空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结

空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.
（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.
二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体.
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.
三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.
四、组合体
由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.
五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）
表8-1
表面积柱体
2
S ch S
=+
直棱柱底
2(
S c l S c
''
=+
斜棱柱底
为直截面周长)
2
222()
S r rl r r l
πππ
=+=+
圆锥
椎体
1
2
S nah S
'
=+
正棱锥底
2()
S r rl r r l
πππ
=+=+
圆锥
台体
1
()
2
S n a a h S S
'
=+++
正棱台上下
22)
S r r r l rl
π''
=+++
圆台
（
球2
4
S R
π
=
表8-2
体积柱体V Sh
=
柱
椎体
1
3
V Sh
=
锥
S
h
台体 1
()3
V S SS S h ''=
++台
球
34
3
V R π=
题型归纳及思路提示
题型1 几何体的表面积与体积 思路提示
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
例8-1三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，侧面积分别是6，4，3，则三棱锥的表面积是 ，体积是 .
解析 如图8-2所示，设PA a =，PB b =，(PC c a =，b ，0)c >，
则6
242
32ab bc
ca
⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
,得1286ab bc ca =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 三式相乘得2221286a b c =⨯⨯ , 所以24abc = ,
因此342
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 又侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 所以2222
225
513AB a b BC b c CA c a ⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎩
由余弦定理可得
c
b
a C
B A
图 8-2
22222
2cos 22BC CA AB BC CA AB BCA BC CA BC CA
+-+-∠==
()()2
2
2
25132
22513
65
AB +-=
=
⨯⨯ , 所以643611361S =+++=+表 ,
体积11
V 24466
abc =
=⨯= . 评注: 若三棱锥P ABC - 的侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有,
2222ABC PAB PBC PCA S S S S =++ (本题22264361ABC S =++= ),1
6
P ABC V PA PB PC -=
. 变式 1 如图8-3所示,在ABC 中, 45,90ABC BAC ∠=∠= ,AD 是BC 边上的高, 沿AD 把
ABD 折起, 使90BDC ∠= . 若1BD = , 求三棱锥D ABC - 的表面积.
变式 2 如图8-4(a)所示, 45,3ACB BC ∠== , 过动点A 作AD BC ⊥ , 垂足D 在线段BC 上且异于点B , 连接AB ,沿AD 将ABD 折起, 使90BDC ∠= (如图8-4(b)所示). 当BD 的长为多少时, 三棱锥A BCD - 的体积最大.
变式3 已知正四棱锥S ABCD - 中, 23SA = , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ).
3 C. 2 D.3
D A
B
C
A
C
D
B
(b)
（a ）
M E . ·
图 8-4
P
例8.2 如图8-5所示, 在长方体1111ABCD A B C D - 中, 3AB AD cm == ,12AA cm = , 则四棱锥
11A BB D D - 的体积为 cm 3.
解析 如图8-6所示, 连接AC 交BD 于O , 在该长方体中3AB AD cm == , 故底面ABCD 为正方形, 即AO BD ⊥ , 且32
2
AO cm =
, 又显然平面11BB D D ⊥ 平面ABCD ,故AO ⊥ 平面11BB D D .
所以()113111323226332
A B
B D D V BD BB AO cm -=
⨯⨯=⨯⨯⨯= . 变式 1 (2012山东理14)如图8-7所示, 正方体1111ABCD A B C D - 的棱长为1, ,E F 分别为线段
11,AA B C 上的点, 则三棱锥1D EDF - 的体积为 .
思路提示
半径为R 的球O , 表面积2
4S R π= , 体积34
3
V R π=
; 球面上,A B 两点的球面距离为R α , 其中AOB α=∠ (弧度制). 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.
例8.3 已知三个球的半径123,,R R R 满足12323R R R += , 则他们的表面积123,,S S S 满足的等量关系是 .
解析 2
114S R π= , 即112S R π
=
, 同理得222S R π
=
, 332S R π
=
, 由12323R R R += 得
12323S S S = .
