2013-2014学年高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切2教案新人教A版必修1

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《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）》教学设计1．经历借助()C αβ-公式推导()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±公式的过程，进一步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理素养．2．掌握()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养．教学重点：经历从公式()C αβ-出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会()C αβ-的意义．教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正切公式（一）整体感知引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式()C αβ-，今天我们将继续探究如何用任意角,αβ的三角函数表示cos(),sin(),tan()αβαβαβ+±±．（二）新知探究问题1：你能依据αβ+与αβ-之间的联系，利用公式()C αβ-，推导出两角和的余弦公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨．预设答案：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(简记为()C αβ+)．设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知．问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明．教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法．预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=-(简记为()S αβ-)．然后用β-替换上式中的β可得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+(简记为()S αβ+)．以上只是其中一种证法．设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推导．问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()()S ,C αβαβ±±出发，推导出用任意角,αβ的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正切公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正切公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示．预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证和角正切：sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作()T αβ+)．随后将β替换为β-，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作()T αβ-)．公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α，β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式．设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养．例1 已知sin α=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α)，cos (π4+α)，tan (α−π4)的值．追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？预设答案：两个条件，即角α的正弦值与角α终边所在的象限．可以根据这些条件算出α的余弦值与正切值．为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式．需要的数据是α的正弦、余弦、正切值，以及π4的正弦、余弦正切值．这些数据均可从条件中轻易推出．解：由sin α=−35，α是第四象限角，得cos α=√1−sin 2α=√1−(−35)2=45，所以tan α=sin αcos α=−3545=−34．于是有sin (π4−α)=sin π4cos α-cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； cos (π4+α)=cos π4cos α－sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； tan (α−π4)=tan α−tan π41+tan αtan π4=tan α−11+tan α=−34−11+(−34)=－7．设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度．另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离．追问2：如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？预设答案：正确答案是，当α是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是17-；当α是第四象限角时，7．但有些学生可能会错误表达为sin (π4−α)的值为10-或10，cos (π4+α)的值为10-或10，tan (α−π4)的值为17-或7．这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出．设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫．追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？预设答案：等式对任意角α都成立．证明方法有多种，如等号左右两侧分别用()()S ,C αβαβ-+展开后比较；将π4α-或者π4α+换元，然后借助诱导公式即可证明．设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象——提出问题——解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问．激发学生的发散性思维，一题多解．例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；（3）sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；（4）1+tan 15°1−tan 15°．追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似．设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索．解：（1）由公式S (α-β)， sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°=sin(72°－42°) =sin 30°=12；（2）由公式C (α+β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°=cos(20°+70°) =cos 90°=0；（3）(方法一) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= cos24° cos 36°－sin 36°sin 24°，由公式C (α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=12； (方法二) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，由公式S (α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin 30°=12；（4）由公式T (α+β)及tan 45°=1，得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan(45°+15°) =tan 60°=√3．设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式．适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解．本题目中的（1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将1代换成tan 45，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫．（三）归纳小结问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：公式中的,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式()()S ,C αβαβ±±均需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式()T αβ±中，若,αβ之中有一个是π4，则公式的结构会更简洁．设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第4，5，6，13题．（五）目标检测设计1．（1）已知cos θ=−35，θ∈(π2，π)，求sin (θ+π3)的值；（2）已知sin θ=−1213，θ是第三象限角，求cos (π6+θ)的值；（3）已知tan α=3，求tan (α+π4)的值． 2．求下列各式的值：（1）sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°；（2）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°；（3）tan 12°+tan 33°1−tan 12°tan 33°；（4）cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；（5）sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°；（6）sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°．3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=35，β是第三象限角，求sin (β+5π4)的值．预设答案：1．（1）4−3√310；（2）12−5√326；（3）－2． 2．（1）1；（2）12；（3）1；（4）−√32；（5）−12；（6）−1．3．7√2．10设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿教案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==；（2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。

人教A版高中数学选修两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）教学目的：能由两角和与差的的余弦、正弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构及应用。

教学难点：公式之间的联系与区别，公式的记忆。

教学过程一、复习提问练习：1．求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-)证：左边= 2(22cosx+22sinx)=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π)=2cos(x 4π-)=右边又证：右边=2( cosxcos4π+sinxsin 4π)=2(22cosx+22sinx) = cosx+sinx=左边2．已知，求cos(α-β)解： ①2: sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259③ ②2: cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516④ ③+④: 2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1 即：cos(α-β)=21二、新课两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-βtan(α+β)公式的推导（让学生回答） ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时sin α+sin β＝53① cos α+cos β=54 ②分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得：注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。

