高中数学3_3双曲线第2课时同步精练北师大版选修2-11
高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程 知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.2 双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x 2－y 23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则|AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ， 由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19 B ．14 C.13D ．12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)． 答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又b a ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y 243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±ba x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.①x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直x 轴时，|PQ |2>24， 所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修21
3.2 双曲线的简单性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a ，0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的半实轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x.(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B .53C ．2D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋1213．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2，求双曲线的方程．3．2 双曲线的简单性质知识梳理作业设计1．B [∵e＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B .]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x.]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c－a ，即2a≥3c－3a ，即5a≥3c，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a>b ，∴a＝3，b ＝2.∴c＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y216＝1(x>3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y216＝1(x>3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP|＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP|＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP|·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y224＝1.11．(1)解 ∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6. 12.D [设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac.∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D .]13．解 设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.∵|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca＝2.由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c. 由余弦定理得(2c)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)．∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又∵S△PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线方程为x 24－y212＝1.。
高中数学 课时跟踪训练(九)双曲线及其标准方程 北师大版选修11
课时跟踪训练(九) 双曲线及其标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 3．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的 一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____________． 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝b ax 上，则C 的方程为 ________________________________________________________________________．7．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．答 案1．选D 设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.2．选A ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 3．选A ∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线， 而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2. 4．选B 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又∵|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0. ∴三角形PF 1F 2为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.5．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．解析：点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，则1＝2b a，a ＝2b ①. 双曲线的焦距为10，则有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. 答案：x 220－y 25＝1 7．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. 8．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。
高中数学3.3双曲线第2课时同步精练北师大版选修2-1
高中数学 3.3 双曲线第2课时同步精练 北师大版选修2-11．双曲线2x 2－y 2＝8实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42 2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)渐近线方程3x ±2y ＝0，那么a值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．中心在原点，焦点在x 轴上双曲线一条渐近线经过点(4，－2)，那么它离心率为( )A . 6 B. 5C.62D.524．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线右焦点为圆C 圆心，那么该双曲线方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝15．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点．假设|PF 1|＝3，那么|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．96．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左、右焦点．假设在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1距离等于双曲线实轴长，那么该双曲线渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝07．双曲线中心在原点，一个顶点坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，那么双曲线标准方程是__________．8．假设双曲线渐近线方程为y ＝±3x ，它一个焦点是(10，0)，那么双曲线方程是__________．9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1焦点一样，那么双曲线焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．10．求适合以下条件双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)双曲线方程．11．设双曲线y 2a 2－x 23＝1焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线渐近线l 1，l 2方程；(2)设A ，B 分别为l 1，l 2上动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 中点M 轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．12．过双曲线x 23－y 26＝1右焦点F 2且倾斜角为30°直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |； (2)求△AOB 面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.参考答案1. 解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a＝4，应选C.答案：C2. 解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1渐近线方程为3x ±ay ＝0，与方程比拟系数得a ＝2.答案：C3. 解析：b a ＝24＝12＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴e ＝52. 答案：D4. 解析：圆心坐标是(3,0)，圆半径是2，双曲线渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据得3ba 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，那么a2＝5，故所求双曲线方程是x 25－y 24＝1.应选A.答案：A5. 解析：由渐近线方程为y ＝32x ，b ＝3，得a ＝2.由双曲线定义，有||PF 2|－|PF 1||＝4. ∴|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)． 答案：C6. 解析：如下图，由题意得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，|F 2M|=2a.在△PF 2M 中，|PF 2|2=|F 2M|2+|PM|2，而|PM|=12|PF 1|.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=2a+2c ，即|PM|=a+c.∴|PF 2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c 2=a 2+b 2，∴b a=43，∴渐近线方程为y=±43x ，即4x ±3y=0. 答案：C7. 解析：双曲线中心在原点，一个顶点坐标为(3,0)，那么焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4.又c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝5，b ＝4， 所以双曲线标准方程是x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝18. 解析：由题意，得c ＝10＝a 2＋b 2，ba＝3，由此解得b ＝3，a ＝1，故所求双曲线方程是x 2－y 29＝1.答案：x 2－y 29＝19. 解析：椭圆x 225＋y 29＝1焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴双曲线焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，c＝4，e ＝2，∴a ＝2.∴b ＝23.∴渐近线方程为3x ±y ＝0.答案：(±4,0)3x ±y ＝010. 解：(1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意，知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6.∴λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6.∴λ＝－1.∴双曲线方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线双曲线方程为x 22－y 2＝k (k ≠0)．将点M (2，－2)坐标代入，得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.11. 解：(1)由双曲线离心率e ＝a 2＋3a＝2，解得a 2＝1，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1，所以双曲线渐近线方程为x ±3y ＝0.(2)因为|F 1F 2|＝21＋3＝4,2|AB |＝5|F 1F 2|，所以|ABA ，B 分别为l 1，l 2上动点，设A (3y 1，y 1)，B (－3y 2，y 2)，所以|AB |＝3(y 1＋y 2)2＋(y 1－y 2)2＝10①.设AB 中点为M (x ，y )，那么x ＝3(y 1－y 2)2，y ＝y 1＋y 22.所以y 1－y 2＝23x ，y 1＋y 2＝2y .代入①，得12y 2＋43x 2＝100，即x 275＋3y225＝1为中点M 轨迹方程．中点M 轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上椭圆．