(人教版)七年级上册 第四章 43 余角和补角PPT课件
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人教版数学七 年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质ppt（共17张ppt）
A
动动脑
C
B O
练一练
1、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解另：解设：这设个这角个的角度的数余为角x的，度则数依为题x意，得
1则80它的x补角4(可90设为x()x 90) . x x 9060 4x
90 6x0=3300
答答：：这这个个角角的的余余角角的的度度数数为为3300。。
余角与补角
学习目标
1、掌握余角与补角的概念和性质，并能熟 练应用性质进行求值运算。 2、会利用方位角来描述物体的方位。
观赏意大利名胜比萨斜塔
1和 2有什么关系？
1
2
1和 2有什么关系？
1
2
3和 4有什么关系？
43
3和 4有什么关系？
43
2 1
4 3
如果两个角的 和为90 ，就说这两个角互为余角。
互余的互角余是的否两一个定角是一锐定角都？是锐角。
3
1
2
4
如果两个角的 和为180 ，就说这两个角互为补角。
一个角的补角是否一定是钝角？
帮找朋友 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 2个角AOB ，但人不能进入围 墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
B
CB
1 O
2 1
AO 3
A
D
2 3
2和 3都是1的余角，它们有什么关系？
同角的余角相等
例1 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2
3 4
等角的余角相等
人教版数学七年级上册4.余角和补角课件
16 ． (8 分 ) 如 图 ， 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O ， OM 平 分 ∠ BOD ， ON⊥OM，∠AOC＝50°. (1)求∠AON的度数； (2)写出∠DON的余角．
解：(1)65° (2)∠DOM，∠MOB
17．(10分)如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF， ∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：如图：
19．(12分)如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系，你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你本来的猜想还成立吗？
方位的表示方法
在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度并在图 上表示出来，注意表示时要先写北还是南，再写偏东或偏西，偏多
少度，如图4－3－28，OA是表示北偏东30°的 一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线； 特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向，OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义：
如果两个角的和等于
，就说这两个角互为余角；如果两个
角的和为
，就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质： 同角(等角)的补角________，同角(等角)的余角_________．
3. 如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线． (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___，余角是__∠__C_O__D__； (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____． 4. 已 知 ∠ α ＝ 20° ， 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70，° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0．° 5. ∠A的补角为130°，则∠A的余角为________4．0°
人教版七年级数学上册课件4余角与补角(共19张ppt)
等角的补角相等
活学活用 加深理解
1、已知 的补角是105°,则 的余角
是多少度？ 它的余角是150
2、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进 入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
A
C
A
B
2
O
1
AOB=∠2=1800-∠1
C
B
O
3、若一个角的补角等于它的余角的4 倍， 求这个角的度数。
解： 设这个角是x度，则它的补角是 （ 180-x）度,余角是(90-x) 度。根据 题意，得：180-x= 4 (90-x)
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为 这里用到了：
等量减等量，差相等
1、已知 的补角是105°,则 的余角是多少度？
从上表中你可以得到什么结论？
补角 1、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角（ ）
( ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角. 由∠3与∠4互补，∴ ∠4= 180°－ ∠3
1）已知∠1+∠2=90°则 ∠1 、∠2互为______.
余角、补角的性质： ▲锐角既有余角又有补角；
从上表中你可以得到什么结论？
这里用到了：
等量减等量，差相等
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角
（1） 等角的余角相等； 3、钝角没有余角，但一定有补角（ ）
这里用到了：
等量减等量，差相等
(2)图中互补的角是_______与_______;_______与______.
一般地，如果两个角的和等于900，就说这两个角互为余角．即其中一个是另一个角的余角。 ∴ ∠2=90°-∠1 ，
角．即其中一个是另一个角的补角。 5、如图，OD平分∠COA ，OE平分∠COB，
人教版七年级上册数学第四章几何图形初步课件：4.3.3余角和补角课件-(共29张PPT)
1
4
3
如果两个角的和为90° (直角)，那么称这两个
角 互为余角 ，简称“互余”。
几何语言叙述：
如果∠1+∠2=90°(或者∠1=90°-∠2)，
那么∠1与∠2互为余角 .
