高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式新人教A版必修5

例题 2 已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．
• [分析] 要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个 积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可 进行“1的代换”，也可以“消元”等．
[解析] 解法一：(1的代换)∵1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx． ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6． 当且仅当yx＝9yx，即y＝3x时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16． ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16．
(3)∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[2x＋23－2x]2＝92． 当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时等号成立． ∵34∈(0，32)．∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92．
『规律总结』 1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相 等”的原则，即
源自文库
• (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得___最__小_值____．
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是
A．12
B．1
C．2
D．4
[解析] xy≤x2＋2 y2＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．
(C )
• 2．设x、y满足x＋y＝40，且x、y都是正数，则xy的最大
值是 ( )
〔跟踪练习1〕
(1)(2015·湖南文，7)若实数a、b满足1a＋2b＝ ab，则ab的最小值为
A． 2
B．2
C．2 2
D．4
(2)已知lga＋lgb＝2，则a＋b的最小值为__2_0___．
(C )
[解析]
(1)∵
1 a
＋
2 b
＝
ab ，∴a＞0，b＞0，∴
ab
＝
1 a
＋
2 b
≥2
1a×2b ＝
(D )
4．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a、b恒成立的 是__①__③____(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2．
[解析]
对于①，ab≤(
a＋b 2
)2＝1，故①成立；对于②，(
a＋
b)2＝a＋b＋
2 ab ＝2＋2 ab >2，∴ a ＋ b > 2 ，故②不成立；对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－
• 1．重要不等式
• 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥_____2_a_b__，当且仅当_____a_＝__b__时，等 号成立．
• •
2当．a基 >0本，不b>等0时式有___a_b_≤_a_＋_2_b_，当且仅当___a_＝__b____时，等号成立．
• 3．基本不等式与最值
• 已知x、y都是正数． • (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得___最__大_值____．
(1)一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值， 通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第三章
不等式
3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 右图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好 客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
时，x＋y取最小值16．
解法三：(配凑法)由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2 x－1y－9＝16． 当且仅当x－1＝y－9时取等号． 又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16．
A
• A．400
B．100
• C．40 D．20
[解析] ∵ xy≤x＋2 y(x>0，y>0)．
∴xy≤(x＋2 y)2＝(420)2＝400．
当且仅当x＝y＝20时，等号成立．
3．函数f(x)＝x＋4x的值域是 A．[4，＋∞) C．R
B．(4，＋∞) D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
[解析] 当x>0时，y≥2 x·4x＝4；当x<0时， y≤－2 －x·－4x＝－4.故选D．
2ab＝4－2ab，
由①知，ab≤1，∴2ab≤2，∴－2ab≥－2，即4－2ab≥2，故③成立．
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用基本不等式求函数的最值
例题 1 (1)已知m、n>0，且m＋n＝16，求12mn的最大值． (2)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值； (3)设0<x<32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值． [分析] (1)中m＋n为定值，(2)中(x－2)·x－1 2 为定值，(3)中2x＋(3－2x)为定 值，故可考虑应用基本不等式求最值．要注意逐条验证条件．
2 a2b，∴ab≥2 2，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2 2，故选 C．
(2)由lga＋lgb＝2可得
lg(ab)＝2，
即ab＝100，且a>0，b>0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2 ab＝2 100＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20．
命题方向2 ⇨变形技巧：“1”的代换
解法二：(消元法)由1x＋9y＝1，得x＝y－y 9.∵x＞0，y＞0，∴y＞9．
x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9＝y＋y－9 9＋1＝(y－9)＋y－9 9＋10．
∵y＞9，∴y－9＞0，∴y－9＋y－9 9≥2 y－9·y－9 9＝6．
当且仅当y－9＝
9 y－9
，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12
[解析] (1)∵m，n>0且m＋n＝16， 所以由基本不等式可得mn≤(m＋2 n)2＝(126)2＝64， 当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.∴12mn的最大值为32． (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当x－2＝x－4 2，即x＝4时，等号成立．所以x＋x－4 2的最小值为6．