2︒注意公式的结构，尤其是符号。

例1、求tan15︒，tan75︒的值：解：1︒ tan15︒= tan(45︒-30︒)=32636123333331331-=-=+-=+-2︒ tan75︒= tan(45︒+30︒)= 32636123333331331+=+=-+=-+例2、已知sin α＝－53，α是第四象限的角，求tan （4π－α）解：由sin α＝－53，α是第四象限的角，cos α＝α2sin 1-＝54， tan α＝ααcos sin ＝－43tan （4π－α）＝απαπtan 4tan1tan 4tan+-＝－7例3、求下列各式的值：1︒ οο75tan 175tan 1-+ 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒解：1︒原式=3120tan )7545tan(75tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+οοοοοοο 2︒ ∵οοοοοο28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=+∴tan17︒+tan28︒=tan(17︒+28︒)(1-tan17︒tan28︒)=1- tan17︒tan28︒∴原式=1- tan17︒tan28︒+ tan17︒tan28︒=1 练习：P145 5、6、7 作业：P150 9、10、11、12、13tan(α-β)=βαχαtan tan 1tan tan +-tan(α+β)=βαχαtan tan 1tan tan -+。

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的。

在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α—β）与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α—（—β)的关系，从而由公式C（α—β）推得公式C(α+β）,又如比较sin（α-β）与cos(α—β），它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β）、S(α+β）等。

2。

通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。

3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的。

二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2013届高三数学一轮复习讲义两角和与差的正弦、余弦和正切教案新人教A版

