高数11章第2节常数项级数及审敛法
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第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
11-2常数项级数审敛法
rn un 1 .
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
n 1
级数 un发散。
n 1
un +1 但是如果是由比值或根值审敛法 lim = >1 n u n 或 lim n un = >1判定级数 un 发散，则必有级数 un
n n 1 n 1
也发散。
un +1 定理： (1)对于级数 un ,若 lim = >1(或)，则级数 un发散。 n u n =1 n =1 n
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法
1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
常数项级数的审敛法
根据不同的标准，审敛法可以分为多种类型，如比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等。
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
§11.2常数项级数审敛法
证明: 因为
1 1 1 , 2 n( n 1) n1 ( n 1)
1 1 发散, 所以级数 发散. 而级数 n1 n( n 1) n1 n 1
Hale Waihona Puke 比较审敛法是一基本方法, 虽然有用, 但应用起来 却有许多不便. 因为它需要建立定理所要求的不等式, 而这种不等式常常不易建立, 为此介绍在应用上更为 方便的极限形式的比较审敛法. 4. 比较审敛法的极限形式: un 设 un , vn 为两个正项级数, 如果 lim l , n v n1 n1 n 则: (1) 当 0 < l <+ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时, 若 vn 收敛, 则 un 收敛;
故当 vn 发散时 un 发散.
n1 n1
5. 极限审敛法:
设 un 为正项级数,
n1
lim nun ), 则级数 un 发散; 如果 lim nun l 0 (或 n
n
p lim n 如果有 p>1, 使得 n un 存在, 则级数 un 收敛.
n1
极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法. 例3: 判定下列级数的敛散性: 1 1 . (1) sin ; (2) n n1 3 n n n1 1 sin 1 n 1, 解(1): 由于 lim n sin lim n n n 1 1 n 所以级数 sin 发散. n n1
故原级数收敛. 当 >1时, 取 < –1, 使得 r = – > 1, 当n>N时, un+1> run > un, 故数列{ un }严格单调增加的, 所以有 lim un 0. 故原级数发散.
第十一章第2节常数项级数审敛法
.
例如
n un
p - 级数
1 n1 n p
:
lim un1 lim n un n
1 (n1) p 1 np
1
但
p 1 级数收敛 p 1 级数发散
18
例 11 判别下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
n! (2) n1 10n ;
由定理2可知 , 若级数
vn发散 , 则级数
un
也发散. 12
n 1
n1
总结:
un , vn 是两个正项级数 , lim un l ,
n1
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n1
(3) 当 l 且级数 vn 发散时 , 级数 un 也发散 .
n 1
n1
证: 根据极限定义 , 对 0 ,存在 N Z,当 n N 时,
,
级数
n1
1 4n2
收敛,
故级数
n1
2n
(
1 2n
1)
收敛.
20
例12. 讨论级数 n xn1 ( x 0 ) 的敛散性 .