12．(1)解：由双曲线方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，直线AB 方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －3)，x 23－y26＝1得5x 2＋6x－27＝0，∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43×3625＋1085＝1635. (2)解：直线AB 方程变形为x －3y －3＝0. ∴原点O 到直线AB 距离为d ＝|－3|12＋(－3)2＝32.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235.(3)证明：由题意知，双曲线渐近线为y ＝±2x ，而直线AB 斜率为33＜2，故点A ，B 不可能同在右支上，假设点A 在双曲线左支上，点B 在双曲线右支上，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝23，|BF 1|－|BF 2|＝23，∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.同理，假设点A 在双曲线右支上，点B 在双曲线左支上，同样成立．。
高中数学3.3双曲线第1课时同步精练北师大版选修2-1
高中数学 3.3 双曲线第1课时同步精练 北师大版选修2-11．M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，那么动点P 轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．在双曲线中，c a ＝52，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，那么双曲线方程是( )A .y 24－x 2＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 24＝1D ．y 2－x 24＝13．F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，那么|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．84．圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴交点分别作为双曲线一个焦点与顶点，那么适合上述条件双曲线标准方程为( )A .x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.y 24－x 212＝1D.y 212－x 24＝15．双曲线E 中心为原点，F (3,0)是E 焦点，过F 直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 中点为N (－12，－15)，那么E 方程为( )A .x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝16．假设点O 与点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中心与左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，那么OP ·FP 取值范围为( )A ．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫74，＋∞ 7．给出问题：F 1，F 2是双曲线x 216－y 220＝1焦点，点P 在双曲线上，假设点P 到焦点F 1距离等于9，求点P 到焦点F 2距离．某学生解答如下：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，即|9－|PF 2||＝8，得|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.该学生解答是否正确？假设正确，请将他解题依据填在下面横线上；假设不正确，将正确答案填在下面横线上．________________________________8．F 是双曲线x 24－y 212＝1左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上动点，那么|PF |＋|PA |最小值为__________．9．双曲线x 29－y 216＝1两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，假设PF 1⊥PF 2，那么点P 到x 轴距离为______．10．求与双曲线x 216－y 24＝1共焦点，且过点(32，2)双曲线方程．11.某工程要挖一个横截面为半圆柱形隧道，挖出土只能沿道路AP ，BP 运到P 处 (如下图)，|PA|=100 m ，|PB|=150 m ，∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工．12．设有双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)假设∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2面积；(2)假设∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2面积是多少？假设∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2变化，△F 1MF 2面积将怎样变化吗？试证明你结论．参考答案1. 解析：此题容易犯片面性错误，从而根据双曲线定义得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4恰好等于这两个定点间距离，故其轨迹是一条射线．答案：C2. 解析：椭圆标准方程为x 29＋y 24＝1，故焦点坐标为(±5，0)，∴c ＝ 5.由c a ＝52，得a ＝2，又双曲线中c 2＝a 2＋b 2，那么b 2＝1.答案：B3. 解析：在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.答案：B4. 解析：由题意，知圆C 仅与x 轴有交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0.∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2. ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案：A5. 解析：∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 方程为y ＝x －3.由于双曲线焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么x 2a 2－(x －3)2b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)，∴5a2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 方程为x 24－y 25＝1.答案：B6. 解析：如下图，由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )(x ≥3)， 那么OP ·FP ＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，那么g (x )在[3，＋∞)上是增加，g (x )min ＝g (3)＝3＋23，∴OP ·FP 取值范围为[3＋23，＋∞)．答案：B7. 解析：在双曲线定义中，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，正负号取舍取决于P 点位置是在左支上还是在右支上．