2015-2016学河南省漯河市高级中学年高一下学期期末数学试卷 含解析

2015-2016学年河南省漯河市高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法3．如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为1时，输出y的结果恰好是，则空白框处所填关系式可以是（）A．y=x2 B．y= C．y=2x D．y=2x4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）5．对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次，得到数据如下：，，，，，建立的回归直线方程为y=kx+88，其对应的直线的倾斜角为β，则sin2β+2cos2β=（）A．B．1 C．2 D．36．数据x1，x2，…x n的平均数为，方差为S2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…3x n﹣1的方差是（）A．S2B．3S2C．9S2D．9S2﹣6S+17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，令a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c9．定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B． C．D．10．在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=，过A作AP⊥BC于P，且=λ+μ，则λμ=（）A．B．C．D．11．设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则p、q之间的关系是（）A．p+q+1=0 B．p﹣q+1=0 C．p+q﹣1=0 D．p﹣q﹣1=012．定义在R上的函数f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|），给出下列结论：①f（x）为周期函数②f（x）的最小值为﹣1③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值④当且仅当2kπ﹣＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π．其中正确的结论序号是（）A．①④⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中横线上.13．若10b1（2）=a02（3），则数字a+b=．14．若sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则=．15．在△ABC中，=•， ++=，且||=||=1，则•等于．16．若（cosa）2+2msina﹣2m﹣2＜0对a∈R恒成立，则实数m的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.17．已知向量=（1，2），=（x，1）（1）若＜，＞为锐角，求x的范围；（2）当（+2）⊥（2﹣）时，求x的值．18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级的男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6）[6，8）[8，10）[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，求所抽取的2名学生来自同一组的概率．19．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，求b的最小值．20．（1）一个袋子中装有四个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．（2）设m，n是区间[0，1]上随机取得的两个数，求方程x2﹣x+m=0有实根的概率．21．已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．22．已知向量=（λcosα，λsinα）（λ≠0），=（﹣sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．（1）若α﹣β=，且λ＜0，求向量与的夹角；（2）若||≥2||对于任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年河南省漯河市高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对；B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选C．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．3．如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为1时，输出y的结果恰好是，则空白框处所填关系式可以是（）A．y=x2 B．y= C．y=2x D．y=2x【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值x的变化情况，找出循环条件，x＞0，知道x≤0循环结束，输出y值，求出处理框中的关系式恒过某点，从而求解；【解答】解：当输入的x值为1时，x=1＞0，继续循环，x=1﹣2=﹣1≤0，循环结束，此时x=﹣1，可得处理框中的关系式过点（﹣1，），A、x=﹣1，y=1，故A错误；B，x=﹣1，y=﹣1，故B错误，C、x=﹣1，y=，故C正确；D、x=﹣1，得y=﹣2，故D错误；故选：C．4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0＜α＜2π，满足已知条件α的范围，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故选：D．5．对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次，得到数据如下：，，，，，建立的回归直线方程为y=kx+88，其对应的直线的倾斜角为β，则sin2β+2cos2β=（）A．B．1 C．2 D．3【分析】利用回归直线方程过样本中心点，求出k，可得tanβ=，利用sin2β+2cos2β=+，即可得出结论．【解答】解：由题意，=×=176，=×=176，∵回归直线方程为y=kx+88，∴176=176k+88，∴k=，∵直线的倾斜角为β，∴tanβ=，∴sin2β+2cos2β=+=+=+=2，故选：C．6．数据x1，x2，…x n的平均数为，方差为S2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…3x n﹣1的方差是（）A．S2B．3S2C．9S2D．9S2﹣6S+1【分析】根据平均数与方差的定义，即可推导出结论．【解答】解：数据x1，x2，…x n的平均数为=（x1+x2+…+x n），方差为S2= [++…+]；所以数据3x1﹣1，3x2﹣1，…3x n﹣1的平均数为= [（3x1﹣1）+（3x2﹣1）+…+（3x n﹣1）]=3•（x1+x2+…+x n）﹣1=3﹣1，方差为s′2= [++…+]=9• [++..]=9s2．故选：C．