总结归纳
2
1
4
3
如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两
个角 互为补角，简称“互补”。
几何语言叙述：
如果∠3+∠4=180°(或者∠3=180°-∠4)，
o
10
o
30
o
o
80
60
o
100
o
120
o
150
o
170
3.填表：
∠α
5°
∠α的余角
∠α的补角
85°
175°
32°
58°
148°
45°
45°
135°
77°
13°
103°
27°37′
117°37′
90° x
180° x
62°23′
x
4.如右图，点A、O、B在同一直线上，OD平分
AOB， COE=90°。回答下列问题：
总结归纳
性质：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
例题解析
请认真观察下图，回答下列问题：
①图中有哪几对互余的角？请用几何语言形式表示：
(∠A+∠1=90°, ∠1+∠2=90°)
(∠A+∠E=90°) (∠2+∠E=90°)
②图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠2=∠A) （同角的余角相等）
O
《余角和补角》七年级初一上册PPT课件(第4.3.3 课时)
pīng
ting
yán
guān
miǎn
ní
nán
qīng
líng
róu
nèn
自学互研
2.生难字词
（2）词义
娉婷： 鲜妍：柔嫩：冠冕：呢喃：
形容女子的姿态美。
鲜艳。
指质地柔和鲜嫩。
文中是王冠的意思。冕，古代天子、诸侯、卿、大夫所戴的礼帽，后来专指帝王的礼帽。
象声词，形容像燕子叫声那样的轻声细语。
人教版 数学（初中） （七年级 上）
LOGO
《你是人间的四月天》
SPRING SNOW IN THE GARDEN
语文（人教版）九年级 上册
情景导入
有这样一种美丽逾越漫长的时空，仿佛定格在回眸的瞬间，有这样一种聪慧绕过激荡的暗流，徜徉在岁月的长河。她走过北平的尘烟，穿过康桥的夜雾，遥望远方时，便落进徐志摩的诗页；她着一件青衫，在古雅的庙店，低眉沉思时，便绘入梁思成的图纸。她就是中国现代历史上集佳话、传奇、才艺、美貌于一身的林徽因。亲爱的同学们，今天我们来学习林徽因的一首轻灵舞动、清新唯美的诗歌——《你是人间的四月天》。
【详解】解：∵∠α与∠β互补，且∠α=150°，
∴∠β=180°-150°=30°，∴∠β的余角 故选：B．
随堂测试
3．一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是（ ）A．60° B．75° C．90° D．45°
【详解】解：设这个角为x，则补角为180°-x，余角为90°-x，
由题意得，180°-x=4（90°-x），
LOGO
前 言
学习目标
1、认识一个角的余角和补角。2、掌握余角和补角的性质。3、利用余角和补角的性质，解决相关问题。
ting
yán
guān
miǎn
ní
nán
qīng
líng
róu
nèn
自学互研
2.生难字词
（2）词义
娉婷： 鲜妍：柔嫩：冠冕：呢喃：
形容女子的姿态美。
鲜艳。
指质地柔和鲜嫩。
文中是王冠的意思。冕，古代天子、诸侯、卿、大夫所戴的礼帽，后来专指帝王的礼帽。
象声词，形容像燕子叫声那样的轻声细语。
人教版 数学（初中） （七年级 上）
LOGO
《你是人间的四月天》
SPRING SNOW IN THE GARDEN
语文（人教版）九年级 上册
情景导入
有这样一种美丽逾越漫长的时空，仿佛定格在回眸的瞬间，有这样一种聪慧绕过激荡的暗流，徜徉在岁月的长河。她走过北平的尘烟，穿过康桥的夜雾，遥望远方时，便落进徐志摩的诗页；她着一件青衫，在古雅的庙店，低眉沉思时，便绘入梁思成的图纸。她就是中国现代历史上集佳话、传奇、才艺、美貌于一身的林徽因。亲爱的同学们，今天我们来学习林徽因的一首轻灵舞动、清新唯美的诗歌——《你是人间的四月天》。
【详解】解：∵∠α与∠β互补，且∠α=150°，
∴∠β=180°-150°=30°，∴∠β的余角 故选：B．
随堂测试
3．一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是（ ）A．60° B．75° C．90° D．45°
【详解】解：设这个角为x，则补角为180°-x，余角为90°-x，
由题意得，180°-x=4（90°-x），
LOGO
前 言
学习目标
1、认识一个角的余角和补角。2、掌握余角和补角的性质。3、利用余角和补角的性质，解决相关问题。
4.3.3余角和补角 课件 (共28张PPT) 人教版七年级数学上册
45°
F
G
东北方向:___射__线__O_H__
B 南
例:如图,轮船O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时， 在它北偏东40°，南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了 客轮B、货轮C、和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、 货轮C和海岛D方向的射线．
北
90°
2
3
从数量上看： ∵ 24°+66°=90° ∴∠1+∠2=∠3=90°
如图，可以说∠1和∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
探究新知 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
4 3
如图，可以说∠3和∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4是∠3的余角.
