2015北京初三一模26题探究创新题

(朝)26．阅读下面材料：

小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求

AP

PD

的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AP

PD

的值为 ．

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ．

图1

图2

图3

（1）求

AP

PD

的值； （2）若CD=2，则BP = ．

（东）26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，

AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．

(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;

明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;

请回答：AF 与BE 的数量关系是 .

(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求

AF

BE

的值.

图1 图2

（西）26．阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1

tan 3

β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=， CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC =°.

请参考小敏思考问题的方法解决问题：

如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3

tan 5

β=

时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.

（大）

26．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB 上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA 、OB 和弧AB 上.有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB 内画出正方形CDEF ，使得C 、D 在OA 上，F 在OB 上，连结OE 并延长交弧AB 与G 点，过点G ，作GJ ⊥OA 于点J ，作GH ⊥GJ 交OB 于点H ，再作HI ⊥OA 于点I.

(1)请问他们画出的四边形GHIJ 是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；

(2)还有一部分同学用另外一种不同于图．．．．1．的方法．．．画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）.

（房）26.小明遇到这样一个问题：

如图1，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠AFE =∠ACB . 小明是这样思考问题的：如图2，以BC 为直径做半⊙O ，则点F 、E 在⊙O 上， ∠BFE +∠BCE =180°，所以∠AFE =∠ACB .

请回答：若∠ABC =40，则∠AEF 的度数是 . 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠BDF =∠CDE .

（门）26．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，CD 平分∠ACB ，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC 上截取CA′=CA ，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．

A'

D

D

C

B C

B

A

A

图1 图2

请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；

（2）BC 和AC 、AD 之间的数量关系是 ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AC =17，AD =9． 求AB 的长．

图1 图2 图3

图3

D

C

B

A

（石）26．阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，

︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．

小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt △ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，2

1

tan =

A ，︒=∠=∠135C

B ， 9=AB ，3=CD ，求B

C 和A

D 的长．

（通）26．（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．

如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ． 操作：（1）延长BC ．

（2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ．

（3）过点D 作DQ//AB ．

（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ． （5）连结BG ．

结论：

AB

AG

= ． 图3

图1 图2

E