【数学】山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，

33i

i

+＝（ ） A.

13412i - B.

13412

i + C.

1326

i + D.

1326

i - 2. 设()ln ,f x x x =若0()2f x '=，则0x ＝（ ） A. 2e

B.

e

C.

ln 2

2

D. ln 2

3. 用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1a c b d +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（ ） A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数

D. ,,,a b c d 中至多有一个负数

4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a ＝（ ） A. －9

B. －2

C. 4

D. 2

5. 函数x

x

y e =在[0，2]上的最大值是（ ） A.

1e

B.

2

2e C. 0 D.

12e

6. 观察243()2,()4,(cos )sin x x x x x x '''===-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数

()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -＝（ ）

A. ()f x

B. －()f x

C. ()g x

D. －()g x

7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ） A. 18

B. 24

C. 30

D. 36

8. 直线l 过抛物线2

:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A.

4

3

B. 2

C.

83

D.

162

3

9. 若函数2()(0)x f x a x a =

>+在[1,)+∞上的最大值为3

3

，则a ＝（ ）

A.

31-

B.

34

C.

43

D.

31+

10. 若数列{}n a 是等差数列，12...n

n a a a b n

+++=

，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一

性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（ ） A. 12...n

n c c c d n

+++=

B. 12....n

n c c c d n

= C. 12...n n n

n

n c c c d n

+++=

D. 12....n n d c c c =

11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ） A. 3965

B. 3966

C. 3968

D. 3989

12.若函数211

()ln ()2f x x x m x m

=+-+在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（ ） A. 1

(0,][4,)4

+∞ B. 1(0,][2,)2

+∞ C. 1(0,)

(2,)2

+∞

D. 1(0,)

(4,)4

+∞

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 复数(12)(3)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .

14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .

15. 设点P 、Q 分别是曲线x y xe -=和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 .

16. 有*

(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝ .

n

n

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）

设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1

z 1是实数，且－1≤z 2≤1.

（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围． （2）若ω＝1－z 1

1＋z 1

，求证：ω为纯虚数．

18.（本小题满分12分）

已知曲线C ：，点，求过P 的切线与C 围成的图形的面积.

19.（本小题满分12分）

已知330,0,2a b a b >>+=.证明：

（1）()()

55

4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤.

123223+--=x x x y )0,2

1(P l