偏微分方程ppt课件
全版微分方程.ppt
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
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C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
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解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
偏微分方程分类与标准型PPT课件
解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
第18页/共28页
§4 三类方程的简化形式
1.双曲方程型方程：
1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
第22页/共28页
例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单 的函数形式,即η=x 或η=y)
原方程化简后的标准形式为：
第23页/共28页
例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵
a11 1 a12 1 a22 3 故
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
a122 a11a22 4 0
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶偏微分方程教程省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
z x ydx 得 x 2 z x y C2 ，所以得到另一种首次积分为
x2 zxy
于是原方程旳隐式通解为
2x z C1
x 2 z x y C2 7
由(3)可得
dx dy dz P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
于是得到方程组(3)旳一种等价形式：
精神病药物研究需测定新药旳效果，例如治疗帕 金森症旳多巴胺旳脑部注射效果。为了精确估计药 物影响旳脑部区域，我们必须估计注射后药物在空 间旳分布形状和尺寸。
研究旳数据涉及50根圆柱组织样本中每一根所含 药物旳测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱旳长度 为0.76mm，直径为0.66mm。这些平行圆柱旳中心 位于1mm×0.76mm×1mm旳网格点上。所以，圆
首次积分为 y u, 2x u2
于是原方程旳隐式通解为 y u, 2x u2 0
其中 为任意二元连续可微函数。
将该解代入初始条件，得 y, 2 y 0
于是有 2x u2 2( y u) ，解得 u 1 1 2(x y)
再由初始条件得Cauchy问题旳解为
u 1 1 2(x y)
25
p(a, t ) a
p(a,t) t
(a,t,
N (t))
p(a,t)
f
(a,t),
a 0, t 0
p(a,
0)
p0 (a),
a0
(4)
p(0,
t)
(a,t, N (t)) p(a,t)da,
0
t 0
N (t) 0 p(a,t)da, t 0
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精神病用药问题旳方程模型
• 问题旳提出
表2 前方垂直截面
163 324 432 243 166 712 4055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 294 2061 1036 258 188
计算机应用基础偏微分方程求解PPT课件
6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
第16页/共43页
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
第20页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
第21页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
第22页/共43页
5.3 偏微分方程求解工具箱
第9页/共43页
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620 C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / m ol，
床层有效导热系数e 0.45w.m1.k 1,有效扩散系数
偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE课件幻灯片课件
由(1.10)，可推出 C1C2 0
只有零解。
2020/5/12
6
情形（C）
0 方程的通解为
X (x ) C 1 cox s C 2sin x ,
由边界条件X(0) = 0推出 C1 0,
再由 X(L)C 2sin L0, 知道为了使 C2 0, 必须
sin L0.
于是有 Lk, (k 1,2 ).,3本, 征值
k 1 C k (t) k La 2C k(t s)ik n L xf(x,t)(2.12)
(2.3)
k
u(x,0)k1Ck(0)sinLx0
(2.13)
(2.4)
ut(x,0)k 1Ck (0)sik nL x0
(2.14)
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(2.12)，(2.13)，(2.14)
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(II) 本征值问题
X X 0 ,( 0 x L )
X(0)X(L)0
本征值
kkL 222, (k1,2,3,).
