七年级数学上册第二章有理数2.4绝对值与相反数典型例题绝对值素材苏科版课件
2-4 绝对值与相反数(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版)
第2章 有理数2.4 绝对值与相反数 课程标准 课标解读 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 1、相反数和绝对值的表示方法 2、数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质知识点01 相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．【微点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．【即学即练1】1．3-的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】C【分析】目标导航知识精讲依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．知识点02 多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．【微点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【即学即练2】2．在下列各数：13⎛⎫--⎪⎝⎭，36-，227，0，－（＋3），－|－2015|中，负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】先化简各数，再与0比较即可．【详解】解：：11=033⎛⎫-->⎪⎝⎭，－（＋3）=-3<0，－|－2015|=-2015<0，负数有36-，－（＋3），－|－2015|，负数的个数是3．故选择：C．知识点03 绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【微点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．【即学即练3】3．已知关于x 的方程mx |m |+1＝0是一元一次方程，则m 的取值是（ ）A ．±1B ．﹣1C ．1D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m|=1，求出m 即可．【详解】解：∵关于x 的方程mx |m|+1＝0是一元一次方程，∵m≠0且|m|＝1，解得：m ＝±1，故选：A ． 知识点04 有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩－数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于03． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【微点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．【即学即练4】4．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．2-B ．4-C ．(1)--D ．0【答案】A【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．【详解】解：∵()44,11-=--=，∵()4102->-->>-，∵最小的数是-2；故选A ．考法01 化简绝对值1、根据题设条件只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2、借助数轴 能力拓展①零点的左边都是负数，右边都是正数．②右边点表示的数总大于左边点表示的数．③离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法①求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．②分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．③在各区段内分别考察问题．④将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．【典例1】a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）∵0ab >； ∵c a b -<<-； ∵11a b >； ∵b b =-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【分析】根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出b ＜c ＜0＜a ，b a c >>，再分别判断各式．【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得b ＜c ＜0＜a ，b a c >>．∵∵0ab <，故错误；∵c a b -<<-，故正确； ∵11a b>，故正确； ∵b b =-，故正确；考法02 绝对值的意义一.绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
【初中数学++】+绝对值与相反数+课件+苏科版数学七年级上册
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知2－练
方法点拨
求一个数的相反数的方法：
(1)求一个具体数的相反数时，改变这个数的符号，
其他部分不变，即可得到；
(2)求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这
个字母或式子的整体前面加上“－”号.
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知识点 3 绝对值的代数意义
知3－讲
1. 性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相
互为相反数的两个数绝对值相等.
也可以表示为：|－a|＝|a|.1)若a与b互为相反数，则a＝－b；
(2)若a＝－b，则a与b互为相反数.
3. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面
加上“－”号，即a的相反数是－a，其实质是改变这个
数的符号.
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知2－练
知1－练
如图2.3-2，数轴上与原点的距离是2的点有2个，它们是点
A和点B. 分别表示2，－2 .
所以绝对值是2的数有两个，它们是2，－2，即a＝±2.
答案：D
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知1－练
教你一招
1. 已知一个数的绝对值求这个数，可以根据绝对值的概
念，先利用点与原点的距离，在数轴上分别画出相应
的点，然后读出这个点表示的数；
.
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知1－练
方法点拨
绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，
也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值
符号的数化为不带绝对值符号的数(即去掉绝对值符号).
