第五节 n阶行列式的展开
1-5行列式按行列展开ppt课件
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子
n阶行列式的计算方法
0 −a12 Dn = −a13 ⋯
−a1n
a12 0 −a23 ⋯
−a2n
a13 a23 0 ⋯
−a3n
⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ a3n ⋯⋯
⋯0
由行列式的性质 D = DT
0 −a12 −a13 ⋯ −a1n
a12 0 −a23 ⋯ −a2n
Dn = a13 a23
0 ⋯ −a3n
⋯ ⋯ ⋯⋯⋯
a1n a2n a3n ⋯ 0
0
a12
a13 ⋯ a1n
−a12 0
a23 ⋯ a2n
= (−1)n −a13 −a23 0 ⋯ a3n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯
−a1n −a2n −a3n ⋯ 0
= (−1)n Dn
当 n 为奇数时，得 Dn = −Dn ，因而得 Dn = 0 。 4．利用行列式按行（列）展开
= 1× 4 − 3× 2 = −2
24
120 例 2 计算三阶行列式 D = 4 − 3 8 。
0 −1 2
解：
120 D = 4 − 3 8 = 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 × (−3) × 0 − 2 × 4 × 2 − 1× 8× (−1)
a1
a2 ⋯ x + an
1 a1 ⋯ an
0
Dn = ⋮
Dn
0
1 a1 a2 ⋯ an 第i行减第1行 −1 x 0 ⋯ 0 i = 2,⋯, n +1 −1 0 x ⋯ 0 （箭形行列式）
⋯⋯⋯⋯⋯ −1 0 0 ⋯ x
∑ 1+ n a j
j=1 x
a1
a2 ⋯ an
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
n阶行列式展开式
n阶行列式展开式n阶行列式的展开式是指将n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其展开为一系列元素相乘的和的形式。
设A是一个n阶方阵，行列式展开式可以表示为：D = a1j1A1j1 + a2j2A2j2 + a3j3A3j3 + ... + anjnAnjn其中，a1j1，a2j2，a3j3，...，anjn是行列式中的元素，分别对应于第1行，第2行，第3行，...，第n行的元素。
A1j1，A2j2，A3j3，...，Anjn是去掉第i行第j列的矩阵的行列式。
展开式的计算方法是通过对于某一行或某一列进行展开，逐步递归地计算较低阶行列式的展开式，最终得到行列式的值。
为了更好地理解和计算行列式的展开式，可以参考以下内容：1. 行列式的性质：了解行列式的基本性质，如行列式转置不变性、行列式互换性等，可以帮助理解行列式的展开式。
2. 代数余子式与代数余子式矩阵：代数余子式是行列式中任意元素的余子式加上相应的符号因子。
代数余子式矩阵是由行列式的元素的代数余子式按照对应位置组成的矩阵。
3. 余子式展开法与行列式按行展开法：余子式展开法是通过计算各元素的代数余子式来展开行列式，而行列式按行展开法是通过递归地计算较低阶行列式的展开式来计算行列式。
4. 基于拉普拉斯定理的行列式展开：拉普拉斯定理是一种常用的展开行列式的方法，根据该定理，可以将n阶行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的代数余子式相乘的和。
以上内容是行列式展开式的基本概念和计算方法的相关参考内容，理解和掌握这些内容可以帮助更好地进行行列式展开式的计算。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的展开方法，如拉普拉斯展开、按行展开等，进一步简化计算过程。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
n项行列式展开
n项行列式展开n项行列式展开是将n阶行列式表示为若干个行列式的和的形式。
具体来说，n项行列式展开的形式如下：D = a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + ... + an₁Dn₁ + an₁Dn₁ + ... + annDnn其中，D表示n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn表示n个n阶行列式，aij表示行列式中第j行第i列的元素。
n阶行列式展开的证明过程比较繁琐，需要用到行列式的定义和展开定理。
以下是n阶行列式展开的证明过程：假设D为n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn为n个n阶行列式。
则有：D = ∑(aijDji)其中，aij表示行列式D中第j行第i列的元素，Dji表示行列式D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn中第j行第i列的元素所构成的n阶行列式。
对于任意一个n阶行列式D，都可以通过初等变换将其转化为一个上三角行列式或一个下三角行列式。
因此，对于任意一个n阶行列式D，都可以将其表示为若干个n阶上三角行列式的和或若干个n阶下三角行列式的和。
对于一个n阶上三角行列式，其主对角线元素均不为0，其余元素为0。
因此，对于任意一个n阶上三角行列式，都可以表示为其主对角线元素的乘积，即：D = a₁₁a₁₁a₁₁...a[UNK][UNK]对于一个n阶下三角行列式，其主对角线元素均不为0，其余元素为0。