变式1 若球12,O O 的表面积之比
124S S = ,则他们的半径之比12
R
R = . 变式2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A. 1:
1:题型2 几何体的外接球与内切球
思路提示 (1)半径为R 的球O , 表面积2
4S R π= , 体积34
3
V R π=
.
(2)设小圆1O 半径为1,r OO d = , 则222
d r R += ; 若,A B 是1O 上两点, 则
12sin
2sin
22
AO B AOB
AB r R ∠∠== .
(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.
例8.4 已知正方体外接球的体积是
32
3
π , 那么正方形的棱长等于( )
A.
分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线.
解析 设正方体的棱长为a , 外接球半径为R ,
则32
4323323R R a R ππ=⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨=
⎪⎪=⎩⎩
. 故选D.
变式1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表
面积为 .
变式2
, 则该正四面体的外接球的表面积为 .
例8.5 正三棱柱111ABC A B C - 内接于半径为2的球, 若,A B 两点的球面距离为π , 则正三棱柱的体积为 .
解析 设O 为球心, 由题意
知2222sin 2AOB AOB AOB
AB AB ππ⎧⨯∠=⎧∠=⎪⎪
⇒⎨⎨∠=⨯⎪⎪=⎩⎩ , 底面圆的半径为
: 32sin 3
AB
π== , 则正三棱柱的高
为2= , 所以正三棱柱的体积
为(
2843
⨯= . 变式1直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上, 若12,120AB AC AA BAC ===∠= , 则此球的表面积等于 .
变式
2 直三棱柱111ABC A B C -的
6
个顶点都在球O 的球面上, 若
13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥= , 则球O 的半径为( ).
B. 13
2
D. 例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该
正三棱锥的体积是( )
解析 设正三棱锥的底面边长为a , 高为h ,
由题意知22sin 311434a
a h V V a h π⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪
=⇒⎨⎨=
⎪⎪⎩⎪=⨯⎪⎪⎩
.故选C.
变式 1 已知,,,S A B C 是球O 表面上的点, SA ⊥
平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===
则
球O 的表面积等于( )
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. π
变式 2 已知三棱锥S ABC - 的所有顶点都在球O 的球面上, ABC 是边长为1的正三角形, SC 为O 的直径, 且2SC = , 则此棱锥的体积为( ).
A.
6
B. 6
C.3
D. 2
变式3
高为
4
的四棱锥S ABCD - 的底面是边长为1的正方形, 点,,,,S A B C D 均在半径为1的同一球面上, 则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )
A.
4
B. 2
最有效训练题
1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120 , 半径为l 的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).
A. 3:2
B. 2:1
C. 4:3
D. 5:3 2. 一个长方体上一个顶点所在的三个面
的面积分别是, 这个长方体的体对角线长为
( ).
A.23
B. 32
C. 6
D. 6
3. 如图8-8所示, 在等腰梯形ABCD 中, 22,60AB DC DAB ==∠= , E 为AB 的中点, 将ADE 与BEC 分别沿ED 和EC 向上折起, 使,A B 重合于点P , 则三棱锥P DCE - 的外接球的体积为( ).
A.
4327π B. 62π C. 68π D. 624
π
4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ).
A.
116 B. 316 C. 1
12
D. 18
5. 侧棱长为4, 底面边长为3 的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).
A. 76π
B. 68π
C. 20π
D. 9π
6. 已知在四棱锥,1,1,,02P ABCD AB PA AC ABC πθθ⎛
⎫
-==∠=<≤ ⎪⎝
⎭
, 则四棱锥p ABCD - 的体积V 的取值范围是( ).
A. 21,63⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
B. 21,126⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
C. 21,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D.21,126⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆面, 则该圆锥的体积为 . 8. 将圆心角为23
π , 面积为3π 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 .
9. 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为 .
10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长是3cm, 则圆台的母线长为 cm.
11. 如图8-9所示, 长方体1111-ABCD A B C D 中, 1,,BB AB a BC b c === , 并且0a b c >>> . 求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线的长.
12. 底面半径为1, 高为3 的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为R , 当R 为何值时, 内接圆柱的体积最大?。