两角和与差的正弦、余弦和正切知识梳理:1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝ . cos(α±β)＝ .tan(α±β)＝ . (α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z ) 其变形为：tan α＋tan β＝ ,tan α－tan β＝． (1) sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β (2) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan(α－β)(1＋tan αtan β) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝ .cos 2α＝＝＝ . tan 2α＝ ..2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝， sin 2α＝；配方变形：1±sin α＝,1＋cos α＝， 1－cos α＝1＋cos 2α2 1－cos 2α2 ⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α2 2 2cos 2α2 2sin 2α2.3．辅助角公式(利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．a a 2＋b 2ba 2＋b 2热身练习:1．计算sin119 °s in181 °－sin 91°sin 29°的结果等于 ( ) A. －12 B.22 C.32 D.33解：sin119 °s in181 °－sin 91°sin 29°=cos29°(－sin 1°) －cos 1°sin 29° =－(sin 1°cos29°+cos 1°sin 29°) －cos 1°sin 29°=－sin 30°=－122．已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为（）A 、725B 、1825C 、725-D 、1825-3．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin 2θ的值为 ( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D.2425解析：∵sin θcos θ<0，sin θ＝45，∴cos θ＝－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×45×(－35)＝－2425.4．已知α∈(0，π2)，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α的值为____．解析：∵ α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos αcos α＝45，tan α＝34.1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝sin x ＋cos αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝7.5．已知cos α＝－45，且α∈(π2，π)，则tan (π4－α)等于________．解析：∵cos α＝－45，且α∈(π2，π)，∴sin α＝35.tan α＝－34，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝7.6．已知α∈(π2，π)，sin α＝55，则tan 2α＝____.解析：依题意得cos α＝－1－sin 2α＝－255，tan α＝sin αcos α＝－12， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－－122＝－43.7.已知5sin 2sin 2α=，则tan(1)tan(1)αα+-的值是（）A 12-B 32-C 32 D 2典例探究[例1] 化简下列各式：(1)(1+sin +cos )(sincos )222+2cos θθθθθ- (0<θ<π)；解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2 ＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)2＋2cos 8＋21－sin 8.(2)原式＝4cos 24＋21－2sin 4cos4＝2|cos4|＋2sin 4－cos42＝2|cos4|＋2|sin 4－cos4| ∵5π4<4<3π2.∴cos4<0，sin 4<cos4<0. ∴sin 4－cos4<0. 从而原式＝－2cos4－2sin 4＋2cos4＝－2sin 4.（3）.sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．解:原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°] ＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0(4)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.变式训练一：（1）若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) Asin 2α Bcos 2α C －sin 2α D －cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1 ∴cos α＝2cos 22α－1∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180° ∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ （2）tan2A ·tan （30°－A ）＋tan2A tan （60°－A ）＋tan （30°－A ）tan （60°－A ）＝（3）(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)……(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝ 232（4）化简：θ-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 解：cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin cosθθθθθθθθθθθθ--=+--222222222222222222222222原式cos (cos sin )sin (sin cos )sin (sin cos )cos (cos sin )θθθθθθθθθθθθ--=+--2222222222222222θ-=θ-=θθ-+θθ+-=θ+θ-=csc 2sin 2)sin cos 1sin cos 1()2tan 2(cot1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．2.对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．[例2] (1)．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 ( )A.12B.32 C.3 D. 2解 (1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2). sin50(1+3tan10)cos 20cos801cos 20--解：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos80°1－cos 20°＝1－cos20°2sin 210°＝ 2.考点二三角函数的给值求值问题 [例3]若0<α<π2，－π2<β<0， cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝ ( ) A.33 B ．－33 C .539 D ．－69 解: ∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<3π4. 又cos(π4＋α)＝13，∴sin(π4＋α)＝1－132＝223.同理可求得sin(π4－β2)＝1－332＝63， ∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.本例条件不变，求cos α的值．解：cos α＝cos[(π4＋α)－π4]＝cos(π4＋α)cos π4＋sin (π4＋α) sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.1．解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”．(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余,互补”关系． (3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：α＝2·α2＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－(π4－α)． 2．对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角．变式训练二：1．若sin(π3＋α)＝14，则cos(π3－2α)＝( )A.14B ．－14C ．－78D.78解析：∵cos(π3－2α)＝－cos[π－(π3－2α)]＝－cos(23π＋2α)＝－cos2(π3＋α) ＝－[1－2sin 2(π3＋α)]＝2sin 2(π3＋α)－1＝2×(14)2－1＝－78.2．已知cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)的值为( ) A ．－a B ．a C ．－a 2 D.a2解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β)2－(cos αsin β)2＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a3．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于 ( )A.1＋m2B ．－1＋m2C.1－m2D ．－1－m2解析：由题意知，cos θ＝－m ，θ2在第二象限．所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－m24．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)．求cos A 的值；解：因为π4<A <π2，且sin(A ＋π4)＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos(A ＋π4)＝－210.因为cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210·22＋7210·22＝35，所以cos A ＝35.5.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为_____49________.【解析】由tan(x ＋π4)＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝49.6.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.考点三三角函数的给值求角问题[例4] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值；(2)求β.解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.1.解决给值求角问题的一般步骤是：(1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出要求的角． 2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．变式训练三：1．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12， tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13，∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.2.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．解：由f (α2)＝2cos 2α，得tan(α＋π4)＝2cos 2α，sin α＋π4cos α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.∴1＝2(cos α－sin α) 2．∴1=2(cos 2α-2sin αcos α+ sin 2α) ,1=2(1-sin 2 α) ∵α∈(0，π4)，∴sin 2 α=12∴2α＝6π. 即α＝π12.3．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 3 －23π考点四构造辅助角逆用和角公式解题例五：已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值.解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.例六已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.变式训练四：1.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值.解由题意，得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6.又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，所以当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32.故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值分别为1与－32.2.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值.(1) 2 (2)16653.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π4＋k π (k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.4.已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，∵0<β<π4<α<3π4，∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665.5.已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .解由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12， AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010，由cos B ＝35，得sin B ＝45. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010.练习一一、选择题1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A .12 B.33 C.22 D.322.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C .322D.163.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A .12B.－12C.22D.－224．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 35．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．96．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是 ( )A ．－233 B.233 C ．－23 D .23二、填空题7.化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°＝_________________________. 8.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为__713______.9.化简：sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝)x π++224_______.10.函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x的最小值是____1________.11sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝__π2__________.三、解答题12. [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°；解原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2 sin 80°＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10° ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2si n 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10°＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60°＝22×32＝ 6.13已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4.14 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值．解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2，即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13.(2)sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝－sin α－βcos α－β＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.15.求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°. ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.练习二一、选择题1．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于 ( )A ．－34B ．－14 C.34 D.142．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值为( )A.13B.－13C.79D .－793. 设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A .－79B.－19C.19D.794.若将函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为( )A.2B.3C.4D .55. 设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π C .⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，3π26. 在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A .π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23π 二、填空题7.n si -12212）＝___－43_________.8.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝___.1013_________.9．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝__-211______.10．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α13·sin α2＋α33＝___-12_____.11.化简: ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2；2sin α12. 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．解 (1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π13.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,10 （1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)》示范课教学设计【高中数学人教】

