中国国土面积13%土壤存在污染
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)
2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。
【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。
2023-2024学年第一学期人教版九年级数学上册第21章复习测试卷附答案
2023-2024学年第一学期九年级数学上册第21章【一元二次方程】复习测试卷第二十一章一元二次方程一、选择题1．已知一元二次方程2−B=0的一个根是1，则b的值是（）A．3B．2C．1D．02．九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（）A．o−1)=1560B．o+1)=1560C．2o+1)=1560D．2o−1)=15603．把方程2−4−5=0化成(+p2=的形式，则、的值分别是（）A．2，9B．2，7C．-2，9D．-2，7 4．若关于x的一元二次方程(−2)2+2−1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．≤1B．≤1且≠2C．≥1且≠2D．≥25．方程(−3)(+2)=0的根是（）A．1=3，2=2B．1=3，2=−2C．1=−3，2=−2D．1=−3，2=26．已知、是方程2−2−2022=0的两个实数根，则2−4−2−2的值是（）A．2016B．2018C．2022D．2024 7．已知1，2是一元二次方程2+(2+1)+2−1=0的两不相等的实数根，且12+22+12−17=0，则的值是（）A．53或-3B．-3C．53D．−538．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（）A．6B．5C．4D．3二、填空题9．一元二次方程22+3−1=0的根的判别式的值为．10．关于的一元二次方程2−23=0的根为11．关于的一元二次方程2−4+=0有实数根，则的取值范围为.12．若m是方程2+−2022=1的一个根，则代数式o+1)的值等于.13．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有名同学．三、解答题14．解方程（1）(2−1)2=(2−3p2（2）22−−3=015．已知1、2是一元二次方程2−3−2=0的两个根，求212−1−2的值. 16．已知关于x的方程2−2+−2=0有两个实数根1，2，求的取值范围.17．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？18．滨江某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：（1）若某单位员工正好有25人，应支付给旅行社旅游费用多少元？（2）某单位组织员工去凤凰古城旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去凤凰古城旅游？1．C2．A3．C4．C5．B6．A7．C8．C9．1710．1=0，2=2311．k≤412．202313．1414．（1）解：(2−1)2=(2−3p2，∴(2−1)2−(2−3p2=0，∴(2−1+2−3p(2−1−2+3p=0，即(1−p(5−3)=0，∴1−=0或5−3=0，解得：1=1，2=35（2）解：22−−3=0，∴(2−3)(+1)=0，∴2−3=0或+1=0，解得：1=32，2=−115．解：∵是一元二次方程2−3−2=0的两个根，∴1+2=3，12=−2，∴212−1−2=212−(1+2)=2×(−2)−3=−7. 16．解：∵关于的方程2−2+−2=0有两个实数根1、2，∴△=(−2)2−4(−2)=12−4≥0，故的取值范围是≤3.17．（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.答：预计4月份平均日产量为39930个.18．（1）解：1000×25＝25000（元）．答：应支付给旅行社旅游费用25000元．（2）解：设该单位这次共有x 名员工去凤凰古城旅游，27000÷1000＝27＞25，27000÷700＝3847不为整数，25+1000−70020＝40，∴25<≤40，依题意，得：[1000﹣20（x﹣25）]x＝27000，整理，得：x 2﹣75x+1350＝0，解得：x 1＝30，x 2＝45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去凤凰古城旅游．。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}220,1||A x x B x x =+>=>，则A B = （）A ．{}|21x x -<<B ．{}|1x x >C ．{|21x x -<<-或}1x >D ．{|1x x <-或}1x >2．已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，.给出下列四个对应法则：①1y x=；②1y x =+；③y x =；④2y x =.请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④3．已知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，则对实数120,0x x >>，“12x x >”是“()()12f x f x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()233xx f x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．若函数()y f x =为奇函数，则它的图象必经过点（）A ．()0,0B ．()(),a f a --C ．()(),a f a -D ．()(),a f a ---6．已知函数11(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，且点A 在直线(,0)y mx n m n =+>上，则11m n+的最小值为（）A ．4B ．1C ．2D ．327．设()f x 是定义在R 上的奇函数、对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2121f x f x x x ->-且(1)0f =、则不等式()0xf x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 8．已知函数()2,123,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“0x ∀>，都有e 1x x >+的否定是“0x ∃>，使得e 1≤+x xB ．若0a b >>，则11a ab b+>+C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数D ．函数()y f x =的定义域为[]2,3，则函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为()1,1-C ．()()0f x f x +-=D ．函数()f x 为减函数11．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称.若()()424f x f x x --=-，则（）A ．()()4214f x f x -+-=B ．()()244f f +=C ．()12y f x =+-为奇函数D ．()22y f x x =++为偶函数三、填空题12()1132081π3274⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减，则m =.14．将()22xx af x =-的图象向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数=的图象向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称.若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >+则实数a 的取值范围为四、解答题15．已知集合U 为实数集，{5A x x =≤-或}8x ≥，{}121B x a x a =-≤≤+.(1)若5a =，求()U A B ⋂ð；(2)设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．已知函数()()3211f x x ax b x =++-+是定义在R 上的奇函数.(1)求a ，b 的值;(2)解不等式()3279333x x x xf >+-⨯+.17．已知定义域为R 的奇函数()21212x x f x =-+(1)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意的[]1,2x ∈，不等式()()²²40f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.18．已知0a >且1a ≠，函数()4,02,0x a x x h x x -⎧≥=⎨<⎩，满足()()11h a h a -=-，设()x p x a -=.(1)若()()()231p x f x p x +=+，[)0,x ∞∈+，求函数()f x 的最小值；(2)函数()()()231p x f x p x +=+，()21g x x b x =-+-，若对[]11,1x ∀∈-，都存在[)20,x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求b 的取值范围.19．对于定义在区间[],a b 上的函数f (x )，若()(){}[]()|,f P x max f t a t x x a b =≤≤∈.(1)已知()()[]121,2,0,1xf xg x x x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭试写出()f P x 、()g P x 的表达式;(2)设0a >且1a ≠，函数()()2131,12x xf x a a a x ⎡⎤=+-⨯-∈⎢⎥⎣⎦，，如果()f P x 与()f x 恰好为同一函数，求a 的取值范围；(3)若()(){}[]()min ,f Q x f t a t x x a b =≤≤∈存在最小正整数k ，使得()()()f f P x Q x k x a -≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的"k 阶收缩函数"，已知1b >，函数()4f x x x=+是[]1,b 上的“3阶收缩函数”，求b 的取值范围.。
江苏师范大学成人继续教育网络课程《计算机应用》单元测试及参考答案_3
《计算机应用》测试及参考答案课程单元01单选题（共20题，每题5分）1．一个完整的计算机系统通常包括______。
A．硬件系统和软件系统B．计算机及其外部设备C．主机、键盘与显示器D．系统软件和应用软件参考答案：A2．主要决定微机性能的是______。
A．CPUB．耗电量C．质量D．价格参考答案：A3．在下列计算机应用项目中,属于数值计算应用领域的是______。
A．气象预报B．文字编辑系统C．运输行李调度D．专家系统参考答案：A4．MIPS常用来描述计算机的运算速度，其含义是______。
A．每秒钟处理百万个字符B．每分钟处理百万个字符C．每秒钟执行百万条指令D．每分钟执行百万条指令参考答案：C5．根据计算机的______，计算机的发展可划分为四代。
A．体积B．应用范围C．运算速度D．主要元器件参考答案：D6．现代计算机的基本工作原理是______。
A．程序设计B．程序控制C．存储程序D．存储程序和程序控制参考答案：D7．个人计算机简称为PC机，这种计算机属于_____。
A．微型计算机B．小型计算机C．超级计算机D．巨型计算机参考答案：A8．世界上第一台电子数字计算机采用的电子器件是______。
A．大规模集成电路B．集成电路C．晶体管D．电子管参考答案：D9．一台计算机可能会有多种多样的指令，这些指令的集合通常称为A．指令系统B．指令集合C．指令群D．指令包参考答案：A10．目前制造计算机所采用的电子器件是______。
A．晶体管B．超导体C．中小规模集成电路D．超大规模集成电路参考答案：D11．第四代计算机是______计算机。
A．电子管B．晶体管C．集成电路D．大规模集成电路参考答案：D12．计算机存储数据的最小单位是二进制的______。
A．位（比特）B．字节C．字长D．千字节参考答案：A13．一般认为，世界上第一台电子数字计算机诞生于______。
A．1946B．1952C．1959D．1962参考答案：A14．计算机采用二进制最主要的理由是______。
山东省德州市禹城市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题
山东省德州市禹城市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm 和10cm ，第三根小棒可取（）A ．20cmB ．3cmC ．11cmD ．2cm 3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS4．如图，BC 是直线AE 外两点，且12∠=∠，要得到ABE ACE △≌△，可以添加的条件有：①AB AC =；②BE CE =；③B C ∠=∠；④AEB AEC ∠=∠；⑤BAE CAE ∠=∠，其中正确的（）A ．①或②或③B ．②或③或④C ．②或③或⑤D ．①或④或⑤5．如图，在ABC V 中，BD 平分ABC ∠，以点A 为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB ，AC 于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线AE ，交BD 于点I ，连接CI ，以下说法错误的是（）A ．I 到、、ABC 三点的距离相等B ．I 是三角形三条角平分线的交点C ．CI 平分ACB ∠D ．I 到AB ，BC 边的距离相等6．如图，6275BD BC BE CA DBE C BDE ==∠=∠=︒∠=︒，，，，则AFD ∠的度数等于（）A ．55︒B ．50︒C ．40︒D ．32︒7．如图，在ABC V 中，作边AB 的垂直平分线，交边BC 于点D ，连接AD ．若12BC =，10AB =，ADC △的周长为23，则ABC V 的周长为（）A ．22B ．32C ．33D ．358．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠的角平分线上的一点，PM OB ⊥于点M ，PN OB ∥交OA 于点N ，若2PM =，则PN 的长为（）A ．2B ．3C ．3.5D ．49．如图，ABC V 的两条中线AM ，BN 相交于点O ，已知ABO 的面积为8，BOM 的面积为4，则四边形MCNO 的面积为（）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.510．如图，ABE 和ADC △是ABC V 分别沿着A ，AC 边翻折180︒形成的，若1231332∠∠∠=::::，C 与BE 交于O 点，则EOC ∠的度数为（）A ．80︒B ．85︒C ．90°D ．100︒11．如图，在ABC V 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过O 点作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=+∠︒；③点O 到ABC V 各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn = ；⑤BC BD CE =+；⑥AEF △的周长AB AC =+．正确的结论有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．如图，已知ABC V 和ADE V 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，BD ，CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④AF 平分BFE ∠；⑤45AFE ∠=︒，其中正确结论有（）A ．①②④⑤B ．①②③C ．①②③④D ．①③⑤二、填空题13．已知点()1,2A a --与点()5,5B b -+关于x 轴对称，则a b -=．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．15．一个正多边形的内角和为1080︒，则这个正多边形的每个外角的度数为．16．如图，△ABC 的面积为10cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于点P ，则△PBC 的面积为．17．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于,E F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为．18．有一张三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是．三、解答题19．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160︒，(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______．20．如图在平面直角坐标系中，ABC V 各顶点的坐标分别为：(4,0)A ，(1,4)B -，(3,1)C -．(1)在图中作A B C ''' ，使A B C ''' 和ABC V 关于x 轴对称；(2)写出点A '，B '，C '的坐标；(3)在x 轴上找一点P ，使PB PC +的值最小．（写出作法）21．如图，点,,,A B C D 在同一条直线上，点,E F 分别在直线AB 的两侧，且,,AE BF A B DCE CDF =∠=∠∠=∠．(1)求证：ACE BDF V V ≌；(2)若11,3AB AC ==，求CD 的长．22．如图，A B AE BE ∠=∠=，，点D 在AC 边上，12∠=∠，AE 和BD 相交于点O ．(1)求证：AEC BED ≌△△；(2)若140∠=︒，求BDE ∠的度数．23．已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC ∥交CE 的延长线于点F ，(1)求证：2AC BF =；(2)连接DF ，求证：AB 垂直平分DF ．24．已知在ABC V 中，AC BC =，在DEC 中．DC EC =，ACB DCE a ∠=∠=，点A 、D 、E 在同一条直线上，AE 与BC 相交于点F ，连接BE ．(1)如图1，当40a =︒时，求AEB ∠的度数；(2)如图2，当90a =︒时，完成下列问题：①判断AD 与BE 的关系；②若CAF BAF ∠=∠，3BE =，求线段AF 的长．25．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．(1)互补四边形ABCD 中，若234B C D ∠∠∠=：：：：，则A ∠=°；(2)已知：如图1，在四边形ABCD 中BD 平分ABC AD CD BC BA ∠=，，＞．求证：四边形ABCD 是互补四边形；(3)如图2，互补四边形ABCD 中，903B D AB AD CD ∠=∠=︒==，，，点E ，F 分别是边BC CD ，的动点，且12EAF BAD ∠=∠，CEF △周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由．。
