2014年高考复习理科数学试题(7)
2014年新课标Ⅰ卷高考理科数学试卷真题及解析
数f ( x), 则y f ( x)在[0, ]上的图像大致为( C )
y
y
1
1
NP
x 0 MA
0
πx 0
πx
A
B OM OP cos x cos x
y
y
f ( x) MN OM sin x
1
1
sin x cos x 1 sin 2 x
0
πx 0
πx
2
C
D
7.执行下图的程序框图, 若输入的a, b, k分别为1, 2, 3, 则
p3 : ( x, y) D, x 2 y 3, p4 : ( x, y) D, x 2 y 1.
其中真命题是( C )
y
A. p2 , p3
B. p1 , p4
C . p1 , p2
D. p1 , p3
作可行域如图所示, x y 1 直线OA的方程为x 2 y 0, 所以( x, y) D, x 2 y 0 O p1 , p2正确
输出M
n n1 b M a b M a 1 b
结束
8.设 (0, ), (0, ), 且 tan 1 sin , 则( B )
2
2
cos
A.3
2
C.3
2
B.2
2
D.2
2
tanα sinα 1 sin β , sinαcos β cos α cos αsin β cosα cos β
2i(1 i) 2i
1 i
D. 1 i
3.设函数f ( x), g( x)的定义域都为R, 且f ( x)是奇函数,
g( x)是偶函数, 则下列结论正确的是( )
A. f ( x)g( x)是偶函数
2014届高考总复习理科数学试题
2014届高考总复习理科数学试题（3）本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()()21i 2z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ⋃={}4,{}1B =，2,则 3. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n , 下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输 出的值是95,则6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解 析式是7．给出下列四个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则ba11+的最小值为1．其中正确结论的个数为8. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．设二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ,则=A ．10．一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦．11．设z kx y =+，其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则k = .12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .13．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为13cos (13sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），点Q 的极坐标为（2，4π）．若点P 是圆C 上的任意一点，,P Q 两点间距离的最小值为 .15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB __________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ．（１）求sin A 的值；（２）若42a =,5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影． 17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率． 18．(本小题满分14分)如图4，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，1AB AD PD ===,2CD =．(1) 求证：//BE 平面PAD ； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PBD ；确定λ的值(3) 设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r,试使得二面角Q BD P --为︒45．19．（本小题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<L 都有．20．(本小题满分14分)已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点132⎛⎫⎪⎝⎭，． （１）求椭圆R 的方程；（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐标分别为6,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：22NC ND +=．21．（本小题满分14分） 已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f ． （1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；（3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=331)(，若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围．理科数学参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2． 对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案C A C B A D CA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析(2014高考)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．4 D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4C．4 D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E=1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c o s ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． 20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。
2014高考试题及解析 (理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号框。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.已知集合=M {0，1，2},}023|{2≤+-=x x x N ，则=⋂N MA. {1}B. {2}C. {0，1}D. {1，2} 2.设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z A. -5 B. 5 C. i +-4 D. i --4 3.设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则=⋅b aA. 1B. 2C. 3D. 5 4.钝角三角形ABC 的面积是21，1=AB ，2=BC ，则=AC A. 5 B. 5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为2A ．2717 B ．95 C ．2710 D ．317.执行右面的程序框图，若输入的x ，t 均为2， 则输出的s = A ．4 B ．5 C ．6D ．78.设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a A.0 B.1 C.2 D.39.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,053,013,07y x y x y x 则y x z -=2的最大值为A.10B.8C.3D.210.设F 为抛物线C ：x y 32=的焦点，过F 且倾斜角为030的直线交C 于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为 A ．433 B ．839 C ．3263 D ．4911.直三棱柱111C B A ABC --中，090=∠BCA ，M ,N 分别是11B A ,11C A 的中点，1CC CA BC ==,则BM 与AN 所成角的余弦值为A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 12.设函数mxx f πsin 3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足2220)]([m x f x <+，则m 的取值范围是A ．),6()6,(+∞⋃--∞B ．),4()4,(+∞⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞第 3 页 共 6 页第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2014届高三理科数学测试题
2014届高三理科数学测试题2014届高三测试题 数学（理科）第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、i 为虚数单位，若11a ii i+=-，则a 的值为（ ） A. i B. i - C. 2i - D. 2i2、已知集合{}|-22A x a x a =<<+，{}| 2 4 B x x x =≤-≥或，则A B ⋂=∅的充要条件是A. 02a ≤≤B. 22a -<<C. 02a <≤D. 02a <<3、已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a>> C.2ab a ab >>D ．2ab aba>>4、设向量(cos55,sin 55),(cos 25,sin 25)a b =︒︒=︒︒，若t 是实数，则||a tb -的最小值为( )A.22 B. 21 C. 1 D. 25、曲线331x y =在x=1处切线的倾斜角为 ( )（A ）1 （B ）4π- （C ）4π （D ）54π6、已知4cos sin 365παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．23 B ．23 C ．45-D ． 457、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．8、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t≥恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0)[l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9～13题） 9、数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nn Sa =-，则{}na 的通项公式na =_____．10、由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是和DC 相交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD= ．三、解答题：本大题共4小题，满分52分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量.4cos ,4cos ,2,4sin 322⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x n x m（I ）若⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅3cos ,2πx n m 求的值； （II ）记n m x f ⋅=)(，在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|x-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B=A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)2.(1+i)³/(1-i)²=A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.已知F是双曲线C：x-my=3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A.3B.3mC.3D.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率=A.1/3B.5/8C.7/8D.16.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为图片无法显示)7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=图片无法显示)A.2016B.715C.35D.288.设α∈(0,π/2)，β∈(0,π/2)，且tanα=(1+sinβ)/cos²β，则3α-β=A.2α-βB.2α+βC.3α+βD.3α-β9.不等式组{x+y≥1，x-2y≤4}的解集记为D。
有下面四个命题：p1：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≥-2；p2：存在(x,y)∈D，使得x+2y≥2；p3：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≤3；p4：存在(x,y)∈D，使得x+2y≤-1.其中真命题是A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p310.已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若2FP=4FQ，则|QF|=A.7/5B.3C.√3D.21.已知函数$f(x)=ax-3x+1$，若$f(x)$存在唯一的零点$x$，且$x>0$，则$a$的取值范围为$\textbf{(C)}$（$1$，$+\infty$）。