环节二两角和与差的正弦、余弦和正切公式（二）【整体感知】问题1 上一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，推导出了公式C (α－β)．又利用公式C (α－β)，经过角的代换，证明了部分诱导公式．接下来，我们还需要推导哪些公式？采用什么方法推导？答案：关于两角和与差的三角函数，还需要推导公式cos(α+β)，sin(α±β)，tan(α±β)，即用α，β的三角函数表示cos(α+β)，sin(α±β)，tan(α±β)．推导的方法首选利用公式C (α－β)，经过角的代换来推导．【新知探究】1．公式推导——和差角公式问题2 你能依据α+β与α－β之间的联系，利用公式C (α－β)，推导出两角和的余弦公式吗？答案：cos(α+β)=cos[α－(－β)]=cos αcos(－β)+sin αsin(－β)=cos αcos β－sin αsin β (简记为C (α+β))．问题 3 我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用它们得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化？请你试一试．答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，∴sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β (简记为S (α－β))．然后用－β替换上式中的β可得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β (简记为S (α+β))．以上只是其中一种证法．问题4 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从公式S (α±β)，C (α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α－β)的公式吗？答案：证明顺序有两种，即先证两角和正切公式，或先证两角差正切公式；先证的公式可以利用同角三角函数关系，由相应角的正弦与余弦相除得到，后证的公式除使用这种方法之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证两角和正切公式： ∵sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， ∴tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作T (α+β))．用－β替换上式中的β，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作T (α－β))．公式S (α+β)，C (α+β)，T (α+β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α+β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，S (α－β)，C (α－β)， T (α－β)都叫做差角公式．2．公式记忆——和差角公式问题5 观察S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)，你能从角、函数名、运算符号等方面说说它们各自的特征吗？交流完特征之后，请独立默写六个公式．答案：从角的角度，六个公式左边都是α与β的和或者差，右边都是单角α，β；从函数名的角度，S (α±β)，C (α±β)的左右两边都是正弦和余弦，T (α±β)的左右两边都是正切；S (α±β)的右边是异名函数相乘，C (α±β)的右边是同名函数相乘；从运算符号的角度，S (α±β)的左右两边加减运算一致，C (α±β)的左右两边加减运算相反，T (α±β)的右边分子的加减与左边一致，规律与S (α±β)相同，分母的加减与左边相反，规律与C (α±β)相同．3．公式推导——倍角公式问题6 和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果将α，β特殊化，就能得到许多有用的公式，比如诱导公式．除此之外，你还能将α，β如何特殊化，得到哪些有用的公式？答案：可以令α=β，或者β=－α从和(差)角公式出发推导公式sin2α，cos2α，tan2α．这里推导方法有多样性．例如可以将S (α+β)中β替换为α推得S 2α，也可以由S (α－β)中的β替换为－α．而推导公式T 2α时，可以从T (α+β)出发，也可以由S 2α，C 2α相除推出．sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α．cos2α=cos(α+α)=cos αcos α－sin αsin α=cos 2α－sin 2α．tan2α=tan(α+α)=αα2tan 1tan 2-．三个公式分别简记为S 2α，C 2α，T 2α．追问你能否将二倍角的余弦公式(C 2α)化为仅含α的正弦或仅含余弦？答案：利用同角三角函数关系sin 2α+cos 2α=1，可得cos2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α．说明：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式给出了任意角α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．4．公式应用例1 已知sin α=－53，α是第四象限角，求sin(4π－α)，cos(4π+α)，tan(α－4π)的值．追问1 本题求解的依据是什么？求解的思路是什么？答案：求解的依据是和差角公式．思路是先根据同角三角函数的关系求出需要的角α的三角函数值，然后利用相应的和差角公式得到结果．易错点：利用公式sin 2 α+cos 2α=1，需要开方时注意正负号的取舍．解：由sin α=－53，α是第四象限角，得cos α=α2sin 1-=2)53(1--=54，所以tan α=435453cos sin -=-=αα．则sin(4π－α)=sin 4πcos α－cos 4πsin α=1027)53(225422=-⨯-⨯； cos(4π+α)=cos 4πcos α－sin 4πsin α=1027)53(225422=-⨯-⨯； tan(α－4π)=7)43(1143tan 11tan 4πtan tan 14πtantan -=-+--=+-=+-αααα．追问2 如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？答案：此时需要分类讨论。

高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式二教案新人教A版必修4

探究点一两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二两角和与差的正切公式的变形公式两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