2023年四川省南充市中考数学真题(解析版)
2023年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A 、B 、C 、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1. 如果向东走10m 记作10m +，那么向西走8m 记作（ ）A. 10m −B. 10m +C. 8m −D. 8m +【答案】C【解析】【分析】根据具有相反意义的量即可得．【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，所以如果向东走10m 记作10m +，那么向西走8m 记作8m −，故选：C ．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．2. 如图，将ABC 沿BC 向右平移得到DEF ，若5BC =，2BE =，则CF 的长是（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 5【答案】A【解析】 【分析】利用平移的性质得到BE CF =，即可得到CF 的长．【详解】解：�ABC 沿BC 方向平移至DEF 处．�2BE CF ==，故选：A ．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．3. 某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（ ）A. 22cmB. 22.5cmC. 23cmD. 23.5cm【答案】D【解析】 【分析】进货量最多的应该是销量最多的，故求出众数即可．【详解】专卖店进货量最多的应该是销量最多的，根据条形统计图可得，众数是23.5cm ，故下次进货最多的女鞋尺码是23.5cm ；故选：D【点睛】本题考查众数的意义，理解众数是解题的关键．4. 如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知BAC α∠=，则A ，C 两处相距（ ）A. sin x α米B. cos x α米C. sin x α⋅米D. cos x α⋅米【答案】B【解析】【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.【详解】解：小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，90ABC ∴∠=°，AB x =米.cos AB AC α∴=， cos cos AB x AC αα∴==米. 故选： B .【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.5. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x 尺，则可列方程为（ ） A. ()1 4.512x x +=− B. ()1 4.512x x +=+ C ()1 4.512x x −=+ D. ()1 4.512x x −=− 【答案】A【解析】 【分析】设长木长为x 尺，则绳子长为()4.5x +尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．【详解】设长木长为x 尺，则绳子长为()4.5x +尺，根据题意，得()1 4.512x x +=− 故选：A【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为（ ）A. 6.4mB. 8mC. 9.6mD. 12.5m【答案】B【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出ACB ECD ∠=∠，再利用垂直求ABC EDC ∽，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，.由图可知，AB BD ⊥，CD DE ⊥，CF BD ⊥90ABC CDE \???.根据镜面的反射性质，∴ACF ECF ∠=∠，∴9090ACF ECF °−∠=°−∠，ACB ECD ∴∠=∠，ABC EDC ∴ ∽，AB BC DE CD∴=. 小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，1.6m AB ∴=，2m BC =，10m CD =.1.6210DE ∴=. 8m DE ∴=.故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.7. 若点(),P m n 在抛物线2y ax =（0a ≠）上，则下列各点在抛物线()21y a x =+上的是（ ） A. (),1m n +B. ()1,m n +C. (),1m n −D. ()1,m n −【答案】D【解析】 【分析】观察抛物线2y ax =和抛物线()21y a x =+可以发现，它们通过平移得到，故点(),P m n 通过相同的平移落在抛物线()21y a x =+上，从而得到结论．【详解】∵抛物线()21y a x =+是抛物线2y ax =（0a ≠）向左平移1个单位长度得到∴抛物线2y ax =上点(),P m n 向左平移1个单位长度后，会在抛物线()21y a x =+上 ∴点()1,m n −在抛物线()21y a x =+上故选：D【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．8. 如图，在Rt ABC △中，90610C AC AB ∠=°==，，，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC AB ，于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在CAB ∠的内部相交于点P ，画射线AP 与BC 交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ．则下列结论错误的是（ ）A.CAD BAD ∠=∠ B. CD DE = C. AD = D. :3:5CD BD =【答案】C【解析】【分析】由作图方法可知，AD 是BAC ∠的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A 、B ；利用勾股定理求出BC ，利用等面积法求出3CD =，由此求出AD BD 、即可判断C 、D ．【详解】解：由作图方法可知，AD 是BAC ∠的角平分线，∴CAD BAD ∠=∠，故A 结论正确，不符合题意； �90C DE AB ∠=°，⊥，∴CD DE =，故B 结论正确，不符合题意；在Rt ABC △中，由勾股定理得8BC ==，∵ABCACD BAD S S S =+△△△， ∴111222AC BC CD AC AB DE ⋅=⋅+⋅， ∴11168610222CD CD ××=×+×， ∴3CD =，∴5AD BD BC CD ===−=，故C 结论错误，符合题意；∴:3:5CD BD =，故D 结论正确，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．9. 关于x ，y 的方程组321x y m x y n +=− −=的解满足1x y +=，则42m n ÷的值是（ ） A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】D【解析】【分析】法一：利用加减法解方程组，用,n m 表示出,x y ，再将求得的代数式代入+1x y =，得到,m n 的关系，最后将42m n ÷变形，即可解答．法二：321x y m x y n +=− −=①②中①-②得到()221m n x y −=++，再根据1x y +=求出23m n −=代入代数式进行求解即可.【详解】解：法一：321x y m x y n +=− −=①②， +①②得421x m n =+−， 解得214m n x +−=， 将214m n x +−=代入②，解得2314m n y −−=， 1x y =+ ， 21231144m n m n +−−−∴+=， 得到23m n −=，2234222228m n m n m n −∴÷=÷===，法二：321x y m x y n +=− −=①② ①-②得：2221x y m n +=−−，即：()221m nx y −=++， ∵1x y +=， ∴22113m n −=×+=，2234222228m n m n m n −∴÷=÷===，故选：D ．【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出,m n 的关系是解题的关键．10. 抛物线254y x kx k =−++−与x 轴的一个交点为(,0)A m ，若21m −≤≤，则实数k 的取值范围是( ) A. 2114k −≤≤ B. k ≤214−或1k ≥ C. 5k −≤≤98 D. 5k ≤−或k ≥98【答案】B【解析】 【分析】根据抛物线有交点，则2504x kx k −++−=有实数根，得出5k ≤−或1k ≥，分类讨论，分别求得当2x =−和1x =时k 的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线254y x kx k =−++−与x 轴有交点， ∴2504x kx k −++−=有实数根， ∴240b ac ∆=−≥ 即()22254452904k k k k k+−=+−=+−≥解得：5k ≤−或1k ≥，当5k ≤−时，如图所示，依题意，当2x =−时，54204k k −−+−≥， 解得：214k ≤−，当1x =时，5104k k −++−≤，解得98k ≤， 即214k ≤−， 当1k ≥时，当2x =−时，54204k k −−+−≤， 解得：214k ≥−∴1k ≥综上所述，k ≤214−或1k ≥， 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11. 若分式12x x +−的值为0，则x 的值为________． 【答案】1−【解析】 【分析】根据分式12x x +−的值为0，得到1020x x += −≠ ，求解即可得到答案． 【详解】解： 分式12x x +−的值为0， 1020x x += ∴ −≠， 解得：=1x −，故答案为：1−．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不能为零．12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有________个．【答案】6【解析】【分析】设袋中红球有x 个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设袋中红球有x 个， 由题意得：0.64x x =+， 解得6x =，检验，当6x =时，40x +≠，∴6x =是原方程的解，∴袋中红球有6个，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率=红球数量÷球的总数是解题的关键．13. 如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ==，则MD 的长是________．【答案】4【解析】【分析】根据圆周角定理得出90ACB ∠=°，再由勾股定理确定13AB =，半径为132，利用垂径定理确定OM AC ⊥，且6AD CD ==，再由勾股定理求解即可．【详解】解：�AB 是O 的直径，�90ACB ∠=°，�12,5AC BC ==， �13AB =，�11322AO AB ==， �点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，�OM AC ⊥，且6AD CD ==，�52OD ， �4MD OM OD AO OD =−=−=，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N 和0.6m ，当动力臂由1.5m 增加到2m 时，撬动这块石头可以节省________N 的力．（杜杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【答案】100【解析】【分析】设动力为N x ，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，分别解得动力臂在1.5m 和2m 时的动力，即可解答．【详解】解：设动力为N x ，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，当动力臂在1.5m 时，可得方程110000.6 1.5x ×=，解得1400x =， 当动力臂在2m 时，可得方程210000.62x ×=，解得2300x =， 400N 300N 100N −=，故节省100N 的力，故答案为：100．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．15. 如图，直线23y kx k =−+（k 为常数，0k <）与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则23OA OB+的值是________．【答案】1【解析】【分析】根据一次函数解析式得出23k OA k−=，23OB k =−+，然后代入化简即可． 【详解】解：23y kx k =−+， �当0y =时，32x k =−+，当0x =时，23y k =−+， �3232k OA k k −=−+=，23OB k =−+， �2323232312332232323k k k OA OB k k k k k −+=+=−==−−−−−，故答案为：1．【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 16. 如图，在等边ABC 中，过点C 作射线CD BC ⊥，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，将ABC 沿MN 折叠，使点B 落在射线CD 上的点B ′处，连接AB ′，已知2AB =．给出下列四个结论：①CN NB +′为定值；②当2BN NC =时，四边形BMB N ′为菱形；③当点N 与C 重合时，18AB M ∠′=°；④当AB ′最短时，MN =________（填写序号）【答案】①②④【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得2BC =，根据折叠的性质可得NB NB ′=，由此即可判断①正确；先解直角三角形可得30CB N ′∠=°，从而可得60B NC B ′∠=°=∠，然后根据平行线的判定可得,BM B N MB BN ′′∥∥，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得,60B C BC MB C B ′′=∠=∠=°，从而可得AC B C ′=，再根据等腰三角形的性质可得75AB C CAB ′′∠=∠=°，然后根据AB M AB C MB C ′∠′∠−∠′=即可判断③错误；当AB ′最短时，则AB CD ′⊥，过点M 作ME BC ⊥于点E ，连接BB ′，交MN 于点O，先利用勾股定理求出7,4BN BB ′==OB =，设()0BE y y =>，则74EN y =−，2BM y =，再利用勾股定理可得EM =，MN1122BMN S BN EM OB MN =⋅=⋅ 建立方程，解一元二次方程可得y 的值，由此即可判断④正确． 