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知识点 2 相反数
知2－讲
1. 定义 像5与－5 ，2.5与－2.5， 与－ ，…这样只有符
号不同的两个数称为互为相反数，其中一个数叫作另一
七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 绝对值例题与讲解素材 (新版)苏科版
绝对值1．绝对值的概念及表示(1)绝对值的几何意义我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．记作|a |.这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：|10|＝10，|－10|＝10.谈重点 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关．(2)绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数．用字母表示为：若a ＞0，则|a |＝a ；若a ＜0，则|a |＝－a ；若a ＝0，则|a |＝0.也可以归纳如下：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a >0)0(a ＝0)－a (a <0)或|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a ≥0)－a (a <0)从代数角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.【例1】 根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值：－1.6，85，0，－10，＋10，－a (a ＞0)． 分析：85，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值等于其相反数；0的绝对值是0；因为a ＞0，所以－a 是负数，其绝对值等于它的相反数a .解：|－1.6|＝1.6；⎪⎪⎪⎪⎪⎪85＝85；|0|＝0； |－10|＝10；|＋10|＝10；|－a |(a ＞0)＝a .2．绝对值的非负性一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a 取何值，都有|a |≥0.例如|2|＝2，|－2|＝2，|0|＝0.一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0.谈重点数的大小与绝对值大小的关系正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0.【例2】已知|x－4|＋|y－1|＝0，求x，y的值．分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，所以|x－4|≥0，|y－1|≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x，y的值．解：因为|x－4|≥0，|y－1|≥0，又|x－4|＋|y－1|＝0，所以只能|x－4|＝0，|y－1|＝0，即x－4＝0，y－1＝0，因此x＝4，y＝1.析规律非负数的性质(1)若干个非负数的和仍是非负数；(2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0；(3)非负数的最小值是0.3．绝对值的求法(1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可．(2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如|－5|＝－(－5)＝5.解技巧求一个式子的绝对值的方法求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号．【例3】 (1)若a＞3，则|a－3|＝__________；(2)若a＝3，则|a－3|＝__________；(3)若a＜3，则|a－3|＝__________.解析：要想正确地化简|a－3|的结果．关键是确定a－3的符号．当a＞3时，a－3＞0，即a－3为正数，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3；当a＝3时，a－3＝0，所以|a－3|＝|0|＝0；当a＜3时，a－3＜0，即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|＝－(a－3)．答案：(1)a－3 (2)0 (3)－(a－3)解技巧化简含有字母的式子的绝对值的方法化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性，否则会出现错误．4．绝对值的性质(1)任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x |；(2)有理数的绝对值是一个非负数，即|x |≥0，绝对值最小的数是0，且无最大的绝对值；(3)绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0；(4)若两个数绝对值的和等于0，则这两个数分别等于0.即若|a |＋|b |＝0，则a ＝0，b ＝0；(5)已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数．【例4】 如图，点A ，B 在数轴上对应的有理数分别为m ，n ，则A ，B 之间的距离是__________．(用含m ，n 的式子表示)解析：由点A ，B 在数轴上的位置可得，m ＜0，n ＞0，A ，B 间的距离AB ＝|m |＋|n |＝－m ＋n .答案：－m ＋n5．利用数轴求绝对值问题一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作|a |，例如|5|就是5到原点的距离．正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数．总结得到：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0，可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即|a |≥0.绝对值为本身的数是非负数；绝对值最小的数是0.从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的数有两个，如|a |＝2，则a ＝±2.注意：从数轴上正负两个方向考虑．解技巧 利用数轴解决绝对值问题:已知一个数的绝对值求原数时，如果能充分地利用数轴的直观性，能够提高解题的正确性，避免漏解．【例5－1】 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|－b |－|a |的结果是( )．A ．a －bB ．b ＋aC ．b －aD ．－b －a解析：从数轴上可以看出a ＞0，b ＜0，所以－b ＞0，即－b 与a 都是正数，它们的绝对值都等于本身，所以|－b |－|a |＝－b －a .