因此，对于任意一个n阶下三角行列式，都可以表示为其主对角线元素的乘积的相反数，即：D = -a₁₁a₁₁a₁₁...a[UNK][UNK]综上所述，n阶行列式展开可以表示为：D = a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + a₁₁D₁₁ + a₁₁D₁₁ + ... + a₁nD₁n + ... + an₁Dn₁ + an₁Dn₁ + ... + annDnn其中，D表示n阶行列式，D₁₁、D₁₁、...、D₁n、D₁₁、D₁₁、...、D₁n、...、Dnn表示n个n阶行列式，aij表示行列式中第j行第i列的元素。
高等代数课件 第五节 n阶行列式的展开
D 0 aij 0 中的余子式Mij .
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aij 0 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12
a1n
ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
a11
a12
a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素aij 的代数余子式．
例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1
anj an, j1
余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的
ann
n阶行列式及其计算 章节讲解
5
如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
2 3
1 6
0
17
如:用三角法计算三阶行列式: 注意要零保护
0 1 1
1 0 1
5.D 2
3
2
1
c1 c2 3
2 2
4 3 4
2
3 4 4
列虚乘
实加
1
c+kc c3 c1 2 3
01 0
1
1 1 c3 c2 2 3
00 10
3 2 1
3 2 3
211 3 6 下三角
2020/11/18
r3 r1
2020/11/18
19
例11-1-2.2
1 2 1 0
0 0 1 0
2 D
1
3 1
1 1
1c2 2c3 3 5
1 c1 c3 0 1
1 1 1 1
虚乘
01 1 2
13 1 2
实加
3
4
a1 j A1 j a13 A13 0
5 1
1
r1 3r3
0
4
7
1 0 1 1
j 1
13 2
13 2
3
4 7
i1 ai1Ai1 a31A31 1
n阶行列式及其计算
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
高数讲义第五节行列式的性质
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
证明
第五节 行列式的性质
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D DT
第五节 行列式的性质
证明
记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n
DT
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
即 bij aji i, j 1, 2, , n , 按定义
1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r2 r4 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 0 0 2 2 2
第五节 行列式的性质
1 1 2 3 1
r3 r2
0 0
2 0
1 1
5 1
3 2
0 0 1 0 2
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
思考题
计算4阶行列式
a2
1 a2
a
1 a
1
D
b2 c2
1 b2
1 c2
b c
11 b 11 c
d
2
1 d2
d
1 d
1
已知 abcd 1
n阶行列式的展开式
n阶行列式的展开式n阶行列式的展开式中每项是元素的乘积。
由不同行不同列的元素相乘，且各行各列都有一个元素。
取这些元素时可以固定从第一行开始取，则列下标就是1~n 的任意一种排列，共有n！种，所以n阶行列式的展开式共n！项。
定义1 n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时带有正号，当是奇排列时带有负号。
这一定义可写成这里表示对所有n级排列求和，表示排列的逆序数。
由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。
拓展资料：n阶行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。
（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。
在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。
莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
3、n阶行列式
18
线性代数
n阶行列式
证明 1）是显然的。 2）若记i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1
t n n1 21
n n1 2
a1n
n
1
1
a1na2,n1 an1
证毕
19
12 n .