【详解】解：ABC 是等边三角形，且2AB =，2BC AC AB ∴===，60B ACB ∠=∠=°，由折叠的性质得：NB NB ′=，2CN NB CN NB BC ∴+′=+==，是定值，则结论①正确；当2BN NC =时，则2NB NC ′=，在Rt CB N ′ 中，1sin 2CB N NC NB ′∠==′， 30CB N ′∴∠=°，60B NC B ′∴∠=°=∠，BM B N ′∴∥，由折叠的性质得：60MB N B ′∠=∠=°，60MB N B NC ′′∴∠=∠=°，MB BN ′∴∥，∴四边形BMB N ′为平行四边形，又NB NB ′= ，∴四边形BMB N ′为菱形，则结论②正确；如图，当点N 与C 重合时，CD BC ⊥ ，90BCD ∴∠=°，由折叠性质得：,60B C BC MB C B ′′=∠=∠=°， AC B C ′∴=，30ACB BCD ACB ′∠=∠−∠=°，()118030752AB C CAB ′′∴∠=∠=×°−°=°， 15AB C AB M MB C ′′∠−∠∴∠′==°，则结论③错误；当AB ′最短时，则AB CD ′⊥，的如图，过点M 作ME BC ⊥于点E ，连接BB ′，交MN 于点O ，2,30AC ACB ′=∠=° ，cos30B C AC ′∴=⋅°=BB ′∴=，由折叠的性质得：1,2BB MN OB BB ′′⊥=，设BN B N x ′==，则2CN BC BN x =−=−，在Rt B CN ′△中，222CN B C B N ′′+=，即()2222x x −+=， 解得74x =， 74BN ∴=， 设()0BE y y =>，则74EN y =−，2BM y =，EM ∴=，MN∴， 1122BMN S BN EM OB MN =⋅=⋅ ，74∴= 解得710=y 或702y =−<（不符合题意，舍去），MN ∴=，则结论④正确；综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 先化简，再求值：()()()2222a a a −+−+，其中32a =−． 【答案】48a −−；2−【解析】【分析】先用平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项进行化简，最后代入求值．【详解】()()()2222a a a −+−+ ()()22444a a a −−++22444a a a −−−−48a =−− 当32a =−时 原式48a =−−3482 =−×−−2=−【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式、整式的化简求值，熟练进行整式的化简是解题的关键． 18. 如图，在ABCD Y 中，点E ，F 在对角线AC 上，CBE ADF ∠=∠．求证：（1）AE CF =；（2）BE DF ∥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证ABE CDF ∠=∠，最后证明()ASA ABE CDF ≌△△即可求出答案．（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出BEFEFD ∠=∠即可证明两直线平行．【小问1详解】证明： 四边形ABCD 为平行四边形， AB CD ∴∥，AB CD =，ABC ADC ∠=∠， BAE FCD \??．CBE ADF ∠=∠Q ，ABC ADC ∠=∠， ABE CDF ∴∠=∠．()ASA ABE CDF ∴ ≌．AE CF ∴=．【小问2详解】证明：由（1）得()ASA ABE CDF ≌△△，AEB CFD ∴∠=∠．180AEB BEF ∠+∠=°Q ，180CFD EFD ∠+∠=°，BEF EFD ∴∠=∠．BE DF ∴∥．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．19. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动：A ．物品整理，B ．环境美化，C ．植物栽培，D ．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．（1）已知该班有15人参加A 类活动，则参加C 类活动有多少人？（2）该班参加D 类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率．【答案】（1）10人 （2）13【解析】 【分析】（1）根据A 类人数及占比得出总人数，然后乘以C 所占比例即可；（2）令王丽为女1，另外的女生为女2，男生分别为男1，男2，根据画树状图求概率即可求解．【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有15=5030%（人） 参加C 类活动有：()50122%30%28%10×−−−=（人） �参加C 类活动有10人；【小问2详解】解：令王丽为女1，另外的女生为女2，男生分别为男1，男2，画树状图为：共有12种等可能结果，符合题意的有4种，�恰好选中王丽和1名男生的概率为：41=123【点睛】本题主要考查了扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20. 已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m −−−+=（1）求证：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=−，求m 的值． 【答案】（1）见解析 （2）25或1． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定0∆≥即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到1221x x m +=−，2123x x m m =−+，整体代入得到2230m m +−=求解即可得到答案．【小问1详解】证明： 关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m −−−+=，∴1a =，()21b m =−−，23c m m =−+， ∴()()()222242141341b ac m m m m ∆=−=−−−−+=− ××，∵()2410m −≥，即0∆≥，∴不论m 为何值，方程总有实数根；【小问2详解】解：∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m −−−+=的两个实数根， ∴1221x x m +=−，2123x x m m =−+， ∵()22121221121121222252x x x x x x x x x x x x x x +−++===−， ∴()2121212x x x x +=−， ∴22(21)132m m m −=−−+，整理，得25207m m −+=，解得125m =，21m =， ∴m 的值为25或1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点()16A −，，3,3B a a −，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）点M 在x 轴上，若OAM OAB S S =△△，求点M 的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为6y x =−，一次函数的解析式为24y x =−+ （2）M 点的坐标为8,03 − 或8,03【解析】【分析】（1）设反比例函数解析式为1k y x =，将()16A −，代入1k y x =，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将3,3B a a −代入求得的反比例函数，解得a 的值，得到B 点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）求出点C 的坐标，根据OABOAC OBC S S S =+△△△求出OAB S ，分两种情况：M 在O 点左侧；M 点在O 点右侧，根据三角形面积公式即可解答．【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为1k y x =， 将()16A −，代入1k y x =，可得161k =−，解得16k =−， ∴反比例函数的解析式为6y x =−， 把3,3B a a − 代入6y x =−，可得()336a a−=−， 解得1a =，经检验，1a =是方程解，()3,2B ∴−，设一次函数的解析式为2y k x b =+， 将()16A −，，()3,2B −代入2y k x b =+， 可得623x b x b =−+ −=+， 解得224k b =− = ， 的∴一次函数的解析式为24y x =−+；【小问2详解】解：当0y =时，可得024x =−+， 解得2x =，()2,0C ∴，2OC ∴=，112622822OAC OBC OAB S S S ∴=+=××+××=△△△， OAM OAB S S = △△，1862OAM OM S ∴==××△， 83OM ∴=， M 在O 点左侧时，8,03M−； M 点在O 点右侧时，8,03M， 综上，M 点的坐标为8,03 − 或8,03．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出OAB S 是解题的关键．22. 如图，AB 与O 相切于点A ，半径OC AB ∥，BC 与O 相交于点D ，连接AD ．（1）求证：OCA ADC ∠∠=；（2）若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．【答案】（1）见解析 （2【解析】【分析】（1）连接OA ，根据切线的性质得出90OAB ∠=°，再由平行线的性质得出90AOC ∠=°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；（2）过点A 作AH BC ⊥，过点C 作CF BA ⊥的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH DH ==，再由正切函数确定BH =AB =再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【小问1详解】证明：连接OA ，如图所示：�AB 与O 相切于点A ，�90OAB ∠=°，�OC AB ∥，�90AOC ∠=°，∴45ADC ∠=°，�OC OA =，�45OCA ∠=°，∴OCA ADC ∠∠=；小问2详解】过点A 作AH BC ⊥，过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于点F ，如图所示：由（1）得45OCA ADC ∠∠==°，�AHD ∆为等腰直角三角形，�2AD =，【�AH DH ==， �1tan 3B =， �BH =AB =， 由（1）得90AOC OAF ∠∠==°，�CF BA ⊥， �四边形OCFA 为矩形，�OA OC =，�四边形OCFA 为正方形，�CF FA OC r ===，�,90BB AHB CFB ∠∠∠∠===°， ∴ ABH CBF ∽,�BH AH BF CF ==，解得：r =，∴OC =【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．23. 某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件．已知A 产品成本价m 元/件（m 为常数，且46m ≤≤，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y （元）与每日产销x （件）满足关系式 2.800.01y x =+（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润．（A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润=（售价−成本）×产销数量−专利费】【答案】（1）()()18300500w m x x =−−<≤，()220.018800300w x x x =−+−<≤ （2）()15003970w m =−+最大元，1420w =2最大（3）当4 5.1m ≤<时，该工厂应该选择产销A 产品能获得最大日利润；当 5.1m =时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当5.16m <≤时，该工厂应该选择产销B 产品能获得最大日利润，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；（3）比较（2）中所求A 、B 两种产品的最大利润即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得，()()18300500w m x x =−−<≤，()()()2222012800.010.018800300w x x x x x =−−+=−+−<≤ 【小问2详解】解：�46m ≤≤，∴80m −>，∴1w 随x 增大而增大，∴当500x =时，1w 最大，最大为()()8500305003970m m −×−=−+元； ()2220.018800.014001520w x x x =−+−=−−+，∵0.010−<，∴当400x <时，2w 随x 增大而增大，∴当300x =时，2w 最大，最大为()20.0130040015201420−×−+=元； 【小问3详解】解：当50039701420m −+>，即4 5.1m ≤<时，该工厂应该选择产销A 产品能获得最大日利润； 当50039701420m −+=，即 5.1m =时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润； 当50039701420m −+<，即5.16m <≤时，该工厂应该选择产销B 产品能获得最大日利润； 综上所述，当4 5.1m ≤<时，该工厂应该选择产销A 产品能获得最大日利润；当 5.1m =时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当5.16m <≤时，该工厂应该选择产销B 产品能获得最大日利润．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．24. 如图，正方形ABCD 中，点M 在边BC 上，点E 是AM 的中点，连接ED ，EC ．（1）求证：ED EC =；（2）将BE 绕点E 逆时针旋转，使点B 的对应点B ′落在AC 上，连接MB ′．当点M 在边BC 上运动时（点M 不与B ，C 重合），判断CMB ′ 的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知1AB =，当45DEB ∠′=°时，求BM 的长．【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析（3）2BM =【解析】【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出EAD EBC ≌，即可证得结论； （2）由旋转的性质得EB EB AE EM ′===，从而利用等腰三角形的性质推出90MB C ′∠=°，再结合正方形对角线的性质推出B M B C ′′=，即可证得结论；（3）结合已知信息推出CME AMC ∽，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．【小问1详解】证：∵四边形ABCD 为正方形，∴90BAD ABC ∠=∠=°，AD BC =，∵点E 是AM 的中点，∴EA EB =，∴EAB EBA ∠=∠，∴BAD EAB ABC EBA ∠−∠=∠−∠，即：EAD EBC ∠=∠，在EAD 与EBC 中，EA EB EAD EBC AD BC = ∠=∠ =∴()SAS EAD EBC ≌，∴ED EC =；【小问2详解】解：'CMB 为等腰直角三角形，理由如下：由旋转性质得：EB EB ′=，∴EB AE EM ′==，∴EAB EB A ′′∠=∠，EMB EB M ′′∠=∠，∵180EAB EB A EMB EB M ′′′′∠+∠+∠+∠=°，∴90EB A EB M ′′∠+∠=°，即：90AB M ′∠=°，∴90MB C ′∠=°，∴9045B MC ACB ′∠=°−∠=°，∴45B MC ACB ′∠=∠=°，∴B M B C ′′=，∴'CMB 为等腰直角三角形；【小问3详解】解：如图所示，延长BE 交AD 于点F ，∵EAB EBA ∠=∠，EAB EB A ′′∠=∠， ∴2MEB EAB ∠=∠，2MEB EAB ′′∠=∠，∴22290BEB MEB MEB EAB EAB BAB ′′′′∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，∵45DEB ∠′=°，∴45DEF B EF DEB ′′∠=∠−∠=°，∵EAD EBC ≌，∴AED BEC ∠=∠， ∵AEF BEM ∠=∠，∴45DEF CEM ∠=∠=°，∵45ACM ∠=°，∴CEM ACM ∠=∠，∵CME AMC ∠=∠，∴CME AMC ∽， ∴CM EM AM CM=， ∴2CM AM EM = ，的∵12EM AM =， ∴2212CM AM =， 设BM x =，则1CM x =−，22221AM AB BM x =+=+，∴()()221112x x −=+，解得：12x =，22x =，∴2BM =【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 25. 