等式约束下泛函的条件极值
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是数学中比较重要的概念，在很多领域都有着广泛的应用。值得一提的是，对于理解泛函数极值的概念，以及如何利用泛函数求极值，研究分析极值点，有助于更好地把握其他学科知识。
一、什么是泛函数求极值
泛函数极值是通过求解泛函数派生出的极值问题，即从泛函数求解数量或测量值的最大值或最小值。
求极值的概念是为了求解实际问题而引入的，例如求最大值或最小值，解决有限资源的分配问题，在应用层面上也被广泛使用。
二、泛函数求极值的过程
（1）求解泛函数极值的方法是用微分求解泛函数极值，求解过程如下：
首先，我们必须找出一个泛函数表达式，并且可以用此表达式来求解极值问题。
其次，在泛函数的基础上，用微分的方法，求解泛函数的倒数函数，并用极限法求解泛函数的最小值或最大值。
（2）求解拉格朗日极值法的方法
拉格朗日极值法是在求解极值问题时，给定一个函数和一些约束条件，寻找满足约束条件的极值所在的一种方法。
首先，根据给定的约束条件，构建相应的拉格朗日函数，后对拉格朗日函数求导，求出拉格朗日函数的极值点，最后，在满足拉格朗日函数的约束条件的情况下，求出极值点的值。
三、应用
（1）投资分配
泛函数求极值在投资分配问题中也得到了广泛应用，具体地说，就是用泛函数求极值的方法，求解投资分配者和投资人之间在投资分配中达到最大利润的结果。
（2）有限资源分配
有限资源分配问题也是泛函数求极值解决方案的重要应用，它通过泛函数求极值方法，求解在有限资源下的最大效益，使资源的分配最大化。
四、结论
泛函数求极值是一个比较重要的概念，其在投资分配、有限资源分配等应用中得到了广泛的使用，是解决实际问题的重要方法。在理解泛函数极值的概念，以及如何利用泛函数求极值，研究分析极值问题，对于更好地把握其他学科知识也有着重要意义。
五次多项式是带约束的泛函
五次多项式是带约束的泛函
五次多项式是一种常见的数学函数形式，它是由一个五次方程构成的多项式。在数学中，多项式是由常数项、一次项、二次项、三次项等按照次数从高到低排列而形成的函数。本文将介绍五次多项式的性质以及一些带约束的泛函。
五次多项式的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$，其中$a, b, c, d, e, f$是常数。五次多项式的次数为5，因为最高次项的指数是5。
五次多项式具有以下性质：
1. 零点：五次多项式的零点是使得$f(x) = 0$的解。由于五次多项式是一个五次方程，根据代数基本定理，它最多有5个不同的实数根或复数根。
2. 极值点：五次多项式的极值点是函数曲线上的局部最大值或最小值点。根据导数的性质，五次多项式的极值点可以通过求导数并解方程$f'(x) = 0$来确定。
3. 对称性：五次多项式可能具有对称性。例如，如果五次多项式中的系数满足$f(x) = f(-x)$，那么它具有关于y轴对称的性质。
4. 可导性：五次多项式在其定义域内是可导的，这意味着它的导函数存在。导函数可以用来确定五次多项式的斜率和曲线的凹凸性。
除了基本的五次多项式函数，我们还可以考虑带约束的泛函。泛函是一个将函数映射到实数的函数。带约束的泛函是在一定条件下对
函数进行优化的问题。例如，在给定函数的定义域上找到使得泛函取得最大或最小值的函数。
带约束的泛函可以通过引入约束条件来限制函数的选择范围。常见的约束条件包括函数的边界条件、函数的积分约束等。通过引入这些约束条件，我们可以在一定范围内找到满足约束条件的最优函数。带约束的泛函在科学和工程中有广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以通过最小作用量原理来推导出运动方程，这是一个典型的带约束的泛函问题。在优化问题中，我们也可以将目标函数和约束条件转化为泛函形式，并通过求解泛函来获得最优解。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解使用变分法。泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]
取得极小值或极大值。解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的
变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。变分算子的定义如下：
δ[f(x)] = εh(x)
其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。使用变分
算子之后，泛函的变化可以表示为：
δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]
对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：
δJ[f] = 0
这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：
1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；
2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；
3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；
4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；
5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小
