3.3-3.4傅立叶级数

a (ω )
为
ω 的偶函数。 的偶函数。
ϕ (ω ) 和 jb(ω ) 为
ω的奇函数。 的奇函数。
补充：复数谱（又称为幅相频谱） 补充：复数谱（又称为幅相频谱）
复数谱的图形通常用横轴表示实部， 复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示 虚部。频率作为参变数，给定一个频率值， 虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便 可得到曲线上一点。 可得到曲线上一点。
1
2π
nω1
3.相位的确定 相位的确定 2π ω1 = 代入 Cn 可知 T1
E nπτ Fn = sin ( p103 − 104) nπ T1
当角度
nπτ T1
在第一、 在第一、二象限时Fn 为正实数
即相位为零。 即相位为零。 nπτ 当角度 在第三、 在第三、四象限时 Fn 为负实数 T1 即相位为
B.关于连续谱的说明 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号， 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分 量中。 量中。 具有连续频谱的信号， 具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。 中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
ω1 =
T1
nω1τ ∞ sin Eτ 2 e jnω1t f (t ) = ∑ nω1τ T1 n = −∞ 2
2.画频谱图 2.画频谱图
的表达式可知， 由复振幅 Fn 的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所
sin x 的形式----称为抽样函数。 ----称为抽样函数 的形式----称为抽样函数。 构成的包络是 x
1.离散性 2.谐波性 3.收敛性 2π 离散性 谐波性 收敛性
τ
4.频带问题 频带问题(p164. 3-17) 频带问题 a.对于单调衰减的信号，把零频率到谐 对于单调衰减的信号， 对于单调衰减的信号 波幅度降到最大值十分之一的那个频率 1 间频带， 间频带，称为信号的带宽 10
f1 b.对于周期过零的信号常认为包络线第 对于周期过零的信号常认为包络线第
π
二.结论 结论
1.频谱是离散的 两谱线间的距离为 ω1 = T 频谱是离散的,两谱线间的距离为 频谱是离散的 1 Eτ 变大时， 变大时， 2.由 F0 = 变大、 由 知,当E变大、 当 变大 T1 则各次谐波的幅度愈大. 则各次谐波的幅度愈大 T1变大时 则谐波幅度愈小 变大时,则谐波幅度愈小 则谐波幅度愈小. nω1τ 2π = mπ 或 nω1 = m 3.当 当 时，谱线的 2 τ 包络经过零值。 包络经过零值。
找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点） 1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
2 Eτ 包络线方程为 an = T1
sin
ωτ
2
ωτ
2
sin
ωτ
2 =0
与横轴的交点由下式决定： 与横轴的交点由下式决定： 即：
ωτ
2
ωτ
2
= π ,2π ,3π L
2π 4π 6π
ω = ω0 =
τ τ τ
f (t ) = a0 + ∑ an cos(nω1t + ϕ )
n =1
∞
2 an = ∫ T1
f (t )e
− jnω1t
2 − jnω1t dt = ∫ Ee dt T1
T 2 T − 2
n ω 1τ sin 2 Eτ 2 ] = 2 E τ S a( n ω 1τ ) = [ n ω 1τ T1 T1 2 2 周期矩形脉冲频谱的数学表达式
§ 3.3典型周期信号的傅里叶级数
•周期矩形脉冲信号 周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号 周期全波余弦信号 我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱， 我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由 此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。 此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。
1 ∆f = ∆τ
一个零点以上的谐波可以忽略不计. 一个零点以上的谐波可以忽略不计
[例题 例题] 试求周期矩形脉冲信号在其有效 例题 带宽(0~2π/τ)内谐波分量所具有的平均功率 带宽 π τ 内谐波分量所具有的平均功率 占整个信号平均功率的百分比。其中E=1， 占整个信号平均功率的百分比。其中 ， T=1/4，τ=1/20。 ， 。
1.定义：令 定义： 定义
F ( jω) = lim FnT = lim 2π
T →∞ Ω→0
ω1
Fn
(T =
2π
ω1
)
a. lim TFn = lim ∫
T →∞
T 2 T T →∞ − 2
f (t )e
− jnω1t
dt
