二次函数对称轴与区间的关系分析

二次函数对称轴与区间的关系分析

（1）轴定，区间定

方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，

例1若实数y x ,满足06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是 .

解：由22

62y x x =-得22222262026228x x x y x x x x x x x ⎧-≥⎪⎨++=+-+=-⎪⎩ 问题转化为求2()8f x x x =-，当[0,3]x ∈中的最大值，易的max ()(3)15f x f ==.

设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。

设计意图:结合韦达定理转化成为有关m 的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m 的取值范围。

（2）轴定，区间变

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：

① 轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内

例2 已知2()22f x x x =-+在[,1]x t t ∈+上的最大、最小值分别为()()M t m t 、，

求()()M t m t 、的解析式.

活动：师生一起合作求解函数的最小值()m t 的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值()M t 的表达式，和下面例题4的最小值)(t g 的表达式 设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性

（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式

（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力 解：对称轴为1x =，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：

（1）11t +≤，即0t ≤时，22()()-22()(1)1M t f t t t m t f t t ==+=+=+、

（2）1t ≥时，22()(1)1()()-22M t f t t m t f t t t =+=+==+、

（3）011-1-1t t t <<<+，且，即112

t <<时， 2()(1)1()(1)1M t f t t m t f =+=+==、

（4）011-1-1t t t <<≥+，且，即112

t <≤时， 2()()22()(1)1M t f t t t m t f ==-+==、 综上，22122()2()11()2

t t t M t t t ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，221(0)()1(01)22(1)t t m t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩

（3）轴变，区间定

方法: 与情形2一样.

例4已知22)(2+-=tx x x f 在]1,0[∈x 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式. 解：对称轴x t =，分三种情况讨论

（1）0t ≤时，()(0)0g t f ==

（2）01t <≤时，2()()2g t f t t ==-

（3）1t <时，()(1)32g t f t ==-

综上，22(0)()2(01)32(1)t g t t t t t ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩

例5 设3)(2++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时恒有a x f ≥)(，求a 的范围. 变式一：若将a x f ≥)(改为a x f ≤)(时，其它条件不变，求a 的范围 变式二：若将a x f ≥)(改为a x f >)(时，其它条件不变，求a 的范围 变式三：若将]2,2[-∈x 改为)2,2(-∈x 时，其它条件不变，求a 的范围

设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若a x f a x f a x f a x f ≤⇔≤≥⇔≥max min )()(;)()(，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点

分析：a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔min )( 解：对称轴为2

a x =-，分三种情况讨论 （1）max 4227(2)273a a a f f a a >⎧⎧-<-⎪⎪⇒⇒∅⎨⎨≤⎪⎪

=-=-+≥⎩⎩

222min 2244442(2)4262

4120()3242

a a a a a a a a a a f f a ⎧-≤-≤⎪-≤≤-≤≤⎧⎧⎪⇒⇒⇒-≤≤⎨⎨⎨-≤≤+-≤⎩⎩⎪=-=-+≥⎪⎩ （3）min

427427(2)27a a a a f f a a ⎧<-->⎧⎪⇒⇒-≤<-⎨⎨≥-⎩⎪==+≥⎩ 综上，72a -≤≤，即a 的值域为[7,2]a ∈-

（4）轴变，区间变

例6已知)0)((42>-=a a x a y ，求22)3(y x u +-=的最小值。

分析：将)(42a x a y -=代入u 中，得

)[812)]23([)(4)3(222∞+∈-+--=-+-=，，a x a a a x a x a x u

分①a a ≥-23、②a a <-23讨论

解：将)(42a x a y -=代入u 中，得

222(3)4()[(32)]128u x a x a x a a a =-+-=--+-

由24()0y a x a =-≥得x a ≥

22[(32)]128u x a a a =--+-的对称轴为32x a =-，分两种情况

①320a a -≥>时，即01a <≤时，2min (32)812f f a a a =-=-+

②a a <-23时，即1a >时，2min ()69f f a a a ==-+

综上，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=)1()

3()10(812)(22min a a a a a x f （5）二次函数的逆向最值问题

例7已知二次函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间]22

3[，-上的最大值为3，求实数a 的值。

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0>a 与0