高考数学(理)一轮复习检测：《导数在生活中的优化问题举例》

第3讲 导数在生活中的优化问题举例

1．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )

A ．12 cm 3

B ．72 cm 3

C ．144 cm 3

D ．160 cm 3

2．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33 cm B.10 33

cm C.16 33 cm D.20 33

cm 3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13

x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件

C ．9万件

D ．7万件

4．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)

5．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275

x 3(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为( )元时总利润最大．( )

A ．10

B ．25

C ．30

D ．40

6．已知函数f (x )＝13

x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )

A.23

B.32

C ．2

D ．3 7．(2012年福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.

其中正确结论的序号是( )

A．①③B．①④C．②③D．②④

8．(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图K4-3-1，则下列结论中一定成立的是()

图K4-3-1

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

9．如图K4-3-2，抛物线y＝－x2＋9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上(点C在第一象限)，CD∥AB.记|CD|＝2x，梯形ABCD的面积为S.

(1)求面积S以x为自变量的函数式；

(2)若|CD|

|AB|≤k，其中k为常数，且0

图K4-3-2

10．(2013年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若当x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

第3讲 导数在生活中的优化问题举例

1．C 2.D 3.C

4．C 解析：依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)．所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．

5．B 解析：设单价为q >0，由题意q 2＝k x

，当x ＝100时，q ＝50，∴k ＝q 2x ＝502×100＝250 000.∴q 2x ＝250 000，q ＝500x .∴总利润y ＝xq －C (x )＝x ·500x －⎝

⎛⎭⎫1200＋275x 3.令y ′＝500·12 x －275

·3x 2＝0，解得x ＝25.当00；当x >25时，y ′<0，∴当x ＝25时，总利润最大．

6．C 解析：f ′(x )＝x 2＋2ax －b 在[－1,3]上有f ′(x )≤0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (3)≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ≥1，6a －b ≤－9.设⎩

⎪⎨⎪⎧

u ＝2a ＋b ≥1，v ＝b －6a ≥9， 设a ＋b ＝mu ＋n v ＝m (2a ＋b )＋n (－6a ＋b )＝(2m －6n )a ＋(m ＋n )b ，对照参数：2m －6n ＝1，

m ＋n ＝1，解得m ＝78，n ＝18，∴a ＋b ＝78u ＋18

v ≥2，则a ＋b 的最小值为2. 7．C 解析：f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a

f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，可得a <1

导数和函数的图象如图D69.

由图f (1)＝1－6＋9－abc ＝4－abc >0，f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc <0，且f (0)＝－abc ＝f (3)<0，

所以f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.

图D69

8．D 解析：由图象可知当x <－2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，此时，f ′(x )>0，函数单调递增，当－20，此时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >2时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，此时，f ′(x )>0，函数单调递增．所以函数f (x )有极大值f (－2)，极小值f (2)．

9．解：(1)依题意，得点C 的横坐标为x ，

点C 的纵坐标为y C ＝－x 2＋9.

点B 的横坐标x B 满足方程－x 2B ＋9＝0，

解得x B ＝3，或x B ＝－3(舍去)．

所以S ＝12(|CD |＋|AB |)·y C ＝12

(2x ＋2×3)(－x 2＋9)＝(x ＋3)(－x 2＋9)． 由点C 在第一象限，得0

所以S 关于x 的函数式为S ＝(x ＋3)(－x 2＋9)，0

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

0

≤k ，及0

则f ′(x )＝3－x 2－6x ＋9＝－3(x －1)(x ＋3)．

令f ′(x )＝0，得x ＝1.

①若1<3k ，即1

所以当x ＝1②若1≥3k ，即0

时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )的最大值为f (3k )＝27(1＋k )(1－k 2)．

综上所述，当13≤k <1时，S 的最大值为32；当0

时，S 的最大值为27(1＋k )(1－k 2)． 10．解：(1)由已知，得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.

而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，

故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.

从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．

设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，

则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．

由题设，可得F (0)≥0，即k ≥1.

令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.

①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．

而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.

故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．

②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．

从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，

即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．

而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，

即f (x )≤kg (x )恒成立．

③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.

从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．

综上所述，k 的取值范围是[1，e 2]．