因右顶点到左焦点距离为10＞9，所以点P 只能在双曲线左支上．答案：|PF 2|＝178. 解析：设双曲线右焦点为F 1，那么由双曲线定义，知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，故|PF |＋|PA |＝4＋|PF 1|＋|PA |，当|PF 1|＋|PA |最小时，|PF |＋|PA |最小．当点A ，P ，F 1共线时，|PF 1|＋|PA |最小，最小值为|AF 1|＝5，故所求最小值为9.答案：99. 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .①当m ＞n 时，由x 29－y 216＝1，知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝6.∵PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， 即m 2＋n 2＝(2c )2＝100.由m －n ＝6，得m 2＋n 2－2mn ＝36， ∴2mn ＝m 2＋n 2－36＝64.∴mn ＝32. 设点P 到x 轴距离为d ，那么S △PF 1F 2＝12d |F 1F 2|＝12|PF 1||PF 2|，即12d ·2c ＝12mn . ∴d ＝mn 2c ＝3210＝165，即点P 到x 轴距离为165.②当m ＜n 时，同理可得点P 到x 轴距离为165.答案：16510. 解：由于所求双曲线与双曲线共焦点，从而可设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1.由于点(32，2)在所求双曲线上， 从而有1816－k －44＋k＝1.整理，得k 2＋10k －56＝0，∴k ＝4或k ＝－14. 又16－k ＞0,4＋k ＞0，∴－4＜k ＜16. 从而得k ＝4.故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.11. 解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以AB 垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设M 是分界限上点，那么有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界限是以A，B为焦点双曲线右支．在△APB中，由余弦定理，得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.从而a=25，c2==4 375，所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界限方程为=1(x≥25)．于是运土时，将此双曲线左侧土沿AP运到P处，右侧土沿BP 运到P处最省工．12.解：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1＞r2)，θ＝∠F1MF2，∵S△F1MF2＝12r1r2sin θ，∴只要求r1r2即可，因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.(2)假设∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos 120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，∴r1r2＝12，求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可求得假设∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由以上结果可见，随着∠F 1MF 2增大，△F 1MF 2面积将减小． 证明如下：S △F 1MF 2＝12r 1·r 2sin θ.由双曲线定义及余弦定理，有⎩⎪⎨⎪⎧(r 1－r 2)2＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1·r 2cos θ＝4c 2. ②②－①得r 1·r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，∴S △F 1MF 2＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2cot θ2.∵0＜θ＜π，0＜θ2＜π2，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2内，cot θ2是减函数．因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2cot θ2减小．。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程课后演练提升北师大版选修2_11
2016-2017 学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程双曲线及其标准方程课后操练提高北师大版选修 2-1一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分 )1．已知平面上定点F 、 F 及动点 M ，命题甲： || MF | － | MF || ＝2a ( a 为常数 ) ，命题乙：1212M 点的轨迹是以 F 1、 F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充足条件B ．必需条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件分析： 依据双曲线的定义：乙 ? 甲，但甲 ? / 乙，只有当 2 ＜|1 2|且≠0时，其轨a F Fa迹才是双曲线．答案：Bx 2y 22．已知双曲线上一点 P 到双曲线的一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点－ ＝ 19 16的距离为 ()A ． 3B ． 5C ． 6x 2 y 2D ． 92分析： 由 9 － 16＝ 1 得 a ＝ 9，∴ a ＝ 3，依据双曲线定义 | d －3| ＝ 2a ＝ 6，∴ d ＝ 9 或 d ＝－ 3( 舍) ．答案： D33．已知椭圆C 1 的离心率为，焦点在 x 轴上且长轴长为 10，若曲线 C 2 上的点到椭圆C 15的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线 C 2 的标准方程为 ()x 2y 2x 2y 2A. 4－ 5＝1B. 5－4＝1x2y2x2y2C. 52－ 42＝ 1D. 42－52＝1分析：由题意知椭圆 1，(3,0) 2x 2 y 2C 的两个焦点为 ( － 3,0) ．设曲线 C 的标准方程为 a 2－ b 2＝1( a >0， b >0) ，则有 a 2＋ b 2＝9，且 2a ＝ 4. ∴ a 2＝ 4， b 2＝ 5，应选 A.答案： A x2y24． k ＞ 9 是方程 ＝1 表示双曲线的 ( )9－ k ＋k － 4 A ．充要条件 B ．充足不用要条件C ．必需不充足条件D ．既不充足又不用要条件分析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9 － k )( k － 4) ＜ 0，即 k ＞9 或 k ＜ 4，故 k ＞9是原方程表示双曲线的充足不用要条件．答案： B二、填空题 ( 每题 5 分，共 10 分 )5．若双曲线 8kx 2－ ky 2 ＝8 的一个焦点为 (0,3) ，则 k ＝ ________. 分析：y2x2＝1，依题意，双曲线方程可化为－81－ k －k8 1所以－ k －k ＝ 9，解得 k ＝－ 1.