广东省广州市执信中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题

2019届高三第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={x|0≤x ≤6}，N={x|2x≤32}，则M ∪N=（ ） A ．（﹣∞，6] B ．（﹣∞，5] C ．[0，6] D ．[0，5]2.复数=（ ）A.﹣1+iB.1+iC.1﹣iD.﹣1﹣i3.设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知， 则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若实数,x y 满足210220x x y x y ≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2=-z x y 的最小值为（ ）A.4B.1C ．1-D ．4-6.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3+7=2a 5，则S 13=（ ） A ．49 B ．91 C ．98D ．182 7.已知随机变量服从正态分布,且,则（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.168.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.6 B.193 C.203 D.2239.函数y=xcosx ﹣sinx 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10. 设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的点， 12,F F 是其焦点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积是1, 且3a b +=，则双曲线的离心率为（ ）A.. 2 D. 3211.函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0)a b R ω∈>，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x R ∈，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是（ ）A ．max ()f x a =B ．()()f x f x -= C.a = D ．3ω=12.设函数1()1ln(1)x x f x ae e x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1ln 2)e -∞+B ．(ln 2,)e -+∞ C. (,ln 2)e -∞- D ．(1ln 2,)e ++∞ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. =-+-1)21(2lg 225lg. 14. 已知(1,2),b (1,),a λ==- 若b a ⊥，则λ=____________.15. 已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则37a a ⋅的值为 .16．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得12x x y +的最大值为0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数：①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>；③()f x =④()f x =.其中是“柯西函数”的为 （填上所有．．正确答案的序号） 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣． （1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．18. (本题满分12分)如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD=．（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求直线AF 与平面BEF 所成角的正弦值．19. (本题满分12分)电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差.20. (本题满分12分) 已知椭圆C 的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，点（1，）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m （k ≠0）与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G （），求实数k 的取值范围．21. (本题满分12分)已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且'()g x 是()g x 的导数.（1）求a 的值；（2）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121'()2g x x +>.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（2）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．23. (本题满分10分)已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．2019届高三第一学期第二次月考理科数学参考答案一、选择题二、填空题13. -1 14. 1215.36 16. ①④三、解答题17. 解：（1）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，………3分由正弦定理得=得sinA===，则A=．………6分（2）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，……9分得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），……10分则AC边上的高h=csinA=3×=．………12分18.（1）证明：取线段BC的中点O,连结EO.∵BCE为正三角形，∴EO⊥BC，且EO=，∵面EBC⊥面ABCD，且面EBC面ABCD=BC,EO面EBC ∴EO⊥面ABCD, ………3分∵FD⊥平面ABCD，且FD=，∴FD EO，∴四边形EODF是平行四边形，∴EF∥DO， (5)分∵EF⊄平面ABCD，OD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．………6分（2）解：∵∠CBA=60°，∴OA ⊥OB ，以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，，0），B （1，0，0），E （0，0，），F （﹣2，，），=（﹣2，0，），=（﹣1，0，），=（﹣3，）， ……8分设平面BEF 的法向量为S ，则，取x=，得=（，2，1），………10分设直线AF 与平面BEF 所成角为θ，则sin θ===．∴直线AF 与平面BEF 所成角的正弦值为．…12分19.解：（1）若三瓶口味均不一样，有3856C =若其中两瓶口味不一样，有118756C C =，若三瓶口味一样，有8种， 所以小王共有56+56+8=120种选择方式. ………4分 （2）ξ可能的取值为0,1,2,3……5分由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为18故随机变量ξ服从二项分布，即13,8B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭……7分()0303113430188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()1213111471188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()212311212188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113188512P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……9分 所以ξ的分布列为………10分期数学期望()13388E np ξ==⨯= ……11分 方差()()1721138864D np p ξ=-=⨯⨯= ………12分20. 解：（1）抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0），故（1，0）为椭圆的右焦点，设椭圆方程为=1（a ＞b ＞0），则，∴a=2，b=，∴椭圆C 的标准方程为+=1．………4分（2）线段MN 的垂直平分线方程为：y=﹣（x ﹣）， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立方程组，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，………6分∴△=64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，即m 2＜4k 2+3．由根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=， 8分设线段MN 的中点为P ，则P （﹣，），代入y=﹣（x ﹣）得：4k 2+8km+3=0，即m=﹣（4k 2+3）， ………10分∴＜4k 2+3，即k 2＞，解得k ＜﹣或k ＞．∴k 的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）． ………12分21. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值， 不合题意，舍去； ………2分当0a <时，令()0f x '=，得x =x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，max 1()2f x f ∴==-+,1122∴-+=-,12a ∴=-． ………5分 （2）由（1）可知，21()2ln 2g x x x x =-+,1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥,()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． 又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-（*）, ……9分 设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+--12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．…12分22. 解：（1）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7．∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1，化简，得ρ=2cos θ． (5)分（2）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．………10分23. 解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|，当x≤﹣1时，由f（x）=﹣2x＜4，得x＞﹣2，则﹣2＜x≤﹣1；当﹣1＜x≤1时，f（x）=2＜4恒成立；当x＞1时，由f（x）=2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|﹣2＜x＜2}；………5分（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x﹣1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x﹣1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：﹣5≤a≤3．………10分。