探究新知
如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
114° 从图形上看：
α
66° β
180° γ
从数量上看： ∵ 114°+66°=180° ∴∠α+∠β=∠γ=180°
如图，可以说∠α和∠β互为余角，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角.
做一做
1.图中给出的各角，哪些互为补角？
12°26′ 102°26′
27°37′ 117°37′
90 x 180 x
二、余角的性质： 1.画一画:已知∠α，请利用三角板画的∠α 的余角
1 α
2.图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关 系？为什么？
3.这同一角结的论余用角文相字等怎么叙述？
例：如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC， （1）求∠DOE的度数； （2）图中哪些角互为余角，那些角互补？
人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件
理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
人教版七上第四章几何图形初步4.3.3余角和补角课件(共21张PPT)
探究新知 如果两个角的和等于90º（直角），就说这两
个角互为余角，即其中每一个角是另一个角
的余角. 符号语言： ∵∠1+∠2=90°
A
D
∟
1 2 OB
∴∠1和∠2互余
探究新知 如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中每一个角是另一个
角的补角.
符号语言： ∵∠1+∠2=180°
C
N
12
3 4
O
B
(2)若直线AB与CD相交于点O ,你能发现图中 有哪些角相等吗？试说明理由。
∠1= ∠3, ∠2= ∠4 C
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 180°
∠1= ∠3，
A
同理可得∠2= ∠4
12 4O 3 B D
余角的性质：
同角或等角的余角相等
∠1+ ∠2= ∠2+ ∠3 = 90° ∠1= ∠3， 或∠1= ∠3， ∠2+ ∠1= ∠3+ ∠4 = 90° ∠2=∠4 补角的性质： 同角或等角的补角相等
4.若一个角的3倍等于这个角的补角，则这个 角等于__4_5_°____．
5.如图，射线OA表示北偏东30°，画出表示 下列方向的射线.
(1).北偏西40°. (2).西南方向 (3).南偏东30°.
北偏西
A
D 40°30°
西南方向 C
O 45°30°
B
南偏东
6.如图，若直线AB与直线CD交于点O， OA平分∠COF，OE⊥CD． (1)写出图中与∠EOB互余的角； (2)若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF 的度数．
探究新知 利用余角补角定义解决下列问题：
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件(共21张PPT)
=27°28′
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
人教版七年级上册第四单元4.3角4.3.3 余角和补角 (共21张PPT)
如果两个角的和等于 180°（平角），就说这 两个角互为补角，即其中 一个角是另一个角的补角.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
知识点2 余角和补角的运用
例 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD 和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中 哪些角互为余角？
分析：要找图中互余的角，就 是要找和为 90° 度的两个角.
解：因为A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和 ∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC、∠BOC，
2.下列结论正确的个数为（ C ） ①互余且相等的两个角都是45° ②锐角的补角一定是钝角 ③一个角的补角一定大于这个角 ④一个锐角的补角比这个角的余角大90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂小结
90°
180°
如果两个角的和等于90° （直角），就说这两个角 互为余角，即其中每一个 角是另一个角的余角.
4.3 角 4.3.3 余角和补角
R·七年级上册
新课导入
如图坝底是由石块堆积而
某 年会计 管理工 作要点 介绍
今 年 会 计 管 理工作 的指导 思想是 :以邓小 平理论 和“三 个 代 表 ” 重 要思想 为指导 ,认真贯 彻党的 十六大 和十六 届三、 四 全 会 及 省 、 市财政 工作会 议精神 ,用科学 的发展 观统领 会计工 作 全 局 ,紧 紧 围 绕县委 、县政 府的总 体工作 部署和 今年的 财政目 标任务 ,进一步深化会
灯塔A在货轮O的南偏东60°方向上，反过 来，货轮O在灯塔A的什么方向上? 北偏西60°
强化练习
如图，射线OA表示的方向 是 北偏西30° ，射线OB表 示的方向是南偏西45° 或 西南方向 ，射线OC表示 的方向是南偏东70° .