答案：D【例5－2】 已知a ，b ，c 中的a ，b 均为负数，c 为正数，且|b |＞|a |＞|c |，(1)在数轴上表示a ，b ，c 的大致位置；(2)比较a ，b ，c 的大小．分析：(1)a ，b 在原点的左侧，c 在原点的右侧，且b 到原点的距离最大，a 到原点的距离其次，c 到原点的距离最小；(2)在数轴上表示的有理数，右边的数总大于左边的数．解：(1)如图所示．(2)b ＜a ＜c .6.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．谈重点 化简绝对值符号的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．【例6】 化简(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23；(2)＋|－24|； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312；(4)|－(－7.5)|；(5)－|－(－0)|. 分析：先判断数的符号，再求绝对值．解：(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝－23； (2)＋|－24|＝24；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312＝312； (4)|－(－7.5)|＝7.5；(5)－|－(－0)|＝－|0|＝0.7．学习绝对值的五大误区误区一：认为|a |＝a .因为a 可以表示正数、负数、0，由绝对值的意义可知，只有当a ≥0时，|a |＝a 才成立．例如：已知实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简|a|＝a，而|b|＝－b.误区二：误认为|a|＝|b|，则a＝b.事实上，当|a|＝|b|时，可能a＝b，也可能a＝－b.绝对值从几何意义上来讲是表示某数的点与原点的距离，互为相反数的两个数，虽然分布在原点的两边，但离原点的距离相等，所以互为相反数的两个数绝对值是相等的，不能由两数绝对值相等就简单的断定两数相等，还有可能互为相反数．误区三：忽略由绝对值求原数的双值特点．误认为|x|＝a(a≥0)，则x＝a.事实上，当|x|＝a(a≥0)时，x＝±a.误区四：忽略“0”的特殊性．“0的绝对值是0”可以做两种理解，一种是0的绝对值是它本身(和正数的绝对值相同)，另一种是0的绝对值是它的相反数(和负数的绝对值相同)．误区五：计算绝对值，混淆绝对值符号与括号的意义．求多个数的绝对值的四则运算，应按顺序去掉绝对值后再进行运算．解含绝对值与相反数双重运算的计算题，应分清层次按照题意一步一步计算．【例7－1】下面推理正确的是( )．A．若|m|＝|n|，则m＝nB．若|m|＝n，则m＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解析：A中，若|m|＝|n|，则m＝±n；B中，若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中，若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D【例7－2】若m为有理数，且|－m|＝－m，那么m是( )．A．非正数B．非负数C．负数D．不为零的数解析：根据“正数或零”的绝对值等于它本身可知，－m≥0，所以它的相反数m≤0，即非正数．答案：A【例7－3】填空：(1)－(－4)＝__________；(2)－|－4|＝__________；(3)|－18|－|－6|＝__________(4)如果|a|＝|－7|，那么a＝__________.解析：(1)因为－(－4)表示－4的相反数，而－4的相反数是4，所以－(－4)＝4；(2)因为－|－4|表示|－4|的相反数，而|－4|＝4，所以－|－4|＝－4；(3)因为|－18|＝18，|－6|＝6，所以|－18|－|－6|＝18－6＝12；(4)由绝对值的意义可知绝对值是7的数有两个是±7，所以a＝±7.答案：(1)4 (2)－4 (3)12 (4)±7。
2.3.4绝对值与相反数：绝对值的非负性、绝对值的几何意义与最值问题(同步课件)-七年级数学上册
ax
b
当a≤x≤b，|x-a|+|x-b|的最小值是b-a
二、求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值（a<b<c）
a
b
c
x
当x=b，|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值是c-a
03 典例精析
练1、利用数轴，解决下列问题：
(1)|x-3|的最小值是___0___，取得最小值时，x=___3___；
绝对值的几何意义
03 典例精析
例1、两个有理数在数轴上对应的点的距离可以用这两个数的差值的绝对值来
表示：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记为|AB|，
则|AB|=|a-b|=|b-a|。根据以上结论，回答以下问题：
①数轴上表示-7和-2的两个点之间的距离是___5___;
②数轴上表示x和-5的两个点之间的距离用含x的式子表示为_|x_-_(-_5_)_| ;
03 典例精析
练2-1、求当x取何值时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|取最小值。 两两配对
当___1_≤_x_≤_1_0__，|x-1|+|x-10|取最小值___9__； 当___2_≤_x_≤_9___，|x-2|+|x-9|取最小值___7__； 当___3_≤_x_≤_8___，|x-3|+|x-8|取最小值___5__； 当___4_≤_x_≤_7___，|x-4|+|x-7|取最小值___3__； 当___5_≤_x_≤_6___，|x-5|+|x-6|取最小值___1__。 综上，当5≤x≤6时，原式取最小值：9+7+5+3+1=25。
七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 绝对值例题与讲解素材 (新版)苏科版
绝对值1．绝对值的概念及表示 (1)绝对值的几何意义我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．记作|a |.这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：|10|＝10，|－10|＝10.谈重点 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关．(2)绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0； 一个负数的绝对值是它的相反数．用字母表示为：若a ＞0，则|a |＝a ；若a ＜0，则|a |＝－a ；若a ＝0，则|a |＝0.也可以归纳如下：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a >0)0(a ＝0)－a (a <0)或|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)从代数角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.