山西省临汾一中、忻州一中、长治二中2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷(解析版)

2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中名校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系中，若A（0，2，5），B（﹣1，3，3），则|AB|=（）A． B．3 C．D．2．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5）D．（1，5）3．某公司10个部门在公司20周年庆典中获奖人数如茎叶图所示，则这10个部门获奖人数的中位数和众数分别为（）A．10，13 B．7，13 C．10，4 D．13，104．若直线2x﹣ay+2=0与直线x+y=0的交点的纵坐标小于0，则（）A．a＞﹣2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜﹣45．不等式y•（x+y﹣2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、B所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinC=4sinB，则a的值为（）A．B．C．D．7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．08．执行下边的程序框图，则输出的n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7．9．若体积为12的长方体的每个顶点都在球O的球面上，且此长方体的高为4，则球O的表面积的最小值为（）A．10πB．22πC．24πD．28π10．若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）A．4 B．16 C．4或16 D．2或411．定义在R上的奇函数f（x）=x3+sinx﹣ax+a﹣2的一个零点所在的区间为（）A．B．C．D．（2，π）12．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．+8πB．+8πC．16+8πD．+16π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将函数f（x）=的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，则=．14．若点（2，2）到直线3x﹣4y+a=0的距离为a，则a=．15．已知A，B，C，D四点共线，且向量=（tanα，1），=（4，﹣2），则=．16．设集合A={2，3，4，8，9，16}，若a∈A，b∈A，则事件“log a b不为整数但为整数”发生的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半．（1）求m的值；（2）判断直线l与圆C：x2+（y﹣2）2=的位置关系．（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．19．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，公差为d且S5﹣S2=195．（1）若d=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（2）若在等比数列{b n}中，b1=13，b2=a4，求{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，并求四面体ABC1M的体积．22．（12分）已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值．2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中名校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2016秋•临汾期中）在空间直角坐标系中，若A（0，2，5），B（﹣1，3，3），则|AB|=（）A． B．3 C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标运算与模长公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（0，2，5），B（﹣1，3，3），所以=（﹣1﹣0，3﹣2，3﹣5）=（﹣1，1，﹣2），所以||==．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与模长公式的应用问题，是基础题目．2．（2016秋•临汾期中）下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5）D．（1，5）【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D．【点评】本题考查集合的子集的求法，属于基础题．3．（2016秋•临汾期中）某公司10个部门在公司20周年庆典中获奖人数如茎叶图所示，则这10个部门获奖人数的中位数和众数分别为（）A．10，13 B．7，13 C．10，4 D．13，10【考点】茎叶图．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，根据众数是出现次数最多的数求出众数．【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为4，4，5，6，7，13，13，13，14，22，所以其中位数为=10，由茎叶图知出现次数最多的数是13，可得众数为13．故选：A．【点评】本题利用茎叶图考查了中位数与众数的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•临汾期中）若直线2x﹣ay+2=0与直线x+y=0的交点的纵坐标小于0，则（）A．a＞﹣2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜﹣4【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；演绎法．【分析】联立方程组解出交点坐标，解不等式即可解决．【解答】解：由直线2x﹣ay+2=0与直线x+y=0可得y=，∵直线2x﹣ay+2=0与直线x+y=0的交点的纵坐标小于0，∴＜0，∴a＜﹣2．故选C．【点评】本题主要考查直线交点坐标的求解，和不等式的应用．属于基础题．5．（2016秋•临汾期中）不等式y•（x+y﹣2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是（）A．B．C．D．【考点】终边相同的角．【专题】计算题；数形结合；三角函数的求值．【分析】利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象，找出对应的平面区域．【解答】解：由y•（C）≥0得到：或，所以不等式y•（x+y﹣2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是：．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（2016秋•临汾期中）在△ABC中，角A、B、B所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinC=4sinB，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可求c=4b=8，进而利用余弦定理即可求值得解．【解答】解：∵A=60°，b=2，∵sinC=4sinB，可得：c=4b=8，∴由余弦定理可得：a===2．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7．（2016秋•临汾期中）设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．0【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的前提，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．8．（2016秋•临汾期中）执行下边的程序框图，则输出的n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m，n的值，当m=5，n=4时满足条件m+n=9，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：m=1，n=1执行循环体，不满足条件m＞n，m=3，n=2不满足条件m+n=9，执行循环体，满足条件m＞n，m=2，n=3不满足条件m+n=9，执行循环体，不满足条件m＞n，m=5，n=4满足条件m+n=9，退出循环，输出n的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．9．（2016秋•临汾期中）若体积为12的长方体的每个顶点都在球O的球面上，且此长方体的高为4，则球O的表面积的最小值为（）A．10πB．22πC．24πD．28π【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；方程思想；演绎法；立体几何．【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=3，c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=3，c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=≥=，当且仅当a=b时，r的最小值为所以球O表面积的最小值为：4πr2=22π．故选：B．【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力．10．（2016秋•临汾期中）若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）A．4 B．16 C．4或16 D．2或4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】由已知得圆心（5，﹣1）到直线4x+3y﹣2=0的距离d=r+1，由此能求出实数m的取值．【解答】解：∵圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，∴圆心（5，﹣1）到直线4x+3y﹣2=0的距离d=r+1，∴d==+1，解得m=4．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．11．（2016秋•临汾期中）定义在R上的奇函数f（x）=x3+sinx﹣ax+a﹣2的一个零点所在的区间为（）A．B．C．D．（2，π）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（）＜0，即可求出答案．