2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（全国Ⅰ）数学（理科）第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．（ 1）【 2014 年全国Ⅰ，理 1， 5 分】已知会集 Ax x 22x 30 ， Bx 2x 2，则AB =（）（A ） 2,1 （B ） 1,2 （C ）1,1 （D ） 1,2【答案】 A【剖析】∵ Ax x 22x 3 0x x1 或 x3 ， B x 2 x 2 ，∴ A B x 2 x 1 ，应选 A ．3（ 2）【 2014 年全国Ⅰ，理2，5 分】 1 i1 2i （A ）1i （ B ） 1 i （ C ） 1i （D ） 【答案】 D（）1 i【剖析】∵(1i) 32i(1 i)2 1 i ，应选 D ． (1 i) 2i（ 3）【 2014 年全国Ⅰ，理 3， 5 分】设函数 f x ， g x 的定义域为 R ，且 fx 是奇函数， g x 是偶函数，则以下结论中正确的选项是（）（ A ） f ( x) g (x) 是偶函数（ B ） f (x) g( x) 是奇函数（ C ） f ( x) | g( x) |是奇函数（ D ） | f (x)g ( x) | 是奇函数【答案】 C【剖析】∵ f x 是奇函数， g x 是偶函数，∴f (x) 为偶函数， g( x) 为偶函数．再依照两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f (x) | g (x) | 为奇函数，应选 C ．（ 4）【 2014 年全国Ⅰ，理 4， 5 分】已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（）（ A ） 3 （ B ） 3（C ） 3m （ D ） 3m 【答案】 A 【剖析】由 C ： x 2my 23m(m0) ，得 x 2y 2 1 ， c 2 3m 3,c3m 3，设 F3m 3,0 ，一条渐近线3m3y3my0 ，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离d3m33 ，应选 A ．x ，即 x1 m3m（ 5）【 2014 年全国Ⅰ，理 5， 5 分】 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（） （ A ） 1（B ） 3（C ）5（D ）78 8 88 【答案】 D【剖析】由题知 F 13,0 ， F 23,0 且x 02y 0 2 1，因此 MF 1 MF 23 x 0 , y 03 x 0 , y 02x 02 y 023 3y 021 0 ，解得3 y 0 3，应选 D ．3 3（ 6）【 2014 年全国Ⅰ，理 6，5 分】如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP的距离表示为 x 的函数 f (x) ，则 y f ( x) 在 0, 上的图像大体为（）（A ） （B ）（ C ）（D ）【答案】 B【剖析】如图：过 M 作 MDOP 于D ，则 PM sin x ， OMcos x ,在 Rt OMP 中，OM PMcos x sin x1 1 MDcos x sin x sin 2 x ，∴f xsin 2x (0 x ) ，OP122应选 B ．（ 7）【 2014 年全国Ⅰ，理 7， 5 分】执行以下列图的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的M （）（ A ） 20（B ） 16（C ） 7 （D ） 1535 28【答案】 D【剖析】输入 a1, b 2, k 3 ； n 1时：M 11 3 , a 2,b 3 ；222n 2 时： M 228, a3,b8； n 3时： M3 3 15 , a 8,b 15 ；33 2328 8 38n 4 时：输出 M15，应选 D ．81sin（ 8）【 2014 年全国Ⅰ，理 8， 5分】设(0,) ， (0, ) ，且 tan，则（）cos22 （A ） 3（B ） 2（C ） 3 2 （D ） 2 2【答案】 B 22【剖析】∵ tansin 1 sin coscoscos sin， sincossin，coscos ，∴ sin222 ,0 2，∴2，即 2，应选 B ．22x y 1的解集记为 D ．有下面四个命题： p 1 ： ( x, y) D , x 2 y 2 ，（ 9【） 2014 年全国Ⅰ，理 9，5 分】不等式组2y 4 xp 2 ： (x, y) D, x 2 y 2 , P 3 ： ( x, y) D , x 2 y 3 ， p 4 ： (x, y)D , x 2 y 1 ．其中真命题是（）（ A ） p 2 ， p 3 （ B ） p 1 ， p 4 （C ） p 1 ， p 2 （ D ） p 1 ，p 3 【答案】 C【剖析】作出可行域如图： 设 x 2 y z ，即 y1x z，当直线过 A 2, 1 时，zmin2 2 0 ，2 2∴ z 0 ，∴命题 p 1 、 p 2 真命题，应选 C ．（ 10）【 2014 年全国Ⅰ，理 10，5 分】已知抛物线 C ： y 28x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ ，则 |QF |（）（ A ） 7 （B ） 5（C ）3（D ）22 2【答案】 C【剖析】过 Q 作 QMl 于 M ，∵ FPPQ 3 ，又QM PQ 3 3 ，4FQ ，∴44PF，∴ QMPF4由抛物线定义知 QF QM3，应选 C ．（ 11）【 2014 年全国Ⅰ，理 11，5 分】已知函数 fxax 3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 00 ，则 a的取值范围为（）（A ） 2,（B ）, 2 （C ） 1,（ D ）, 1【答案】 B【剖析】解法一：由已知 a0 ， f ( x)3ax 26 x ，令 f (x) 0 ，得 x 0 或 x2 ，a当 a0 时， x,0 , f (x) 0; x0,2, f ( x) 0; x2 , , f (x) 0 ；aa且 f (0) 10 ， f (x) 有小于零的零点，不吻合题意．当 a0 时， x2 0; x2 , f (x) 0; x0,, f (x),, f ( x) ,0aa要使 f (x) 有唯一的零点x 0 且 x 00 ，只需 2) 0 ，即 a2， a2 ，应选 B ．f ( 4a解法二：由已知 a0 ， f x ax33x21 有唯一的正零点，等价于a 3 1 13 有唯一的正零根，令 t1，则t 3t 3 x xx 问题又等价于 a3t 有唯一的正零根，即y a 与 y3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t)3t 2 3 ，由 f (t )0 ， t 1 ， t, 1 , f (t) 0;t1,1 , f (t )0; ，t 1,, f (t ) 0 ，要使 a33t 有唯一的正零根，只需 af ( 1)2 ，应选 B ．t （ 12）【 2014 年全国Ⅰ，理 12， 5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（ A ） 6 2 （B ） 4 2 （C ）6（D ）4【答案】 C【剖析】以下列图，原几何体为三棱锥D ABC ，其中 ABBC 4,AC 4 2,DB DC 2 5，26 ，应选 C ．DA4 24 6 ，故最长的棱的长度为 DA第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必定作答．第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分（ 13）【 2014 年全国Ⅰ，理 13， 5 分】 (x y)( xy)8的张开式中 x 2 y 2 的系数为．（用数字填写答案）【答案】 20【剖析】 (x y)8 张开式的通项为T r 1 C 8r x 8 r y r (r0,1, ,8) ，∴ T 8C 87 xy 7 8xy 7 ， T 7 C 86 x 2 y 628x 2 y 6 ，∴ (xy)( x y)8 的张开式中 x 2 y 7 的项为 x 8 xy 7 y 28 x 2 y 6 20 x 2 y 7 ，故系数为20 ．（ 14）【 2014 年全国Ⅰ，理 14， 5 分】甲、乙、丙三位同学被问到可否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由 此可判断乙去过的城市为． 【答案】 AA 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B【剖析】由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 城市，则乙只能是去过 A ， B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的 城市为 A ． （ 15）【 2014 年全国Ⅰ，理 15，5 分】已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO1(ABAC)，则 AB 与 AC 的2夹角为．【答案】 900【剖析】∵ AO 1 ( AB AC) ，∴ O 为线段 BC 中点，故 BC 为 O 的直径，∴BAC 900，∴ AB 与 AC 的夹2角为 90 0 ．a,b,c 分别为A,B,C 的对边， a（ 16 ）【 2014 年全国Ⅰ，理16， 5 分】已知ABC 的三个内角2 ，且(2 b )(sin AsinB ) c ( b ) sinC ，则 ABC 面积的最大值为．【答案】 3【剖析】由 a2且(2 b)(sin A sin B)(c b)sin C ，即 (a b)(sin A sin B) (cb)sin C ，由及正弦定理得：2221，∴(a b )(ab) (c b)c ，∴ b 2c 2 a 2bc ，故 cos Abc a A 600 ，∴ b 2c 2 4 bc ，12bc24 b 2 c 2 bcbc ，∴ S ABCbc sin A3 ． 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 17）【 2014 年全国Ⅰ，理 17，12 分】已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 11 ， a n 0 ， a n a n 1S n 1，其中为常数．（ 1）证明： a n 2 a n；（ 2）可否存在 ，使得 a n 为等差数列？并说明原由．解：（ 1）由题设 a n a n 1S n 1 ， a n 1 a n 2S n 1 1，两式相减 a n 1an 2a na n 1 ，由于 a n0 ，因此 a n 2 a n．6分（ 2）由题设 a 1 1 ， a 1a 2S 1 1，可得 a 211，由（ 1）知 a 31假设 a n 为等差数列，则 a 1 ,a 2 ,a 3 成等差数列，∴ a 1 a 3 2a 2 ，解得4 ；证明4 时， a n 为等差数列：由 a n2a n 4 知：数列奇数项构成的数列a2 m 1是首项为 1，公差为4 的等差数列 a 2m14m 3 ，令 n 2m 1, 则 m n 1，∴ a n 2n 1 ( n 2m 1)2n ，数列偶数项构成的数列 a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a 2m 4m 1 ，令 n 2m, 则 m ∴2 1 ，∴ （ * ），2a n n ( n 2m) a n2n 1 n n 1a n2N a因此，存在存在4 ，使得 a n 为等差数列．12 分（ 18）【 2014 年全国Ⅰ，理 18， 12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得以下频率分布直方图：（ 1）求这 500 件产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（ 2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 遵从正态分布 N ( , 2 ) ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s 2 ．（ i ）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示 100 件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX ．附： 15012.2 ．若 Z N ( , 2) ，则 P(Z) 06826.，P(2Z2 ) =0.9544．解：（ 1）抽取产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 分别为：x 170 0.02 1800.09 1900.22 200 0.33 2100.24 220 0.08 2300.02 200s 230 220.0920.22 00.33 10220.08302150 ．0.0220100.24200.02 6 分（ 2）（ⅰ）由（1）知 Z N(200,150)，从而 P(187.8 Z212.2) P(200 12.2 Z200 12.2)0.6826． 9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 X B(100,0.6826)，因此 EX 100 0.6826 68.26 ．12 分（ 19）【 2014 年全国Ⅰ，理 19， 12 分】如图三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， ABB 1C ．（ 1）证明： AC AB 1 ；（ 2）若 ACAB 1 ，CBB 1 60 o， AB BC ，求二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值．解：（ 1）连结 BC 1 ，交 B 1C 于 O ，连结 AO ．由于侧面 1 1 为菱形， 因此 B 1CBC 1 ，BBC C且O 为 B 1C 与 BC 1 的中点．又 AB B 1C ，因此 B 1C 平面 ABO ，故 B 1 C AO又 B 1O CO ，故 AC AB 1 ． 6分（ 2）由于 AC AB 1 且 O 为 B 1C 的中点，因此 AOCO ，又由于 AB BC ，因此 BOABOC ，故 OA OB ，从而 OA ， OB ， OB 1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方 向，OB 为单位长，建立以下列图空间直角坐标系O xyz ．由于CBB 1 600 ， 因此 CBB 1 为等边三角形． 又 ABBC ，则 A 0,0,3，B 1,0,0， 0,3 ，B 1,033C 0,3 ,0 ， AB 1 0, 3 , 3， A 1B 1 AB1,0,3 ，33 33B C1 BC1, 3 ,0 ，设 nx, y, z 是平面的法向量，则n AB 1，即13n A 1B 13y3 03zm A 1 B 13因此可取 n1, 3,3 ，设 m 是平面的法向量，则，同理可取3n B 1C 1xz 03m1,3, 3 ，则 cos n, mn m 1 ，因此二面角 AA 1B 1C 1 的余弦值为1．12分n m 77223，F 是（ 20）【 2014 年全国Ⅰ，理 20， 12 分】已知点 A 0, 2 ，椭圆 E ：xy 1(a b 0) 的离心率为a 2b 22椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为23， O 为坐标原点．（ 1）求 E 的方程；3（ 2）设过点 A 的直线 l 与 E 订交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．解：（ 1）设 F c,0 ，由条件知2 2 3，得 c 3 ，又c3 ，c 3a 2因此 a2 ， b2a2c21，故 E 的方程x 2y 21 ． 6分42（ 2）依题意当 lx 轴不合题意， 故设直线 l ：y kx 2 ，设 P x 1y, 1 Q, x y 2 , 2，将 y kx 2 代入xy 2 1 ，4得 14k 2x216kx12 0 ，当16(4 k23)0 ，即 k23时， x 1,2 8k 2 4 k 2 341 4k 2从而 PQk21 x 1x 24 k21 4k 23，又点 O 到直线 PQ 的距离 d2 ，因此 OPQ 的1 4k 2k 2 1 面积 S OPQ14 4k 2 3，设4k 23 t ，则 t0 ，S OPQ4t41 ，d PQ12t 2 4424ktt当且仅当 t2 ， k7等号建立，且满足0 ，因此当 OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y77x 2 或 yx 2 ．.12 分22be x 1（ 21）【 2014 年全国Ⅰ，理 21， 12 分】设函数 f xae x ln x，曲线 y f ( x) 在点 1, f 1 处的切线为xy e(x 1) 2 ．（ 1）求 a, b ；（ 2）证明： f ( x) 1．解：（ 1）函数 f (x) 的定义域为 0,，xa xb x 1 b x 1xex 2exef (x) ae ln x由题意可得 f (1)2, f (1) e ，故 a 1,b2 ． 6分x2e x 1 x2（ 2）由（ 1）知， f (x)ln x，从而 f ( x) 1 等价于 x ln x xex ln x ，则ex，设函数 g( x)eg (x) xln x ，因此当 x0, 1 时， g ( x) 0 ，当 x1 ,时， g (x) 0，故 g( x) 在 0,1单调减，eee在1,单调递加，从而 g( x) 在 0,的最小值为g( 1)1． 8分eee设函数 h(x)xex2，则 h (x) ex1 x，因此当 x0,1 时， h (x)0 ，当 x1,时， h ( x) 0 ，e故 h(x) 在 0,1 单调递加，在 1,单调递减，从而 h( x) g( x) 在 0,的最小值为 h(1)1 ． 综上：当 x0 时， g( x)h( x) ，即 f ( x) 1.12e分请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．若是多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑． ABCD 是（ 22）【 2014 年全国Ⅰ，理 22，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 CBCE ．（ 1）证明： D E ；（ 2）设 AD 不是O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MBMC ，证明： ABC 为等边三角形．