【例1】 根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值： －1.6，85，0，－10，＋10，－a (a ＞0)．分析：85，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值等于其相反数；0的绝对值是0；因为a ＞0，所以－a 是负数，其绝对值等于它的相反数a .解：|－1.6|＝1.6；⎪⎪⎪⎪⎪⎪85＝85；|0|＝0；|－10|＝10；|＋10|＝10；|－a |(a ＞0)＝a . 2．绝对值的非负性一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a 取何值，都有|a |≥0.例如|2|＝2，|－2|＝2，|0|＝0.一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0.谈重点数的大小与绝对值大小的关系正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0.【例2】已知|x－4|＋|y－1|＝0，求x，y的值．分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，所以|x－4|≥0，|y－1|≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x，y的值．解：因为|x－4|≥0，|y－1|≥0，又|x－4|＋|y－1|＝0，所以只能|x－4|＝0，|y－1|＝0，即x－4＝0，y－1＝0，因此x＝4，y＝1.析规律非负数的性质(1)若干个非负数的和仍是非负数；(2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0；(3)非负数的最小值是0.3．绝对值的求法(1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可．(2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如|－5|＝－(－5)＝5.解技巧求一个式子的绝对值的方法求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号．【例3】 (1)若a＞3，则|a－3|＝__________；(2)若a＝3，则|a－3|＝__________；(3)若a＜3，则|a－3|＝__________.解析：要想正确地化简|a－3|的结果．关键是确定a－3的符号．当a＞3时，a－3＞0，即a－3为正数，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3；当a＝3时，a－3＝0，所以|a－3|＝|0|＝0；当a＜3时，a－3＜0，即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|＝－(a－3)．答案：(1)a－3 (2)0 (3)－(a－3)解技巧化简含有字母的式子的绝对值的方法化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性，否则会出现错误．4．绝对值的性质(1)任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x |；(2)有理数的绝对值是一个非负数，即|x |≥0，绝对值最小的数是0，且无最大的绝对值；(3)绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0；(4)若两个数绝对值的和等于0，则这两个数分别等于0.即若|a |＋|b |＝0，则a ＝0，b ＝0；(5)已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数．【例4】 如图，点A ，B 在数轴上对应的有理数分别为m ，n ，则A ，B 之间的距离是__________．(用含m ，n 的式子表示)解析：由点A ，B 在数轴上的位置可得，m ＜0，n ＞0，A ，B 间的距离AB ＝|m |＋|n |＝－m ＋n .答案：－m ＋n5．利用数轴求绝对值问题一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作|a |，例如|5|就是5到原点的距离．正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数． 总结得到：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0，可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即|a |≥0.绝对值为本身的数是非负数；绝对值最小的数是0.从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的数有两个，如|a |＝2，则a ＝±2. 注意：从数轴上正负两个方向考虑．解技巧 利用数轴解决绝对值问题:已知一个数的绝对值求原数时，如果能充分地利用数轴的直观性，能够提高解题的正确性，避免漏解．【例5－1】 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|－b |－|a |的结果是( )．A ．a －bB ．b ＋aC ．b －aD ．－b －a解析：从数轴上可以看出a ＞0，b ＜0，所以－b ＞0，即－b 与a 都是正数，它们的绝对值都等于本身，所以|－b |－|a |＝－b －a .答案：D【例5－2】 已知a ，b ，c 中的a ，b 均为负数，c 为正数，且|b |＞|a |＞|c |， (1)在数轴上表示a ，b ，c 的大致位置； (2)比较a ，b ，c 的大小．分析：(1)a ，b 在原点的左侧，c 在原点的右侧，且b 到原点的距离最大，a 到原点的距离其次，c 到原点的距离最小；(2)在数轴上表示的有理数，右边的数总大于左边的数．解：(1)如图所示．(2)b ＜a ＜c .6.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．谈重点 化简绝对值符号的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．【例6】 化简(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23；(2)＋|－24|；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312；(4)|－(－7.5)|；(5)－|－(－0)|. 分析：先判断数的符号，再求绝对值． 解：(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝－23； (2)＋|－24|＝24；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312＝312； (4)|－(－7.5)|＝7.5； (5)－|－(－0)|＝－|0|＝0.7．学习绝对值的五大误区误区一：认为|a |＝a .