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x ）=sin （2x +），再由题意可得x 1+x 2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1， =，解得ω=2，∴f （x ）=sin （2x +φ）， 代入点（，0）可得sin （+φ）=0∴+φ=k π，∴φ=k π﹣，k ∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f （x ）=sin （2x +），∴sin （2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），∴x 1+x 2=×2=，∴f （x 1+x 2）=sin （2×+）=，故选：D8．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，令a=f （sin π），b=f （cos π），c=f （tan π），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【分析】由题意和诱导公式化简cos π、tan π，根据偶函数的性质化简b 、c ，由三角函数的性质判断出tan 、 sin、cos三者的大小关系，由偶函数的单调性和条件判断出f （x ）在区间[0，+∞）上单调性，利用单调性可得答案．【解答】解：由得，cos π=﹣cos，tan π=﹣tan，∵函数f （x ）是R 上的偶函数，∴b=f （cos π）=f （cos ），c=f （tan π）=f （tan ），∵，∴tan＞sin＞cos，∵偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f （x ）在区间[0，+∞）上是增函数，则f （tan）＞f （sin ）＞f （cos ），即c ＞a ＞b ，故选A．9．定义行列式运算=a1a4﹣a2a3．将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B． C．D．【分析】由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得n+=kπ，k∈z，从而求得n的最小值．【解答】解：函数f（x）==cosx﹣sinx=2cos（x+）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z，则n的最小值为，故选：B．10．在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=，过A作AP⊥BC于P，且=λ+μ，则λμ=（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．【解答】解：==﹣1．∵AP⊥BC，∴=（λ+μ）•=（λ﹣μ）﹣+=﹣（λ﹣μ）﹣4λ+μ=﹣5λ+2μ=0，与λ+μ=1联立解得：，μ=．则λμ=．故选：A．11．设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则p、q之间的关系是（）A．p+q+1=0 B．p﹣q+1=0 C．p+q﹣1=0 D．p﹣q﹣1=0【分析】因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则根据一元二次方程的根的分布与系数关系得到相加等于﹣p，相乘等于q，再根据两角差的正切公式找出之间的关系即可．【解答】解：因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，得tanθ+tan（﹣θ）=﹣p，tanθtan（）=q又因为1=tan[θ+（﹣θ）]==，得到p﹣q+1=0故选B12．定义在R上的函数f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|），给出下列结论：①f（x）为周期函数②f（x）的最小值为﹣1③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值④当且仅当2kπ﹣＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π．其中正确的结论序号是（）A．①④⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤【分析】根据绝对值的应用将函数进行化简，然后作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：当sinx≥cosx，即x∈[2kπ+，2kπ+]时，f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|）=（sinx+cosx+sinx﹣cosx）=sinx，当sinx＜cosx，x∈[2kπ﹣，2kπ+]时，f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|）=（sinx+cosx﹣sinx+cosx）=cosx，作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如图：取函数的最大值，即为函数f（x）=max{sinx，cosx}，①函数以2π为周期的周期函数，故①正确，②由图象知函数的最小值为﹣，故②错误③由图象知当且仅当x=2kπ﹣时，函数取得最小值﹣，故③错误，④由图象知当2k π﹣＜x ＜（2k +1）π，（k ∈Z ）时，f （x ）＞0成立，故④正确，⑤∵函数的周期是2π，∴f （x ）的图象上相邻最低点的距离为2π正确，故⑤正确，故正确的是①④⑤， 故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中横线上. 13．若10b1（2）=a02（3），则数字a +b= 2 ．【分析】可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可将二进制数或三进制数转化为十进制数，考虑到进制中数字的取值范围，从而得到答案． 【解答】解：（10b1）2 =1×23+0×22+b ×21+1×20 =8+0+2b +1=9+2b （b=0或1）； （a02）3=a ×32+0×31+2×30 =9a +2（a=0或1或3）． 根据题意得，9+2b=9a +2， ∴a=1，b=1． ∴a +b=2． 故答案为：2．14．若sin α是方程5x 2﹣7x ﹣6=0的根，则= ．【分析】求解方程的根，可求sin α的值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把sin α的值代入即可得解．【解答】解：解得方程5x 2﹣7x ﹣6=0的两根为x 1=﹣，x 2=2， ∵sin α是方程5x 2﹣7x ﹣6=0的根，可得：sin α=﹣或2（舍去），∴===﹣=．故答案为：．15．在△ABC 中，=•，++=，且||=||=1，则•等于 3 ．【分析】根据条件进行向量数量积的运算，并由向量加法的几何意义便可得出，从而得出△ABC 为直角三角形，并且点O 为边BC 的中点，从而可画出图形，根据图形可求出AC 的大小，进而得出cos ∠ACB 的值，从而得出的值．【解答】解：；∴=；∴AB⊥AC；=；∴；∴O在为BC的中点；如图所示：∵；∴AB=1，BC=2；∴，；∴=．故答案为：3．16．若（cosa）2+2msina﹣2m﹣2＜0对a∈R恒成立，则实数m的取值范围（1﹣，+∞）．【分析】将不等式进行转化，利用换元法将函数转化为一元二次函数，根据一元二次函数的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：不等式等价为1﹣sin2a+2msina﹣2m﹣2＜0对一切a∈R恒成立，即sin2a﹣2msina+2m+1＞0恒成立，设t=sina，则﹣1≤t≤1，则不等式等价为t2﹣2mt+2m+1＞0，在﹣1≤t≤1上恒成立，设f（t）=t2﹣2mt+2m+1，﹣1≤t≤1，对称性t=m，若m≤﹣1，则函数f（t）在[﹣1，1]上为增函数，则满足f（﹣1）=1+2m+2m+1=4m+2＞0，即m＞﹣，此时不成立，若﹣1＜m＜1，则满足f（m）=m2﹣2m2+2m+1＞0，即m2﹣2m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+，此时1﹣＜m＜1，若m≥1，则函数f（t）在[﹣1，1]上为减函数，则满足f（1）=1﹣2m+2m+1=2＞0，恒成立，此时m≥1，综上m＞1﹣，故答案为：（1﹣，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.17．