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）=x3+sinx﹣ax+a﹣2，∴f（0）=a﹣2=0，解得a=2，∴f（x）=x3+sinx﹣2x，∴f（1）=1﹣2+sin1＜0，f（）=﹣π+1＞0，∴f（1）•f（）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（1，），、故选：B【点评】本题考查了奇函数的性质和函数的零点存在定理，属于基础题．12．（2016•山西三模）某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．+8πB．+8πC．16+8πD．+16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】选作题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，∴几何体的体积V=2×+=，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（2016秋•临汾期中）将函数f（x）=的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，则=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后即可代入求值得解．【解答】解：函数f（x）=的图象向右平移个单位，则函数变为g（x）=6sin[2（x﹣）﹣]=6sin（2x﹣）=﹣6cos2x；可得：=﹣6cos（2×）=﹣6cos=故答案为：．【点评】本题考查三角函数图象的平移变换，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型，属于基础题．14．（2016秋•临汾期中）若点（2，2）到直线3x﹣4y+a=0的距离为a，则a=．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】利用点到直线的距离公式建立方程，即可求出a．【解答】解：∵点（2，2）到直线3x﹣4y+a=0的距离为a，∴=a∴a=，故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．15．（2016秋•临汾期中）已知A，B，C，D四点共线，且向量=（tanα，1），=（4，﹣2），则=．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；向量法；三角函数的求值．【分析】由两向量的坐标，根据向量的共线定理列出关系式，求出tanα的值，进一步求出tan2α的值，然后把所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，将tan2α的值代入即可求出答案．【解答】解：∵向量=（tanα，1），=（4，﹣2），且A，B，C，D四点共线，∴﹣2tanα﹣4=0，即tanα=﹣2，∴．则==．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及向量的共线定理，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．16．（2016秋•临汾期中）设集合A={2，3，4，8，9，16}，若a∈A，b∈A，则事件“log a b不为整数但为整数”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】满足条件的（a，b）的基本事件个数n=6×6=36，再利用列举法求出事件“log a b不为整数但为整数”包含的基本事件的个数，由此能求出事件“log a b不为整数但为整数”的概率．【解答】解：∵集合A={2，3，4，8，9，16}，若a∈A，b∈A，∴满足条件的（a，b）的基本事件个数n=6×6=36，事件“log a b不为整数但为整数”包含的基本事件有：（4，8），（8，16），∴事件“log a b不为整数但为整数”的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•临汾期中）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半．（1）求m的值；（2）判断直线l与圆C：x2+（y﹣2）2=的位置关系．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）求出两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半，建立方程，即可求m的值；（2）求出C到直线l的距离，即可得出结论．【解答】解：（1）2x﹣y+1=0化为4x﹣2y+2=0，则两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于=，∴点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离==，∵m＞0∴m=5；（2）圆C：x2+（y﹣2）2=的圆心C（0，2），半径r=，∵C到直线l的距离d==，∴l与圆C相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两条平行线间的距离，点到直线的距离公式，属于中档题．2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．【考点】线性回归方程．【专题】方程思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）根据公式计算、，求出线性回归方程的系数即可写出方程；（2）根据回归方程计算x=4和5时，计算对应函数值即可；（3）由回归方程列方程求出对应x的值即可．【解答】解：（1）根据题意得，==2，==3.8，，，故利润y关于月份x的线性回归方程是；（2）当x=4时，，故可预测4月的利润为730万；当x=5时，，故可预测5月的利润为905万；（3）由1.75x+0.3=10，解得x≈5.5，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．19．（12分）（2016秋•临汾期中）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，公差为d且S5﹣S2=195．（1）若d=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（2）若在等比数列{b n}中，b1=13，b2=a4，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．（2）利用等比数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．【解答】解：（1）∵S5﹣S2=a3+a4+a5=3a4=195，∴a4=65．∵d=﹣2，∴65=a1+3×（﹣2），可得a1=71．∴a n=71+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+73．（2）∵b2=65，∴，∴．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2015秋•邢台期末）已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）本题可以直接设一次函数的解析式，然后通过代入法，利用系数对应相等，建立方程组求解；（2）结合二次函数的图象和性质，构造不等式，解得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b=x+3a，故k=1，b=3a﹣1，又∵f（a）=3，即a+3a﹣1=3，解得：a=1，b=2，∴f（x）=x+2；（2）∵g（x）=x•（x+2）+λ（x+2）+1=x2+（λ+2）x+2λ+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若g（x）在（0，2）上具有单调性，则≤0，或≥2，解得：λ≤﹣6，或λ≥﹣2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，等于系数法求函数的解析式，难度中档．21．（12分）（2016秋•临汾期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，并求四面体ABC1M的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；等体积法；立体几何．【分析】（1）推导出AB⊥AC，AA1⊥AB，从而AB⊥平面AA1C1C，由此能证明平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）取BB1中点D，推导出四边形ABB1A1为平行四边形，从而DN∥AB，进而平面MND∥平面ABC1．推导出N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．再由，能求出四面体ABC1M的体积．【解答】证明：（1）∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，又AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．解：（2）取BB1中点D，∵M为B1C1中点，∴MD∥BC1又N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB，又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1．∵MN⊂平面MND，∴MN∥平面ABC1，∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．过N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，∴．∴M到平面ABC1的距离为，∴四面体ABC1M的体积．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2016秋•临汾期中）已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为，且，C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，即可证明结论．【解答】（1）解：知点C在线段AB的中垂线y=x上，故可设C（a，a），圆C的半径为r．∵直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为，且，∴C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离，∴a=0，或a=170．又圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，∴a=0，圆C的方程x2+y2=4．（2）证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|•|BM|=8．当直线PA与直线PB的斜率存在时，设P（x0，y0），直线PA的方程为，令y=0得．直线PB的方程为，令x=0得．∴=，故|AN|•|BM|为定值为8【点评】本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。