2013版高三(理)一轮复习 2.2 函数的单调性与最值

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.关于函数y ＝－3x

的单调性的叙述正确的是( ) (A)在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的

(B)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增

(C)在[0，＋∞)上递增

(D)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的

2.(2012·厦门模拟)函数f(x)＝2x 2

－mx ＋2当x∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是( )

(A)(－∞，＋∞) (B)[8，＋∞)

(C)(－∞，－8] (D)(－∞，8]

3.若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等

于( )

(A)13 (B) 2 (C)22

(D)2 4.函数f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )

(A)(－∞，32] (B)[32

，＋∞) (C)(－1，32] (D)[32

，4) 5.(2012·杭州模拟)定义在R 上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则( )

(A)f(－1)f(3)

(C)f(－1)＝f(3) (D)f(0)＝f(3)

6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在

[a ，b]上有( )

(A)最小值f(a) (B)最大值f(b)

(C)最小值f(b) (D)最大值f(a ＋b 2

) 二、填空题(每小题6分，共18分)

7.如果二次函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在区间(12

，1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是 .

8.(预测题)已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ .

9.(2012·深圳模拟)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x<0)(a －3)x ＋4a (x≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2

<0成立，则a 的取值范围是 .

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)＝|x|x ＋2

， (1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并加以证明；

(2)求函数f(x)的值域.

11.(易错题)函数f(x)＝x 2＋x －14

. (1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；

(2)若f(x)的值域为[－12，116

]，且定义域为[a ，b]，求b －a 的最大值. 【探究创新】

(16分)定义：已知函数f(x)在[m ，n](m

(1)判断函数f(x)＝x 2

－2x ＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由.

(2)若f(x)＝x 2－ax ＋2在[a ，a ＋1]上具有“DK”性质，求a 的取值范围.

答案解析

1. 【解析】选D.由于函数y ＝1x

在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x

在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.

2.【解析】选C.由已知得m 4

≤－2，解得：m ≤－8. 3.【解析】选D.当0

当a>1时，f(x)在[0,1]上为增函数，由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 1＝0log a 2＝1，得a ＝2，综上知a ＝2.

4.【解题指南】本题为求复合函数单调区间问题，需先求定义域，再在定义域内判断t ＝4＋3x －x 2

的单调性，从而根据“同增异减”求解.

【解析】选D.要使函数有意义需4＋3x －x 2>0，

解得－1

∴定义域为(－1,4).

令t ＝4＋3x －x 2＝－(x －32)2＋254

. 则t 在(－1，32]上递增，在[32

，4)上递减， 又y ＝lnt 在(0，254

]上递增， ∴f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为[32

，4). 5.【解析】选A.因为f(x ＋2)的图象关于x ＝0对称，所以f(x)的图象关于x ＝2对称，又f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，则其在(2，＋∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.

由图象知，f(－1)

【方法技巧】比较函数值大小常用的方法

(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.

(2)利用数形结合法比较.

(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.

6.【解题指南】先探究f(x)在[a ，b]上的单调性，再判断最值情况.

【解析】选C.设x 1

由已知得f(x 1)＝f[(x 1－x 2)＋x 2]＝f(x 1－x 2)＋f(x 2).

又x 1－x 2<0，∴f(x 1－x 2)>0.∴f(x 1)> f(x 2).

即f(x)在R 上为减函数.

∴f(x)在[a ，b]上亦为减函数.∴f(x)min ＝f(b)，

f(x)max ＝f(a)，故选C.

7.【解析】f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在(a －12，＋∞)上递增，由已知条件得a －12≤12

，则a ≤2，f(2)＝11－2a ≥7.

答案：[7，＋∞)

8.【解析】∵f(x)是奇函数，

∴f(x －4)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(－x －4)，

∴f(x)的图象关于x ＝－2对称.

又f(x)在区间[0,2]上是增函数，

∴f(x)在区间[－2,0]上是增函数.

又f(x)＝m(m>0)在区间 [－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则数形结合知 ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.

答案：－8

9.【解析】由已知x 1≠x 2，都有f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2

<0，知f(x)在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧ 0

a －3＜0

，

解得0

. 答案：(0，14

] 10.【解析】(1)当x>0时，f(x)＝|x|x ＋2＝x ＋2－2x ＋2

＝1－2x ＋2

. 设0

， 由0

因此f(x)在(0，＋∞)上递增.