n阶行列式
2、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
线性代数
n阶行列式
例
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0
1 0 0 0
20
0 2 0 0
1 0 0 0
解
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
线性代数
n阶行列式
例
用行列式的定义计算
0 0 Dn 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n
15
线性代数
n阶行列式
a11
1）
a12 a1n a22 a2 n aii ann
a1n
上三角行列 式
2）
a2,n1 an1 an1,n1
a2n ann
( 1)
n ( n1) 2
a
i ,n i 1
16
线性代数
n阶行列式
1 2 3 4
例
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
高代--n阶行列式的完全展开式
a11 0 a21 a22 an1 an2
0 0 a11a22 ann ann
0 0 a1n 0 a2(n1) a2n an1 an(n1) ann
sgn(n(n 1) 1) a1n a2(n1) an1
a1n a2(n1) an1 a1n a2(n1) an1
sgn(31 4 2 ) sgn( 2 413 )
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a14
sgn(3 1 4 2) a13 a21 a34 a42 sgn(2 4 1 3) a21 a42 a13 a34
对…换k …相i邻j 两… 数l … 改…变k排…列j 奇i …偶l 性…
原排列中的数对分三种类型: • 不含 i, j 的数对逆序性不变, 如 k l k l ; • 恰含 i, j 之一的数对总是成对出现,
如: k i , k j ; 对换后变为 k j , k i ; 逆序对个数之和不变； • 最后，数对 i j j i 改变逆序性.
sgn(3 1 4 2) a13 a21 a34 a42
sgn(2 4 1 3) a21 a42 a13 a34
a13 a21 a34 a42 a21 a13 a34 a42
a21 a42 a34 a13 经偶数a次21 对a换42 a13 a34
列标排列 314 2 12 3 4 行标排列 12 3 4 2 413
a22
an1
an2
a1n
a2n
ann
n 个 n 维列向量张成的 ‘‘平行多面体的有向体积 ”
行列式的算法
1 0 0 an
1 a1
1
a2
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 an
0 0 0
a 1 a 2 a n(1
1 a2
1 an
)
1 a1 1
2 2 a2 2 2
2 2 3 3 3 3 a3 3
x x x
a 12 a 22 a n2
a 1n a 2n a nn
a 1n a 2n a nn
＝
x x
+
a 21 a n1
a 11
+…
+
a 21 a n1
+
a 21 a n1
＝ D + x (A11+A21+…+An1) + x (A12+A22+…+An2)
2
1 x2 x2 x2
n2 n 1 n 2
1 x3 x3 x3
n2 n 1 n 2
设 A n 1＝ x1
n2 n 1 n
x x
n2 n 1 n
An(n+1) = (-1)n+(n+1)Dn
= - Dn
x1
x2
x3
xn
x1
x2
x3
xn
x
＝ A1(n+1) + xA2(n+1) + x2A3(n+1) +…+xn-1An(n+1) +xnA(n+1)(n+1)
n阶行列式展开公式
n阶行列式展开公式
阶行列式展开公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。
阶行列式展开公式是一种求解多项式的方法，它可以将多项式分解为一系列的简单项，从而使我们更容易求解多项式。
阶行列式展开公式的基本原理是，将一个多项式分解为一系列的简单项，每一项都是一个阶行列式，每一项的系数是多项式中的系数。
阶行列式展开公式的一般形式是：
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n
其中，A(x)是一个多项式，a_0, a_1, a_2, ..., a_n是多项式中的系数。
阶行列式展开公式的应用非常广泛，它可以用来求解多项式的根，求解多项式的值，求解多项式的导数，求解多项式的积分等等。
它还可以用来解决一些复杂的数学问题，比如求解线性方程组，求解椭圆方程等等。
总之，阶行列式展开公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题，并且应用非常广泛。
n阶行列式展开式
n阶行列式展开式n阶行列式展开式是求解行列式的常用方法之一，它通过按照某一行或某一列展开，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式。
以下是关于n阶行列式展开式的相关参考内容。
1. 行列式的定义：行列式是一个正方形的数表，其中的元素按照一定的规则排列。
对于一个n阶行列式，可以用aij表示其中的元素，在定义行列式时需要满足以下条件：- 在第i行的元素标记为a_i1, a_i2, ..., a_in- 在第j列的元素标记为a_1j, a_2j, ..., a_nj- 则第i行第j列的元素a_ij可以用a[i][j]表示2. n阶行列式的展开式：n阶行列式的展开式可以按照行展开或列展开。
以按第i行展开为例，展开式的形式为：det(A) = a_i1*A_i1 + a_i2*A_i2 + ... + a_in*A_in其中，det(A)表示n阶行列式A的值，Ai表示n-1阶行列式，是通过删除第i行和第j列的元素得到的。
3. 余子式和代数余子式：余子式(Minor)指的是在展开式中去掉某行和某列后得到的(n-1)阶行列式。
在以上展开式中，Ai表示第i行的余子式。
代数余子式(Cofactor)指的是余子式乘上(-1)^(i+j)，其中i和j分别表示该元素所在的行和列。