人教版七年级上册4.余角和补角课件
2.上题的根据是（ ） A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
余角补角小结
概念
∠1、∠2互为补角 ∠1、∠2互为余角
∠1+∠2=180° ∠1+∠2=90°
两个角！ 数量关系！
性质
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
余角和补角性质的运用
如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度 数，但人不能进围墙，如何测量？
知识讲授
2、如图，∠3和∠AOB互为补角，∠4和∠AOB也互为补角，请问 ∠3 和∠4有什么数量关系？为什么？请尝试用简单的几何语言来 说理。
同角的补角相等
理由：
3 4
知识讲授
3、如图，如果∠1与∠2互为余角，
∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4，那么∠2与 ∠3相等吗？为什么？请尝试用几何语言来 说理
A
O A
C 12 O
B B
知识讲授
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补 角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1+∠2=180°
知识讲授
A
1 0
2 D
1 2
如图∠AOD = 90°
∠1+∠2 = 90°
同角或等角的补角相等。
课堂练习
如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°。 （1）图中与∠2互为余角的角有 ∠1和∠3 ；
与∠1互为余角的角有∠2和∠4 。
（2）请写出图中相等的锐角，并说明理由；
（3）∠1的补角是哪个角？∠2有补角吗？
人教版七年级上册4.3.3 余角和补角课件
60°
和海岛D方向的射线.
10
A ●
C ●°南
练一练 13.如图，在A、B两处观测到的C处的方位角分别是______
14.表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成 的角等于_____
练一练 15.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位于这 个灯塔的_______
16.如图所示． (1)射线OA表示的方向是_______ (2)射线OB表示的方向是________ (3)射线OC表示的方向是_______
∴∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角.
拓展提升 12.如图所示，点O在直线AE上，CO平分∠AOE，∠DOB是直角 (1)则∠1的余角为______. ∠AOB的余角为______,∠DOE的补角为______. (2)请设法说明∠1=∠AOB的理由. (3)若∠BOC=650，求∠DOE的度数.
北 A
65°40° O 70° 东
45°20°
南D
典例分析
例2 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向
上. 同时，在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客轮B, 货轮C和海岛D. 仿照
北 D ●
B ●
40°
表示灯塔方位的方法
西
●O
东
画出表示客轮B,货轮C
= ∠3=1800－∠1
类似地，可以得到： 同角 (等角) 的余角相等.
练一练 11.(1)若∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,则___∠__1____＝____∠__3___, 根据是___同__角__的__余__角__相__等____. (2)若∠3与∠4互补,∠6与∠5互补,且∠3＝∠6, 则__∠__4___＝__∠__5__, 根据是___等__角__的__补余 1 2 90
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3．已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC 的度数． 解：当 OC 在∠AOB 内部时， ∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－15°＝55°； 当 OC 在∠AOB 外部时， ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋15°＝85°. 答：∠AOC 的度数为 55°或 85°.
专题二 利用方程思想解题 我们在求有关线段长度或角的大小的问题时，可把一个量 设为未知数，列方程求解．方程思想是指对所求问题通过列方 程求解的一种思维方法，是解几何题的重要策略． 例2：一个角的余角比这个角的补角的一半少 8°，那么这 个角的余角是多少？ 思路导引：可设这个角为 x，通过列方程求解．
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量
Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
解：(1)三个点若在同一直线上，过这三个点能画一条直线， 如图 4－1(1)．
图 4－1 (2)三个点若不在同一条直线上，过三个点能画 3 条直线， 如图 4－1(2)．
1．已知点 O 在直线 AB 上，且线段 OA 的长度为 4 cm，线 段 OB 的长度为 6 cm，E，F 分别为线段 OA，OB 的中点，则线 段 EF 的长度为_1__cm___或__5__cm__．
余角、补角的性质(重难点) 例题：如图 1，A、O、E 三点在同一条直线上，且∠AOC ＝∠BOD＝90°.