本征函数 X k(x)C ksikn L x, (k1 ,2, )
T k(t)B kex (p k L a)2t , (k 1 ,2 , )
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(III) 特解的叠加
0 mn
2020/5/12
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分离变量法的解题步骤
第一步 令 u(x,t)X(x)T(t)适合方程和边界条件，
从而定出 X (x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及
T (t) 适合的常微分方程。
本征
求解该常微分方程齐次边值问题，
第二步 求出全部本征值和本征函数，并求
值问 题
出相应的 T (t) 的表达式。
第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。
偏微分方程演讲稿ppt课件
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
演讲人：Marky
1
目录
• 1 偏微分方程的基本概念 • 2 有限差分方法 • 3 常系数扩散方程及初边值问题 • 4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
深圳大学材料学院
2
1 偏微分方程的基本概念
3
1.1 偏微分方程定义
深圳大学材料学院
17
4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
18
复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：
t
A
A
(1
i
)
2 x
A
(1
i
)
A2
A
其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；μ是标度参数，通常
情况下，μ=1 ；实数α,β是系统参数。当α,β→∞,α/β=常数，
上方程转变为非线性薛定谔方程。当α,β→0,方程可以化为一个简
, tn1)
u(x j
,tn )
[
u t
]nj
O(
)
(1)
u(x j1, tn ) u(x j , tn ) h
[
u x
]nj
O(h)
(2)
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1,t n)
[
2u x 2
]nj
O(h2 )
(3)
深圳大学材料学院
11
利用（1）式和（2）有
1.2.1 偏微分方程的解
偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导 数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。
偏微分方程课件 云南财经大学
, xn , t )的n维波动方程
19
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《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
3
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《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
11
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《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则
偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)2省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
j(H
sin 2
)
| j
|
1 jn
2(n 1)
| (ra2 ) |
(ra2 )
| n |
| 1 |
ra 2
极值点满足
ra2 1 2
1 4ra2 sin2 4ra2 sin2 n 1
2(n 1)
2(n 1)
(ra2 ) 1 2sin2
cos 1
2(n 1)
n1
显式差分格式稳定充分条件. h2 / 2a 2
4/17
无穷大范数定义 ||
uk
||
max
1 jn
|
ukj
|
双层差分格式
n
n
u (k ) k1 jm m
u (k ) k
jm m
f
k j
m1
m1
记矩阵
A(k )
(
) (k )
jm nn
B(k)
(
) (k )
jm nn
双层格式旳矩阵形式 A(k )uk1 B(k )uk f k
双层差分格式初值稳定概念:
2ra2 cos j )]1
j
n
1
]1
[1 4ra2 sin2 nj 1 ]1 1
2(n 1)
11/17
过渡矩阵旳谱半径
(
H
)
max
1 j N 1
|
j
(
H
)
|
1
max
1 jn
|
1
4ra
sin2 (
j
/
2(n
1))
|
1
1 4ra sin2( / 2(n 1)) 1
吴老师第二讲二阶线性偏微分方程及其分类省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
原则形式
2u 2u f x 2 y 2
u 2u f x y 2 2u 2u f x2 y 2
例1：判断下面偏微分方程旳类型并化简
u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
a11u xx 2a12u xy a22u yy
若方程(1)旳主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满
足 a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型旳；在邻域；在Ω中
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型旳; a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型旳。
取 (x, y) (x, y) 则 A11 A22 0，这时方程变为
u
1 2 A12
[ B1u
B2u
Cu
F]
若再作 , 则上述方程变为：
u
u
1 A12
[(B1
B2
)u
(B1 B2 )u
2Cu F ]
（7）
2：抛物型 当 a122 a11a22 0 ，这时（6）式只有一种解
第五讲
二阶线性偏微分方程旳化简及其 分类
二阶线性偏微分方程旳一般形式：
n n
aij
j1 i1
2u xix j
n
bi
i 1
u xi
cu
f
0
其中 aij ,bi , c, f 是自变量 x1, x2 ,, xn
旳函数，假如f=0，则方程是线
性齐次方程，不然方程是非线性 齐次方程。
§1.5.1 两个自变量方程旳化简
一阶偏微分方程求解方法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
21
q g
h
n 2
1
2
5. 加权余量法求解一般化措施旳进一步优化
由近似解表述旳加权余数为：
Fj(R) wj R d w*j R d
wj ( ) d w*j (（） （）) d
注意余数旳实质
wj (2
2) d
1 w*j (（1） （1）) d
C2d 2 0 (C1d 2 C2d 3 10d ) d 2C1 d 2 (1 d )C2 10d 0
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数体现式：
j 2时,又得到一个代数方程：
F2(R)
2 R
d
2 R
d
d 0
x2
( 2C2
)d
| x0 x2 ((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
在x 0处：（）x0＝0 在x d处：（）xd＝10
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数体现式：
Fj(R)
j R
d
j
R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
1
R
d
1R
d
d
0 x(2C2 )d
| x0 x((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
| xd x((C1x1 C2 x2 ) xd 10) d
2 2 ( 2 Ci xi ) 2 (C1x1) 2 (C2 x2 )
i 1
0 2C2
2 0
3. 加权余量法－－例
2.结合问题，写出余数体现式：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
：R （） （）
2
（）＝ Ci xi＝C1x1 C2 x2 i 1
第二章 三类典型的偏微分方程
Q1
t2 t1
V
k 2TdV dt
ppt课件
22
第二章 三类典型的偏微分方程
流入的热量：Q1
t2 t1
V
k 2TdV dt
流入的热量导致V 内的温度发生变化
S n
T (x, y, z,t1) T (x, y, z, t2 )
温度发生变化需要的热量为：
Q2 c T (x, y, z,t2) T (x, y, z,t1)dV
ppt课件
10
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的
横振动。不受外力影响。
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
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3
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 (x, x x)它的弧长为：
s
x x x
1
(
u x
)2
dx
y
M'
s
t2 x2