高中数学3.1.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案新人教A版必修4

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.知识与技能:使学生能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简，同时使学生懂得在运用当中所起到的用途。

2.过程与方法:培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊到化归的数学思想及问题转化的数学思想。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；培养学生认真参与，积极交流的主体意识。

锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。

二．教学重难点：教学重点：记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值，化简。

教学难点：在运用当中如何正确恰当的运用所学公式进行求值、化简。

三.教学方法：“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，启发学生自主性学习，有效的渗透数学思想方法，提高学生素质。

基于本节课的特点，我采用“引导发现法”和“讲练结合法”。

四.教学过程知识回顾（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式1. :)(βα±S =±)sin(βα:)(βα±C =±)cos(βα:)(βα±T =±)tan(βα2.填空：若βα,为第二象限角，且53cos ,53sin -==βα则()=+βαsin ；问题探究1：若第二象限角α满足53sin =α，则=α2sin 。

新授课问题1：你能利用S (βα±)、C (βα±)、T (βα±)推导sin2α,cos2α,tan2α的公式吗？sin2α= ； (α2S )cos2α= ； (α2C )tan2α= 。

)(2αT注意： 1.公式S 2α，C 2α中α为任意角，在T 2α中αZ k k k ∈≠+≠,24,2ππαππ＋且 2.二倍角是相对的.如：4α是2α的二倍角，α是2α的二倍角等。

《两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

高中数学必修四教案-3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)-人教A版

由同角三角函数的关系：
tanα= sin 类比推导 3 ： c os
tan(α+β)=
思考：如何用 tanα、tanβ 表示
tan(α+β) 思路：弦化切（分子分母同除以 cosαcosβ）
注意：α、β 的范围（α、β、α+β≠ k ）
2
老师运用类比思想，整体代入的数学思想引导，学生填空、化
（2）引导学生利用诱导公式五和同角三角函数的关系推导 S( ) 、
T ，并运用公式求值、化简，培养学生逻辑推理的能力。
教学目标
1.能根据两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，运用联系的观点解决问题 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，从而认识事物之间的相互联系与相互转化 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及公式的正用逆用、变形
（5）熟练掌握公式、 S( ) 、 C( ) 、 T 的正用、逆用
教学两角和与差的正弦和正切公式的推导过程及运用. 重点
教学灵活运用所学公式进行求值、化简难点
（1）本节课是在学习了两角和与差的余弦的基础上，推导两角和与
学情分析
差的正弦和正切公式,学生已经运用换元思想解决了 C( ) 。
方法二、观察例 2（3）题的形式发现
原式=
tan 45 1- tan 45
tan15 tan15
=tan（45°+15°）
=tan60°= 3
充分调动学生的学习积极性，用不同方法解决问题，达到很好的
效果
由于时间的关系，没来得及对课堂检测的答案，但看到大部分学生做达标检测了一部分，准备下节课完成剩下的习题。
方法二、
S C C S