图1 (1)指出图中∠BOC 的所有余角； (2)∠DOC 与∠AOB 有什么关系？为什么？
思路导引：关键看∠BOC 与哪些角的和为 90°. 解：(1)∠BOC 的余角有∠AOB 和∠COD. (2)∠DOC＝∠AOB. 因为∠DOC 和∠AOB 都是∠BOC 的余角， 所以它们相等．
解析：根据点 O 的位置，可以分为两种情况： (1)点 O 在线段 AB 上，如图 14，
图 14 因为 E 是 AO 的中点，所以 EO＝12AO，
因为 AO＝4 cm，所以 EO＝2 cm， 因为 F 为 OB 的中点，所以 OF＝12OB， 因为 OB＝6 cm，所以 OF＝3 cm，EF＝OE＋OF＝2＋3＝ 5(cm)． (2)点 O 在线段 AB 外，如图 15，OE、OF 的长同(1)中，但 EF＝OF－OE＝3－2＝1(cm)．
1．如果∠β＝20°，那么∠β的余角等于( B )
A．20°
B．70°
C．110．直角
C．钝角
D．以上三种情况都有可能
3．如果∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互余，那么∠1 与∠3
的关系是( B )
A．∠1>∠3
B．∠1＝∠3
C．∠1<∠3
D．不能确定
解：设这个角为 x，则它的余角为 90°-x，它的补角为 180°-x， 根据题意得 90°-x＝12(180°-x)-8°.
解得 x＝16°，则 90°-16°＝74°. 答：这个角的余角为 74°.
4．如图 4－2，B、C 两点把线段 AD 分成 2∶4∶3 三部分， M 是 AD 的中点，CD＝6，求线段 MC 的长．
第3课时 余角和补角
1．余角、补角的概念 1．如果两个角的和为 90°，那么就说这两个角互为余角， 即其中一个角是另一个角的余角． 2．如果两个角的和为 180°，那么就说这两个角互为补角， 即其中一个角是另一个角的补角．
2．余角、补角的性质 等角的余角___相__等___，等角的补角___相__等___． 3．方位角 方位角是表示方向的角，以正南、正北方向为基准，表示 成南(北)偏东(西)××度的形式． 特别地，西北方向指北偏西 45°，东北方向指北偏东 45°， 西南方向指南偏西 45°，东南方向指南偏东 45°.
解析：同角的余角相等．
4．如果∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，那么∠1 与∠3 的关系是_∠__1_＝__∠__3，根据是___同__角__的__补__角__相__等____________．
5．甲看乙的方向是北偏西 25°，那么乙看甲的方向是
__南__偏__东___2_5_°_．
6．按逆时针方向从西北转到西南所转过的度数是( B )
图 4－2 解：设 AB＝2x，则 BC＝4x，CD＝3x， 所以 AD＝2x＋4x＋3x＝9x. 因为 CD＝6，即 3x＝6，所以 x＝2. 所以 AB＝4，BC＝8，AD＝18. 因为 M 是 AD 的中点，所以 MD＝12AD＝9. 所以 MC＝MD－CD＝9－6＝3.
5．已知一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为 x，则这个角的余角为 90°－x，补角 为 180°－x，根据题意得， 180°－x＝4(90°－x)， 解得 x＝60°. 答：这个角的度数为 60°.
A．45° C．135°
B．90° D．180°
4.4 课题学习 设计制作长方体 形状的包装纸盒(略)
章末巩固复习专题
专题一 分类讨论思想的应用 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必 须将可能出现的所有情况分别讨论．得出各种情况下相应的结 论，这种处理问题的思维方法称为分类思想． 例1：平面上有三点，过其中任意两点画直线，可以画几条 直线？ 思路导引：这三个点的位置情况有两种，在同一条直线上 或不在同一条直线上．
图 15 综上所述，EF 的长为 1 cm 或 5 cm.
2．已知线段 AB＝8 cm，在直线 AB 上取一点 C，使 BC＝ 3 cm，求 AC 的长．
解：当点 C 在线段 AB 上时， AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)． 当点 C 在线段 AB 的延长线上时， AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(cm)． 答：线段 AC 的长为 5 cm 或 11 cm.