如图1，抛物线23y ax bx ++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）223y x x =−++（2）()2,3或()13−或()13+−（3）定值，理由见详解【解析】【分析】（1）将()()1,03,0A B −，两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）根据P ，Q 的不确定性，进行分类讨论：①过C 作CP x ∥轴，交抛物线于1P ，过1P 作11PQ BC ∥，交x 轴于1Q ，可得13P y =，由2233x x −++=，可求解；②在x 轴的负半轴上取点2Q ，过2Q 作22Q P BC ∥，交抛物线于2P ，同时使22Q P BC =，连接2CQ 、2BP ，过2P 作2P D x ⊥轴，交x 轴于D ，23P y =−，即可求解；③当BC 为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q 在点B 的左边，且满足1BQ BQ =，也满足条件，只是点P 的坐标仍是①中的坐标；（3）可设直线GH 的解析式为()13y k x =−+，()2,23G m m m −++，()2,23H n n n −++，可求2m n k mn k +=− =−，再求直线DG 的解析式为()13y m x m =−−++，从而可求311m EM m +=−−，同理可求EN ，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线2()30y ax bx a ++≠与x 轴交于()()1,03,0A B −，两点，309330a b a b −+= ∴ ++=， 解得12a b =− =， 故抛物线的解析式为223y x x =−++． 【小问2详解】解：①如图，过C 作CP x ∥轴，交抛物线于1P ，过1P 作11PQBC ∥，交x 轴于1Q ，∴四边形11BCPQ 是平行四边形，13P y ∴=，2233x x ∴−++=，解得：12x =，20x =，()12,3P ；②如图，在x 轴的负半轴上取点2Q ，过2Q 作22Q P BC ∥，交抛物线于2P ，同时使22Q P BC =，连接2CQ 、2BP ，过2P 作2P D x ⊥轴，交x 轴于D ，∴四边形22BCQ P 是平行四边形，222CBQ P Q B ∴∠=∠，在2CBQ 和22P Q B 中，2222222BQ Q B CBQ P Q B CB P Q = ∠=∠ =，∴222CBQ P Q B ≌(SAS )，23P D CO ∴==，23P y ∴=−，2233x x ∴−++=−，解得：11x =−，21x =+，()213P ∴−−；如上图，根据对称性：()313P +−， ③当BC 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q 在点B 的左边，且12BQ BQ ==时，也满足条件，此时点P 的坐标仍为()2,3；综上所述：P 的坐标为()2,3或()13−−或()13+−．【小问3详解】解：是定值，理由：如图， 直线GH 经过()1,3K ，∴可设直线GH 的解析式为()13y k x =−+，G 、H 在抛物线上，∴可设()2,23G m m m −++，()2,23H n n n −++， ()21323k x x x ∴−+=−++，整理得：()220x k x k +--=， ∴1x m =，2x n =，2m n k mn k +=− ∴ =−， 当1x =时，212134y =−+×+=，()14D ∴,，设直线DG 的解析式为11y k x b =+，则有 21111234mk b m m k b +=−++ += ， 解得()1113k m b m =−− =+ ，∴直线DG 的解析式为()13y m x m =−−++，当0y =时，()130m x m −−++=， 解得：31m x m +=−， 3,01m M m + ∴ −， 311m EM m +∴=−− 41m =−−， 同理可求：41EN n =−，4411EM EN m n ∴⋅=−⋅−− ()161mn m n =−−++ ()1621k k =−−−−+ ()1621k k =−−−−+ 16=；当G 与H 对调位置后，同理可求16EM EN ⋅=；故EM EN ⋅的定值为16．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．。
2024-2025学年人教版七年级数学上册《第1章有理数》自主学习选择同步练习题(附答案)
2024-2025学年人教版七年级数学上册《第1章有理数》自主学习选择同步练习题（附答案）1．下列选项中具有相反意义的量是（）A．胜1局和亏损2万元B．向东行驶5km与向北行驶10kmC．运进6kg苹果与卖完5kg苹果D．水位上升0.6米与水位下降1米2．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向西走80米记作“−80米”，那么向东走40米记作（）A．+40米B．+80米C．−80米D．−40米3．人体的正常体温大约为36.5℃，如果低于正常体温0.5℃记作−0.5℃；那么高于正常体温0.8℃应该记作（）A．−0.8℃B．+0.8℃C．−37.3℃D．+37.3℃4．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果收入100元记作+100，那么−40表示为（）A．收入40元B．支出40元C．收入60元D．支出60元5．下列说法中不正确的是（）A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示B．一个负数的绝对值等于它的相反数C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大D．任何有理数都有相反数6．古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为+20岁，那么王横25岁，记为（）A．25岁B．−25岁C．−15岁D．+15岁7．一袋面粉的标准质量是15kg，如果把一袋面粉15.5kg记为+0.5kg，那么另一袋面粉14.7kg记为（）A．−14.7kg B．+14.7kg C．-0.3kg D．+0.3kg8．下列各数中，最小的数是（）．A．1B．2C．−12D．−39．下列各数中是负数的是（）A．−3B．−(−1)C．0D．−210．在下列数−56，+1，6.7，0，722，−5，25%中整数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（）A．−1B．−1.5C．+0.5D．+112．下列比较大小正确的是（）A．−3=−−73B．−56<−45C．−−21<+−21D．−|−10|>813．下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．+−2和−+2B．−−2和+2C．−−2和−2D．−+2和−+214．下列化简正确的是（）A．−+2=2B．−−2=−2C．+−2=−2D．−+2=2 15．在−1，0，53，−6.8和2024这五个有理数中，正数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．在−2，0，3.14，102，3，−−2021，100%中，非负整数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．如果在数轴上A点表示−3，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（）A．−1B．−1和−5C．+1或−5D．−518．液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（）物质酒精液态甲醛液态一氧化碳花生油沸点/℃78−19.5−191.5335A．液态一氧化碳B．液态甲醛C．酒精D．花生油19．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（）A．+0.9B．−3.5C．−0.5D．+2.520．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．>B．−>−C．>D．−>−参考答案1．解：A、胜1局和亏损2万元不具有相反意义的量，故选项不合题意；B、向东行驶5km与向北行驶10km不具有相反意义的量，故选项不合题意；C、运进6kg苹果与卖完5kg苹果不具有相反意义的量，故选项不合题意；D、水位上升0.6米与水位下降1米是一对意义相反的量，故选项符合题意．故选：D．2．解：∵向东走与向西走是一对意义相反的量，∴如果向西走80米记作“−80米”，∴向东走40米记作+40米，故选：A．3．解：体温低于正常体温0.5℃记作−0.5℃；那么高于正常体温0.8℃应该记作+0.8℃，故选：B．4．解：如果收入100元记作+100，那么−40表示为支出40元．故选：B．5．解：∵实数与数轴上的点一一对应，故选项A正确；∵负数的绝对值等于它的相反数，∴一个负数的绝对值等于它的相反数，故选项B正确；∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故选项C不正确；∵任何有理数都有相反数，故选项D正确．故选：C．6．解：由题意得：王横25岁，记为−15岁，故选：C．7．解：一袋面粉15.5kg记为+0.5kg，那么另一袋面粉14.7kg记为-0.3kg．故选：C．8．解：∵−3<−12<1<2，∴所给的各数中，最小的数是−3．故选：D9．解：A．−3=3是正数，不符合题意；B．−(−1)=1是正数，不符合题意；C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意；D．−2是负数，符合题意；故选：D．10．解：−56，+1，6.7，0，722，−5，25%中整数有：+1，0，−5，共3个，故选：B．11．解：∵−1=1,−1.5=1.5,+0.5=0.5,+1=1，∴−1.5>−1=+1>+0.5，∴+0.5的位置距离原点最近，故选：C．12．解：A、∵−=−723，−−7=723，∴−<−−7符合题意；B、∵−=56=2530，−=45=2430，∴−56<−45，故本选项正确，符合题意；C、∵−−21=21，+−21=−21，∴−−21>+−21，故本选项错误，不符合题意；D、∵−|−10|=−10，∴−|−10|<8，故本选项错误，不符合题意．故选：B．13．解：A、+−2=−2，−+2=−2，故两数不是相反数，不符合题意；B、−−2=−2，+2=2，两数互为相反数，符合题意；C、−−2=2，−2=2，故两数不是相反数，不符合题意；D、−+2=−2，−+2=−2，故两数不是相反数，不符合题意．故选：B．14．解：A、−+2=−2，此选项化简错误，不符合题意；B、−−2=2，此选项化简错误，不符合题意；C、+−2=−2，此选项化简正确，符合题意；D、−+2=−2，此选项化简错误，不符合题意；故选：C．15．解：正数有：53和2024，有2个正数．故选B．16．解：−2为负数，不符合题意；0为非负整数，符合题意；3.14为小数，不符合题意；102=5为非负整数，符合题意；3为小数，不符合题意；−−2021=2021为非负整数，符合题意；100%=1为非负整数，符合题意；综上所述，非负整数的个数有4个，故选：C．17．解：如图所示，∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是−1和−5．故选B．18．解：∵−191.5>−19.5，∴−191.5<−19.5<78<335，∴沸点最低的液体是液态一氧化碳．故选A．19．解：+0.9=0.9,−3.5=3.5,−0.5=0.5,+2.5=2.5，∵0.5<0.9<2.5<3.5，∴从轻重的角度看，最接近标准的是−0.5，故选：C．20．解：由图可得：0<<，且|U<|U，∴A、<，故此选项不符合题意；B、−>−，故此选项符合题意；C、|U<|U，故此选项不符合题意；D、|−U<|−U，故此选项不符合题意；故选：B．。
课时计划·七年级数学·人教上册-1.3.2 有理数的减法(1)
1.3.2有理数的减法有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b).说明：有理数的减法运算可转化为加法运算，这种思想方法称为“转化思想”.法则中有“两变一不变”：“两变”指减号变加号，减数变成它的相反数；“不变”指被减数不变.一、有理数减法法则的运用(一)例1计算：(1)(-18)-(+5)；(2)3.4-(-5.3)；(3)(-12)-(-6)；(4)8-15.思路分析：有理数减法运算的关键是准确完成减法到加法的转化.解：(1)原式=-18+(-5)=-(18+5)=-23；(2)原式=3.4+5.3=8.7；(3)原式=(-12)+6=-(12-6)=-6；(4)原式=8+(-15)=-(15-8)=-7.点评：将减法转化为加法时，一定注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数.1.填空：(1)13+(-3)=10；(2)(-13)-(-19)=6；(3)(-10)-(-3)=-7；(4) −312 +−112=-5.2.下面是丽丽同学在作业本上做的四道题：①2-(+5)=-3；②6-(-6)=0；③(-2)- −23 =-113；④0.2-(-0.05)=0.25.其中正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个二、有理数减法法则的运用(二)例2已知a=-4，b=-5，c=-7，求代数式a-b-c的值.思路分析：求代数式的值时，解题格式应为：先写出字母所表示的数，然后代入式子中再用有理数的加减法则运算，注意括号的使用.解：当a=-4，b=-5，c=-7时，a-b-c=(-4)-(-5)-(-7)=(-4)+(+5)+(+7)=8.点评：把字母的值代入运算时，特别注意减号后面是负数时，要添上括号.3.若 -(-5)=-3，则横线上的数是（ B ）A.-2B.-8C.2D.84.(2019·巴南区)冰箱冷冻室的温度为-6 ℃，此时房间内的温度为26 ℃，则房间内的温度比冰箱冷冻室的温度高（ A ）A.32 ℃B.20 ℃C.-32 ℃D.-20 ℃5.计算：- −512 +1627+(-15.5)- −357=10.6.计算:(1)36-76+(-23)-(-10);(2)-6-9;(3) −134 -+613-2.25+103;(4)11+(-35)-(-41)+(-16);(5) −323 - −234- −123-(+1.75);(6) −478 - −512+ −414-+318.解：(1)原式=36-76-23+10=-53；(2)原式=-(6+9)=-15；(3)原式=-134-613-214+313=-4-3=-7；(4)原式=11-35+41-16 =52-51=1；(5)原式=-323+234+123-134=-2+1=-1；(6)原式=-478+512-414-318=-8+114=-634.1.计算(-9)-(-3)的结果是（ B ）A.-12B.-6C.+6D.122.下列运算中正确的是（ B ）A.8-(-5)=3B.-9-(-6)=-3C.-4+2=-6D.-7-5=-23.│−5−3│的相反数是（ C ）A.8B.-2C.-8D.24.若表示运算x+z-(y+W)，则的结果是（ C ）A.5B.7C.9D.115.某地一天的最高气温是8 ℃，最低气温是-2 ℃，则该地这天的温差是（ C ）A.6 ℃B.-6 ℃C.10 ℃D.-10 ℃6.计算：(1)13-12=-16；(2)│12−1│ =12；(3)-23- −312=256；(4)-2.7-+212=-5.2；(5)-823-4.5=-1316.7.(2019·梁平区)若|a|=5，|b|=3，且a+b＜0，那么a-b=-8或-2.8.若m，n互为相反数，则5m+5n-5=-5.9.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为199.10.计算：(1)-12-(+3)；解：原式=-15;(2)(-1.24)+(+4.76)；解：原式=3.52；(3)8-(9-10)；解：原式=9；(4) −23 -+112- −14.解：原式=-12.11.计算：(1) −13 ++25++35+ −123;解：原式=-13-123+25+35=-2+1=-1;(2) −314 + −812- −534;解：原式=-314+534-812=212-812=-6;(3) −312- −56+(-0.5)+316;解：原式=-312-12+56+316=-4+4=0;(4) +325+ −278- −535- +18;解：原式=325+535-278-18=9-3=6;(5)(-0.25)+(-3)- │−134│ -(-3);解：原式=-14-134-3+3=-2;(6)++(+17)+−-(+7)-−+.解：原式=713-713+17-7-113+213=10+1=11.12.(2019·沙坪坝区)已知|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b ，求a-b 的值.解：∵|a|=5，|b|=7，∴a=±5，b=±7.∵|a+b|=a+b ，∴a+b ≥0，∴a=±5，b=7，则a-b=-12或-2.13.一场游戏规则如下：(1)每人每次抽4张卡片，如果抽到形如的卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到形如的卡片，那么减去卡片上的数字；(2)比较两人所抽到的4张卡片的计算结果，结果大的为胜者. 请你通过计算(要求有计算过程)回答本次游戏获胜的是谁. 小亮抽到的卡片如图所示：小丽抽到的卡片如图所示：解：小亮所抽卡片上的数的和为12- −32+(-5)-4=-7；小丽所抽卡片上的数的和为 -2- −13+5- −14=3712.因为-7<3712，所以本次游戏获胜的是小丽.。