值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
3.4等式约束下泛函的条件极值
例 3.4
节组成， 已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 为极小值。 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 0 2 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
tf
引入拉格朗日乘子向量 λ ( t )＝[λ1 ( t ) λ2 ( t ) L λ m ( t )]
t0
T
构造泛函
& & [F ( x, x, t ) + λ (t )G( x, x, t )]dt
T
( 3)
问题 3.3 中泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx = 0 & dt & G( x, x, t ) = 0 & & & 其中F ( x , x , t ) = F ( x , x , t ) + λT ( t )G ( x , x , t )，λ ( t )为m 维待定的 乘子函数向量。 乘子函数向量。
*
0 1 0 & x = Ax + bu，A = ，b = 1 0 0 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & F = u ( t ) + λT ( t )( x − Ax − bu) 2 1 2 & & = u ( t ) + λ1 ( t )( x1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x 2 − u) 2
多元函数条件极值
多元函数条件极值
多元函数条件极值是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。在数学中，多元函数是指具有多个自变量的函数，而条件极值则是指在一定条件下使得函数取得最大值或最小值的点。多元函数条件极值的求解是数学中的一个重要问题，它涉及到微积分、线性代数等多个数学领域的知识。
在求解多元函数条件极值时，通常需要利用拉格朗日乘数法。这种方法是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束条件下的极值问题。具体而言，对于一个多元函数在一定条件下求取极值，首先需要建立等式约束条件，然后构造拉格朗日函数，并通过求解该函数的梯度为零的方程组来找到极值点。
举个简单的例子来说明多元函数条件极值的求解过程。假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2，在条件 x + y = 1 下求取极值点。首先建立等式约束条件 x + y = 1，然后构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 为拉格朗日乘子。接着求解 L 的梯度为零的方程组，即∇L = 0，最终可以得到函数 f 在条件 x + y = 1 下的极值点。
多元函数条件极值的求解过程相对复杂，需要熟练掌握相关的数学知识和技巧。在实际问题中，多元函数条件极值常常用于优化领域，如在经济学中的效用最大化、生产成本最小化等问题中都可以应用这一方法。
除了拉格朗日乘数法之外，还有其他方法可以求解多元函数条件极值，如KKT条件、最大值最小值定理等。不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法
一、拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其
基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函
数来求解极值点。
具体步骤如下：
1.确定目标函数和约束条件。假设目标函数为f(x,y,...)，约束条
件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日
乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)
3.求解极值点。对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为
极值点。若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理
隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用
于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：
1.确定目标函数和约束条件。假设目标函数为f(x,y,...)，约束条
件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。将约束条件g(x,y,...)=0表示为
G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。求得
dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
最优控制理论考试重点
1．最优控制问题的性能指标
(1)积分型性能指标(拉格朗日型)：⎰
=
f
t t dt t t u t x L u J 0
]),(),([)(
反映控制进程误差在某种意义下的平均或控制进程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