解：（ 1）由题设得， A ， B ， C ， D 四点共圆，因此， D CBE又 CB CE ， CBE E ，因此 D E5 分（ 2）设 BC 的中点为 N ，连结 MN ，则由 MB MC 知MN BC ，故 O 在直线 MN 上，又AD 不是 O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM AD ，即 MN AD ，因此 AD / /BC ，故 A CBE ，又 CBE E ，故 A E ，由（ 1）知， D E ，因此 ADE 为等边三角形．10 分2 2（ 23）【 2014 年全国Ⅰ，理 23，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C :xy1 ，49直线 l : x 2 t （ t 为参数）．y 2 2t（ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程；（ 2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大值与最小值．解：（ 1）曲线 C 的参数方程为x 2cos （为参数）直线 l 的一般方程为 2xy 60 ． 5分y3sin（ 2）曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin) 到 l 的距离为 d5| 4cos3sin6 |，5则|PA|d2 5 | 5sin() 6| ，其中为锐角，且 tan4 ，sin3053当 sin()1时， | PA | 获取最大值，最大值为2255当 sin() 1时， | PA | 获取最小值，最小值为 25 ．10 分50 且11（ 24）【 2014 年全国Ⅰ，理 24， 10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若 a0 ， bab ．（ 1）求 a 3 b 3 的最小值；ab（ 2）可否存在 a, b ，使得 2a 3b 6？并说明原由．解：（ 1）由 ab 1 1 2，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号建立．a bab故 a 3 b 32 a3 b 34 2 ，且当 a b 2 时等号建立，因此a 3b 3 的最小值为 4 2 ．5分（ 2）由（ 1）知， 2a 3b 2 6 ab 4 3，由于 4 3 6 ，从而不存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ．10 分。
2014年高考理科数学总复习试卷第7卷
2014年高考理科数学总复习试卷第7卷一、选择题1、（2009韶关一模）复数i215+的共轭复数为 （ ） A.－31035-i B.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i2．已知()()2,1,1,3-=-=b a ，若()()b k a b a ++-∥2，则实数k 的值是 （ ） A. -17 B. 21-C. 1819 D.353、下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是 （ ）A ()sin f x x =； B ()1f x x =-+； C 1()()2x x f x a a -=+； D 2()2x f x ln x-=+.4．在(1－x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中，若2a 2+a n-5=0， 则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.105．⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切， 则动圆圆心轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．双曲线的一支 6、若x 2sin 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为：（ ）A 、8331+ B 、8331- C 、8331± D 、421-7．双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则双曲线的离心率为（ ）A ．25B ．5C ．23 D ．38．设a ,b ∈R ，ab ≠0，则直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 ( )9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610、在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）x y O A x y x O C x y x O B x y x O D（A ）32 (B)36 (C) 34 (D)3311、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AA 1＝AB ＝AD ＝1∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°， ∠BAD ＝90°，则直线A 1D 1到平面ABCD 的距离为 A 、1 B 、33 C 、22 D 、6312．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示.则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．8二.填空题13、已知函数22x1x )x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f 。
2014年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i+=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x = 1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF=，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年高考复习理科数学试题(70)
2014年高考复习理科数学试题(70)注意事项：1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将第I 卷答案的序号填涂在答题卡上，第II 卷答案填写在答卷的相应位置上；2. 本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A C B = （ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则3z x y =-的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ） A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 23-或 D. 23或5. 已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =- , 且//a b , 则b = ( )A. 3B. 5C. 25D. 22 6. 曲线3123y x =-在点（5(1,)3-处切线的倾斜角为（ ）A. 6πB. 4πC. 34πD. 56π7. 给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“2sin 2A >”的充要条件.其中不正确的命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 08. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下列函数： ①x x x f cos sin )(+=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④2sin 2)(+=x x f .其中“互为生成”函数的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9. 已知0x >，则43x x--的最大值为 ． 10. 在ABC ∆中，3B π=，且43BA BC ⋅= ,则ABC ∆的面积是____________.11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 12. 右面是计算3331021+++ 的程序框图，图中的①、②分别 是 和_____________.13. 设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则12332h h h a ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分. 14.（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm . 15. （坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为_____ ______.三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值.17．（本小题满分12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴、求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； ⑵、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶、设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（本小题满分14分）如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，12BB =，M 是线段11B D 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ； （Ⅱ）求证：1D O ⊥平面1ABC ； （Ⅲ）求二面角1B AB C --的大小．19．（本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？第18题图20．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*N n n f ∈.（1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式； （2）记()(1)2n nf n f n T ⋅+=，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由.参考答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADACCBBD1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U A C B = {}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值. 3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b = 25.6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==.7.选 Ａ．提示：①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“2sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可. 10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13.63a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长222l r d =-得.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力)（Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=,∴21sin 3θ= …………………10分由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>, 故3sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：ξ12P34 1418. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，12BB =， ∴1122B D =，12OB =，12D O =， 则2221111OB DO B D +=， ……… 12分∴11OB DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1AC OB O = ，∴1D O ⊥平面1ABC ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CB BE B = ，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分 在Rt BEC ∆中，233BE =，2BC = ∴tan 3BEC ∠=，60BEC ∠=， ∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分 解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ， 则点(1,1,0)O 、1(0,0,2)D ，∴1(1,1,2)OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1,2)M ，∴(1,1,2)BM =--∴1OD BM = ，且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1,2)(1,1,2)0OD OB ⋅=--⋅=， 1(1,1,2)(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥ ，即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O = ，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量．∵11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥ ，∴1(1,1,2)OD =--为平面1ABC 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>= ，∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，11122AB B S AB B B ∆=⋅⋅=，111222AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴1121cos 222AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60…………14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k=·， 于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分x [)02，2 (212)， 12 (]1230， ()f x ' - 0 +0 - ()f x 极小 极大…………12分故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥ ∵,BC BF b k b k c =-=∴1b b c -⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分 解得512c -= --------------------------------------5分 ∴椭圆512c e a -==--------------------6分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12c x -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =-∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分 由①②得21,22c b c x y b--==， 即21,22c b c m n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b = ∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++== 119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n+++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时 8817781277n n -<-， 81577n <即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877nt ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。
