一道高考数学几何题的多种解法探究

一道高考数学几何题的多种解法探究

本文通过一个高考填空题的四种解法着重阐明解析

几何的思想和方法。解法一打破题目所给的坐标系的禁锢，重新建立坐标系另辟蹊径。解法二根据直线AC⊥BD以此建立新的坐标系，这是本题的又一个另辟蹊径。有了参数α，写出新坐标系下的圆的方程，再数形结合用根与系数的关系求弦长。解法三采用直线参数方程，再一次另辟蹊径为解决本题寻求新的方法，其根本目的是便于计算弦长。解法四是几何法，用添加两条垂线的巧妙运用，结合几个重要定理求出弦长，用重要不等式求四边形的最大值。有了这些好方法，使本来很难做的问题得以迎刃而解。

命题：如图⑴已知AC、BD为⊙O：x?+y?=4的两条互相垂直的弦，

垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值是__.

解法一：

由于|OM|= ，考虑到原来的坐标系中两条弦长的计算比较繁琐，因此可改变方法，以

直线OM为x轴，建立新的直角坐标系，此时M的坐标是（，0）。

1.直线AC与BD有一条斜率不存在时，另一条的斜率

为0.不妨设BD的斜率

不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD

的面积S=1/2|AC|?|BD|=4

2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方

k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。

设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|?

S?=（1/2|AC|?|BD|）?

∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。

坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。

解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4

设A（x1′，0）C（x2′，0）B（0，y1′）D（0，y2′），令y′=0，则x′?+2cosαx′-1=0

∴|AC|=|x1-x2|=，|AC|?=12cos?α+4 同理可得

|BD|?=12sin?α+4 ∴s?=1/4（|AC|??|BD?）=4（3ccos?α+1）（3sin?α+1）=9sin?2α+16。∵0≤sin?2α≤1，∴16≤s?≤25 ∴4≤s≤5 ∴四边形ABCD的面积s有最大值5。

在本解法中，由于直线AC与BD是垂直关系可以以此建立新的坐标系，这是本题另辟蹊径的重要途径。有了参数α，写出圆心的坐标后得到新的坐标系下的圆的方程再利用坐标轴上的点的特征用一元二次方程的根与系数的关系求

出弦长，用巧妙的方法为解决问题铺平了道路，利用三角恒等式和不等式的重要定理才使问题的答案明朗化。

x=1+t?cosα

解法三：设直线AC的参数方程为y=+t?sinα

代人圆的方程得到（1+t?cosα）?+（+t?sinα）?=4 ，t? + 2（cosα+sinα）t -1 = 0，

即t?+2 （1/?cosα+/?sinα）t-1=0。于是存在一个角θ，使得sinθ=1/，则cosθ=/. ∴t? + 2sin（θ+α）?t ?C 1 = 0，∴|AC|=|t1-t2|=。∵AC⊥BD∴直线BD的参数方程是x=1+t?cos（α+π/2）即x=1-t?sinα

y=+t?sin（α+π/2）y=+t?cosα

同样可求出|BD| = ∴s?=1/4|AC|??|BD|? =4[9sin?（θ+

α）cos?（θ+α）+3sin? （θ+α）+3cos? （θ+α）+1]=4 [9sin?（θ+α）cos?（θ+α）+4] =9sin?2（θ+α）+16∵0≤sin?2（θ+α）≤1，∴16≤s?≤25，∴4≤s≤5 ∴四边形ABCD的面积s有最大值5。

本解法采用直线参数方程，这是本题另辟蹊径的重要方法，其根本目的是便于计算两条弦长。求四边形面积的最大值时又用到三角函数的恒等变换和三角函数的性质使求解

的计算简化。其实求|BD|时，将|AC|中的α用α+π/2代替可直接得到|BD|的结果。

解法四过点O作OP⊥AC、OQ⊥BD垂足分别为P、Q. ∵AC⊥BD∴四边形OPMQ是矩形∴|PQ|=|OM|=∴AP?=OA?-OP?；DQ?=OD?-OQ?∴|AC|=，|BD|=∴S

=1/2|AC|?|BD|=?≤2?（4-OP?+4-OQ?）/2=8-（OP?+OQ?）

=8-|PQ|?=5 ∴四边形ABCD最大面积是5。

本解法是几何法。它巧妙运用勾股定理及矩形的性质，垂径定理，相交弦定理求弦长。用重要不等式求四边形的最大值使运算较为简便，这正是另辟蹊径，使本来很难做的问题得以迎刃而解，它就是两条重要辅助线AC、BD的垂线。

总之，以上四种方法，或改变题目中原有的坐标系，寻求新的建立坐标系的方法，选择恰当建系方式，或作适当的辅助线，这才是另辟蹊径，而灵活运用对称变换求有关线段，运用重要不等式定理、三角函数的性质求四边形面积的最大

值使难以解决的问题能够柳暗花明。