b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。 这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。 这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性 各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不 变的。 变的。
f (t )e
jnω1t
− jnω1t
dt
∑F e
无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。 无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。
结论： 结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期
的无限增大而消失的。 的无限增大而消失的。 信号的频谱分布仍然存在。 T → ∞ 时，信号的频谱分布仍然存在。
二.频谱密度函数 频谱密度函数
b(ω ) Q = −ωT a (ω ) ω = ±∞ K ∴ a (ω ) = b(ω ) 2 [ ] +1 a (ω )
2 2
b(ω )
ω =0
1 K 2
a (ω )
1 2 2 K 2 a (ω ) + b (ω ) − Ka (ω ) = 0 [a(ω) − K] + b (ω) = ( ) 2 2
一.周期矩形脉冲信号的频谱分析
f (t ) =
E
0
nT1 −
nT1 +
τ
2
2
< t < nT1 +τ2 Nhomakorabeaτ
2
τ
< t < (n + 1)T1 −
•
• •
−
• • •
τ
2
τ
2
T
1.求f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数 1.求f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数
(3P90 (3-5)
T 2 T − 2
Fn
1 25
8π
2
− 40π
40π
nω 0
周期信号的功率谱
三.
τ
T1
的比值改变时，对频谱结构的影响。 的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图(3-11)和p106.图（3－12） 图 和 图 － ）
τ 1.T1不变，变 不变，
a.QT 不变， ω1不变， 不变， ∴ 不变， 1 即谱线的疏密不变 b. ↓, 则 n的 敛 度 慢 τ F 收 速 变 2. 不 ， 1变 τ 变 T 时
a.F ( jω ) 代表了信号中各频率分量振幅的相对
大小。 大小。
2.几点说明 几点说明
b.各频率分量的实际振幅为 各频率分量的实际振幅为 是无穷小量。 是无穷小量。
2 | F ( jω ) | | F ( jω ) | dω = T π
具有单位频率振幅的量纲。 C. F ( jω ) 具有单位频率振幅的量纲。
1 f (t ) = 2π
∫
∞
∞
−∞
F (ω )e dω
− jωt
jωt
反变换 正变换
F ( jω ) = ∫ f (t )e
−∞
dt
2.几点说明： 几点说明： 几点说明 a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。 正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。 正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式 时间函数f(t)可以表示为频率在区间 时间函数 可以表示为频率在区间( −∞ < ω < ∞ ) 内的指数函数的连续和。 内的指数函数的连续和。 傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之 间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算， 间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算， 反变换通常叫做综合运算。 反变换通常叫做综合运算。
上式中n=0， 上式中n=0，则为不定式利用罗必塔法则 n=0
a0
n ω 1τ sin 1 2Eτ 2 ] = Eτ = lim [ n ω 1τ 2 n → 0 T1 T1 2
nω 1τ ∞ sin Eτ 2 cos nω t ] ∴ f (t ) = [1 + 2∑ 1 nω1τ T1 n =1 2 2π
一.问题的提出 问题的提出
1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱 从物理概念考虑：信号的能量存在， 从物理概念考虑 分布的规律就存在。 分布的规律就存在。 2.从数学角度来看： 从数学角度来看： 从数学角度来看
T 2 T − 2
n
1 Fn = lim ∫ T →∞ T
f (t ) =
∞ n = −∞
π 2 τ 变 b. 不 ， 不 ， 变 τ
a.T ↑, ω ↓,∴谱 密 线 集 1 1
包 线 零 位 不 络 的 值 置 变
c.T1 → ∞时，时域波形和频谱结构会发生什么变化呢？
§ 3.4傅立叶变换 傅立叶变换
一.频谱密度函数 频谱密度函数 二.非周期信号的频谱分析 傅立叶变换 非周期信号的频谱分析----傅立叶变换 非周期信号的频谱分析 三.傅立叶积分的其他形式 傅立叶积分的其他形式 四.傅立叶变换的存在 傅立叶变换的存在 五.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
d.F( jω) =| F( jω) | e