(2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=，接近目标集程度，即末态控制精度的气宇。
(3)综合性能指标（鲍尔扎型）：⎰
+=f
t t f f dt t t u t x L t t x u J 0
]),(),([]),([)(φ。
2．最优控制问题的数学模型
给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =•
；状态方程的边界条件：⎩
⎨⎧∈===S t x t t x t x t t f f )(,)(,0
00；
给定性能指标：⎰
+
=f
t t f f dt t t u t x L t t x u J 0
]),(),([]),([)(φ；允许控制域u(t)：U t u ∈)(。
3．最优控制应用的几种类型：最短时刻控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗
控制，线性跟踪器。 4．选取性能指标注意：
应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。
5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有允许值的集合。
6．横截条件：依据性能指标的要求，从允许值的集合当选择哪一点作为始态或终态的问题。 1．泛函：对于某一类函数y(·)中的每一个函数y(x)，变量J 都有一个值与之相对应，那么变量J 称作依赖于函数y(x)的泛函。记为：J=J[y(x)]，y(x)称为泛函的宗量。宗量的变分：)()(0x y x y y -=δ。
5等式约束条件的泛函极值问题-Lagrange乘子法
15
F ( x, y ) 0
解此方程组求得 x、y 和λ，其中 x、y 就是该条件极值问题的可能极值点。 用 Lagrange 乘数法解本例题，有
F (r , l , ) V ( r , l ) [ A(r , l ) A0 ] r 2 l ( 2r 2 2rl A0 )
16
系数为零， 可任意取值。 由泛函取极值的必要条件一阶变分为零，即 J a ( x, t ) 0 ，可得
( f d L T L T ) T ( ) 0 x dt x x
（2-5-15）
, , t ) L ( x, x , t ) T (t ) f ( x, t ) ， 由（2-5-12）式中 La ( x, x （2-5-15）式也可表示
, t ) T (t ) ( x, t )} dt J a ( x, ) {L( x, x
tf
f
t0
, , t ) dt La ( x, x
t0
tf
（2-5-12）
称为 Lagrange 乘子(multiplier)， 又称协态变量(costate)。 其中λ(t)为 n ╳ 1 维向量， 当 x 满足（2-5-11）式时，则对任意 λ(t) 都有 Ja=J 。 对（2-5-12）式，可以用 Taylor 级数展开求 Ja（x,λ）的一阶变分。
关于条件极值的讨论
关于条件极值的讨论
条件极值是数学的一个重要概念，在科学研究中被广泛应用，它可以帮助科学家定位
函数的极值位置。广义上说，条件极值（也称条件最优解）通常用来指定一个或多个参数
组合在特定情况下可以使函数极大化或极小化，而在其他组合下又可以使函数获得最优值。因此条件极值可以让科学家更为准确地估算函数的极值，准确定位函数极值。
条件极值定义的就是在特定约束条件下获得最优解。其中，条件是变量间关系之一，
可以用各种方式表示出来，如约束条件，不等式约束，边界条件，向量等。而最优解指在
以上约束条件下获取函数最大值或最小值，比如求取最小球面曲率等。
在应用于科学研究中，条件极值可以被用于多重情况求解。比如最小功，可以用条件
极值方法求解。但是，在多个变量的情况下，条件极值的计算可能十分困难，也可能出现
结果不唯一的情况，因为在估算最值时并不能保证它们一定会得到，而有可能存在极小或
极大点，而不是最值点。
此外，条件极值也可以用于拟合参数，从而估计函数的最大或最小值。例如可以将函
数分成多个参数的形式，然后通过不断修改参数的值来找出最优的解。
总的来说，条件极值在科学研究中非常重要，它可以帮助科学家有效的求解复杂的函
数的极值。不仅如此，也可以用来估算函数的最大值和最小值，从而有效的应用到参数拟
合等多种相关领域。
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∫
2
0
u 2 (t )dt
为最小。 解 本题为 t f 给定、 终端受约束的最优控制问题。 由于控制变量不受约束， 所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 1 H = u 2 + (λ1 − λ 2 ) x 2 + λ 2 u 2 1 1 θ = [ x1 (2) − 5] 2 + [ x 2 (2) − 2] 2 2 2 M = x1 (2) + 5 x 2 (2) − 15 = 0 由于
x(t f ) = −cx(t f )(t f − t 0 ) + x(t 0 )
所以
x(t f ) = x(t 0 ) 1 + c(t f − t 0 ) cx(t 0 ) 1 + c(t f − t 0 )
3
最优控制为
u* = −cx(t f ) = −
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2 1 cx (t 0 ) 2 1 + c(t f − t 0 )
2. t f 给定，终端约束 设终端约束为
M [ x(t f ), t f ] = M [ x(t f )] = 0
q
(9.20)