专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)
专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。
1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。
2025年高考数学一轮知识点复习1.5-一元二次不等式及其解法-专项训练【含答案】
第一章集合、常用逻辑用语与不等式第五节一元二次不等式及其解法1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（）A.（－2，5）B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.（－5，2）D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）2.下列不等式中解集为R的是（）A.－x2＋2x＋1≥0B.x2－25x＋5＞0C.x2＋6x＋10＞0D.2x2－3x＋4＜03.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（）A.{x｜x＜－n或x＞m}B.{x｜－n＜x＜m}C.{x｜x＜－m或x＞n}D.{x｜－m＜x＜n}4.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（）A.（－∞，0）∪（0，12）B.（－∞，12）C.（12，＋∞）D.（0，12）5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的关系为p＝160－2x，生产x 件所需成本为c（元），其中c＝500＋30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A.{x｜20≤x≤30，x∈N}B.{x｜20≤x≤45，x∈N}C.{x｜15≤x≤30，x∈N}D.{x｜15≤x≤45，x∈N}6.（多选）解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（）A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－2}C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－2＜x＜4}D.当a＝－12时，不等式的解集为⌀7.不等式2x2－3｜x｜－35＞0的解集为.8.若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为.9.若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x｜－12≤x≤－13}，则不等式－－3≤1的解集为.10.求下列关于x的不等式：（1）3r5－1＞x；（2）6x2＋ax－a2＜0.11.“m＜4”是“2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A.（6，7]B.[－3，－2）C.[－3，－2）∪（6，7]D.[－3，7]13.若不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解，则实数a的取值范围是.14.已知a，b，c∈R，关于x的不等式bx2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞c}.（1）求b，c的值；（2）解关于x的不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋1.（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若∃x∈[1，2]，f（x）≥2成立，求实数a的取值范围.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.1.A由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.2.C在C项中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4＜0，所以不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R.3.B不等式（m－x）（n＋x）＞0可化为（x－m）·（x＋n）＜0，因为m＋n＞0，所以m＞－n，所以原不等式的解集为{x｜－n＜x＜m}，故选B.4.A由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜12；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，12）.5.B设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500＋30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.根据题意知，－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N.所以当20≤x≤45，x∈N 时，每天获得的利润不少于1300元，故选B.6.AD当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当<0，－2<4，即a＜－12时，不等式的解集为{x｜－2＜x＜4}；当<0，－2>4，即－12＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－2}；当a＝－12时，－2＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.7.{x｜x＜－5或x＞5}解析：2x2－3｜x｜－35＞0⇔2｜x｜2－3｜x｜－35＞0⇔（｜x｜－5）（2｜x｜＋7）＞0⇔｜x｜＞5或｜x｜＜－72（舍去）⇔x＞5或x＜－5.8.（－12，12）解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2＞0，所以－12＜m＜12.9.{x｜x＞3}解析：因为不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x｜－12≤x≤－13}，所以－12，－13是方程ax2＋5x＋1＝0的两根，所以a＝6，所以－－3≤1可化为－3－3≤0，解得x＞3，所以不等式－－3≤1的解集为{x｜x＞3}.10.解：（1）不等式3r5－1＞x化为以下两个不等式组－1<0，3+5<2－或－1>0，3+5>2－，由－1<0，3+5<2－，即<1，2－4－5>0，解得x＜－1，由－1>0，3+5>2－，即>1，2－4－5<0，解得1＜x＜5，所以原不等式的解集是（－∞，－1）∪（1，5）.（2）原不等式可化为（2x＋a）（3x－a）＜0，即（x＋2）·（x－3）＜0.①当－2＜3，即a＞0时，－2＜x＜3；②当－2＝3，即a＝0时，原不等式的解集为⌀；③当－2＞3，即a＜0时，3＜x＜－2.综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}；当a＝0时，原不等式的解集为⌀；当a＜0时，原不等式的解集为{x｜3＜x＜－2}.11.B2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立，即m＜2x＋1在x∈（1，＋∞）上恒成立，2x＋1∈（3，＋∞），故m≤3，“m＜4”是“m≤3”的必要不充分条件，故选B.12.C不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C.13.（－235，＋∞）解析：对于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8＞0，∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f（x）＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解的充要条件是f（5）＞0，即5a＋23＞0，解得a＞－235，故a的取值范围是（－235，＋∞）.14.解：（1）因为不等式bx2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞c}，所以x1＝1与x2＝c是方程bx2－3x＋2＝0的两个实数根，由根与系数的关系，得1+＝3，1×＝2，解得b＝1，c＝2.（2）由（1）知不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0为ax2－（2a＋1）x＋2＜0，即（ax－1）（x－2）＜0.①当a＝0时，易得不等式的解集为{x｜x＞2}.②当a＜0时，不等式可化为（x－1）（x－2）＞0，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞2}.③当a＞0时，不等式可化为（x－1）（x－2）＜0，当1＞2，即0＜a＜12时，不等式的解集为{x｜2＜x＜1}，当1＝2，即a＝12时，不等式的解集为⌀，当1＜2，即a＞12时，不等式的解集为{x｜1＜x＜2}.15.解：（1）由题意得Δ＝24－4≤0，解得－4≤a≤4，∴实数a的取值范围为[－4，4].（2）由题意∃x∈[1，2]，使得2≤x－1成立.令g（x）＝x－1，x∈[1，2]，则g（x）在区间[1，2]上单调递增，∴g（x）max＝g（2）＝32，∴2≤32，解得a≤3，∴实数a的取值范围为（－∞，3].。
2023-2024学年八年级下学期数学开学摸底考试卷(人教版)及答案
2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八上全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若分子有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠﹣2B．x≠3C．x＞3D．x＜32．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，那么（m+n）2023的值为（ ）A．﹣1B．1C．﹣72023D．720234．如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，BD＝CE，∠BAD＝∠CAE，下列条件中不能判定△ABD≌△ACE的是（ ）A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠BAE C．AB＝AC D．AD＝AE5．下列计算正确的是（ ）A．B．C．（a2﹣ab）D．6xy6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线CG，若∠B＝40°，则∠FCG为（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°7．已知a﹣b＝7，ab＝12，那么a2+ab+b2的值是（ ）A．11B．13C．37D．858．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠B＝65°，现将该纸片沿DE折叠，使点A、B分别落在点A′、B′处．其中，点B在纸片的内部，点D、E分别在边AC、BC上．若∠B'EC＝15°，则∠A′DC等于（ ）A．55°B．60°C．65°D．70°9．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）A．B．C．D．10．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ＝CP；③PC∥QB；④PB＝PA+PC；⑤当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．其中一定正确的有（ ）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．把2ab2﹣4ab+2a因式分解的结果是 ．12．俗话说：“洋芋花开赛牡丹．”时下，甘肃省定西市的马铃薯进入盛花期，层层梯田里，洁白如雪的洋芋花与绿色茎叶、蓝天、黄土相互映衬，显得分外妖娆．每粒洋芋花粉的质量约为0.000045毫克，其中0.000045用科学记数法表示为 ．13．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为 ．14．若4x2﹣3（a+2）x+9是完全平方式，则a的值为 ．15．小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是 ．16．如图，等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，EF交BC于F，AB＝2cm，则△EFC的周长为 cm．17．当m＝ 时，解分式方程会出现增根．18．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为 ．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（每小题4分，共8分）计算或解方程：（1）[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y （2）20．（6分）先化简，再求值：（a﹣2），其中a在2，﹣2，3，﹣3中选取合适数代入求值．21．（7分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）若PA∥x轴，且PA＝5，则P点坐标为 ；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标 ；（3）求△ABC的面积．23．（8分）如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高，BC＝AC，CM∥AB，交AD于点M．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：BE＝AM+EM．24．（8分）为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高25%，购进数量比第一次少了30盒．（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？25．（9分）图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．（1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长为 ；（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值；②若（2021﹣a）2+（a﹣2022）2＝7，求（2021﹣a）（a﹣2022）的值．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别在坐标轴的正半轴上．（1）如图1，若a、b满足（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 ；（2）如图2，若a＝b，点D是OA的延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE，连接AE，求证：∠ABD＝∠AED；（3）如图3，设AB＝c，∠ABO的平分线过点D（3，﹣3），请求出a﹣b+c的值，并说明理由．2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
元素周期表 - wiki版
55 56 57Cs Ba 71 6 铯 钡 镧系 132.9 137.3 元素
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl 铪 钽 钨 铼 锇 铱 铂 金 汞 铊 178.5 180.9 183.9 186.2 190.2 192.2 195.1 197.0 200.6 204.