2014年全国高考数学理科试题汇编(超全)
目录（共14单元）：【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：A单元集合与常用逻辑用语【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：B单元函数与导数【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：C单元三角函数【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：D单元数列【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：E单元不等式【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：F单元平面向量【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：G单元立体几何【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：H单元解析几何【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：I单元统计【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：J单元计数原理【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：K单元概率【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：L单元算法初步与复数【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：M单元推理与证明【最新】2014年全国高考数学（理）真题分类汇编：N单元选修4系列（资料超全，共282页！）A单元集合与常用逻辑用语A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.16．[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100³2＋10³0＋1＝201.1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝() A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝() A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝() A．(－3，0) B．(－3，－1) C．(－3，－1] D．(－3，3)2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为()A．2 B．3 C．5 D．71．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝() A．(－2，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－2，3)1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2) C．[1，2) D．(1，4)2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝() A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．故选D.20．[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2²2＋x3²22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞) C．(2，5) D．[2，5]1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.∵sin≤A sin B，∴2R sin A≤2R sin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．D[解析] 对于选项A，a>0，且b2－4ac≤0时，才可得到ax2＋bx＋c≥0成立，所以A错．对于选项B，a>c，且b≠0时，才可得到ab2>cb2成立，所以B错．对于选项C，命题的否定为“存在x∈R，有x2<0”，所以C错．对于选项D，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D正确5．[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a²b＝0，b·c＝0，则＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧q C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨(⌝q)5．A[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．C[解析] 函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0 ，所以p是q的必要不充分条件．4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假8．A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．15．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．⌝p ∧qC ．⌝p ∧(⌝q )D ．p ∧q6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则⌝q 为真命题，所以p ∧(⌝q)为真命题．A3 基本逻辑联结词及量词2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．C [解析] “∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C. 3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∈/R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则⌝p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得⌝p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0.3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则⌝p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B. ∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C. ∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D. ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤13．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12答案：A2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案：A 7． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案：D2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案：C3． [2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案：CB2 反函数12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )答案：DB3 函数的单调性与最值2． [2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案：A 7． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案：D21． [2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)；(2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 答案：115．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)答案：①③④21． [2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．答案：解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0.又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．B4 函数的奇偶性与周期性7． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案：D3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案：C3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．答案：(－1，3)B5 二次函数16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]B6 指数与指数函数4． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-2答案：B3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1答案：A3． [2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a答案：C2． [2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)答案：C5． [2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3 答案：D7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x 答案：B11．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 答案：10 [解析] 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012＝10.B7 对数与对数函数5． [2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3 答案：D3． [2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)答案：C 4． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-2答案：B 13． [2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．答案：503． [2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案：C4．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案：D 7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a a x 的图像可能是( )AC图1-2 图1-2答案：D 12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ²log 2(2x )的最小值为________．答案：－14B8 幂函数与函数的图像 4． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-2答案：B10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 答案：B8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 答案：B7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a a x 的图像可能是( )AC 图1-2图1-2答案：DB9 函数与方程10．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e答案：B 14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案：(0，1)∪(9，＋∞)6．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x ＋ax ＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案：CB10 函数模型及其应用 8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1答案：D 10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x答案：AB11 导数及其运算 18．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 答案：解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 21． [2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 答案：证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p ² 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p.①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．20． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 答案：解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0.即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ，由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2²e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22²⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．答案：y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案：(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．18．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 答案：解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0，依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1 答案：C 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D 21． [2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．答案：解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． 方法三：如图，⎠⎛0nx x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证． 19．[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .答案：解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4³2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.B12 导数的应用 21．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 答案：解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． 18．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 答案：解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．18．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．答案：解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.20．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 答案：解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．210．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年全国统一高考数学试卷理科
