③两种坐标系中取相同的长度单位｡(2)互化公式:⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛πππππππ2-6446426464，，，，，，，X设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)｡ 则极坐标与直角坐标的互化公式为:⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x , ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ｡ 三､运用新知(投影) 学生自学课本例题,教师解决有关问题｡四､巩固练习(投影)1.写出图中各点的极坐标;2.在极坐标系中描出下列各点; ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛356653345,23)2,6(0,3πππππ，，，，，，，，F E D C B A 3.直角坐标与极坐标的互化:(1)已知点的极坐标,求它的直角坐标｡(2)已知点的直角坐标,求它的极坐标｡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32243ππ，，，B A ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---35032233，，，，，E D C五､课堂小结1.极坐标系的概念(三个方面理解);2.极坐标与直角坐标的互化前提及公式｡六､布置作业1.课后练习;2.预习下一节内容｡。
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲坐标系二、极坐标系》教案新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学?第一讲 坐标系 二、极坐标系?教课设计 新人教A 版知识与技术：经过本节知识的学习，使我们对极坐标的定义有一个明确的认识，认识极坐标在平时生活中的作用，能在极坐标系中， 用极坐标刻画点的地点特点， 会在极坐标系中描出相应的点，把那个会写出而点的极坐标，进一步理解点与极坐标的关系 .理解极坐标系与平面直角坐标系的联系与差别， 会把极坐标化为平面直角坐标系， 及把平面直角坐标化为极坐标，面认识二者之间的转变关系， 把极坐标作为我们解决数学识题、 认识客观世界的一种重要工具.全感情、态度与价值观： 经过本节知识的学习，使我们在实质应用中认识极坐标的作用及应用极坐标来描绘实质问题的方便性及适用性，认识极坐标的相关观点，及合理成立极坐标系，学会用极坐标表示平面上的点，领会用极坐标刻画平面上的点的地点与从前学习过的平面直角坐标系的差别，会用两种方法来描绘平面内的点，并掌 握坐标与直角坐标的变换公式，理解在规定了极径 >0,极角0≤＜2 以后，极坐标也与平面直角坐标同样， 与平面内的点拥有一一对应的关系.教课过程：1.极坐标系的观点实验楼 图书室.假定某同学在教课楼处，请回复以以下图是某校园的平面表示图以下问题：D C他向东偏北60o方向走120m 后抵达什么地点？该地点唯一确立吗？(2)假如有人探询体育馆和办公楼的地点，他应怎样描绘？ 办公楼120mE 45o60o50m AB教课楼 60m 体育馆在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位〔往常取弧度〕及其正方向〔往常取逆时针方向〕，这样就成立一个极坐标系.M(,)一般地，不作特别说明时，我们以为≥0，可取随意实数.O x 例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点D(2,)，3)，F(3.5,5)所在的地点？6E(4,4322335BE66DA27F1164C63533例2.2在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教课楼，体育馆，图书室，实验楼，办公楼的地点.成立适合的极坐标系，写出各点的极坐标.D CE 45o120m603m60o50m60m B x A(O)思虑在极坐标系中，(4,)，(4,2)，，(4,2)表示的点有什么6(4,4)666关系？你能从中领会极坐标与直角坐标在刻画点的地点时的差别吗？小结极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不一样，平面内一个点的极坐标有无数种表示.假如规定＞0，＜≤2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标表示的点(,)也是唯一确立的.极坐标与直角坐标的互化平面内的一个点既能够用直角坐标表示，也能够用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取同样的长度单位.设M是平面内随意一点，它的直角坐标是 (x,y)极坐标是(,). 从以以下图能够得出它们之间的关系：x cos,y sin.①y由①又可获得下边的关系式：My2x 22,tany0)这就是极坐标与直角坐标的互化公式.O x N x y(xx例3.将点M的极坐标(5,2)化成直角坐标.3例4.将点M 的直角坐标 ( 3，1)化成极坐标 .讲堂练习241.写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标〔＞0，0≤＜25〕.6 CD ..B2E A4F G5332.中央气象台在2021年7月15日10︰30公布的一那么台风信息：今年第 9号热带风暴“圆规〞的中心今日上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大概 440公里的南海东北部海面上，中心邻近最狂风力有9级.请成立适合的坐标系，用坐标表示出该台风中心的地点.3.在极坐标系中，两点A(3,),B(1,2)，求A，B两点间的距离.33课后作业1.设点A(2, )，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A对于极轴、直线l、极3点的对称点的极坐标(限制>0，－＜≤).2.教材习题第4、5题.。
2极坐标系 学案
高二数学导学案课题:极坐标系(两课时)一、三维目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。
二、教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
三、学法指导：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。
四、知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子五、学习过程：一、极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题答1）：答2）：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。
3极坐标系的概念：1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2)如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R4例题例 1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。
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极坐标系
教学目标：
认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置；
体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
教学重点和难点：
重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
教学基本流程：
一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。
开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云
图。
众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心
的位置。
气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风
的路径图。
根据路径图，及时播报台风中心的位置。
从小
到大我们听过很多次台风预报。
今天也请大家来当一回主
播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。
（学生参与描述）
看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，
今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800
公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”
（视频最好）。
（评价学生的描述）
问：哪些条件刻画了台风中心的位置?