因为a 可以表示正数、负数、0，由绝对值的意义可知，只有当a ≥0时，|a |＝a 才成立．例如：已知实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简|a|＝a，而|b|＝－b.误区二：误认为|a|＝|b|，则a＝b.事实上，当|a|＝|b|时，可能a＝b，也可能a＝－b.绝对值从几何意义上来讲是表示某数的点与原点的距离，互为相反数的两个数，虽然分布在原点的两边，但离原点的距离相等，所以互为相反数的两个数绝对值是相等的，不能由两数绝对值相等就简单的断定两数相等，还有可能互为相反数．误区三：忽略由绝对值求原数的双值特点．误认为|x|＝a(a≥0)，则x＝a.事实上，当|x|＝a(a≥0)时，x＝±a.误区四：忽略“0”的特殊性．“0的绝对值是0”可以做两种理解，一种是0的绝对值是它本身(和正数的绝对值相同)，另一种是0的绝对值是它的相反数(和负数的绝对值相同)．误区五：计算绝对值，混淆绝对值符号与括号的意义．求多个数的绝对值的四则运算，应按顺序去掉绝对值后再进行运算．解含绝对值与相反数双重运算的计算题，应分清层次按照题意一步一步计算．【例7－1】下面推理正确的是( )．A．若|m|＝|n|，则m＝nB．若|m|＝n，则m＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解析：A中，若|m|＝|n|，则m＝±n；B中，若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中，若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D【例7－2】若m为有理数，且|－m|＝－m，那么m是( )．A．非正数B．非负数C．负数D．不为零的数解析：根据“正数或零”的绝对值等于它本身可知，－m≥0，所以它的相反数m≤0，即非正数．答案：A【例7－3】填空：(1)－(－4)＝__________；(2)－|－4|＝__________；(3)|－18|－|－6|＝__________(4)如果|a|＝|－7|，那么a＝__________.解析：(1)因为－(－4)表示－4的相反数，而－4的相反数是4，所以－(－4)＝4；(2)因为－|－4|表示|－4|的相反数，而|－4|＝4，所以－|－4|＝－4；(3)因为|－18|＝18，|－6|＝6，所以|－18|－|－6|＝18－6＝12；(4)由绝对值的意义可知绝对值是7的数有两个是±7，所以a＝±7.答案：(1)4 (2)－4 (3)12 (4)±7。
苏科版七年级上册数学 第2章 绝对值与相反数 绝对值——绝对值的定义和性质 授课课件
所以：a＝2 ，b＝1.
感悟新知
总结
知3－讲
若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
感悟新知
知3－练
1 绝对值最小的数是____0____；绝对值最小的负整数 2 是___－__1___．
2如果＋|b－a－11|＝0，那么a＋b＝( )
C
感悟新知
知1－练
1 (中考·连云港)数轴上表示－2的点与原点的距离是 _______2_．
感悟新知
知识点 2 绝对值的求法
知2－讲
1.几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距
离叫做数a的绝对值，记作
a.
2.代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数
的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；任意一个
2
A．B.－C.1D．1 1
3
2
2
2
感悟新知
3 写出下列各式的值，并回答问题．
知3－练
1
15
=
__1_5___，2.5
=
__2_.5__，2 3
=
2 __3___；2－15=___1_5__
，－2.5
=
_2__.5__，－
2
=
2 ___3__
；
3
3由以上可以看出：当a 是正数时，a ___＞___ 0 ；
作业2
1
5
5
2 (中考·东营) 的－相1反数是(
A. B．－1 C．3D．－331
3
3
)B
知2－练
感悟新知
知识点 3 绝对值的性质
想一想： 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
2024秋七年级数学上册第2章有理数2.4绝对值与相反数2相反数说课稿(新版)苏科版
五、教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕“相反数与绝对值”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
重点：
1. 相反数的概念及其运用
2. 绝对值的定义及其性质
难点：
1. 相反数的推导和应用
2. 绝对值在不同情况下的计算方法
解决办法：
1. 对于重点内容，通过具体的例子和练习题，让学生反复练习，巩固概念。
2. 对于难点内容，可以通过分步骤讲解、引导学生自主探究和小组讨论，以动画或实物演示等方式，帮助学生形象理解。同时，设计具有梯度的练习题，让学生在练习中逐步克服困难，掌握知识点。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
作用与目的：
- 帮助学生提前了解“相反数与绝对值”课题，为课堂学习做好准备。
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“相反数与绝对值”课题，激发学生的学习兴趣。
2024秋七年级数学上册 第2章 有理数2.4绝对值与相反数 2相反数说课稿（新版）苏科版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、课程基本信息
1.课程名称：七年级数学上册第2章 有理数2.4绝对值与相反数
苏科版初中七年级数学上册第二章《有理数》课件
6
课堂小结:
谈谈你这一节课有哪些收获.
在小学里，我们会根据直线上的一个点 的位置写出合适的数，也会在直线上画出表示 一个数的点.
－4 －3
3
5
把图中直线上的点所表示的数写在相应 的方框里.
1. 画一条水平直线，并在这条直线上取一 点表示0，我们把这点称为原点.
是负数．
0℃以上的温度用正数表示, 0℃以下的温度用负数表示. 日常 生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示.
例2 （1）如果向北走8km记作＋8km，那 么向南走5km记作什么？ （2）如果粮库运进粮食3t记作＋3t，那么 －4t表示什么？
解: （1）向南走5km记作 －5km． （2）－4 t表示粮库运出粮食4t． 你还能用正数和负数表示生活中其他意义相
分数集合:{
99.9
，
1 3
，+3
1 4
，1.25
，0.01，10%
，5 13
…}
正数集合:{
6
，+3
1 4
，0.01，
67
，5 13
，2009
…}
负数集合:{ 99.9 ， 1 ，-101，1.25，10% ，18 …} 3
练一练
1．把下列各数填入相应的集合内:
5, 7.25, 3 , 0, 12 , 0.32, 1．
2. 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头 表示)，向左为负方向.