2014年全国统一高考数学试卷理科一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A ∩B=（ ）A ． [﹣2，﹣1]B ． [﹣1，2）C ． [﹣1，1]D ．[1，2） 2．（5分）=（ ）A ． 1+iB ．1﹣i C ．﹣1+i D ．﹣1﹣i3．（5分）设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ． f （x ）g （x ）是偶函数 B ． |f （x ）|g （x ）是奇函数 C ． f （x ）|g （x ）|是奇函数D ． |f （x ）g （x ）|是奇函数4．（5分）已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．B ． 3C ． mD ．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 A ． B ．C ．D ．6．（5分）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则A ． 3α﹣β=B ． 3α+β=C ． 2α﹣β= D ． 2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2 p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1其中真命题是（ ）A ． p 2，p 3B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 310．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）A ．B ． 3C ．D ．211．（5分）已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ）A ． （2，+∞）B ． （1，+∞）C ． （﹣∞，﹣2）D ． （﹣∞，﹣1）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 _________ ．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 _________ ．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为 _________ ．A ． 6B ．6 C ．4 D ．416．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A ，B ，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA ﹣sinB）=（c﹣b ）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A ∩B=（ ）A ． [﹣2，﹣1]B ． [﹣1，2）C ． [﹣1，1]D ．[1，2）考点： 交集及其运算．专题：集合． 分析：根据集合的基本运算即可得到结论． 解答： 解：A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}={x|x ≥3或x ≤﹣1}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A ∩B={x|﹣2≤x ≤﹣1}， 故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（ ） A ． 1+i B ．1﹣i C ．﹣1+i D ．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数． 分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果． 解答： 解：==﹣（1+i ）=﹣1﹣i ，故选：D ．点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） Af （x ）g B |f （x ）|gCf （x ）|gD|f （x ）g．（x）是偶函数．（x）是奇函数．（x）|是奇函数．（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f （x）|为偶函数，|g （x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计． 分析： 求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答： 解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=． 故选：D ．点评： 本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本6．（5分）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质． 分析： 在直角三角形OMP 中，求出OM ，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x ）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答： 解：在直角三角形OMP 中，OP=1，∠POM=x ，则OM=|cosx|，∴点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ）=OM|sinx|其周期为T=，最大值为，最小值为0， 故选C ．点评： 本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：程序框图．专题：概率与统计． 分析： 根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M 的值．解答： 解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2； 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；不满足条件n ≤3，跳出循环体，输出M=． 故选：D ．点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则（ ） A ． 3α﹣β= B ． 3α+β= C ． 2α﹣β= D ． 2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值． 分析： 化切为弦，整理后得到sin （α﹣β）=cos α，由该等式左右两边角的关系可排除选项A ，B ，然后验证C 满足等式sin （α﹣β）=cos α，则答案可求．解答：解：由tan α=，得：， 即sin αcos β=cos αsin β+cos α， sin （α﹣β）=cos α．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A ，B 后验证C ，当时，sin （α﹣β）=sin （）=cos α成立．故选：C ．点评： 本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2 p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1其中真命题是（ ）A ． p 2，p 3B ． p 1，p 4C ． p 1，p 2D ．p 1，p 3考命题的真假判断与应用．点：专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组的表示的区域D ，对四个选项逐一分析即可． 解答：解：作出图形如下：由图知，区域D 为直线x+y=1与x ﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D 在x+2y ≥﹣2 区域的上方，故A ：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2，故p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2正确；由图知，p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3错误； x+2y ≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D 下方，故p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1错误； 综上所述，p 1、p 2正确； 故选：C ．点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A ． B ． 3 C ． D ． 2考抛物线的简单性质．点：专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求得直线PF 的方程，与y 2=8x 联立可得x=1，利用|QF|=d 可求．解答： 解：设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ， ∵=4，∴|PQ|=3d ，∴直线PF 的斜率为﹣2， ∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（x ﹣2）， 与y 2=8x 联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B ．点评： 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． （1，+∞） C ． （﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用． 分析： 分类讨论：当a ≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，由于而f （0）=1＞0，x →+∞时，f （x ）→﹣∞，可知：存在x 0＞0，使得f （x 0）=0，要使满足条件f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答： 解：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f（x ）有两个零点，不符合题意，应舍去； 当a ＞0时，令f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax =0，解得x=0或x=＞0，列表如下： x（﹣∞，0）f ′（x ）+ 0﹣ 0+ f （x ） 单调递增极大值 单调递减极小值 单调递增∵x →+∞，f （x ）→+∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．当a ＜0时，f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax =0，解得x=0或x=＜0，列表如下： x （﹣（0，∞，）+∞） f ′（x ）﹣ 0+ 0﹣ f （x ） 单调递减极小值 单调递增极大值 单调递减而f （0）=1＞0，x →+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0，∵f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值=，化为a 2＞4，∵a ＜0，∴a ＜﹣2． 综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故选：C ．点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A6B 6C4D4． ． ． ．考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可． 解答： 解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC 最长．长为6．故选：B ．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 ﹣20 ．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理． 分析： 由题意依次求出（x+y ）8中xy 7，x 2y 6，项的系数，求和即可．解答： 解：（x+y ）8的展开式中，含xy 7的系数是：=8． 含x 2y 6的系数是=28，∴（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评： 本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 A ．考进行简单的合情推理．点：专题：推理和证明． 分析： 可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论． 解答： 解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A ． 故答案为：A ．点评： 本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为 90° ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用． 分析： 根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答： 解：在圆中若=（+）， 即2=+，即+的和向量是过A ，O 的直径， 则以AB ，AC 为临边的四边形是矩形， 则⊥，即与的夹角为90°， 故答案为：90°点评： 本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a=2，且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ．考点：正弦定理．专题：解三角形． 分析： 由条件利用正弦定理可得b 2+c 2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc ≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积 的值．解答： 解：△ABC 中，∵a=2，且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ， ∴利用正弦定理可得 4﹣b 2=（c ﹣b ）c ，即 b 2+c 2﹣bc=4． 再利用基本不等式可得 4≥2bc ﹣bc=bc ，∴bc ≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC 为等边三角形，它的面积为==， 故答案为：．