答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过 F 1 的弦 AB 的长为 5，若 2a ＝ 8，那么△ ABF 2 的周长是 ________．分析： 由双曲线的定义| AF 2| － | AF 1| ＝2a ， | BF 2| － | BF 1| ＝ 2a ，∴ | AF 2| ＋ | BF 2| － | AB | ＝4a ， ∴△ ABF 2 的周长为 4a ＋2| AB | ＝ 26. 答案： 26三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．分别求切合以下条件的双曲线的标准方程． (1) 一个焦点坐标为 F 1(0 ，－ 13) ，双曲线上一点 P 到两焦点距离之差的绝对值为24；x2y2(2) 求与椭圆 25＋ 5 ＝ 1 共焦点且过点 (3 2， 2 2) 的双曲线的方程．分析：(1) 由题意，双曲线的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y2x2a 2－2＝ 1.b∵ 2a ＝ 24，∴ a ＝ 12.∵一个焦点坐标为 F 1(0 ，－ 13) ，∴ c ＝ 13，∴ b 2＝ c 2－ a 2＝ 25.∴双曲线的方程为y 2x 2144－ ＝1.x2y225(2) 椭圆 25＋ 5＝1 的焦点为 (25，0) ，( －25，0) ，x2y2设双曲线的方程为 a 2－ b 2＝ 1，则 a 2＋ b 2＝ 20. ①又∵过点 (32， 2 2) ，18 8∴ a 2 － b 2＝ 1. ②由①②，得 a 2＝ 10，b 2 ＝10x 2 y 2∴双曲线方程为 10－10＝ 1.x 2y 2x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的8．过双曲线－ ＝ 1 的一个焦点作144 25距离．x 2y 2分析：∵双曲线方程为 144－ 25＝ 1，∴ c ＝ 144＋ 25＝13，于是焦点坐标为 F 1( －13,0) 、F 2(13,0) ， 设过点 F 1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于A ( － 13， y )( y ＞ 0) ，y 2 132 25∴25＝144－1＝144，25 25∴ y ＝ 12，即 | AF 1| ＝ 12.又∵ | AF 2| －| AF 1| ＝ 2a ＝24，25 313 ∴ | AF 2| ＝ 24＋ | AF 1| ＝ 24＋ 12＝ 12 .25 313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为和.1212尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 在△ABC中，已知 | AB| ＝ 4 2，且三内角A，B，C知足 2sin A＋ sin C＝ 2sin B，成立适合的坐标系，求极点 C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．分析：如下图，以 AB所在直线为 x 轴，以 AB的垂直均分线为y 轴，成立平面直角坐标系，则 A(－22， 0) ，B(22，0)．由正弦定理得sin＝|CB|，2R| CA|| AB|sin B＝2R， sin C＝2R.∵ 2sin A＋sin C＝2sin B，∴2| CB|＋ | AB|＝ 2| CA|.1进而有 | CA| － | CB| ＝2| AB| ＝ 22<| AB| ，由双曲线定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a＝2， c＝2 2，∴ b2＝ c2－ a2＝6，x2y2∴极点 C的轨迹方程为 2 －6＝1(x> 2)，故点 C的轨迹为双曲线的右支且除掉点(2， 0) ．。
高中数学 第2章 双曲线及其标准方程同步练习 北师大版选修11
高中数学 第2章 双曲线及其标准方程同步练习 北师大版选修11一,选择题:1、已知F 1,F 2为定点，)0(,2||||||21>=-a a PF PF ，则动点A 的轨迹是[]A.焦点为F 1，F 2的双曲线B.不存在C.以F 1，F 2为端点且方向相反且无公共点的两条直线D.以上都有可能 2、在双曲线的标准方程中，已知a=6,b=8.则其方程是[]A.1643622=-y x B.1366422=-y x C.1643622=-x y D.1643622=-y x 或1643622=-x y 3、已知方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是[]A.-1<k<1B.k>0C.k ≥0D.k>1或k<-1 4、双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是[] A.4B.22C.8D.与m 有关 5、方程6)4()4(2222=++-+-y x y x ，化简结果是[]A.17922=-y xB.17922=-y x (x ≥3)C.17922=-y x (x ≤-3)D.192522=-y x 6、焦点分别是(0,-2),(0,2),且经过点P(-3,2)的双曲线的标准方程是[]A.1322=-y x B.1322=-x y C.1322=-x y D.12222=-y x 7、若P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线192522=-y x 上的一点，且|PF 1|=12，则|PF 2|= []A.2或22B.3C.4D.5 8、在方程mx 2-my 2=n 中，若mn<0，则方程的曲线是[]A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的双曲线C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线二、填空题9、双曲线1422=-y k x 的焦点坐标为 。
10、若方程14922=---k y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 。
高中数学 3.3 第2课时 双曲线的简单性质基础达标 北师大版选修21
高中数学 3.3 第2课时 双曲线的简单性质基础达标北师大版选修211．下列曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1[答案] B[解析] 双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，得b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B.2．(2013·北京文，7)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[答案] C[解析] 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 [答案] A[解析] 本题考查双曲线标准方程的求法． 由题意知，焦距为10，∴c ＝5， 又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5，故双曲线方程x 220－y 25＝1，注意焦距为2c 而不是c ，双曲线的渐近线方程的求法．二、填空题4．若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.[答案] 48[解析] 本题主要考查双曲线的基本性质．c 2＝a 2＋b 2＝16＋m ，又∵e ＝ca，∴e ＝2＝16＋m4，∴m ＝48. 5．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．[答案]62[解析] 如图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∴∠B 1F 1O ＝30°.在△B 1OF 1中，b c＝tan30°， ∴b c ＝33. ∴c 2－a 2c 2＝13.∴1－a 2c 2＝13，∴a 2c 2＝23.∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.三、解答题6．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，求C 的离心率．[解析] 本题考查双曲线的几何性质．F 1(－c,0)，B (0，b )．∴k ＝b c ，那直线F 1B 方程为y ＝b cx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b y ＝－ba x，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b y ＝ba x得P 点坐标(－ac c ＋a ，bcc ＋a)．Q 点坐标为(ac c －a ，bc c －a )，中点N 的坐标为(a 2c b 2，c 2b )，∴MN 的直线方程为y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb 2)．令y ＝0，∴x ＝a 2c ＋cb 2b 2，又由|MF 2|＝|F 1F 2|知a 2c ＋b 2cb 2＝3c .∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＋1＝e 2＝32.∴e ＝62.一、选择题1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D ．14[答案] A[解析] 双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1，则有：a 2＝1，b 2＝－1m，由题设条件知，2＝－1m ，∴m ＝－14. 2．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则这个双曲线的离心率是( )A ．52B ．32C ． 3D ． 5[答案] D[解析] 由2x ＋y ＋1＝0，知此直线的斜率k 1＝－2，则给定的双曲线的一条渐近线的斜率为k 2＝12.而双曲线的一条渐近线为y ＝kx ，则k ＝14，∴e ＝ca＝1＋1k1k＝5，故选D.3．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A ．53B ．56C ．54D ．58[答案] B[解析] 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56，选B. 4．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程y ＝x ，得b ＝2，把点P (3，y 0)代入x 22－y 22＝1中，得y 0＝±1.不妨取P (3，1)，∵F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝3－4＋1＝0.5．(2014·山东理)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0[答案] A[解析] e 21＝c 21a 2＝a 2－b 2a 2，e 22＝c 22a 2＝a 2＋b 2a2，∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－(b a )4＝34，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 二、填空题6．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．[答案] 1[解析] 双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b 2x ，又渐近线方程为y ＝±12x ，故b ＝1.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．[答案] (1，2＋1) [解析] 考查双曲线的性质．不妨设P 为双曲线右支上一点，由正弦定理可得 sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝PF 2PF 1＝a c ，∴PF 1PF 2＝e ，故PF 1－PF 2PF 2＝2aPF 2＝e －1， 而PF 2＝2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，∴e <2＋1， 又∵e >1，∴1<e <2＋1. 三、解答题8．已知等轴双曲线x 2－y 2＝a 2及其上一点P ，求证：(1)P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方； (2)过P 作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值． [解析] (1)设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝a 2， 又F 1(－2a,0)、F 2(2a,0)， ∴|PF 1||PF 2| ＝x 0＋2a2＋y 20·x 0－2a2＋y 2＝2x 20＋a 2＋22ax 0·2x 20＋a 2－22ax 0 ＝|2x 0＋a ||2x 0－a |＝|2x 20－a 2| ＝|x 20＋y 20|＝|PO |2.(2)设垂足分别为Q 、R ，则由点到直线距离公式知 |PQ |＝|x 0－y 0|2，|PR |＝|x 0＋y 0|2，∴S PQOR ＝|PQ ||PR |＝12|x 20－y 20|＝12a 2(定值)．[点评] 证定值问题亦可从特殊值出发找出定值，然后再进行论证．9．(2012·上海文，22)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .[解析] (1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F (－62，0)．设M (x ，y )，则|MF |2＝(x ＋62)2＋y 2＝(3x ＋22)2， 由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，解得x ＝62，所以M (62，±2)．(2)左顶点A (－22，0)，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2(x ＋22)，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1 (*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k2，x 1x 2＝－1－b22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝1＋k2－1－b22－k2＋2k 2b 22－k2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .10．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24. ①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2， 化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.。
高中数学 331双曲线及其标准方程同步练习 北师大版选修21.doc