元素周期 表
族 → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
周 期 ↓
IA
1 H 1 氢 1.008 II A 3 4 Li Be 2 锂 铍 6.941 9.012
III A
5 B 硼 10.8
11 12 Na Mg 3 钠 镁 22.99 24.31 III B IV B VB VI B VII B
VIII B IB Iபைடு நூலகம் B
13 Al 铝 26.9
4
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga 钾 钙 钪 钛 钒 铬 锰 铁 钴 镍 铜 锌 镓 39.1 40.08 44.96 47.88 50.94 52.00 54.94 55.85 58.93 58.69 63.55 65.39 69.7
87 88 89104 Fr Ra 103 Rf 7 钫 镭 锕系 鑪 (223.0) 226.0 元素 (265.1)
105 Db ���
106 Sg ���
107 Bh ���
108 Hs ���
109 Mt 䥑
110 Ds ���
(268.1) (271.1) (270.1) (277.2) (276.2) (281.2)
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案学生版
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案一、单选题1．对于任意的实数，代数式2−5+10的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定2．已知实数x，y满足26336−276=1且2≠2，则2+22−2的值为（）A．54B．45C．12D．23．如果x2+2（1－2m）x+9=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方公式，则m等于（）. A．1B．-1C．－1或1D．－1或24．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x=。
6．若关于的一元二次方程(−1)2−4+2−1=0的一根是0，则＝. 7．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=．三、解答题8．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？10．计算①3x2﹣3=2x（用配方法解）②4（x﹣1）2﹣9（3﹣2x）2=0．11．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？四、综合题12．已知：关于的一元二次方程B2−(4−3)+3−3=0（1）求证：无论取何值，方程都有实根；（2）若=−1是该方程的一个根，求的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求的值(为整数)．13．已知关于x的一元二次方程2+3B+3−1=0有两个实数根1，2.（1）若1=22，求k的值.（2）若1<1，2>1，求k的取值范围.14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．15．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。
七年级下- 4 三元一次方程组(解析版)
七年级下册数学《第八章二元一次方程组》8.4三元一次方程组◆◆1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程．◆◆2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；②未知数的项的次数是1；③方程组中一共有三个方程.（2）三元一次方程组不一定都是由三个三元一次方程合在一起组成的，其中有的方程也可以是一元一次方程或二元一次方程.◆◆1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.◆◆2、解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．◆◆列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组．（4）解方程组：解方程组求出未知数的值.（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．【例题1】下列方程组不是三元一次方程组的是（）A ．�+�=12�+�=−23�=6B ．�2−4=0�+1=���−�=−3C．�=22�=−3�−�=1D．�−�=−1�+�=3 2�−�=0【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选：B．【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．【变式1-1】下列方程组是三元一次方程组的是（）A．3�+5�+�=−8�+�+�=3�−2�+�=21B．�=5�=2�=3C．�+�=3�+�=−1�+�=8D．�+�=92�−��=2�−�+�=0【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；B、满足三元一次方程组的定义，故选项正确；C、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；D、ab，未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故D选项错误；【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．【变式1-2】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（）A．�=3�=6�+�+�=0B．�+�=3�+�=0�+�=1C．3�+2�+�=184�−�+�=6�+�+2�=4D．2��+�=184���=6�−�−2�=4【分析】根据三元一次方程组的定义判断求解．【解答】解：A：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以A是三元一次方程组；B：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以B是三元一次方程组；C：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以C是三元一次方程组；D：含有三个未知数x，y，z，但是4xyz的次数是3，所以D不是三元一次方程组；故选：D．【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．【变式1-3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（）A．�+�=2��+�=4�−�=1B．�−3�=4�+�=6�−2�=7C．�=9�−�=4�−�=5D．�+�=8�−�=3�−�=5【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：A 选项：方程的次数为2，错误；B 选项：有分式方程，错误；C 选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，均为整式方程，正确；D 选项，有4个未知数，错误；故选：C ．【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．【例题2】（2021春•普陀区期末）解方程组：�−2�=−12�+�+�=5�−3�−�=0．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：�−2�=−1①2�+�+�=5②�−3�−�=0③，②+③得：3x ﹣2y ＝5④，由④和①组成一个二次一次方程组�−2�=−13�−2�=5，解得：�=3�=2，把�=3�=2代入③3﹣6﹣z ＝0，解得：z ＝﹣3，所以原方程组的解是：�=3�=2�=−3．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-1】（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组�3�+2�+�=10②2�−�+�=−1③，如果消掉未知数z ，则应对方程组变形为（）A ．①+③，①×2﹣②B ．①+③，③×2+②C ．②﹣①，②﹣③D ．①﹣②，①×2﹣③【分析】观察z 的系数，利用加减消元法消去z 即可．【解答】解：解三元一次方程组�+�+�=3①3�+2�+�=10②2�−�+�=−1③，如果消掉未知数z ，则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．故选：C．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-2】（2021春•安居区期中）解方程组3�−�+�=4①2�+3�−�=12②�+�−2�=3③，以下解法不正确的是（）A．由①，②消去z，再由①，③消去zB．由①，③消去z，再由②，③消去zC．由①，③消去y，再由①，②消去yD．由①，②消去z，再由①，③消去y【分析】根据解三元一次方程组的思路，把三元转化为二元，即可解答．【解答】解：解方程组3�−�+�=4①2�+3�−�=12②�+�−2�=3③，利用加减法消去一个未知数，组成二元一次方程组，故以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．故选：D．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-3】解三元一次方程组�−�+�=−3，①�+2�−�=1，②�+�=0，③要使解法较为简便，首先应进行的变形为（）A ．①+②B ．①﹣②C ．①+③D ．②﹣③【分析】观察发现：第三个方程不含z ，故前两个方程相加消去z ，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．【解答】解：解三元一次方程组�−�+�=−3①�+2�−�=1②�+�=0③要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．故选：A ．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-4】（2022春•青龙县期末）三元一次方程组�−�=1�−�=1�+�=6的解是（）A ．�=2�=3�=4B ．�=2�=4�=3C ．�=3�=2�=4D ．�=4�=3�=2【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：�−�=1①�−�=1②�+�=6③，②+③得：x +y ＝7④，①+④得：2x ＝8，即x ＝4，把x ＝4代入①得：y ＝3，把x ＝4代入③得：z ＝2，则方程组的解为�=4�=3�=2，故选：D ．【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的基本方法是利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值，再求出第三个未知数的值．【变式2-5】（2022春•海口期中）已知x +y ＝1，y +z ＝5，x +z ＝6，则xyz 等于（）A ．0B ．7C ．8D ．9【分析】①+②+③得出2x +2y +2z ＝12，求出x +y +z ＝6④，④﹣①求出z ，④﹣②求出x ，④﹣③求出y ，再求出答案即可．【解答】解：由题意得：�+�=1①�+�=5②�+�=6③，①+②+③，得2x +2y +2z ＝12，x +y +z ＝6④，④﹣①，得z ＝5，④﹣②，得x ＝1，④﹣③，得y ＝0，所以xyz ＝1×0×5＝0，故选：A ．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•绍兴期末）若关于x 、y 的二元一次方程组��−��=−2푐�+��=4的解为�=3�=2，则方程组��−��+2�+�=−2푐�+��−�=4−2푐的解为（）A ．�=1�=2B ．�=1�=3C ．�=2�=2D ．�=2�=3【分析】先将所求的方程组化简为�(�+2)−�(�−1)=2푐(�+2)+�(�−1)=4，再结合已知方程组的解可得�+2=3�−1=2，求解即可．【解答】解：化简方程组��−��+2�+�=−2푐�+��−�=4−2푐为方程组�(�+2)−�(�−1)=2푐(�+2)+�(�−1)=4，∵二元一次方程组��−��=−2푐�+��=4的解为�=3�=2，∴�+2=3�−1=2，解得�=1�=3，故选：B ．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解题是关键．【变式2-7】解下列三元一次方程组：（1）�+�=7，2�+�=6，�−�=7；（2）2�+2�+�=4，2�+�+2�=7，�+2�+2�=−6．【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）�+�=7①2�+�=6②�−�=7③，②+③得：x +2y ＝13④，④﹣①得：y ＝6，把y ＝6代入④得：x ＝1，把x ＝1代入③得：z ＝﹣6，则方程组的解为�=1�=6�=−6；（2）2�+2�+�=4①2�+�+2�=7②�+2�+2�=−6③，②﹣③得：x ﹣y ＝13④，①×2﹣②得：2x +3y ＝1⑤，③×3+④得：5x ＝40，解得：x ＝8，把x ＝8代入④得：y ＝﹣5，把x ＝8，y ＝﹣5代入①得：z ＝﹣2，则方程组的解为�=8�=−5�=−2．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-8】解下列三元一次方程组：（1）�−4�+�=−32�+�−�=18，�−�−�=7；（2）�+�−3=0，2�−�+2�=2，�−�−�=−3．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）�−4�+�=−3①2�+�−�=18②�−�−�=7③，①+②得：3x ﹣3y ＝15，即x ﹣y ＝5④，①+③得：2x ﹣5y ＝4⑤，④×5﹣⑤得：3x ＝21，解得：x ＝7，把x ＝7代入④得：7﹣y ＝5，解得：y ＝2，把x ＝7，y ＝2代入③得：7﹣2﹣z ＝7，解得：z ＝﹣2，则方程组的解为�=7�=2�=−2；（2）�+�−3=0①2�−�+2�=2②�−�−�=−3③，②﹣③得：x +3z ＝5④，④﹣①得：2z ＝2，解得：z ＝1，把z ＝1代入①得：x +1﹣3＝0，解得：x ＝2，把x ＝2，z ＝1代入③得：2﹣y ﹣1＝﹣3，解得：y ＝4，则方程组的解为�=2�=4�=1．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-9】解下列三元一次方程组：（1）3�−�+2�=32�+�−3�=11�+�+�=12；（2）�：�=3：2�：�=2：1�+�+�=60【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y ，再解关于x 和z 的二元一次方程组，再将解得的x 和z 值代入③，解出y 即可；（2）先将①和②分别用y 表示出x 和z ，再代入③即可解出y ，进而求出x 和z 即可．【解答】解：（1）3�−�+2�=3①2�+�−3�=11②�+�+�=12③①+②得5x ﹣z ＝14④①+③得4x +3z ＝15⑤④×3+⑤得19x ＝57∴x ＝3⑥将⑥代入④得15﹣z ＝14∴z ＝1⑦将⑥⑦代入③得y ＝8∴原方程组的解为：�=3�=8�=1．（2）�：�=3：2①�：�=2：1②�+�+�=60③由①得x =32�④由②得z =�2⑤将④⑤代入③得32�+y +�2=60∴y ＝20⑥将⑥分别代入④⑤得x ＝30，z ＝10∴原方程组的解为：�=30�=20�=10．【点评】本题是三元一次方程组的求解问题，分别可以用加减消元法和代入消元法化简成二元一次方程组，进而得解．【例题3】（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax 2+bx +c ，当x ＝﹣1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为（）A ．4B ．8C ．62D ．52【分析】根据已知条件可知�+�+푐=8②�−�+푐=4①4�+2�+푐=25③，由此解方程组求出a 、b 、c 的值即可得到答案．【解答】解：由题意得知�+�+푐=8②�−�+푐=4①4�+2�+푐=25③，用①+②得：a +c ＝6④，用①×2+③得：2a +c ＝11⑤，用⑤﹣④得：a＝5，把a＝5代入④得：5+c＝6，解得c＝1，把a＝5，c＝1代入①得：5﹣b+1＝4，解得b＝2，∴ax2+bx+c＝5x2+2x+1，∴当x＝3时，ax2+bx+c＝5×32+2×3+1＝45+6+1＝52．故选：D．【点评】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（）A．3B．−163C．﹣2D．4【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k 值．【解答】解：3�−�=7①2�+3�=1②，把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x ＝22，得x ＝2，把x ＝2代入①得6﹣y ＝7，解得y ＝﹣1，将�=2�=−1代入y ＝kx ﹣9得2k ﹣9＝﹣1，解得k ＝4．故选：D ．【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．【变式3-2】（2022春•娄底期中）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12，则a +b +c ＝（）A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】先把x ＝0时，y ＝2；x ＝﹣1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝12分别代入y ＝ax 2+bx +c ，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值，进而求得结果．