点评： 本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：a n+2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）利用a n a n+1=λS n ﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ．可得λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n ）=2d ，．得到λS n =，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答： （Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n ﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1， ∴a n+1（a n+2﹣a n ）=λa n+1∵a n+1≠0， ∴a n+2﹣a n =λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n }为等差数列，设公差为d ．则a n+2﹣a n =0，∴2d=0，解得d=0， ∴a n =a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n }不为等差数列． ②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ．则λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n ）=2d ，∴． ∴，，∴λS n =1+=， 根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n =2n ﹣1．因此存在λ=4，使得{a n }为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2．（i ）利用该正态分布，求P （187.8＜Z ＜212.2）；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ． 附：≈12.2．若Z ﹣N （μ，σ2）则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计． 分析： （Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知Z ～N （200，150），从而求出P （187.8＜Z ＜212.2），注意运用所给数据；（ii ）由（i ）知X ～B （100，0.6826），运用EX=np 即可求得．解答： 解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s 2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s 2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知Z ～N （200，150），从而P （187.8＜Z ＜212.2）=P （200﹣12.2＜Z ＜200+12.2）=0.6826； （ii ）由（i ）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X ～B （100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评： 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用． 分析： （1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，可证B 1C ⊥平面ABO ，可得B 1C ⊥AO ，B 10=CO ，进而可得AC=AB 1；（2）以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答： 解：（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 10=CO ，∴AC=AB 1，（2）∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ， ∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，，0） ∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x ，y ，z ）是平面AA 1B 1的法向量， 则，可取=（1，，），同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，）， ∴cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为点评： 本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）设F （c ，0），利用直线的斜率公式可得，可得c ．又，b 2=a 2﹣c 2，即可解得a ，b ；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．由题意可设直线l 的方程为：y=kx ﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S △OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F （c ，0），∵直线AF 的斜率为，∴，解得c=． 又，b 2=a 2﹣c 2，解得a=2，b=1．∴椭圆E 的方程为；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． 由题意可设直线l 的方程为：y=kx ﹣2． 联立，化为（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0，当△=16（4k 2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|== =，点O 到直线l 的距离d=． ∴S △OPQ==，设＞0，则4k 2=t 2+3， ∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）设函数f （x ）=ae x lnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处得切线方程为y=e （x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a 、b ；（Ⅱ）证明：f （x ）＞1． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析： （Ⅰ）求出定义域，导数f ′（x ），根据题意有f （1）=2，f ′（1）=e ，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＞1等价于xlnx ＞xe ﹣x ﹣，设函数g （x ）=xlnx ，函数h （x ）=，只需证明g（x ）min ＞h （x ）max ，利用导数可分别求得g （x ）min ，h（x ）max ；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx ＞xe﹣x﹣，设函数g（x ）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g ′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x ）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC 的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．解答： 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE ，∵CB=CE ， ∴∠E=∠CBE ， ∴∠D=∠E ；（Ⅱ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC 知MN ⊥BC ，∴O 在直线MN 上，∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ， ∴OM ⊥AD ， ∴AD ∥BC ， ∴∠A=∠CBE ， ∵∠CBE=∠E ， ∴∠A=∠E ，由（Ⅰ）知，∠D=∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．点本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题评： 的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C ：+=1，直线l ：（t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cos θ、y=3sin θ， 故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．P 到直线l 的距离为． 则，其中α为锐角．当sin （θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin （θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a ＞0，b ＞0，且+=．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）由条件利用基本不等式求得 ab ≥4，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值．（Ⅱ）根据 ab ≥4及基本不等式求的2a+3b ＞8，从而可得不存在a ，b ，使得2a+3b=6．解答： 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab ≥2，当且仅当a=b=时取等号． ∵a 3+b 3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a 3+b 3的最小值为4． （Ⅱ）由（1）可知，2a+3b ≥2=2≥4＞6，故不存在a ，b ，使得2a+3b=6成立．点评： 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．。
2014年高考理科数学试题全国大纲卷逐题详解-(纯word解析版)
2014年高考理科数学试题全国大纲卷逐题详解 （纯word 解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年全国大纲卷（01）】设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】∵z==，∴．故选：D【2014年全国大纲卷（02）】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-【答案】B【解析】由x 2﹣3x ﹣4＜0，得﹣1＜x ＜4．∴M={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}={x|﹣1＜x ＜4}，又N={x|0≤x ≤5}，∴M ∩N={x|﹣1＜x ＜4}∩{x|0≤x ≤5}=[0，4）．故选：B【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C【2014年全国大纲卷（04）】若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b 2=2，则||=，故选：B【2014年全国大纲卷（05）】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有C 62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C 51=5种选法， 则不同的选法共有15×5=75种；故选C【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】∵△AF 1B 的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A【2014年全国大纲卷（07）】曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1【答案】C【解析】函数的导数为f ′（x ）=e x ﹣1+xe x ﹣1=（1+x ）e x ﹣1，当x=1时，f ′（1）=2，即曲线y=xe x ﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f ′（1）=2，故选：C【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13C ．2D ．2【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上，则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ，又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===，故选：A【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C【2014年全国大纲卷（11）】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B ．24 C ．3 D ．12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做AF ∥CD ，过点E 做EF ⊥AE ，连接BF ，∵AB ⊥l ，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt △BEA 中，设AE=a ，则AB=2a ，BE=a ，在Rt △AEF 中，则EF=a ，AF=a ，在Rt △BEF 中，则BF=2a ， ∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF ，∴cos ∠BAF===．【2014年全国大纲卷（12）】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--【答案】D【解析】设P （x ，y ）为y=f （x ）的反函数图象上的任意一点，则P 关于y=x 的对称点P ′（y ，x ）一点在y=f （x ）的图象上，又∵函数y=f （x ）的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线x+y=0对称，∴P ′（y ，x ）关于直线x+y=0的对称点P ″（﹣x ，﹣y ）在y=g （x ）图象上， ∴必有﹣y=g （﹣x ），即y=﹣g （﹣x ）∴y=f （x ）的反函数为：y=﹣g （﹣x ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【2014年全国大纲卷（13）】8()x y y x-的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70 【解析】的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x 2y 2的系数为 =70，故答案为：70【2014年全国大纲卷（14）】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得C （1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z max =1+4×1=5．故答案为：5【2014年全国大纲卷（15）】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .【答案】【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sin θ==，∴cos θ=，tan θ==，∴tan2θ===，故答案为：【2014年全国大纲卷（16）】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】（﹣∞，2]【解析】由f （x ）=cos2x+asinx=﹣2sin 2x+asinx+1，令t=sinx ，则原函数化为y=﹣2t 2+at+1．