2. 3.1《双曲线及其标准方程》同步练习X V1•双曲线一一才=1的一个焦点是(0,2),则实数刃的值是()m 3/77A. 1 B・—1 C.—华D•导0 02.与椭圆Y+/=1共焦点且过点卩(2, 1)的双曲线方程是()x 2x 2x y 2 yA.—-y = 1B.——y = 1 D. x~—=l2 23.已知凡尺是双曲线二-L = 1(e?>0, b> 0)的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上,a" b~0为坐标原点，若△PO"是面积为1的正三角形，则〃的值是___________ .2 2X V4.己知用、尺分别是双曲线了一声=1 (臼>0,方>0)的左、右两焦点，过月作垂直于x轴的胃线，在第一象限交双曲线于点只若Z PF、FM ,求双曲线的渐近线方程.5.已知三点P (5, 2) , Fi (-6, 0) , F2 (6, 0)(1)求以冉，F2为焦点且过点P的椭圆方程；(2)设点P, Fi, F2关于y=x的对称点分别为P‘ , F.i , F：,求以F； , F2'为焦点且过点P' 的双曲线的标准方程.2 26.双曲线「与椭圆专+秸=1有相同焦点，且经过点(、卮4).(1)求双曲线C、的方程；(1)椭圆的焦点为£(0, -3),尺(0,3).Q 57.点爪x, y)到定点H5, 0)距离和它到定直线7：的距离的比是q.求点必的轨迹方稈.参考答案y1.B【解析】由焦点坐标知，焦点在卩轴上，/XO, A双曲线的标准方程为亠丁一一=1,—o/77 —m —in~3ZZT=4,m=— 1 .22.B【解析】椭圆的焦点坐标为（土萌，0）,四个选项屮，只有寺一/=1的焦点为（土萌，0）,且经过点"（2,1）・故选B3.^2【解析】数形结合.4・y二土屈【解析】联想双曲线定义并解育角三角形.。
2 。
25.解：用椭圆定义得椭圆方程为—+ —= 1；用双曲线定义得双曲线方程为—=1 .45 9 20 166.解：设双曲线的方程为4—卜1,则孑+力2=32=9.①a力又双曲线经过点師，4）,所以书一齐1,②解①②得才=4, 〃 = 5或/ = 36, 〃=—27（舍去），2 2 所以所求双曲线C的方程为冷一二=1 .4 □f___________ 97 .解：根据题意得MF\ =yj 5 2+#,点必到育线/的距离宀x--,依题意，有N 9弋卩=寸,去分母，得3yJ X—5 2+b=|5x—9，平方整理得彳"~5 °2—話=1,即为点％的轨迹方程.。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线(2)教案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-
双曲线的简单性质
【教学目标】
1、掌握双曲线的简单的几何性质。
2、了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会用几何性质求双曲线的标准方程。
【教学过程】
一、双曲线的几何性质
1、填表
2、思考：双曲线的顶点有几个，其坐标是什么？
3、思考：椭圆与双曲线的离心率都是e,其X围相同吗？分别是什么？
二、双曲线的渐近线与等轴双曲线
1、在双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，也可以将这两条渐近线方程写为
2、在方程122
22=-b
y a x 中，如果b a =，那么双曲线的方程为222a y x =-，它的实轴和虚轴长都等于a 2，此时渐近线方程为，它们相互，并且双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫做。
3、思考焦点在y 上的双曲线122
22=-b
y a x 其渐近线方程是什么？
4、等轴双曲线的离心率是多少？
5、例1：求双曲线1441692
2=-x y 的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
6、例2：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其 实轴长是虚轴长的2倍，且双曲线过点（1,52）。
过该双曲线的右焦点2F 的直线l 交双曲线右支于A 、B 两点，AB =4。
（1）求此双曲线的方程
（2）设双曲线的左焦点为1F ,求△1ABF 的周长。
【知识梳理】
【典型例题】。
高中数学：3.3.2双曲线的简单性质 课时训练 (北师大选修2-1)
3.3。
2双曲线的简单性质一、选择题1．双曲线221102x y -=的焦距为()A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则 m =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 4．与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ )A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x y D ．116922=-y x二、填空题(本大题共2小题，把答案填在题中的横线上）5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．6．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则24t <<;②若曲线C 为双曲线,则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。
以上命题正确的是 .（填上所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共2小题,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)7.已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分）8。
已知曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率3e =,直线l 过A (a ，0）、B (0,)b -两点，原点O 到l 的距离是2。
(1）求双曲线的方程；（2）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=⋅ON OM ,求直线m 的方程。
2021-2022年高中数学 3.3.1双曲线的标准方程课时训练 北师大选修2-1
2021-2022年高中数学 3.3.1双曲线的标准方程课时训练北师大选修2-1一. 选择题：1. 方程表示双曲线，则（）A.（5，10）B.（）C.（10，）D.2. 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线经过点A及点B（），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.3. 若方程表示双曲线，则它的焦点坐标为（）A. B.C. D. 根据的取值而定4. 已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为（）A. B. C. D.5. 双曲线上点P到左焦点的距离为6，则这样的点P的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 、为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积是（）A. 2B. 4C. 8D. 167. 已知双曲线的焦距为26，且，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D. 或8. 已知中，B、C是两个定点，并且，则顶点A的轨迹方程是（）A. 双曲线B. 椭圆C. 双曲线的一部分D. 椭圆的一部分二. 填空题：1. P是双曲线的左支上一点，、分别是左、右焦点，则=。
2. 若双曲线经过两点A（）、B（），则此双曲线的方程为。
3. 已知双曲线的两个焦点为分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足，则的面积是。
4. 过点P（8，1）的直线与双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB 的方程为。
三. 解答题：1. 过双曲线的一个焦点作轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