已知向量=（1，2），=（x，1）（1）若＜，＞为锐角，求x的范围；（2）当（+2）⊥（2﹣）时，求x的值．【分析】（1）由于＜，＞为锐角，可得=x+2＞0，且与不共线，即2x﹣1≠0．解出即可．（2）由（+2）⊥（2﹣），可得（+2）•（2﹣）=﹣+3=0，再利用数量积运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵＜，＞为锐角，∴=x+2＞0，且与不共线，即2x﹣1≠0．解得x＞﹣2，且．∴x的范围是{x|x＞﹣2，且}．（2）∵（+2）⊥（2﹣），∴（+2）•（2﹣）=﹣+3=0，∵=，，∴2×5﹣2×（x2+1）+3（x+2）=0，化为2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2或．18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级的男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6）[6，8）[8，10）[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，求所抽取的2名学生来自同一组的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数．（2）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．（3）此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2，4）的有2人，成绩在[4，6）的有6人，由此能求出所抽取的2名学生来自同一组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：（0.025+0.075+0.2+0.15+a）×2=1，解得a=0.05．∵有4名学生的成绩在10米到12米之间，又成绩在10米到12米之间的频率为0.05×2=0.1，∴参加“掷实心球”项目测试的人数为：人．（2）由频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀，∴估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．（3）此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2，4）的有：0.025×2×40=2人，成绩在[4，6）的有：0.075×2×40=6人，从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，基本事件总数n==28，所抽取的2名学生来自同一组包含的基本事件个数m==16，∴所抽取的2名学生来自同一组的概率p==．19．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，求b的最小值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，求得b的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=2sin（2x﹣）．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=2sin（2x+﹣）+1=2sin2x+1的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少含有8个零点，令g（x）=0，求得sin2x=﹣，即2x=2kπ+，或2x=2kπ+k∈Z，即x=kπ+，或x=kπ+，故k=0，1，2，3，故b的最小值即函数g（x）的第8个零点（从小到大排列），即3π+=．20．（1）一个袋子中装有四个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．（2）设m，n是区间[0，1]上随机取得的两个数，求方程x2﹣x+m=0有实根的概率．【分析】（1）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．（2）关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：（1）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=；（2）试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥2m}（如图阴影所示）．面积为=所以所求的概率为．21．已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．【分析】（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件||=得出sinθ+cosθ=再两边平方即可得解．（2）根据向量相等和条件m+n=求出然后再代入（m﹣3）2+n2中可得（m﹣3）2+n2=﹣3（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m﹣3）2+n2=﹣6sin（θ+）+10从而可得出当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．【解答】解：（1）∵|﹣|=||，A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）∴||2=（cosθ﹣1）2+（sinθ﹣1）2=﹣2（sinθ+cosθ）+4．∴﹣2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=，两边平方得1+sin2θ=，∴sin2θ=﹣．（2）由已知得：（m，m）+（n，﹣n）=（cosθ，sinθ），∴解得∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9，=﹣3（sinθ+cosθ）+10=﹣6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．22．已知向量=（λcosα，λsinα）（λ≠0），=（﹣sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．（1）若α﹣β=，且λ＜0，求向量与的夹角；（2）若||≥2||对于任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．（2）利用向量模的坐标公式将已知条件转化为λ2﹣2λsin（α﹣β）+1≥4对任意的α，β恒成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围【解答】解：（1）设它们的夹角为θ，∵向量=（λcosα，λsinα）（λ≠0），=（﹣sinβ，cosβ），∴•=﹣λcosαsinβ+λsinαcosβ=λsin（α﹣β）=λsin=，||=|λ|=﹣λ，||=1，∴cosθ===﹣，∴θ=，（2）∴=﹣，∴||2=|﹣|2=||2+||2﹣2•=1+λ2﹣2λsin（α﹣β），∵||≥2||对于任意实数α，β都成立，∴λ2﹣2λsin（α﹣β）+1≥4，即λ2﹣2λsin（α﹣β）﹣3≥0对任意实数α、β都成立∵﹣1≤sin（α﹣β）≤1，∴解得λ≤﹣3或λ≥3．2016年8月18日。