∵x ∈（，）时f （x ）为减函数，则y=﹣2t 2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t 2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=． ∴，解得：a ≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【2014年全国大纲卷（17）】（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒= 因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=由三角形的内角和可得344B πππ=-=.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540a a ≤⎧⎨≥⎩即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=-（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------ 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)n n n n n ---+---++-=--=-----.【2014年全国大纲卷（19）】（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.解：法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC .又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C .连结1AC .因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AAC C ⊥平面11BCC B . 作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B .又直线1A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A 与平面11BCC B 的距离，13A E =.因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==.作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F .由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A ABC --的平面角. 由22111AD AA A D =-=得D 为C A 中点，15=25AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan 15A D A FD DF ∠==. 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15。
2014届高三数学试题(理科)
2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名：学号： 分数：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合，，则（ ）A． B． C． D．2. 已知复数 (为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为则抛物线的方程是( )A. B. C. D.4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. B.C. D.5.已知向量，，，则（ ）A． B． C． D．36.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A． 3 B． C．5 D．7．在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝120°，则 （ ）A．2 B．6 C．2 或6 D．28．函数若存在常数C ，对任意的存在唯一的使得则称函数在D上的几何平均数为C ．已知 则函数在[1,2]上的几何平均数为（ ）A． B．2 C．4 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 .开始否是输出结束10．展开式中，常数项是 .11．执行如图的程序框图，那么输出的值是 .12.已知集合={直线}，={平面}，． 若，给出下列四个命题：① ② ③④ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为，则的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆的直径,是的延长线上一点,过点 作圆的切线,切点为,连接,若,则 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知 ，（，其中）的周期为，且图像上一个最低点为（1）求的解析式； （2）当时，求的值域．17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
高考理科数学试题及答案2014
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年湖南高考理科数学(理)真题试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（2014湖南）1. 满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z = 【 B 】A. 11i 22+B. 11i 22- C. 11i 22-+ D. 11i 22--【解析】由题意i 11i i z =i i 122z z +=⇔=--,选B【考点定位】复数：复数四则运算.（2014湖南）2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则【 D 】 A. 123=p p p < B. 231=p p p < C. 132=p p p < D. 123==p p p 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, 123==p p p ,选D. 【考点定位】统计：随机抽样.（2014湖南）3. 已知(),()f x g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)+(1)f g 【 C 】A. 3-B. 1-C. 1D. 3 【解析】由题意23()1,(),(1)(1)1f x x g x x f g =+=-+=,选C 【考点定位】函数：函数的奇偶性.（2014湖南）4. 51(2)2x y -的展开式23x y 的系数是【 A 】A. 20-B. 5-C. 5D. 20【解析】通项()515122kk kk T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2k =时, ()232331102202T x y x y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭,选A.【考点定位】二项式定理.（2014湖南）5. 已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >. 在命题①p q ∧； ②p q ∨； ③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨中，真命题是 【 C 】A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【解析】命题p 为真命题,当命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位（2014湖南）6. 执行如图1则输出的S 属于 D 】A. [6,2]--B. [5,1]--C. [4,5]-D. [3,6]- 【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(]32,6S t =-∈-(]2211,9t t =+∈,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】算法：程序框图；二次函数.（2014湖南）7. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于【 B 】 A. 1 B. 2C. 3D. 4 【解析】由图可得该几何体为三棱柱, 所以最大球的半径为正视图直角三角 形内切圆的半径r ,则86r r -+-2r ⇒=, 故选B. 【考点定位】立体几何：三视图；内切圆；球.（2014湖南）8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为【 D 】 A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-C.D. 1【解析】设前两年的平均增长率为x ,则有2(1)(1)(1)1x p q x +=++⇒-【考点定位】函数应用题（2014湖南）9. 已知函数()sin()f x x ϕ=-，且230()0f x dx π=⎰，则函数()f x 的图像的一条对称轴是【 A 】A. 5π6x =B. 7π12x =C. 3x π=D. 6x π=【解析】法一：由23022()0cos cos =0cos cos 33f x dx πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⇔--+⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰, 所以223k πϕϕπ=-+或223k πϕϕπ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即3k πϕπ=+. 则56x π=是其中一条对称轴.故选A.法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=,所以3k πϕπ=+.故选A.【考点定位】三角函数：三角函数图像与性质，定积分的几何意义.（2014湖南）10. 已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 【 B 】A. (,-∞B. (-∞C. (D. ( 【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，正视图 侧视图 俯视图图2从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+,即001ln()02x e x a --+-=. 问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点, 法一：1'()0x h x e x a=+>-+,()h x 在(),0x ∈-∞单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->， 从而a <法二：问题等价于函数1()2xx e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a【考点定位】函数：指、对数函数；方程.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.（2014湖南）11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 . 【答案】(cos sin )1ρθθ-= 【考点定位】极坐标与参数方程.（2014湖南）12. 如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,AO BC AB⊥， BC =O 的半径等于 . 【答案】32【考点定位】几何证明选讲：垂径定理，相交弦定理，射影定理.（2014湖南）13. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = . 【答案】3-【解析】由题可得5123,2333a a --=-=3a ⇒=-,故填3-.【考点定位】不等式选讲：绝对值不等式的解法.（二）必做题（14~16题）（2014湖南）14. 若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = . 【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,O 图3当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-. 【考点定位】线性规划（2014湖南）15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <O ，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba = .【答案】1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩22201a b ab a b ⇒--=⇒=【考点定位】抛物线（2014湖南）16. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD=，则OA OB OD ++的最大值是 .【答案】1【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos sin )OA OB OD θθ++=+.(2OA OB OD ++=)==sin ϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值1【考点定位】平面向量，三角函数性质，参数方程，圆.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2014湖南）17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B . 设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}.由题设知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.（Ⅰ）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =,于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=,故所求的概率为13()1()15P H P H =-=. （Ⅱ）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220.因122133(0)(),(100)(),35153515224236(120)(),(220)().35153515P X P EF P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅====⋅=数学期望为2412()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯300480132014015++==.（2014湖南）18.（本小题满分12分）如图5，平面四边形ABCD 中，12AD CD AC ===，，（Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD CBA ∠=∠=BC 【解析】（Ⅰ）如图5，在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅ 故由题设知，cos CAD ∠=（Ⅱ）如图5，设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠,因为cos CAD ∠=,cos BAD ∠=， 所以sin CAD ∠==sin BAD ∠= 于是()sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠故 sin 3.sin AC BC CBAα⋅===∠ 【考点定位】三角函数：解三角形.（2014湖南）19.（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若60,CAB ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.【解析】（Ⅰ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥. 因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD , 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD . （Ⅱ）解法1：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H . 