3. 取适当长度(如1cm)为单位长度，在直线 上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依 次表示1，2，3……从原点向左每隔一个单位长 度取一点，依次表示－1，－2，－3……
苏教版七年级数学上册《绝对值和相反数》课件
解：３的相反数是－３，
－4.5 的相反数是 4.5 ，
－4（的 －4相 .5）反 ＝ 4数 .54是．
7
7
例2 化 ( 简 2 ) ,( 2 .7 ) ,( 3 ) ,( 3 ).
4
解： 因 2为 的相反数 2， 是 所以 ( 2)2.
例2 化 ( 简 2 ) ,( 2 .7 ) ,( 3 ) ,( 3 ).
AB
FC D
E
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 34 5
点 A 表示 －5 ，点 A 与原点的距 离是 5 ，所以 －5 的绝对值是 5 ．记为 |－5| = 5．
说一说：
你能说出数轴上点 A、B、C、D、 E、F 各点所表示的数的绝对值吗?
AB
FC D
E
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 34 5
解：(4)因为4 4， 4 4， 并且44，
所以4 4 .
动脑筋 有一天，甲、乙两个数在比谁
大．甲抢着说：“在数轴上我表示 的点到原点的距离比你表示的点到 原点的距离要大，看来我比你大”， 乙不甘示弱，紧接着说，“我是正 数，我大于零，也大于一切负数， 当然是我比你大”．你们说到底谁 大呢?
4
解 ： 因 2为 .的 7 相反数 2.， 7是
所 (以 2.7) 2.7.
例2 化 ( 简 2 ) ,( 2 .7 ) ,( 3 ) ,( 3 ).
4
解 ： 因3为 的 相 反 数 3，是 所(以 3) 3.
例2 化 ( 简 2 ) ,( 2 .7 ) ,( 3 ) ,( 3 ).
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。
2.3.1绝对值与相反数：绝对值(同步课件)-七年级数学上册(苏科版2024)_1
知识精讲
讨论——1. 的绝对值是____，- 的绝对值是____，0的绝对值是
____；
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
02
知识精讲
2.绝对值等于5的数是____，绝对值小于5的整数有____个，
±5
9
其中绝对值最小的整数是____。
0
5
-6
-5
-4
-3
5
-2
-1
0
1
2
数a的绝对值记为|a|，读作“a的绝对值”。
任何一个数的绝对值是非负数。
绝对值的运算：
“绝对值”运算优先于“加减乘除”运算。
表示1km，画出数轴，点A，点B分别表示小明家、小丽家的位置。
O
A
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
B
1
2
3
4
5
01
课堂引入
点A与原点的距离是3个单位长度，
点B与原点的距离是2个单位长度。
3
2
O
A
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
B
1
2
3
4
5
02
知识精讲
绝对值的概念
一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的
教学目标
01
理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值
02
能运用绝对值进行运算
绝对值的概念
绝对值与相反数(第1课时)-2022-2023学年七年级数学上册课件(苏科版)
（1）如果点A、B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_____.
-1
-5
（2）如果点E、B表示的数互为相反数，那么点D表示的数是_____.
∵A、B互为相反数
∴A、B关于原点对称
01
问题引入
− − − −5
=？
既然有很多的“-”，
那我们只能像把洋葱一样慢慢打开你的心，
02
知识精讲
Q1：算一算，找规律
若x+y=0，则x与y互为相反数
=-2b
（1）a-b+(-a-b)
（2）a+b+(-a-b)
=0
（3）a+1+(1-a)
=2
（4）-a+b+(a-b)
=0
?