公式延续,思维拓展——“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”教学设计

２０２４年３月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀公式延续,思维拓展两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式教学设计◉江苏省宿迁中学㊀王嘉琨１教材分析两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式是高中数学新教材(人教A版)必修第一册５．５．１的第２课时,是在第１课时两角差的余弦公式基础上的延续与拓展,也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础．２学情分析学生在前面已经学习了诱导公式㊁两角差的余弦公式等,初步具备了三角函数式中变角与变名思维,这都为本节课研究两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式提供了知识㊁方法和思想上的准备．３教学目标(１)以两角差的余弦公式作为基础,自主发现推导两角和与差的正弦．余弦㊁正切公式,并理解这些公式之间的内在联系．(２)通过例题的训练,加深对公式的理解和应用．４重点㊁难点(１)教学重点:两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式的推导及其应用．(２)教学难点:灵活运用公式进行三角函数式的化简㊁求值等．５教学过程(１)复习回顾,问题引入问题１㊀上一节课我们学习了两角差的余弦公式C(α－β),你能说出这个公式以及它的推导过程吗?利用圆的旋转不变性来推导的,具体步骤如下:第一步,在坐标系中画出角度α,β,α－β与单位圆,并标出终边与单位圆的交点;第二步,根据三角函数的定义写出各点的坐标;第三步,利用圆的旋转不变性得到等量关系;第四步,代入化简得到公式．问题２㊀除了公式C(α－β)外,你还能提出一些新的研究问题吗?你打算如何研究这些问题?师生活动:教师引导学生提出新的研究问题,学生思考研究新问题的方法．引导语:对于其他几个公式,也可以利用单位圆来研究．不过,本书不采用这这种研究方法,而是利用公式C(α－β)来推导其他公式．数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法．设计意图:通过问题１帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程,明确研究公式C(α－β)的方法．(２)公式探究,发现问题问题３㊀你能利用公式C(α－β)推导出两角和的余弦公式吗?师生活动:先让学生独立思考,然后请学生回答推导思路,鼓励学生用多种方法解决．方案一:注意到α＋β与α－β之间的关系,即α＋β＝α－(－β),再由公式C(α－β)推导;方案二:可以利用换元的观点来推导,用－β 替换公式C(α－β)中的 β 也能获得公式c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ．设计意图:从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法．(３)深入拓展,公式推导问题４㊀由C(α＋β)能推导出s i n(α＋β)的公式吗?师生活动:学生独立思考后,教师可以根据学生的反应追问下列问题．思考１㊀如何建立正弦与余弦值之间的关系呢?预设答案:利用诱导公式五(或六),即可实现正弦㊁余弦之间的相互转化．思考２㊀如何得到s i n(α＋β)的公式呢?预设答案:s i n(α＋β)＝c o sπ２－(α＋β)éëêêùûúú＝c o s(π２－α)－βéëêêùûúú＝c o s(π２－α)c o sβ＋s i n(π２－α) s i nβ＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ．设计意图:利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式．问题５㊀如何得到s i n(α－β)的公式呢?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:用－β 来替换s i n(α＋β)中的 β ,则有s i n(α－β)＝s i nαc o s(－β)＋c o sαs i n(－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ．７２教学导航２０２４年３月上半月㊀㊀㊀引导语:把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S (α＋β)和S (α－β)．设计意图:通过整体化思维,以及化归与转化思想,利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式．问题６㊀已知任意角α,β的正切,你能推导出t a n (α＋β)和t a n (α－β)吗?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:由正切与正弦㊁余弦的关系,可知t a n (α＋β)＝s i n (α＋β)c o s (α＋β)＝s i n αc o s β＋c o s αs i n βc o s αc o s β－s i n αs i n β,分子㊁分母同时除以c o s αc o s β,整理得t a n (α＋β)＝t a n α＋t a n β１－t a n αt a n β．同理t a n (α－β)＝t a n α－t a n β１＋t a n αt a n β．引导语:把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T (α＋β)和T (α－β)．设计意图:利用正弦㊁余弦㊁正切之间的关系推导两角和与差的正切公式．问题７㊀和(差)角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗请用图示说明．师生活动:学生独立思考后,和同学交流自己的想法,教师展示图示,揭示它们之间的内在联系．诱导公式是和(差)角公式的特殊情况,如用S (α－β)推导诱导公式如图１所示．图１设计意图:比较和(差)角公式和诱导公式的异同,构建知识间的内在联系,加深对公式的理解．(４)公式应用,熟练掌握例１㊀已知s i n α＝－３５,α是第四象限的角,求s i n (π４－α),c o s (π４＋α),t a n (α－π４)的值．思考１:你打算如何求解?请说说你的思维过程．思考２:如果去掉 α是第四象限的角这个条件,结果和求解过程会有什么变化思考３:在以上解答中我们可以看到,在本题条件下,s i n(π４－α)＝c o s (π４＋α),那么对于任意角α,上式还成立吗你能想到几种方法来证明?预设答案:方案一:等式左右两边均使用和差公式展开．方案二:寻找π４－α与π４＋α之间的内在联系,再结合诱导公式来转化与处理,即s i n (π４－α)＝s i n π２－(π４＋α)éëêêùûúú＝c o s (π４＋α)．例２㊀利用和(差)角公式计算下列各式的值:①si n ７２ʎc o s ４２ʎ－c o s ７２ʎs i n ４２ʎ;②c o s ２０ʎc o s ７０ʎ－s i n ２０ʎs i n ７０ʎ;③１＋t a n １５ʎ１－t a n １５ʎ．思考４:从例１和例２可以看出和(差)角公式有什么作用?(预设答案:求值或化简．)设计意图:例１步步递进,逐层深入,充分展示数学思维的发散性;例２强化公式的理解和应用,规范解题格式,训练有序思维和逆向思维．(５)系统归纳,总结提升问题８㊀你能用图式来回顾本节课５个和(差)角公式的推导过程吗?师生活动:学生独立完成(如图２)后与同学交流．图２问题９㊀在和(差)角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法预设答案:化归与转化的思想整体代换的思想等．设计意图:用框图回顾推导过程,建立知识之间的内在联系,归纳总结本节课的数学思想方法等．６教学反思(１)公式延续,深入应用本节课以两角差的余弦公式为基础,利用角的变换和函数名之间的转换,将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决．整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养,还能让学生领悟知识之间的内在联系,初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值．(２)关注应用,能力提升我们应该改变以往公式教学中轻过程㊁重应用的方式,在关注公式的理解和应用的同时,更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来,因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过公式的应用来实现的;还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础,采用不同的研究路径重新研究这一过程,再一次经历解决问题的过程．Z８２。