式中， M ∈ R ，即终端状态 x(t f ) 可沿规定的边界曲线移动。构造增广泛函 J a 为
J a = θ [ x(t f )] + v T M [ x(t f )] +
极值原理
xt0 x0
N1 x t f ,t f 0
t f
x
N1T x
v
tt f
(4) 终端时刻tf可变时，用来确定tf的 终端横截条件：
H
t
vT
N1 t tt f
所有自变量二次连续可微，要求哈密顿函
数H关于控制变量u的偏导数存在。于是，
类似J
t f
t0
ut dt
这样的性能泛函就被排除在外。
这是因为它的目标函数中出现了 ， u
从而使L(x,u,t)关于u不可微，哈密顿函数H关 于u的偏导数不存在，这使得像消耗燃料最 少这类最优控制问题无法用经典变分法解决。
例题 2 设一阶系统方程
x. t xt ut,x0 5
其中，控制约束：0.5≤u(t)≤1。试求使性 能指标
J
1
0
xt
ut dt
为极小的最优控制u*(t)及最优曲线x*(t)。
gxt,ut,t 0 (4)
满足式(1)-(3)的状态曲线x(t)称为容许曲线。 满足式(4)，并使x(t)成为容许曲线的分段连 续函数u(t)称为容许控制，所有的容许控制 函数构成容许控制集，记为Ru。
泛函极值问题
最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。
首先，我们需要了解的是泛函的概念。泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。
接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。通常情况下，我们使用变分法进行求解。变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。
使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。
总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。
§6.3 泛函的条件极值
§6.3 泛函的条件极值
一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）
求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB
所围成面积最大的曲线？
AB 弧长：dx y L b
a ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b
a dx x y S （2） 边界条件：()()0,0==
b y a y （3）
在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。
二、一般泛函条件极值的E-L 方程
泛函[]()∫=b
a dx y y x F y J ',,，约束条件()L dx y y x G b
a =∫',,， 其中[][]()(){}
2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2
0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη
从而构成一元函数
()[]()∫++=+=b
a dx y y x F y J '',,εηεηεηεϕ ()L dx y y x G b
a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函
()()()[]∫+++++=Φb
a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。
泛函()λε,Φ取极值，即需()
0,0=Φ=εελεd d
()()0'''',''''''''''0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⋅−++⋅−+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a
瑞利-里兹法求解泛函的极值问题
瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz method）是一种常用于求解泛函的极值问题的数值计算方法。它是通过将泛函的极值问题转化为一个变分问题，并通过适当的变分方法来逼近泛函的极值解。
在研究泛函的极值问题时，我们通常需要求解如下形式的泛函极值问题：
\[J[y]=\int _{a}^{b}F(x,y,y')dx\]
其中\(y=y(x)\)是未知函数，\(F(x,y,y')\)是关于\(y\)及其导数\(y'\)的已知函数，\(a\)和\(b\)为给定区间。泛函\(J[y]\)的极值问题即为在满足
一定边界条件的前提下，求解使泛函\(J[y]\)取极值的解函数\(y(x)\)。
解决这类问题通常会面临数学上的困难，因为泛函极值问题的解函数
\(y(x)\)通常无法通过常规的微分或积分手段求解。而瑞利-里兹法提供了一种可行的数值求解途径。
接下来，我们将详细介绍瑞利-里兹法的基本原理和数值求解步骤。
1. 基本原理
瑞利-里兹法的基本思想是将未知函数\(y(x)\)进行一定形式的变分展开，并通过适当的变分参数来逼近泛函极值问题的解。这意味着我们假设
未知函数\(y(x)\)可以表示为一组已知函数的线性组合：
\[y(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i}(x)\]
其中\(\varphi _{i}(x)\)为已知的基函数，\(c_{i}\)为待定的系数。2. 变分问题