东经123.8度，北纬22.3度。
温州东南偏南方向大约800公里的海面上。
经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，
相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。
如
果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位
置？！你得到什么样的启发？
1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,
用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。
建立问题情景，体会引进极坐标系的必要性
极坐标系与直角坐标系的区别
极坐标系的历史
问题的提升，体会引进极坐标系的必要性
极坐标与直角坐标的互化公式
总结
给出极坐标系的概念
平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。
再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置 问：为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）
我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。
（动手画一下）遇到困难补充方位角。
用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想 就称为极坐标思想，这样建立起来坐标系就称为极坐标系（板书）
设计意图：引进学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。
二、给出极坐标系的概念
给出概念：
在平面内取一个定点O,叫做极点;（板书）
自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; （板书）
再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方
向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；
以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；
有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；
一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R （板书）
试一试：如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标
55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333
k πππππ→-→→+（板书） 极点O 的极坐标？ (0,0)(0,)R θθ∈→（板书）
我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一，反过来
思考:如果给出一个极坐标(2,π),那它对应的点是否唯一?唯一。
0,02ρθπ>≤<如果规定；
除极点外,平面内点可用唯一的极坐标(,ρθ)表示;同时,极坐标(,ρθ)表示的点也是唯一的。
设计意图：引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念。
三、极坐标系与平面直角坐标系的区别
平面直角坐标系 极坐标
定位方式 横坐标、纵坐标 角度和距离
点与坐标 点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应
外在形式 原点，x ，y 轴 极点，极轴
本质 两线相交定点
圆与射线相交定点 设计意图：通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。
四、极坐标系的历史
过渡：平面直角坐标系是由笛卡儿创建的，问：又是谁第一个提出极坐标系？他为什么要提
出极坐标系? 伯努利(瑞士)：1691年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论；
牛 顿(英国)：完成于1671年，发表于1736年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是确
定平面上的点的位置的方法,并与其他9种坐标系的进行转换；
数学家们认为极坐标有着很大的作用，并实现了它与其他坐标系的转换，现在我们也学习了两种坐标系，那我们也来转换一下看看。
设计意图：通过数学史使学生进一步认识极坐标系的来源，并过渡至坐标系的转换。
五、极坐标与平面直角坐标的转换
过渡：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？
原点与极点重合，极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度。
牛顿也是这样想的，具体来试一下；
试一试：试将刚才所描述的台风中心的极坐标5(800,)3
π化成直角坐标 55800cos ,800sin 33
x y ππ=⨯=⨯（板书） 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之
间的关系？
cos ,sin x y ρθρθ== ，222,tan (0)y x y x x
ρθ=+=≠（板书） 你能联想到过去所学的哪个知识？——————任意角的三角函数的定义
研究:如左图 ,假设当距离台风中心700公里时应当发布台风蓝色警报，问福州
4(200,)3
π是否已发布台风蓝色警报? 分析：本质是根据极坐标研究两点的距离。
解：根据图象：福州距离台风中心的距离为（板书）
228002002200800cos
3d π=+-⨯⨯⨯1006441610052700=⨯+-=>
所以还未发布橙色警报。
通过刚才这个例子我们是否可以猜测： 1122(,),(,),||A B AB ρθρθ=已知点则221212122cos()ρρρρθθ+--？！
能否证明？（转化为平面直角坐标）（板书）
互化公式把两个坐标系紧密地联系在一起。
设计意图：引导学生了解极坐标的转换并记忆互化公式。
极坐标与平面直角坐标的联系。
六、定位思想和极坐标的提升
最后我们再来看这张卫星云图，大家看到这个云图，试想如果一个
物体被台风卷了进去后，它可能会做什么样的运动？
研究：理想化条件下：
物体绕台风中心逆时针旋转，角速度12
π弧度/小时，离台风中心的距
离以5公里/小时速度减小，到中心后停止，台风中心不动，在离台风中心100公里A处放飞一物体M，求t 个小时后物体的位移？
分析：关键是确定t个小时后物体的位置，哪种定位方式能更好确定位置呢？
结论：通过这个例子我们发现，在研究某些问题时，用极坐标系会更加方便。
设计意图：极坐标系引入的必要性，及定位思想的提升，带着问题下课。
七、总结
1.极坐标的定位思想和极坐标系
2.极坐标与平面直角坐标系的转换
3.极坐标系下的两点距离公式
板书设计：。