高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》0

情感态度与价值观
由特殊到一般、由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学会应用数学知识解决问题，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点
把形如的三角函数式化成一个角的一个三角函数式的形式。
教学难点
1、化简形如的三角函数式；
2、讨论形如的函数性质（周期、最值、单调性等）。
教学方法
以教师为主导，遵循学生认知规律适当启发；以学生为主体，实施合作探究式学习。
从简单问题入手希望层层递进地引导学生展开探究活动。
展示知识发生、发展的过程，还原数学思维，培养学生解决问题的创造和创新能力，提升主动运用数学的意识，掌握数学思想方法。
通过小组内分工合作完成目标任务，可以提高学生的合作意识、学习数学的自信心、解决问题的效率等。
正确认识和理解数学的本质，形成数学精神和数学素养。
通过作业进一步巩固公式和方法。
板书设计
§1.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用（一）
辅助角公式例1、例2、
说明
课后记
时间紧张，例3没进行完，留作业。
5．反思小结，观点提炼
由学生谈本节课学习的收获，并总结归纳本节课的主要内容。
6．布置作业，课后反馈
未完成学案的问题
积极思考问题，小范围讨论、交流。
小范围讨论并总结方法。
思考并回答
思考并回答问题。
小组为单位讨论并尝试总结。
以小组为单位书面完成例题并展示成果。
学生口头总结。
创设一个实际问题情境，不仅提出本节课的研究问题，而且使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性，同时利用问题激发学生的好奇心，调动学生的学习积极性。
（3）（）
3．交流反馈，解疑释惑

高中数学第四章两角和与差的正弦余弦正切(2)教案

两角和与差的正弦、余弦、正切（2）教学目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式教学难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的余弦公式:βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2．求cos75︒的值解：cos75︒=cos(45︒+30︒)=cos45︒cos30︒-sin45︒sin30︒=42621222322-=⋅-⋅ 3．计算：cos65︒cos115︒-cos25︒sin115︒解：原式= cos65︒cos115︒-sin65︒sin115︒=cos(65︒+115︒)=cos180︒=-1 4 计算：-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒原式=-cos70︒cos20︒+sin70︒sin20︒=-cos(70︒+20︒)=0 5．已知锐角α,β满足cos α=53 cos(α+β)=135-求cos β 解：∵cos α=53 ∴sin α=54又∵cos(α+β)=135-<0∴α+β为钝角 ∴sin(α+β)=1312 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=653354131253135=⋅+⋅-（角变换技巧）二、讲解新课：两角和与差的正弦 1 推导sin(α+β)=cos[2π-(α+β)]=cos[(2π-α)-β] =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ （S α+β）以-β代β得： βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- （S α-β） 2公式的分析，结构解剖，嘱记三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒ 解：1︒原式= sin(30︒+45︒)= sin30︒cos45︒+cos30︒sin45︒=46222232221+=⋅+⋅ 2︒原式= sin(13︒+17︒)=sin30︒=21 例2 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α) 证一（构造辅助角）：左边=2(21cos α+23 sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6π sin α)=2sin(6π+α)=右边证二：右边=2(sin6πcos α+cos 6π sin α)=2(21cos α+23 sin α)= cos α+3sin α=左边例3 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52求βαtan tan 的值解： ∵sin(α+β)=32 ∴sin αcos β+cos αsin β=32① sin(α-β)=52 ∴sin αcos β-cos αsin β=52②①+②：sin αcos β=158 ①-②：cos αsin β=152四、练习1 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，则cosC 的值为（ A ）（A ）6516 （B ）6556 （C ）65566516或（D ）6516-解：因为C = π - (A + B)，所以cosC = - cos(A + B)又因为A,B ∈(0, π), 所以sinA = 1312, sinB =53,所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯ 2已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ，求sin(α + β)的值解：∵434παπ<< ∴παππ<+<42又53)4cos(-=+απ ∴54)4sin(=+απ∵40πβ<< ∴πβππ<+<4343又135)43sin(=+βπ ∴1312)43cos(-=+βπ∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(βπαπ+++-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(βπαπβπαπ+++++-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-=五、小结两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”⇒βαtan tan =4152158sin cos cos sin ==βαβα六、课后作业： 1已知sin α + sin β =22，求cos α + cos β的范围解：设cos α + cos β = t ，则(sin α + sin β)2+ (cos α + cos β)2= 21+ t 2∴2 + 2cos(α - β) =21+ t 2即 cos(α - β) = 21t 2 -43 又∵-1≤cos(α - β)≤1 ∴-1≤21t 2 -43≤1∴214-≤t ≤2142已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值解：由题设：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 103cos sin 101sin cos cos sin 21sin cos cos sin βαβαβαβαβαβα 从而：235103sin cos cos sin tan tan =⨯==βαβαβα 或设：x =βαtan tan ∵5)sin()sin(=-+βαβα ∴5111tan tan 1tan tan tan tan tan tan cos cos )sin(cos cos )sin(=-+=-+=-+=-+x x βαβαβαβαβαβαβαβα ∴x =23即βαtan tan =23七、板书设计（略）八、课后记：。