将未知函数\(y(x)\)的展开式代入泛函\(J[y]\)中，得到变分问题：
\[J[c]=\int _{a}^{b}F(x,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varphi _{i},\sum
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是一个经典的数学理论。它涉及数学中的函数解析、微积分、解析几何等多种学科，无论是在研究运动中的动能定理、利用有限差分法进行数值计算，还是研究机器学习算法，都用到了泛函数求极值理论。
什么是泛函数求极值？泛函数求极值，就是求解泛函数在某一区域上取极值的问题。一般来说，泛函数求极值的求解方法可以分为定义域上的求极值和定义域外的求极值。在定义域内求极值指的是在定义域内，函数值一定是取极值点，这个点就是极值点。而定义域外求极值，指的是求解极限函数在某一点上取极值的问题。
为了求解泛函数极值，数学家们引入了多种方法，其中最常用的方法包括等高线图法、图形插值法和极限法等。
首先介绍等高线图法，它是一种求解泛函数极值的最简单有效的方法。等高线图法通过绘制函数的函数图像，即等高线图，来确定泛函数的极值点，从而求解极值问题。具体的做法是：
（1）画出函数的等高线图；
（2）从等高线图中找出等高线的交点；
（3）检查这些交点是否是极值点；
（4）由于泛函数可能存在多个极值，所以需要进一步讨论函数
在它们附近的行为，以确定多个极值点中的最大值或最小值；
（5）在某一极值点处，找出此点的函数值以及此点的梯度，从
而得出极值点的函数值及其斜率，确定极值点的性质。
其次介绍图形插值法，这种方法常用于求解定义域外的极值问题。图形插值法通过插值函数将函数的凸区域划分为若干个子区域，利用中点判别法或极限判别法求解每个子区域中极大值点或极小值点，从而获得泛函数在定义域外的极值。
最后介绍极限法，这种方法可以在定义域内求函数的极值点和定义域外的极值点，是一种最常用的泛函数求极值的方法。它的基本原理是，如果函数在某点取得最大值（最小值），则这个点的极限趋于
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&,t) + λ [F ( x, x
T
& , t ) dt ( t )G ( x , x
]wk.baidu.com
( 3)
问题 3.3 中泛函 J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt &, t) = 0 G( x, x & , t ) = F ( x, x & , t ) + λT ( t )G ( x , x & , t )，λ ( t )为m 维待定的 其中F ( x , x 乘子函数向量。
3.4 等式约束下泛函的条件 极值 问题 3.3 求泛函 & , t )dt J＝∫ F ( x , x
t0 tf
(1) ( 2)
& , t ) = 0，t ∈ [t 0 , t f ] 在等式约束 G ( x , x
& , t )为m 维函数向量， x ( t )为n维 条件下的极值。其中 G ( x , x 函数向量标量， m < n。 引入拉格朗日乘子向量 λ ( t )＝[λ1 ( t ) λ 2 ( t ) L λ m ( t )] 构造泛函 J ′＝∫
1
例 3.4
已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 2 0 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
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⎡0 1⎤ ⎡ 0⎤ & = Ax + bu，A = ⎢ ，b = ⎢ ⎥ x ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣1 ⎦ 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & − Ax − bu) F = u ( t ) + λT ( t )( x 2 1 2 & 1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x & 2 − u) = u ( t ) + λ1 ( t )( x 2
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3
由此得方程 & =0 ⎧ λ 1 ⎪λ & = −λ 2 1 ⎪ ⎪ ⎨u = λ2 ⎪x &1 = x2 ⎪ &2 = u ⎪ ⎩x 解得最优控制 u ( t ) = 18 t − 10
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最优轨线 x1 ( t ) = 3 t 3 − 5 t 2 + t + 1 x 2 ( t ) = 9 t 2 − 10 t + 1
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泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt d Fu − Fu & = 0 dt & = Ax + bu x ⇔ & 1 = x2 ⎧x ⎨ &2 = u ⎩x ⇔ d ⎧ &1 = 0 ⎪ Fx1 − dt Fx ⎨ d ⎪ Fx − Fx &2 = 0 2 dt ⎩
x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0