=0
例7-2
在（1）+(+3)与-(-3)；（2）-(+3)与+(-3)；（3）+(+3)与-(+3)；
(3)(4)
（4）+(-3)与-(-3)，互为相反数的是________。（填序号）
Q1：算一算，找规律
当有奇数个“-”时，结果为“-”
1个“ − ”
− 5 = −5
2个“ − ”
− −5 = _____ 5
当有偶数个“-”时，结果为“+”
3个“ − ”
− − −5
4个“ − ”
− − − −5
横批：奇负偶正
= _____ -5
= _____
5
例5
a − + −a
（1）−(−a) = ____;
（2）− − +43
（3）− + − +3
【配套K12]七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 用相反数的知识化简含有多个负号的数素材 (
![【配套K12]七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 用相反数的知识化简含有多个负号的数素材 (](https://img.taocdn.com/s3/m/e383066e453610661ed9f4e7.png)
K12教育资源学习用资料
用相反数的知识化简含有多个负号的数
难易度：★★★
关键词：有理数
答案：
含有多个负号的数的化简，一定要弄清负号的意义：表示一个数的相反数，而不是表示负数。
【举一反三】
典例： -(-6) ．
思路导引：根据定义我们知道只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数。
本题就是求（-6）的相反数，和（-6）只有符号不同的数是（+6），其中的（+）可以省略，所以本题答案为6。
本题还可以这样考虑：互为相反数的两个数在数轴上表示这两个数的点，分别在原点的两旁，且与原点的距离相等，在数轴上与（-6）距离相等的点是6。
标准答案：6
K12教育资源学习用资料。
苏科版七年级上册.2利用数轴比较有理数的大小课件
课本例题
例3
比较－3.5和－0.5的大小．
解：在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、 B．
A
-5
-4－3.5-3
-2
B
－0.5
-1
0
因为点B在点A的右边，所以－3.5＜－0.5．
小结
利用数轴两个负数比较大小,离原点远的数较小.
课本例题
例4
在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序
-3
-2
-3
-2
0
-1
0
5
1
2
3
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
4
5
试一试
1.任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？
-3
-2
-1
0
1
3
2
4
5
2.数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
-5
-4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小
小结
-3
-2
-1
0
1
3
2
大
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
A.－3 B. －2 C.－1
D.1
A
C
O
B
-2
0
2
小结
解这类无数轴的题目时，一般第一画出数轴，然后根据题意找到题中
点的位置，对于不能确定准确位置的点，只需找到其大致位置即可（如本
题的点A），最后借助数轴，并运用小学所学的线段的和、差关系求出表示
所求的数的点到原点的距离.
随堂练习
1.判断下列各式是否正确:
连接起来：
七年级数学上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数 运用绝对值求复杂的代数式的值素材 苏科版(
七年级数学上册第二章有理数 2.4 绝对值与相反数运用绝对值求复杂的代数式的值素材（新版）苏科版
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运用绝对值求复杂的代数式的值
难易度：★★★
关键词:有理数
答案：
对于复杂的代数式的求值，要找准问题的关键，运用绝对值时，要分清每一部分的正负关系，巧妙做答。
【举一反三】
典例：求的值
思路导引：一般来说，求绝对值的问题要先判断出正负号,再根据绝对值法则即可求出绝对值.观察后发现每个绝对值符号里面的东西都大于零，所以在去绝对值的时候不用变号.
标准答案：。
七年级数学上册第二章有理数2.4绝对值与相反数生活中的绝对值素材苏科版
生活中的绝对值看到这个题目，同学们一定会感到惊讶，生活中哪有绝对值呀，为了让同学们能明白绝对值在生活中的应用，现举几例，希望同学们能有所感悟．例1某检修小组甲乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15、-2、+5、-1、+10、-3、-2、+12、+4、—5、+6；另一小组乙也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正,行走记录为：—17、+9、—2、+8、+6、+9、-5、—1、+4、—7、—8（1）分别计算收工时,两组在A地的哪一边，距A地多远？(2）若每千米汽车耗油量为2升，求出发到收工两小组各耗油多少升？分析：要确定两组在A地的哪一边，距A地多远,只要能分别求出行走记录和，若结果是正，则表示在A地的东或北，若结果是负,则表示在A地的西或南；进而利用绝对值的意义分别求出两组各行走的路程，再分别乘以每千米汽车耗油量即可求解.解：（1）因为（+15)+（-2）+（+5)+（-1）+(+10)+（-3)+（—2）+(+12)+（+4)+(—5)+（+6）＝+39；（—17）+（+9）+(-2)+（+8）+(+6）+(+9）+(-5）+(—1)+(+4)+(-7）+（-8）＝—4。
所以小组甲在A地东39千米、小组乙在A地南4千米。
（2）因为｜+15|+｜-2｜+|+5|+|-1｜+|+10｜+|—3｜+|—2｜+|+12|+|+4|+｜—5|+|+6｜=65；｜—17|+|+9|+|-2|+｜+8｜+|+6｜+｜+9|+|—5｜+|—1|+|+4|+|—7|+｜—8｜=76，而65×2＝130，76×2＝152,所以小组甲130升、小组乙152升．例2检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为试根据上表回答下列问题：（1）指出哪个篮球的质量好一些?(2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a 和b ，请利用学过的绝对值知识指出哪个篮球的质量好一些？分析：本题主要考查正、负数的意义及绝对值在实际问题中的应用．根据实际问题可知,哪个篮球的质量偏离标准质量越小，哪个篮球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．解：（1）因为98743+<-<+<+<-，所以3号篮球的质量好一些．（2）如果b a >，则结果为b 的质量好一些． 如果b a <，则结果为b 的质量好一些． 如果b a =，则两个篮球的质量一样好．例3 有一只小昆虫在数轴上爬行，它从原点开始爬,“＋"表示此昆虫由数轴向右，“-”表示此昆虫由原点向左,总共爬行了10次，其数据统计如下（单位：厘米）：+3，—2，—3，+1，+2,-2，-1，+1，-3，+2．如果此昆虫每分钟爬行4厘米，则在此爬行过程中，它用了几分钟?分析:根据时间＝路程÷速度，已知昆虫爬行的速度是每分钟4厘米,要求爬行的时间，须求出总路程，即此昆虫在爬行过程中每次爬行的距离之和，而要求每次爬行的距离，就是求各数的绝对值． 解：路程＝3++2-+3-+1++2++2-+1-+1++3-+2+＝3+2+3+1+2+2+1+1+3+2＝20.所用时间为20÷4＝5(分钟）。
