信号与系统第7讲

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2010-10-19
条件3：在一周期内，信号绝对可积。 ∫t0 周期信号f(t) = 1/t f (t )
t 0 + T1
f (t ) d t < ∞
(0＜t≤1)，周期为1，不满足此条件。
−2
−1
1 O
1
2
t
通常我们遇到的周期信号都能满足狄式条件，以后可不考虑。
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令 F(0) = a 0
∞
考虑到
1 − jnω1t
∑ F(−nω )e
n =1
=
n =−1
∑ F(nω )e
1
−∞
jnω1t
所以f(t)的指数形式傅里叶级数为
f (t) =
1 把an，bn的表达式代入到 F(nω1 ) = (an − jbn ) 2 1 T1 − jnω t 可得 F ( nω1 ) = ∫0 f (t) e 1 d t =Fn 复函数 T
n =−∞
∑
∞
F(nω1 ) e jnω1t
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指数形式：幅频特性和相频特性 幅频特性
1 Fn = cn 2
F0 |Fn |
Fn ~ ω
O ω 1 2ω 1
ϕn
π
ω
|Fn| 关于ω的偶函数
相频特性 ϕn ~ ω
⎛ − bn ⎞ ϕ n = arctan⎜ ⎜ a ⎟ ⎟ ⎝ n ⎠
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► Down
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§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4 § 3.5 § 3.6 § 3.7 § 3.8 § 3.9 § 3.10 § 3.11
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引言 周期信号的傅里叶级数分析△ 典型周期信号的傅里叶级数△ 傅里叶变换△ 典型非周期信号的傅里叶变换△ 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换△ 傅里叶变换的基本性质△ 卷积特性（卷积定理） △ 周期信号的傅里叶变换△ 抽样信号的傅里叶变换 抽样定理△
∞
(1)
积分区间为 称为三角形式的傅里叶级数，其系数 一个周期 1 t0 +T a0 = ∫t f (t ) d t 直流分量 0 T 2 t +T a n = ∫t 0 f ( t ) cos(nω1 t ) d t 余弦分量的幅度 T 0
2 t0 +T f ( t ) sin(nω1 t ) d t 正弦分量的幅度 bn = ∫t 0 T
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狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数 目应是有限个。 • 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶 梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但 不连续点的数目是无穷多个。 f (t )10-10-19
频谱图 幅度频谱 cn ~ ω曲线
2 2 cn = an + bn
cn
c1
包络线
离散谱，谱线
c3
c0
O ω1
相位频谱 ϕ n ~ ω曲线
⎛ − bn ⎞ ϕ n = arctan⎜ ⎜ a ⎟ ⎟ ⎝ n ⎠
ϕn
3ω 1
ω
π
O
ω1
3ω 1
ω
周期信号频谱具有离散性、谐波性。
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O
ω1
ω
ϕn 关于ω的奇函数
−π
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F0 |Fn |
幅度谱与相位谱合并 用Fn的正负，表示φn的0、π。
O ω1 2ω 1 ϕ πn
ω
O ω1 − π
ω
F0
Fn
O ω1
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ω
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数 主要内容：本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要内容： 主要讨论：频谱特点，频谱结构。
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一．周期矩形脉冲信号
f (t )
E
脉宽为τ 脉冲高度为E 周期为T1
− T1
τ 0 τ −
2
T1
t
2
信号在一个周期内的表示式为：
∞
1 令 F(nω1 ) = (an − jbn ) 2
由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数 可得 代入到上式得
F( −nω1 ) = 1 (an + jbn ) 2
f (t) = a 0 + ∑ ⎡ F(nω1 )e jnω1t + F( − nω1 )e − jnω1t ⎤ ⎣ ⎦
n =1
∞
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Eτ Eω1τ + f (t ) = π T1
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⎛ nω1τ ∑ Sa ⎜ 2 ⎝ n =1
∞
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⎞ ⎟ cos(nω1t ) ⎠
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2．指数形式的谱系数 1 T21 Fn = ∫ T1 f ( t )e − jnω1t d t T1 − 2
Eτ ∞ ⎛ nω1 τ ⎞ jnω1t f (t ) = ⎟e ∑ Sa ⎜ T1 n= −∞ ⎝ 2 ⎠
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3．频谱及其特点 Eτ T1
图中T = 5τ
Fn
Fn =
Eτ ⎛ nω1 τ ⎞ Sa⎜ ⎟ T1 ⎝ 2 ⎠
O ω 1 2ω 1
ω
(1)包络线形状：抽样函数
(3)离散谱（谐波性） 直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅E和脉宽τ， 反比于T1，且当ω=nω1时取值。
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Eτ ( 2)其最大值在 n = 0处，为 。 T1
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Eτ T1
Fn
2π
τ
O ω 1 2ω 1
f (t )
E
− T1
τ 0 τ −
2
T1
t
Eτ 1 f (t ) d t = ∫ E d t = T T1
2
Eτω1 ⎛ nω1 τ ⎞ n ω1 τ 2 T21 2E Sa ⎜ a n = ∫ T1 f ( t ) cos( nω1 t ) d t = sin( ) = ⎟ − π T1 2 nπ 2 ⎝ 2 ⎠
τ τ f ( t ) = E[u( t + ) − u( t − )] 2 2
T1 T1 − ≤t≤ 2 2
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频谱结构 1．三角形式的谱系数 f(t)是个偶函数， bn=0，只有a0， an
1 a0 = ∫ T
T1 2 T − 1 1 2 τ 2 τ − 1 2
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主要内容 • 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 • 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。
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Main
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1
1 2
−8
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O
Main Return
8
t
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条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。 不满足条件2的一个函数是
⎛ 2π ⎞ f (t ) = sin⎜ ⎟ , (0 < t ≤ 1) ⎝ t ⎠
f (t ) 1
−1
O
1
t
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◙
Main
m=n m≠n m=n m≠n
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2．级数形式
周期信号 f (t ) , 周期为 T1 , 基波角频率为 ω1 =
2π T1 在满足狄氏条件（狄利克雷条件）时，可展成
f ( t ) = a0 + ∑ [a n cos(nω1 t ) + bn sin(nω1 t )]
n =1
(
) )
(
代入到上式得
⎡ an − jbn jnω1t an + jbn − jnω1t ⎤ f (t) = a 0 + ∑ ⎢ e + e ⎥ 2 2 ⎦ n =1 ⎣
∞
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Main
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⎡ an − jbn jnω1t an + jbn − jnω1t ⎤ f (t) = a 0 + ∑ ⎢ e + e ⎥ 2 2 ⎦ n =1 ⎣
ω
2π （4)第一个零点坐标： τ
ωτ 2π 令 = π → ω＝ τ 2
(5)Fn > 0，相位为 0，Fn < 0, 相位为 ± π。
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Main
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矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。 不同脉宽τ和不同周期T1，信号频谱的变化规律