为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt。Q3 F (x,t)dxdt
t1 x1
c T
t
k
2T x2
F(x,t)
T t
a2
2T x2
f
x,t
其中
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21
1.2 热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源。 在Ω中任取一封闭曲面S。 以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
下面考虑物体内部有热源（例如物体中通有电流，或有化学反应等情况）。 设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则
则有热源的热传导方程为
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26
1.2 热传导方程的导出
无热源的情况下得到的热传导方程： 有热源的情况下得到的热传导方程：
即
其中E为电场强度矢量，
n为Ω上的单位外法线向量。
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31
1.2 泊松方程的导出
又由库仑定律知，静电场是有势的。即存在静电位势u=u(x,y,z)，使 E=-grad u
代入上式，得静电位势u满足以下的泊松方程
即
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1.2 拉普拉斯方程和泊松方程的导出
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33
1.3 定解条件与定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描 述，称为定解问题。 定解问题中的偏微分方程称为泛定方程。
（1.1.1）
（1.1.2）
（1.1.3）
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8
1.1 基本概念
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9
1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
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1.2 三类经典方程的导出
例1.2.1 弦的微小横振动问题
3. 柔软，是指弦可以弯曲，同时发生于弦中张力的方向总是沿 着弦所在曲线的切线方向。
4. 横振动，是指弦的运动只发生在一个平面上，且弦上各点的 位移与弦的平衡位置垂直。
5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很 小。
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1.2 三类经典方程的导出
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20
1.2 热传导方程的导出
例 1.2.2 热传导方程
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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49
1.3.3定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具 体问题的完整描述，称为定解问题。
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50
1.3.3定解问题.Βιβλιοθήκη 511.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
（1.1.5）
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1.1 基本概念
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数 的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分 方程。 例
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7
1.1 基本概念
对于线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及 其偏导数的项称为自由项。
当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非 齐次方程。
注：齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
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53
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.4定解问题的适定性
定解问题的提法是否合适？
例如：这个定解问题的解是否一定存在？ 解的存在性问题
这个定解问题的解是否只有一个？
解的唯一性问题
此外，还要考虑解的稳定性问题（或称为解对定解条件或自由 项的连续依赖性问题），即当定解条件或自由项作很小的变化 时，问题的解是否也作很小的变化。
（1.1.1） （1.1.2）
（1.1.3） （1.1.4）
（1.1.5）
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3
1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。
涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。
注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
称为齐次热传导方程 称为非齐次热传导方程
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 拉普拉斯方程的导出
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1.2 泊松方程的导出
设空间中有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场。
在此电场内任取一由封闭曲面S包围的区域Ω，
由静电学基本原理知，通过S向外的电通量等于Ω中总电量的4π倍。
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4
1.1 基本概念
（1.1.1） （1.1.2）
（1.1.3） （1.1.4）
（1.1.5）
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5
1.1 基本概念
如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是 线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数， 则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。
（1.1.1） （1.1.2）
（1.1.3） （1.1.4）
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系 统研究的。
设有一根长为L均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿 直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。 试确定该弦的运动方程。
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1.2 三类经典方程的导出
假设： 1. 细弦，就是与张力相比，弦的重量可以忽略不计。 2. 有弹性，表示张力的大小可以按胡可（Hooke）定律来计算。
偏微分方程
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1
1.1 基本概念
数学物理方程通常是指物理学、力学、 工程技术和其他学科中出现的偏微分方 程。
反映有关的未知变量关于时间的导数和 关于空间变量的导数之间的制约关系。
连续介质力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的 范围。
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2
1.1 基本概念
偏微分方程是指含有未知函数以及未知 函数的某些偏导数的等式。
定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。
如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，称这个问
题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。
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1.4定解问题的适定性
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1.4定解问题的适定性
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1.4定解问题的适定性
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理