苏教科版初中数学七年级上册 第二章 有理数 2.4 绝对值与相反数(第1课时)PPT课件
A在原点O左侧且到原点O的距离为3个单位长度，
点B在原点O右侧且到原点O的距离为2个单位长
度．
3 A
2
O
B
3 A
2
O
B
数轴上表示一个数的点与原点的距离 叫做这个数的绝对值．
请你结合数轴，根据定义说出 －3、2、0的绝对值．
你能说出数轴上的点A、B、C、D、E所表
示的数的绝对值吗？
点A表示的数－5的绝对值为5； 点B表示的数－3.5的绝对值为3.5； 点C表示的数1的绝对值为1； 点D表示的数2.5的绝对值为2.5； 点E表示的数5的绝对值为5．
例2 已知一个数的绝对值是 ，求这个数．
解：数轴上到原点的距离是 的点有2个，它们 为点A、点B表示的数分别是 、 ， 所以绝对值是 的数有2个，它们是 或
1．（1）在数轴上画出表示下列各数的点：
（2）填空：
5
0.4
0
5
2
2．已知一个数的绝对值是2，求这个数.
课堂小结：
例1 求4、－3.5的绝对值．
解：在数轴上分别画出表示4、－3.5的点A、点B．
3.5
B ·
4 A
因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4； 因为点B与原点的距离是3.5，所以－3.5的绝对值是3.5．
通常，我们将数a的绝对值记为|a| .
例如： 4的绝对值记为|4|， －3.5的绝对值记为 |－3.5|．
谈谈你这一节课有哪些收获．
小明家在学校正西方3 km处，小丽家在学
校正东方2 km处，他们上学所花的时间，与各 家到学校的距离有关．
小明家
学校
小丽家
你会用数轴上的点表示学校、小明家、小
丽家的位置吗？
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《绝对值》典型例题
例1
求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．
87-，9
1+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187->-
，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9
191,8787=-==+=- .2.18
7091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．
例2
求下列各数的绝对值：
（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；
（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；
（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；
（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；
（6）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a
说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例3
一个数的绝对值是6，求这个数．
分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±．
说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．
例4 计算下列各式的值
（1）272135-+++-；（2）2
1354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.2
1175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．
解 （1）83272135272135=++=-+++-；
（2）2
162135454321354543=+-=-+--； （3）1057
124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.0211
75.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．
例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？
分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．
解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．
说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．
例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：
（1）a a =-； ( )
（2）a a -=-； ( )
（3）)0(≠=a a
a a a
；（ ） （4）若|a |＝|b|，则a ＝b ； ( )
（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|； ( )
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第
(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
当0>a 时，1==a a a a ，而1==a
a a a ，a a a a =∴成立； 当0<a 时，1-=-=a a a a ，而1-=-=a
a a a ，a a a a
=∴也成立． 这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可． 解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（ ）．
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012≥+x ；
05≥-y ．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，2
1-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ．
说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到
原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．
例8 计算)5(13>-+-x x x ．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．
解：又∵5>x ，
∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．。