【解答】解：把x ＝0时，y ＝2；x ＝﹣1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝12分别代入y ＝ax 2+bx +c ，得2=푐0=�−�+푐12=4�+2�+푐，解得，�=1�=3푐=2，∴a +b +c ＝1+3+2＝6，故选：C ．【点评】此题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解．【变式3-3】（2022春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28，∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，②﹣①得：a+2b＝13，①+②得：7a+12b+2c＝43，则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，整理得：b﹣c＝24，∴2⊗3＝2a+3b+c＝2（a+2b）﹣（b﹣c）＝2×13﹣24＝26﹣24＝2．故选：A．【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．【变式3-4】（2022•南京模拟）若方程组�−��+4�=1�−2��+3�=3的解是�=��=1�=푐，则a +b +6c的值是（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．6【分析】先把�=��=1�=푐代入原方程组，可得�−�+4푐①�−2�+3푐②，由①﹣②可得b ＝﹣2﹣c ，再把b ＝﹣2﹣c 代入①，可得a +5c ＝﹣1，然后代入，即可求解．【解答】解：∵方程组�−��+4�=1�−2��+3�=3的解是�=��=1�=푐，∴�−�+4푐=1①�−2�+3푐=3②，由①﹣②得：b +c ＝﹣2，∴b ＝﹣2﹣c ，把b ＝﹣2﹣c 代入①，得：a ﹣（﹣2﹣c ）+4c ＝1，∴a +5c ＝﹣1，∴a +b +6c ＝a +5c +b +c ＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：A ．【点评】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．【变式3-5】已知方程组�+�=3��+�=5��+�=4�的解使式子x ﹣2y +3z 的值等于﹣10，求a 的值．【分析】把a 看作已知数求出方程组的解表示出x ，y ，z ，代入x ﹣2y +3z ＝﹣10中计算即可求出a 的值．【解答】解：�+�=3�①�+�=5�②�+�=4�③，①+②+③得：x+y+z＝6a，解得：z＝3a，x＝a，y＝2a，代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10，解得：a=−5 3．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【变式3-6】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．（1）求a，b，c的值；（2）当x＝﹣3时，求y的值．【分析】（1）把x、y的值分别代入y＝ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；（2）求出y=73x2+113x+2，再把x＝﹣3代入，即可求出答案．【解答】解：（1）根据题意得：�+�+푐=8①푐=2②4�−2�+푐=4③，把②代入①，得a+b+2＝8④，把②代入③，得4a﹣2b+2＝4⑤，由④和⑤组成方程组�+�+2=84�−2�+2=4，解得：a =73，b =113，所以a =73，b =113，c ＝2；（2）由（1）得：y =73x 2+113x +2，当x ＝﹣3时，y =73×（﹣3）2+113×（﹣3）+2＝12．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．【例题4】（2022春•荣县校级期中）若�=3��+4�=0（y ≠0），则��=（）A ．65B ．−112C ．﹣12D ．112【分析】先观察所给方程组与所求代数式的特点可发现，所求代数式中不含未知数y ，故可用代入法把y 消去，直接求出x 、z 的比值．【解答】解：①可变形为y =�3⋯③，把③代入②得，�3+4z ＝0，去分母、移项得，x ＝﹣12z ，两边同除以12得��=−12．故选：C ．【点评】本题考查三元一次方程组，解答此题的关键是注意观察方程组中的方程与所求代数式之间的关系，消去所求代数式中不含有的未知数，利用等式的性质直接求出x 、z 的比值．【变式4-1】（2022春•巴东县期末）已知�=3��+4�=0，且y ≠0，则��的值为（）A ．34B ．−34C ．﹣12D ．12【分析】由②得出y ＝﹣4z ③，把③代入①得出x ＝3×（﹣4z ），求出x ＝﹣12z ，再等式两边都除以z 即可．【解答】解：�=3�①�+4�=0②，由②，得y ＝﹣4z ③，把③代入①，得x ＝3×（﹣4z ），即x ＝﹣12z ，等式两边都除以z 得：��=−12，故选：C ．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能求出y ＝﹣4z 是解此题的关键．【变式4-2】（2021春•蓬溪县期中）已知3�+5�+3�=03�−5�−8�=0（z ≠0），则x ：y ：z ＝．【分析】把z 看作已知数表示出x 与y ，即可求出所求．【解答】解：方程组整理得：3�+5�=−3�①3�−5�=8�②，①+②得：6x ＝5z ，解得：x =56z ，①﹣②得：10y ＝﹣11z ，解得：y =−1110z ，则x ：y ：z =56z ：（−1110z ）：z ＝25：（﹣33）：30．故答案为：25：（﹣33）：30．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式4-3】设�2=�3=�4，则�−2�+3��+�+�的值为（）A ．27B ．23C ．89D ．57【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：设�2=�3=�4=k ，得到x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，则原式=2�−6�+12�2�+3�+4�=89．故选：C ．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-4】（2022秋•海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2�+�+�2�−�+�=．【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴2�+�+�2�−�+�=−4�−2.5�+�−4�+2.5�+�=−5.5�−0.5�=11．故答案为：11．【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．【变式4-5】已知x、y、z都不为零，且4�−3�−3�=02�−3�+�=0，求式子�−3�+4�6�+�的值．【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可．【解答】解：4�−3�−3�=0①2�−3�+�=0②，①﹣②得：2x＝4z，解得：x＝2z，把x ＝2z 代入②得：y =53z ，把x ＝2z ，y =53z 代入�−3�+4�6�+�得：2�−5�+4�10�+�=111．【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用z 表示出x ，y 的值，再把x ，y的代入要求的式子，用到的知识点是代入法和加减法．【例题5】若|x ﹣3y +5|+（3x +y ﹣5）2+�+�−3�=0，求�+�+�的值．【分析】先根据非负数性质得出x 、y 、z 的三元一次方程组，解之求得x 、y 、z 的值，代入计算可得．【解答】解：∵若|x ﹣3y +5|+（3x +y ﹣5）2+�+�−3�=0，∴�−3�=−53�+�=5�+�=3�，解得：�=1�=2�=1，∴�+�+�=1+2+1=2．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握非负数的性质、解方程组的能力．【变式5-1】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值．【解答】解：根据非负数的性质，得�−2−�=03�−6�−7=03�+3�−4=0①×3+③，得3x+3y﹣10＝0④④﹣③，得y=13，把y=13代入④得x＝3，把x＝3代入①得z＝1．∴原方程的解为�=3�=13�=1．故x＝3，y=13，z＝1．【点评】本题是方程组的运用，根据已知等式的特点，结合非负数的性质，组成方程组求解．【变式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．【解答】解：由题意得�−8�=04�−1=08�−3�=0，解得�=2�=14�=34，故x +y +z ＝2+14+34=3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．【变式5-3】已知（a ﹣2b ﹣4）2+（2b +c ）2+|a ﹣4b +c |＝0，求3a +b ﹣c 的值．【分析】根据题意列出三元一次方程组，再根据解三元一次方程组的步骤求出a ，b ，c 的值，再把它代入3a +b ﹣c 中，进行计算即可．【解答】解：∵（a ﹣2b ﹣4）2+（2b +c ）2+|a ﹣4b +c |＝0，∴a ﹣2b ﹣4＝0，2b +c ＝0，a ﹣4b +c ＝0，∴�−2�−4=02�+푐=0�−4�+푐=0，解得：�=6�=1푐=−2，则3a +b ﹣c ＝3×6+1﹣（﹣2）＝21．【点评】此题考查了解三元一次方程组和绝对值，偶次方，解题的关键是根据绝对值，偶次方列出三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值．【变式5-4】已知|a ﹣c ﹣2|+�−9�+（3b +3c ﹣4）2＝0，求a 2016b 2015c 2017﹣a 的值．【分析】首先由非负数的性质得出三元一次方程组，进一步解方程组求得答案即可．【解答】解：∵|a ﹣c ﹣2|+�−9�+（3b +3c ﹣4）2＝0，∴�−푐−2=0�−9�=03�+3푐−4=0，解得：�=3�=13푐=1，∴a 2016b 2015c 2017﹣a＝32016×（13）2015×12017﹣3＝3﹣3＝0．【点评】此题考查解三元一次方程组，非负数的性质，利用非负数的性质建立方程组是解决问题的关键．【变式5-5】若x ，y ，z 满足关系式|4x ﹣4y +1|+（z −12）2＝0，求x 2（y ﹣z ）的值．【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x ，y ，z 的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵|4x ﹣4y +1|+（z −12）2＝0，∴4�−4�+1=02�+�=0�−12=0，解得：x=−12，y=−14，z=12，则原式=14×（−14−12）=−316．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-6】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．【分析】利用非负数的性质，将所给的绝对值方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题．【解答】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0，∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0，∴�−�−2=0①3�−3�−3=0②3�+2�−13=0③，由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④，由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤，由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3；将y＝3代入④得：x＝4；将y＝3代入⑤得：z＝2，∴xyz＝24．【点评】该题主要考查了非负数的应用、三元一次方程组的解法及其应用问题等重要代数知识点；对求解运算能力、整体代换思想等均提出了较高的要求．【例题6】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．【分析】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z．由题意可列：�+�=2�①3�=�+�②�+�+�=12③，将②代入③得：4z＝12，∴z＝3，将z代入①，②得：�−2�=−3④�+�=9⑤，⑤﹣④，得：3y＝12，解得：y＝4，将y＝4代入⑤，得：x＝5，∴方程组的解为�=5�=4�=3，答：这个数是543．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．（2022春•宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm ，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长度．【分析】设这个三角形的三边长分别为a 、b 、c ．根据题意列出方程组并解答．【解答】解：设这个三角形的三边长分别为acm 、bcm 、ccm ．依题意得：�+�+푐=18�+�=2푐�−�=13푐，解得�=7�=5푐=6．答：这个三角形的三边长分别为7cm 、5cm 、6cm ．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．【变式6-2】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文a +1，﹣a +2b +4，b +3c +9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（）A ．6，2，7B ．2，6，7C ．6，7，2D ．7，2，6【分析】根据“加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文a +1，﹣a +2b +4，b +3c +9”，即可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：�+1=7−�+2�+4=12�+3푐+9=22，解得：�=6�=7푐=2．故选：C ．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．【变式6-3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？【分析】首先种植水稻x 公顷，棉花y 公顷，蔬菜为z 公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设种植水稻x 公顷，棉花y 公顷，蔬菜为z 公顷，由题意得：�+�+2�=674�+8�+5�=300�+�+�=51，解得：�=15�=20�=16，答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．【变式6-4】甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需51min ，从乙地到甲地需53.4min ，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x 千米，y 千米，z 千米，根据全程3.3km ，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x 千米，y 千米，z 千米，根据题意得：+�+�=3.3�4+�5=5160�3+�4+�5=53.460，解得�=1.2�=0.6�=1.5．答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．【变式6-5】（2022•南京模拟）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（）A．105元B．210元C．170元D．不能确定【分析】等量关系为：甲3件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝315，4件的总价+乙10件的总价+丙1件的总价＝420，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意3�+7�+�=315①4�+10�+�=420②，由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．【变式6-6】小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？【分析】设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元．利用题中已知条件列出方程组，3�+�+2푐=13①，由此可以求得（a+b+c）的值，所以通过比较20（a+b+c）与120 2�+4�+3푐=17②的大小可以作出判断．【解答】解：设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元，则3�+�+2푐=13①，2�+4�+3푐=17②①+②得，5a+5b+5c＝30，所以，20a+20b+20c＝4×30＝120（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．解方程组时，根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．【例题7】（2022春•嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（）张A．7B．6C．5D．3【分析】根据题意列三元一次方程组，再分情况讨论出结果或把选项中的数值一一代入验证即可．【解答】解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意得：�+�+�=21①�+5�+10�=100②，由①得：x＝21﹣y﹣z，把x＝21﹣y﹣z代入②得：21﹣y﹣z+5y+10z＝100，得：9z+4y＝79，∵x、y、z都是正整数，∴把z＝7、6、5、3分别代入等式，只有当z＝7时，y是正整数，∴选项A符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组，做题关键是能根据题意列出方程组，解方程组，分情况讨论确定答案．【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．【解答】解：（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为：2×5+3×6+4×9＝64（元），故答案为：64；（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意得：2x+3y+4z＝28，①当0≤x＜3时，5x+6y+9z≤58，∵x，y，z都为正整数，∴x＝2时，y＝8，z＝0（不符合题意舍去），②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4≤58，。