2. 一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程。
3. 在中，已知，当动点M 满足条件时，求动点M 的轨迹方程。
一.1. A 2. D 3. D 4. B 5. C 6. B 7. D 8. C二. 1. 2. 3. 1 4.三. 1. 解：∵ 双曲线方程为 ∴于是焦点坐标为、，设过点且垂直于轴的直线交双曲线于（） ∴ ∴ ，即又 ∵ ∴ 12313122524||24||12=+=+=AF AF 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或。
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高中数学 3.3 双曲线第2课时同步精练 北师大版选修2-11．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A . 6 B. 5 C.62D.524．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．96．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝07．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是__________．8．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是__________．9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．10．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．11．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)设A ，B 分别为l 1，l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．12．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.参考答案1. 解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4，故选C.答案：C2. 解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.答案：C3. 解析：b a ＝24＝12＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴e ＝52. 答案：D4. 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3ba 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.故选A.答案：A5. 解析：由渐近线的方程为y ＝32x ，b ＝3，得a ＝2.由双曲线的定义，有||PF 2|－|PF 1||＝4. ∴|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)． 答案：C6. 解析：如图所示，由题意得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，|F 2M|=2a.在△PF 2M 中，|PF 2|2=|F 2M|2+|PM|2，而|PM|=12|PF 1|.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=2a+2c ，即|PM|=a+c.∴|PF 2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c 2=a 2+b 2，∴b a =43， ∴渐近线方程为y=±43x ，即4x ±3y=0. 答案：C7. 解析：双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4.又c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝5，b ＝4， 所以双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝18. 解析：由题意，得c ＝10＝a 2＋b 2，b a＝3， 由此解得b ＝3，a ＝1，故所求双曲线的方程是x 2－y 29＝1.答案：x 2－y 29＝19. 解析：椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，c ＝4，e ＝2，∴a ＝2.∴b＝23.∴渐近线方程为3x ±y ＝0.答案：(±4,0)3x ±y ＝010. 解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意，知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6.∴λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6.∴λ＝－1.∴双曲线的方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k (k ≠0)．将点M (2，－2)的坐标代入，得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.11. 解：(1)由双曲线的离心率e ＝a 2＋3a ＝2，解得a 2＝1，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1，所以双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0.(2)因为|F 1F 2|＝21＋3＝4,2|AB |＝5|F 1F 2|，所以|AB |＝10.又因为A ，B 分别为l 1，l 2上的动点，设A (3y 1，y 1)，B (－3y 2，y 2)，所以|AB |＝3(y 1＋y 2)2＋(y 1－y 2)2＝10①.设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝3(y 1－y 2)2，y ＝y 1＋y 22.所以y 1－y 2＝23x ，y 1＋y 2＝2y . 代入①，得12y 2＋43x 2＝100，即x 275＋3y225＝1为中点M 的轨迹方程．中点M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．12．(1)解：由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －3)，x 23－y 26＝1得5x 2＋6x －27＝0，∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43×3625＋1085＝1635. (2)解：直线AB 的方程变形为x －3y －3＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－3|12＋(－3)2＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235.(3)证明：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±2x ，而直线AB 的斜率为33＜2，故点A ，B 不可能同在右支上，假设点A 在双曲线左支上，点B 在双曲线右支上，由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝23，|BF 1|－|BF 2|＝23，∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|. 同理，若点A 在双曲线右支上，点B 在双曲线左支上，同样成立．。