代数余子式通常用Aij表示。
4. 展开式的计算方法：通过展开式，n阶行列式可以转化为n-1阶行列式的和的形式，并继续递归下去，直到转化为2阶行列式。
2阶行列式可以直接计算得到。
5. 应用举例：行列式的展开式在线性方程组的解法、矩阵的逆运算、特征值和特征向量的计算等数学问题中经常出现。
它不仅可以用于理论证明，也可以用于实际计算。
参考文献：1. 《高等数学线性代数卷》（教材）。
作者：宋志权主编。
出版社：高等教育出版社，2009年。
2. 《线性代数及其应用》（教材）。
作者：大羽明主编。
出版社：清华大学出版社，2011年。
3. 《矩阵论与线性代数》（教材）。
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例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
按第二列
展开
a12 A12
a22 A22
a32 A32
a12
a21 a31
a23 a33
a22
a11 a31
a13 a33
a32
a11 a21
a13 a23
注：代数余子式中，余子式前的符号“＋”、“－”的规律
L L L L M M M MO
（1）主对角线元素余子式前带“＋” （2）相邻两元素的余子式前
(1 p2 pn )
a11
1 p2 pn a2 p2 anpn
( p2 pn )
a11M11 a11(1)11 M11 a11A11
⑵假设行列式第i行除aij外都为0，则
a11 a1 j a1n
a1
D 0 aaijij 0
an1 anj ann
为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步 里面的形式，我们把D 的第i行依次与第i 1,i 2, ,1 行交换，共交换i 1次；再把D的第 j 列依次与第 j 1, j 2, ,1 列交换，共交换j 1次，得
a31 a32 a33
注1 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式
注2 Mij和Aij 与aij的大小无关，而与aij的位置有关。
定理： 行列式等于它的任一行（列）的各 元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 L L LL D ai1 ai2 L L LL
a1n
L n
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12.
a11 a12 a13
M 44 a21 a22 a23 , A44 144 M 44 M 44.
ain aik Aik
L
k 1
an1 an2 L ann
ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain , i {1, 2,L , n}
a11 L a1 j L a1n
或
D
a21 M
L M
a2 j M
L M
a2n M
n
akj Akj
k 1
an1 L anj L ann
a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj , j {1, 2,L , n}
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
第五节n阶行列式的展开
目的：把高阶行列式化为低阶行列式
1 余子式与代数余子式 2 n阶行列式展开法则 3 分块定理 4 例题
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12 L a1n LLLLLLL
ai1 ai2 L ain LLLLLLL
an1 an2 L ann
a11
a12
ai1 0 0 0 ai2 0
an1
an2
a1n 0 0 ain ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
aiij
D 1 i1 1 j1 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aiijj
1
a i j2 i1, j
0 ai1, j1
0 ai 1,n
an1, j
例
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
按第一行
a11A11
展开
a12 A12
a13 A13
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
“＋”、“－”相间
证明 只对行证明.分三步（先特殊，后一般） ⑴假设行列式第一行除a11外都为0，则由定义
a11 0
a1
D a21 a22
an1 an2
0
a2n
p1 p2 pn
1 a a a 1p1 2 p2
npn
( p1 p2 pn )
ann
1 1p2 pn a11a2 p2 anpn
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
定义在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行 列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
ann
aiij
于是有 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai1,n aij Mij , ann
故得
aij
D 1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0
ai1,n 1 i j aijMij .
ann
0 ai1, j1
0 ai 1,n
anj an, j1 ann
aij
0
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
anj an, j1 余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的 ann
a11 D 0 an1
a1 j aij anj
a1n
0 中的余子式Mij .