2023-2024学年湖北省武汉市青山区七年级上学期期中数学试题
2023-2024学年湖北省武汉市青山区七年级上学期期中数学试题1.-2的倒数是（）A．-2B．−12C．12D．22.我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000B2．把370000这个数用科学记数法表示为（）A．37×104B．3.7×105C．0.37×106D．3.7×106 3.单项式−23B5的系数与次数分别是（）A．−23，5B．23，6C．−23，6D．−2，54.向东走7km记作+7km，那么-5km表示（）A．向北走5km B．向南走5kmC．向西走5km D．向东走5km5.下列运算中，正确的是（）A．52−32=2B．3+2=5B C．22+32=54D．92−9B2=06.苹果原价是每千克元，现按原价的8折出售，则现售价是每千克（）A．1.25元B．元C．0.8元D．0.2元7.下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A．23和32B．−33和(−3)3C．−22和(−2)2D．−∣−2∣和−(−2)8.有理数，在数轴上的对应位置如图所示，则下列结论错误的．．．是（）A．B<0B．<0C．+>0D．−<0 9.若|U=5，2=4且>，则+的值是（）A．3B．7C．−3或5D．3或710.如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为1，第二幅图形中的“●”个数为2，第三幅图形中“●”的个数为3，…，以此类推，则15−14的值为（）A．31B．30C．29D．2811.2023的相反数是______．12.温度由−4∘上升7℃是________∘．13.1.804精确到百分位的结果是__________．14.多项式2−B2+324−5是______次______项式，常数项是________．15.已知一个两位数的个位上的数是，十位上的数是，再把这个两位数的个位与十位上的数交换位置，所得的新两位数记为，则+=________．（用含，的式子表示）16.下列四个说法：①如果大于，那么的倒数小于的倒数；②若为任意有理数，则−|U≤0；③多项式−2−83+33+23+2−23+53的值与，都无关；④若是一个三次多项式，是一个四次多项式，则+一定是四次整式．其中正确的是________．（填写序号）17.计算：(1)(−20)+3−(−7)(2)−14×(−3)−[4−(−2)3]÷618.计算：(1)3−−5(2)(7−3p−2(8−5p19.解答下列各题(1)请把下列各数填入相应的集合中：72，−2，−3.5，−34，0，1.5．正分数集合：{_________________________…}；整数集合：{_________________________…}；负数集合：{_________________________…}．(2)在数轴上表示（1）中负数集合．．．．中各数（标在数轴上方），并用“<”号连接．20.先化简，再求值：12+2(−+132)−(32−132)，其中=−3，=2．21.“奶油草莓”是武汉某一草莓基地的一大特产，现有20筐草莓，以每管10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值（单位：千克）−0.3−0.2−0.1500.10.25筐数142328(1)20筐草莓中，与标准质量差值为−0.2千克的有________筐，最重的一筐重________千克；(2)与标准重量相比，20筐草莓总计超过多少千克或不足多少千克？(3)若草莓每千克售价40元，则出售这20筐草莓可卖多少元？22.阅读材料：我们知道，4−2+=(4−2+1)=3，类似地，若把(+p看成一个整体，则4(+p−2(+p+(+p=(4−2+1)(+p=3(+p．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)把(−p2看成一个整体，合并：3(−p2−6(−p2+5(−p2=________；(2)已知−2=3，则3−6−5的值为________；(3)已知B+=−6，−B=−2．①+=________；②求2[+(B−p2]−3[(B−p2−p−B的值．23.阅读材料，解答以下问题：幻方历史悠久，最早出现在夏禹时代的“洛书”，即现在的三阶幻方．例如图1就是一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为15，这个和称为幻方和，正中间的数5称为中心数．(1)如图1，幻方和是中心数的________倍；(2)如图2，已知幻方和是18，=3，=5，请利用（1）的结论，直接写出的值；(3)如图3，，，，，，是含字母的整式，且=，=2+2．①若=3+1，求整式（用含的式子表示）；②若=B−1，幻方和是3，且，均为常数，求和的值．24.已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：(+6)2+|−12|=0．(1)则=________；=________；(2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”．①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数；②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值．。
浙江省杭金湖四校2023-2024学年高三上学期第六次联考数学试题(含答案)
2024届高三第一学期杭金湖四校第六次联考一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．0B ．1C ．2D ．43．已知1z ，2z C ∈满足121z z = ，121z z +=−，则12z z −的实部是( )A ．1−B ．0C ．1D ．B ．C ．D ．成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1，1，2，3，6，10，20……构成的数列{}n a 的第n 项，则12a 的值为（ ）A ．252B ．426C ．462D ．9246．锐角△ABC 满足A B A 2sin 1tan tan +=，则下列等式成立的是（ ）A ．0sin 2=+B A cos B ．cos 2cos 0A B +=C ．0cos 2=+B A in sD ．0sin 2=+B A sin8．已知3||=−b a ，||2||b a =，则>−<b a a ,cos 的最小值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（ ）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P x >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．函数)sin()(2x x x f −=，下列说法正确的是A ．)(x f 是周期函数B ．)(x f 最大值是1A ．1//l αB ．2//l αC ．3//l αD ．1l α⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.16．若正四面体SABC 的棱长为3，面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在面ABC 内的轨迹的长度为 ．四、解答题，本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90DAB∠=°，4AB BC ==，5PA PC ==.(1)求证：PB AC ⊥；(2)若平面PBD ⊥平面PBC ，且PAD 中，AD 边上的高为3，求AD 的长.20．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人数 4 5 8 5 3年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人数 6 7 3 5 4年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．(1)求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．21.已知椭圆CC：xx2aa2+yy2bb2=1(a>b>0)经过点(1,32)，离心率为e=12．(1)求椭圆CC的标准方程；(2)设椭圆CC的左、右两个顶点分别为AA1，AA2，TT为直线ll：xx=4上的动点，且TT不在xx轴上，直线TTAA1与C的另一个交点为MM，直线TTAA2与CC的另一个交点为NN，FF为椭圆CC的左焦点，求证：△FFMMNN的周长为定值．22.已知函数ff(xx)=aaxxll aa xx−xx(aa∈RR).(1)讨论ff(xx)的单调性；(3)对任意aa ∈N ∗，证明：�12+�23+�34+⋯+�nnnn+1+ll aa √aa +1>aa .答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBBDCAACACBCBCDCD13. y=x 14. 2 15.45° 16.217.(1)∵0sin 2=∠+CAD B cos∴)2cos(sin 2CAD CAD B ∠+=∠−=πcos ∴BAD CAD B ∠−+=∠+=2222πππ ∴BDA BAD B BAD B ∠+∠+==∠+π2 ∴BDA B ∠= ∴AB=AD ；（2）3323sin 03sin sin 32sin 2cos 32cos sin sin sin 2−==−−∴=−∴−=∴∠=∠or B B B B B B CDB AC CAD CDCDA AC因为角B 为锐角，所以B=60°21.(1)解：有题意可知⎩⎪⎨⎪⎧cc aa =121aa 2+94bb 2=1aa 2=bb 2+cc 2，解得�aa =2bb =√ 3cc =1,∴椭圆C 的标准方程为xx 24+yy 23=1. (2)证明：由题意可知AA 1(−2,0)，AA 2(2,0)，TT (4,tt )(tt ≠0)， 设MM (xx 1,yy 1)，NN (xx 2,yy 2)，直线TA 1的方程为y =t6(x +2)，直线TA 2的方程为y =t2(x −2)，联立方程�y =t6(x +2)x 24+y 23=1，消去y 得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，∴−2⋅x 1=4t 2−10827+t 2，即x 1=54−2t 227+t 2， 则y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t27+t 2，∴M(54−2t 227+t 2,18t27+t 2)， 联立方程�y =t 2(x −2)x 24+y 23=1，消去y 得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，∴2x 2=4t 2−123+t 2，即x 2=2t 2−63+t 2， 则y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t3+t 2，∴N(2t 2−63+t 2,−6t3+t 2)， ∴k MN =18t 27+t 2+6t3+t 254−2t 227+t 2−2t 2−63+t 2=−6t t 2−9，∴直线MN 的方程为y +6t3+t 2=−6t t 2−9(x −2t 2−63+t 2)， 即y =−6tt 2−9x +6tt 2−9=−6tt 2−9(x −1)，t ≠±3，故直线MN 过定点(1,0)，所以△FMN 的周长为定值8， 当t =±3时，M(1,32)，N(1,−32)或M(1,−32)，N(1,32)， ∴MN 过焦点(1,0)，此时△FMN 的周长为定值4a =8，综上所述，△FMN 的周长为定值8．22.(1)解：ff ′(xx )=aall aa xx +aa −1(xx >0)当a =0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，f(x)在(0,e 1−a a )上单调递减，在(e 1−aa ,+∞)上单调递增； 当a <0时，f(x)在(0,e1−a a)上单调递增，在(e1−a a,+∞)上单调递减；(2) ：记gg (xx )=aaxxll aa xx −xx +1(xx >1).′1−a a1−a a若e1−a a≤1，则a≥1，故g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)=0恒成立；若e1−a a>1，则0<a<1，故gg(xx)mmmm nn=gg(e1−a a)=1−aa e1−a a,由于e1−a a=e1a−1>1+(1a−1)=1a,因此1−ae1−a a<0,故gg(xx)>0不能恒成立.因此a≥1.(3)证明：由(2)知lnx>x−1x，令x=�1+1n(n∈N∗)，所以ln�1+1n>�1+1n−1�1+1n，即12ll aa nn+1nn>1−�nn nn+1所以12[ll aa(aa+1)−ll aa aa]>1−�nn nn+1,故12[ll aa(aa+1)−ll aa1]>aa−(�12+�23+�34+⋯+�nn nn+1), 即�12+�23+�34+⋯+�nn nn+1+ll aa√aa+1>aa.。
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轨 迹 。而这 最早的 教育就来 自家庭 、来 自母亲 。
美 国一位 著名 心理 学 家为 了研 究母 亲对 人 一生 的影 我不择 手段 。直 到现在 ，我被送进 了监狱 。
谈 母 亲 对 他 们 的 影 响 。 有
把 那 个 最大最 红 的苹 果举 在
两 封 回信给 他 的印象 最深 。一封 来 自白宫的 一位 著名 人 手 中 ，对 我 们说 ： “ 个苹 果最 大 最红 最好 吃 ，谁都 想 这
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～，、 一个 人一 生 中最 早受 到 的教 育会影 响 他 的整个 人生
我 得 到 了 我 想 要 的 东 西 ，从 此 我 学 会 了 说谎 。 以 后 ，我 又学 会 了打 架 、偷 、抢 。为 了得到 想要 的 东西 ，
士 ，一 封来 自监 狱一 名 服刑 的犯 人 。他们 谈 的都 是 同一 要 得 到 它。很 好 ，现 在让 我 们来 做 个 比赛 。我把 门前 的
件事 ：小时候母亲给他们分苹果。 草坪分成三块 ，你们三人一人一块 ，负责修剪好。谁干 那名犯人在信中这样写道：小时候 ，有一天妈妈拿 得最快最好 ，谁就有权得到它。”我们三人比赛除草。
首 ，天津也 以 “ 地毯 城”扬名 海内外 。
汞 、砷 、硫 等为 主的污染 ，富营养化 问题突 出。 中 国工程 院院 士张 懿 说 ，我 国大部 分 的重 金属 污染 来 自于 有色金
１ １ 年 ， 中 国正 式 以政 府 大 规 模 组 ９５ 团的方式参加 巴拿马世界 博览会 。 当时 中
曩 资 刊 ２１／ ■ 源导 ００ ５
治理 技术非 常复杂 ，成 本也非 常高。应将 有色金属 矿 、重金 属冶炼业 、
含铅 蓄电池业 、皮革业 、化学燃料 等作为 我国的防 控行业 ；将具 有潜在
环境危 害风险的排 放企业 作为重 点防控企业 ，将重 点防控区域 的人群作 为体检和 诊疗工 作的重点 对象 。
彰 公司 白帆 布 、庆丰和栽 绒毯 、启新 洋灰
来几 个苹 果 ，红红 绿 绿 ，大小 各 不 同。我 一 眼就 看见 中 结果 我赢 了那个 最大 的苹 果 。
间 的一个 又红 又 大 ，十分 喜欢 ，非 常 想要 。这 时 ，妈 妈
我 非常 感 谢母 亲 ，她让 我 明 白一个 最 简单 也是 最 重
把 苹果 放 在桌 上 ，问 我和 弟弟 ：你 们想 要 哪个 ？我 刚想 要的道理 ：要想得到 最好的 ，就 必须努 力争 第一。她一直 说 我 想要 最大 最红 的那 个 ，这 时弟 弟抢 先说 出了我 想说 都是这样 教育我们 的 ，也是这 样做的 。在我 们家里 ，你想
在最小范 围内进行 治理 ，不至于造成 大的环境 损害 。”中国工程 院院士 魏 复盛说 。圉 （ 自２ １－ ５ ８日 《 摘 ０ ｏｒ 月２ ｒ － 科技 日报》）
香皂等获得 展 览会金牌 奖。天津 的工 业产 品在 巴拿马世博 会上 扬名 。圉 （ 自 ０ ０ 摘 ２１
年 ５ 日 《人 民 日报 》 ） 月８
公司砖 瓦、石承 濂画 花卉屏风 、造胰 公 司
“ 要 对可 能成 为污 染 源的一 些 企 业进 行排 查 ，做成 一个 地理 信 还 息系统 ，对可能造 成危害 的程度 、数量多少 、可能发生 事故 的大 小等 ， 进行调查 ，列成名 录 ，做 到心 中有数 。一旦 出了问题 ，就 能把污 染局 限
下 ，并 把那个 又红又大 的苹 果奖励 给我 。
母亲 是 孩子 的第 一 任教 师 ，你 可以 教他 说第 一 句谎
（ 自２ １ 年５ 日 《 摘 ０ Ｏ 月７ 中国妇 女报》 ）
留给 弟弟 吧 。”妈 妈听 了非 常 高兴 ，在 我 的脸上 亲 了一 话 ，也 可以 教他 做 一个 诚 实的 永远 努 力争 第一 的 人 。圉
的 话 。妈妈 听 了，瞪 了他一 眼 ，责备 他 说 ： “ 孩子 要 要 什么好东 西就必须通过 比赛来赢 得 ，这很 公平 。你想要 好 学 会把 好 东西 让给 别 人 ，不能 总想 着 自己。” 于是 我 灵 什么 、想要 多少 ，就必须 为此付 出多少努力和代价 。 机 一动 ，改 口说 ： “ 妈 ，我 想要那 个 最小 的 ，把 大的 妈
国展 品 分为 ９ 陈列 馆展 出 ，最 终获 奖项 个 共 １ １ ４ ，在 ３ 个 参展 国中独 占鳌头 。其 ２ １＂ １ 中 ，天津 出产 同升号 泥人获得 名誉奖 。天 津于啸 轩雕牙 器 、豫 盛瓷器 公司瓷 器 、益
属 的采选 、冶炼及后 期产 品） ｑ企业 。重金属污 染生态环境 后 ，修 复的 ｊ－ ￣