高中数学教案——数列的求和

课 题：数列的求和

教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项 教学过程：

一、基本公式：

1.等差数列的前n 项和公式：

2

)(1n n a a n S +=

， 2)1(1d

n n na S n -+=

2．等比数列的前n 项和公式：

当1≠q 时，q

q a S n n --=1)

1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②

当q=1时，1na S n =

二、特殊数列求和－－常用数列的前n 项和：

2

)

1(321+=

++++n n n 2)12(531n n =-++++

6)

12)(1(3212222++=

++++n n n n

2

3333]2)1([321+=++++n n n

例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()2

1(

*2

N n a S n n ∈+=， 求数列{a n }的前n 项和 解：取n =1，则1)2

1(

12

11=⇒+=a a a 又： 2)(1n n a a n S +=

可得：

2

1)2

1(2)(+=+n n a a a n 12)

(1*-=∴∈-≠n a N n a n n

2)12(531n n S n =-++++=∴

例2 大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所（假定相邻两层楼梯长相等）

解：设相邻两层楼梯长为a ，则

]

2

)1([))](21(0)121[(22

n

n k n k a k n k a S +++-=-+++++-+++=

当n 为奇数时，取2

1

+=

n k S 达到最小值 当n 为偶数时，取2

2

2+=n n k 或 S 达到最大值

例3 求和S n =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)． 例 因为n(n+1)(n+2)=n 3+3n 2+2n ，则

S n =13+3×12+2×1+23+3×22+2×2+…n 3+3n 2+2n =（13+23…+n 3）+3（12+22+…+n 2）+2（1+2+…+n ）

二、拆项法(分组求和法)：

例4求数列

,)23(1

,,101,71,41,

11132-+++++-n a

a a a n 的前n

解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，

则 )23(1

1

-+=

-n a a n n )]23(741[)1

111(12-+++++++++=∴-n a

a a S n n

当1=a 时，2

32)231(2n

n n n n S n +=-++=

当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n a

a S n n n n n -+--=-++--

=- 三、裂项法：

例5求数列

,)

1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)1

1

1(6)1(+-=+6=

n n n n b n

1

6)111(6)]

1

1

1()3121()211[(621+=

+-

=+-++-+-=+++=∴n n

n n n b b b S n n 例6求数列

,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2

1

11(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=

n n n n n a n

2

)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n n

n n n S n

四、错位法：

例7 求数列}21

{n n ⨯前n 项和

解：n n n S 2

1

813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ①

12

1

21)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②

两式相减：1122

11)

211(2

1212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n n

n S 2

212)2211(211--=--=∴-+

六、小结 本节课学习了以下内容：

特殊数列求和、拆项法、裂项法、错位法

七、课后作业：

1. 求数列 ,)23()1(,,10,7,4,1----n n 前n 项和

（当n 为奇数时，213+-=

n S n ；当n 为偶数时，2

3n

S n =） 2. 求数列}2

32{3--n n 前n 项和 )21

28(3-+-n n

3. 求和：)12()9798()99100(222222-++-+- (5050)

4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n ×(n + 1) )3

)

5)(1((

++n n n

5. 求数列1，(1+a )，(1+a +a 2)，……，(1+a +a 2+……+a n -1)，……

前n

;,0n S a n ==时;2)1(,1+==n n S a n 时.)

1()1(,1,02

1

a a a n n S a n n -++=≠+时 七、板书设计（略） 八、课后记：