由（Ⅰ）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D图5于是111O O AC ⊥,又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等， 所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥,从而11AC ⊥平面11B BDD 所以111AC OB ⊥,于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥, 所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,不妨设2AB =,因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB = 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =.于是1C H =故1111cos O H O HC C H ∠====即二面角11C OB D --. 解法2：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形， 因此AC BD ⊥,又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直. 如图（b ）,以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =, 因为060CBA ∠=，所以 1.OB OC =于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C 易知，1(0,1,0)=n 是平面平面11B BDD 的一个法向量. 设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020z y z +=+=⎪⎩取z =2,x y ==，所以2=n .设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是121212cos cos ,θ⋅=<>=⋅n n n n n n 二面角11C OB D --. 【考点定位】立体几何：线面垂直，二面角.（2014湖南）20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,*.nn n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）因为数列{}n a 是递增数列，11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，因此2231,1,a p a p p =+=++又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=.解得1,0.3p p ==图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =. （Ⅱ）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①但2211122n n -<，所以 2+12221n n n n a a a a --<- ②由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()111.2n n n na a ++--==于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+. 数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅. 【考点定位】数列：等差数列，等比数列，递推数列.（2014湖南）21.（本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F . （Ⅰ）求12C C ，的方程；（Ⅱ）1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为 AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两 点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）因为12e e =2221b a +=4434a b -=，因此222,a b =从而24(,0),,0)F b F 241b F F -=，所以1b =，22a =故椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-.F F由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222210my my +--=易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++ 因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故 直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2my x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()2224m x -=，所以222222420,,,22m m x y m m ->==--从而PQ =设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以)1122220mx y mx y +++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,从而2d又因为12y y -=，所以2d =四边形APBQ 面积122S PQ d =⋅=而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.【考点定位】解析几何：椭圆，双曲线，直线与圆锥曲线位置关系.（2014湖南）22.（本小题满分13分）已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++,（*）因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()12'0f x x x =⇒==-， 当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <.故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()f x在区间⎛ ⎝上单调递减,在⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的. （Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a --，2-≠-，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+--- 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时,10;x -<< 当112a <<时,0 1.x <<记22()ln 2g x x x=+-（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x=-+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x=+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.。
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2014年高考复习理科数学试题（7）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4． 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1|<=x x P ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=01|x x Q ，则=Q P A.{}0<x x B.{}1>x x C.{}10><x x x 或 D.空集φ2．若复数)(12R a iai∈+-是纯虚数（i 是虚数单位），则=a （ ） A ．2- B ．12- C ．12 D ．23．若函数)(2sin )(2R x x x f ∈=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4．某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) A ．24 B. 18 C. 16 D. 12一年级二年级三年级女生373x y 男生377370z5．在边长为1的等边∆ABC 中，设a BC =，b CA =，则=⋅b a （ ）Ａ．12Ｂ．21-Ｃ．23 Ｄ．23-6．已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积 是（ ） A.24+ B. 22+ C.23+D.67．下列命题错误的是（ ）Ａ．命题“若0=xy ，则y x ,中至少有一个为零”的否定是：“若0≠xy ，则y x ,都不为零”Ｂ．对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ；则p ⌝：R x ∈∀，均有012≥++x xＣ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实根，则0≤mＤ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件8．函数1)(2--=x mx x f 在)1,0(内恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]2,(--∞ B. )2,(--∞ C.),2[+∞ D. ),2(+∞9．设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 10．对于函数xe xf =)(定义域中任意)(,2121x x x x ≠有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确的结论个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20,442==S S ，则该数列的公差=d111主侧112俯图1是否?0>x 12+=x y输入x开xy sin = 结输出y图12．如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-02 0202y x y y x ，那么y x z -=2的最小值为13．定义在实数集R 上的函数)(x f y =，其对应关系 由程序框图（如图3）给出，则=)0(f ，)(x f 的解析式是 ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρsin 4=和1cos =θρ相交于点A 、B 求=AB 15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，圆O 的半径r=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且0=⋅n m ，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A sin sin +的取值范围； 17．（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。
把这6名学生的得分看成一个总体。
（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。
求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
18．（本小题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。
（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D —BCM 的体积。
19．（本小题满分14分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升 20．（本小题满分14分）若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b y x 的离心率等于23，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线2C 的方程；（Ⅱ）求)0,1(-M 的直线l 与抛物线2C 交E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、2l ，当21l l ⊥时，求直线l 的方程；21．（本小题满分14分） 已知函数1ln )(-=xxx f (1) 试判断函数)(x f 的单调性；(2) 设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值； (3) 试证明：对*∈∀N n ，不等式nnn n e +<+1)1ln(参考答案一、选择题：1-5：ADABB 6-10：CADDC 二、填空题：11、 3 12、 -6 13、2 ，⎩⎨⎧≤+>=)0(12)0(sin )(x x x x f x14、32 15、32 三、解答题：16. （本小题满分12分）解：（I ）由0=⋅n m 得ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2220)())((………2分由余弦定理2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ……………………………4分 又π<<C 0，则3π=C ……………………………………………………6分 （II ）由（I ）得3π=C ，则32π=+B A )6sin(3cos 23sin 23)32sin(sin sin sin ππ+=+=-+=+A A A A A B A …9分 320π<<A 6566πππ<+<∴A ……………………………10分 1)6sin(21≤+<∴πA 3)6sin(323<+<∴πA 即B A sin sin +得取值范围是]3,23[……………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）总体平均数为1(5678910)7.56+++++=． ······················· 4分 （Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(56)，，(57)，，(58)，，(59)，，(510)，，(67)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，，(710)，，(89)，，(810)，，(910)，．共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(59)，，(510)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，．共有7个基本结果． 所以所求的概率为7()15P A =． ······························· 12分 18．（本小题满分14分） 证明：（I ）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线 ∴AP MD ∥APC AP APC MD 面面⊂⊄,∴APC MD 面∥ ………4分（II ）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点∴PB MD ⊥，∴PB AP ⊥ 又P PC PB PC AP =⋂⊥,∴PBC AP 面⊥ …………………………6分PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥又A AP AC AC BC =⋂⊥,APC BC 面⊥∴ ………………………………8分 ABC BC 面⊂∴平面ABC ⊥平面APC ……………………………………………10分（III ）由题意可知，PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥D —BCM 的高，∴71031==-Sh V DBC M …………………………14分19．（本小题满分14分）解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， …………2分 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。