n1
解:
lim un1 lim n un n
高数 第十一章 无穷级数第二讲 常数项级数审敛法--正项级数
第二讲 常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法授课题目（章节）：§11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法教学目的与要求：1.了解正项级数收敛的充要条件；2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法；3.掌握正项级数的比值审敛法；4.掌握p 级数的收敛性。
教学重点与难点：重点：比值审敛法难点：比较审敛法 讲授内容：定义 若0(1,2,......)n u n ≥=则称1nn u∞=∑为正项级数性质 （1）正项级数的部分和数列{}n s 单调递增，即1231n n s s s s s +≤≤≤≤≤（2）正项级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是部分和数列{}n s 有界证明 （1）110(1,2,),n n n n u n s s u ++≥==+1n n s s +∴≥ （2）若1nn u∞=∑收敛，则{}n s 收敛，故{}n s 有界；若{}n s 有界，又{}n s 单调递增，故{}n s 收敛，从而1nn u∞=∑收敛。
正项级数审敛法 一、比较法定理1（比较审敛法）11,n nn n u v∞∞==∑∑均为正项级，且(1,2,)n n u v n ≤=若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。
证明 设级数1nn v∞=∑收敛于和σ，则级数1nn u∞=∑的部分和1212n n n s u u u v v v σ=+++≤+++≤即部分和数列{}n s 有界，故级数1nn u∞=∑收敛；反之，设1nn u∞=∑发散，若1nn v∞=∑收敛，由上面已证明的结论将有1nn u∞=∑收敛，与假设矛盾，故若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。
推论11,n nn n u v∞∞==∑∑均为正项级数，且(,0)n n u kv n N N k ≤>>为自然数，若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
![[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法](https://img.taocdn.com/s3/m/6a253a2e79563c1ec5da71c6.png)
n =1
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
11-2常数项级数审敛法(上)
n
un
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
31
证明 (1) 1 取 0 0 1
则 r 0 1
由
lim n
n
un
知
N，使当n N时
n un 0 r
un r n (n N )
由 rn 收敛及比较审敛法得
n N 1
un 收敛
n N 1
1；
n2
n1
n1 n
n1 n (n 1)
（4）
1
；（5）
n2 ；
n1 n(n 1)
n1 n(n 1)
解答： （1）收敛；（2）发散（3）收敛 （4）发散（5）发散
12
例2 利用比较法判定下列级数的敛散性:
(1)
1 sin2
n;
(2) n sin
1;
2n
n1
n1
4n
解：(1)
1 2n
sin2
部分和数列{sn } 为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3
定理 1. 正项级数
收敛
有界 .
部分和序列
证:
若
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 ,从而
也收敛.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
4
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
14
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性 ;
(整理)常数项级数的审敛法
§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞=1n n u 0≥n u (1)显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21 ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分数列{}n s 有界.例1判别正项级数∑∞=122sin n nn π的收敛性 解 nn n s 22sin22sin 2122ππ+++=n 2121212+++<121121121<-⎪⎭⎫⎝⎛-=n 有上界 级数收敛2.比较审敛法定理2 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且.),2,1( =≤n v u nn 若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；反之，若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散．分析：σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=1n n u 的部分和,),2,1(2121 =≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1n n u 收敛。
反之，设∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 必发散.因为若∑∞=1n nv收敛,由上面已证结论知∑∞=1n n u 也收敛，与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当Nn ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论p —级数 )2(11∑∞=n pn的收敛性，其中常数p >0．解 设1≤p ，则,11n np≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,11p p xn ≤所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ， ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n p p n n 级数(3)的部分和⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s =.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛.总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。
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因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p; p 1, 级数发散 .
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S . (P205 定理10) 说明: 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
n 1
2 n2 (1) n n 收敛, 因此 (1) n n 绝对收敛. e en n 1
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
( P203 定理9 )
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 n2 n 1
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
时 从而
un 1 un un 1 u N
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n 0l un 发散 lim n p nn l n p 1, 0 l un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 p 1 p 1 p 1 p 1 1 的部分和 (n 1) p 1 n p 1 p 1 n 2 n 22 3 (n 1)
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : sin n n2 (1) 4 ; (2) (1) n n . e n 1 n n 1
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 lim n u n , 则
n
为正项级
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N Z ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
rn un 1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim n un
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
n
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p; p 1, 级数发散 .
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S . (P205 定理10) 说明: 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
n 1
2 n2 (1) n n 收敛, 因此 (1) n n 绝对收敛. e en n 1
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
( P203 定理9 )
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 n2 n 1
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛 .
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
时 从而
un 1 un un 1 u N
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n 0l un 发散 lim n p nn l n p 1, 0 l un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 p 1 p 1 p 1 p 1 1 的部分和 (n 1) p 1 n p 1 p 1 n 2 n 22 3 (n 1)
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 lim n u n , 则
n
为正项级
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N Z ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
rn un 1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim n un
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )