第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介

3 2 3 2 ∴P1 点的直角坐标为 2 ， 2 ， 3.
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设 P2 的直角坐标为(x2，y2，z2)， π 3 2 x2＝ 6cos6＝ 2 ， π 6 则 y2＝ 6sin6＝ 2 ， z2＝1，
3 2 ∴P2 的直角坐标为 2 ，
－2＝ρcos θ， 有－2＝ρsin θ， z＝2，
2 2 2
y 5π 可得 tan θ＝ ＝1，因点 M 在第Ⅲ卦限，所以解得 θ＝ ，ρ＝ x 4
2
x ＋y ＝ －2 ＋－2 ＝2 2，所以点 M
的柱坐标为2
5π 2， ，2. 4
答案：B
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π 4cos ＝(1， 6
3，2 3)．
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(2)由(x，y，z)＝(0，－2,0)， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝2. z 由 z＝rcos φ(0≤φ≤π)，得 cos φ＝r＝0， π 得 φ＝ ； 2 又 θ(0≤θ<2π)角的终边过点(0，－2)，
已知球坐标系 Oxyz 中，点
方法一
由题意知，|OM|＝|ON|＝6，
2π π π ∠MON＝ － ＝ ， 3 3 3 ∴△MON 为等边三角形， ∴|MN|＝6. 方法二 设点 M 的直角坐标为(x1，y1，z1)， π π 3 3 则 x1＝6sin ×cos ＝ ， 3 3 2 π π 9 y1＝6sin ×sin ＝ ， 3 3 2
3 3 9 的直角坐标为 ， ，－3， 2 2
∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
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怎样求球坐标或柱坐标两点之间的距离 已知球坐标或柱坐标的两个点，求这两点间的距离时，可用坐标的几何意义研 究这两点与原点构成的三角形特征，用解三角形的方法求出两点间距离．当这 个三角形的几何特征不便于求两点间距离时， 可将球坐标或柱坐标化为空间直 角坐标，用空间直角坐标的方法求两点间距离．
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(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组
(ρ，θ，z) 叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. __________
π π ∴θ＝ ，∴点 A 的柱坐标为2，3，5. 3
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探究二 直角坐标与球坐标的互化 [例 2] (1)设点 M
3 3 的球坐标为2，4π，4π，求它的直角坐标；
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(2)已知点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求它的球坐标． 3 3 [解析] (1)∵r＝2，φ＝ π，θ＝ π， 4 4
5π (1)2， 6 ，3；(2) π 2， ，5. 4
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[解析]
设点的直角坐标为(x，y，z)．
ห้องสมุดไป่ตู้π (1)∵(ρ，θ，z)＝2， 6 ，3，
5π x ＝ ρ cos θ ＝ 2cos ＝－ 3， 6 5π ∴ y＝ρsin θ＝2sin 6 ＝1， z＝3， ∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
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已知球坐标化直角坐标时，把 r，φ，θ 代入互化公式即可；直角坐标化球坐标 时，先求 r，再利用 z＝r· cos φ 求出 φ，最后求 θ，但应注意 θ 的值由直角坐标 中的 x，y 的值来确定．
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π π 2．(1)将点的球坐标4，6， 3 化为直角坐标；
π A.1，2，2 π π C.3，4， 6 π B.2，3，0 π π D.3，6， 2
)
π 解析：由点 P 的柱坐标(ρ，θ，z)知，当 θ＝ 时，点 P 在平面 yOz 内，故选 A. 2
答案：A
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1．设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
x＝ρcos θ， 2 2 2 解析：由公式y＝ρsin θ，得ρ ＝x ＋y ， z＝z， 即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，∴ρ＝2. y tan θ＝ ＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限． x
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直角坐标与柱坐标的互化 点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直 x＝ρcos θ， 角坐标(x，y，z)，需要运用y＝ρsin θ， z＝z.
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(2)∵(ρ，θ，z)＝
π 2， ，5， 4
π x＝ρcos θ＝ 2cos4＝1， π ∴ y ＝ ρ sin θ ＝ 2sin ＝1， 4 z＝5， ∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
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四 柱坐标系与球坐标系简介
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考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解柱坐标系和球坐标 重点：空间直角坐标与柱坐 系的概念和结构. 标、球坐标的转化关系.
2.掌握空间点的三种坐标 难点：空间一点的球坐标与 的互相转化公式. 其他坐标的互相转化公式.
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sin φ· cos θ x＝r· sin φ· sin θ 应用互化公式y＝r· z＝ r· cos φ r＝ x2＋y2＋z2 cos φ＝z r y tan θ＝ x≠0 x
与
可实现点的球坐标与直角坐标的互化．
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解析：设 M 的直角坐标为(x，y，z)， π x＝1×cos2， π 则 y＝1×sin2， z＝8， x＝0， ∴y＝1， z＝8，
B．(1,0,8) D．(0，－1,8)
故选 A.
答案：A
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2．空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面 yOz 内的是(
(3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理]
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135° ，∠yOz＝90° ，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
3 ∴ z ＝r · cos φ＝2· cos π＝－ 2， 4 3 3 x＝r· sin φ· cos θ＝2· sin π·cos π＝－1， 4 4 3 3 y＝r· sin φ· sin θ＝2· sin π·sin π＝1， 4 4 ∴点 M 的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
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π 3 的直角坐标为 4，4，4π，则它的直角坐标为 ________ ，它的柱坐标为
答案：(－2,2,2 2)
2
3 2， π，2 2 4
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探究一 直角坐标与柱坐标的互化 [例 1] 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
3．直角坐标系中的点(2,2,2)关于 z 轴对称的点的柱坐标为(
A.2 C.2 3π 2， ，2 4 B.2 π 2， ，2 4
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)
5π 7π 2， ，2 D.2 2， 4 ，2 4 解析：(2,2,2)关于 z 轴的对称点为 M(－2，－2,2)，设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，则
(2)由互化公式得 r＝ x2＋y2＋z2＝2， 由 r· cos φ＝z， z 2 得 cos φ＝ ＝ ， r 2 π ∴φ＝ ， 4 y 又 tan θ＝x＝1，且 x>0，y>0， π ∴θ＝ ， 4 ∴点 M
π π 的球坐标为2，4， 4 .
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3．已知点 P1 的球坐标是
P12
π π π 3， ， ，P2 的柱坐标是 P2 6， ，1，求|P1P2|. 3 4 6
解析：设 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)， x1＝2 3sinπcosπ＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos ＝ 3， 3