人教版高一数学两角和与差的正弦余弦正切二教案

高一数学两角和与差的正弦余弦正切二课题：§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切（2）教学目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式教学难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的余弦公式:βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2．求cos75︒的值解：cos75︒=cos(45︒+30︒)=cos45︒cos30︒-sin45︒sin30︒=42621222322-=⋅-⋅ 3．计算：cos65︒cos115︒-cos25︒sin115︒ 解：原式= cos65︒cos115︒-sin65︒sin115︒=cos(65︒+115︒) =cos180︒ =-1计算：-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒原式=-cos70︒cos20︒+sin70︒sin20︒=-cos(70︒+20︒) =05．已知锐角α,β满足cos α=53cos(α+β)=135-求cos β 解：∵cos α=53∴sin α=54 又∵cos(α+β)=135-<0 ∴α+β为钝角 ∴sin(α+β)=1312 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=653354131253135=⋅+⋅-（角变换技巧）二、讲解新课：两角和与差的正弦 1 推导sin(α+β)=cos[2π-(α+β)]=cos[(2π-α)-β] =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+（S α+β）以-β代β得βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-（S α-β） 2公式的分析，结构解剖，嘱记三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒ 解：1︒原式= sin(30︒+45︒)= sin30︒cos45︒+cos30︒sin45︒=46222232221+=⋅+⋅ 2︒原式= sin(13︒+17︒)=sin30︒=21 练习1:195sin 的值等于（） A ．462+-； B ．462-； C ．462+； D ．426- 选B练习2:已知πβπα<<<<20，且414sin =α，426sin +=β，求)sin(βα+的值. 解∵20πα<<，∴424141sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα， ∵πβπ<<2，∴4261612284261cos 1cos 22--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--=αβ. ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+162322127242642426414++-=+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=.练习3:求证：βαβαβα22sin sin )sin()sin(-=-⋅+.证： )sin()sin(βαβα-⋅+)sin cos cos (sin )sin cos cos (sin βαβαβαβα⋅-⋅⋅⋅+⋅=βαβα2222sin cos cos sin ⋅-⋅=βαβα2222sin )sin 1()sin 1(sin ⋅---⋅= βα22sin sin -=例2 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α) 证一（构造辅助角）：左边=2(21cos α+23 sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6π sin α)=2sin(6π+α)=右边证二：右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2(21cos α+23 sin α)= cos α+3sin α=左边例3 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52求βαtan tan 的值解： ∵sin(α+β)=32 ∴sin αcos β+cos αsin β=32① sin(α-β)=52 ∴sin αcos β-cos αsin β=52②①+②：sin αcos β=158①-②：cos αsin β=152四、练习1 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，则cosC 的值为（ A ）（A ）6516 （B ）6556 （C ）65566516或（D ）6516-解：因为C = π - (A + B)，所以cosC = - cos(A + B) 又因为A,B ∈(0, π), 所以sinA =1312, sinB =53, 所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =6554135531312=⨯-⨯ 2已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ，求sin(α + β)的值解：∵434παπ<<∴παππ<+<42又53)4cos(-=+απ∴54)4sin(=+απ∵40πβ<<∴πβππ<+<4343 又135)43sin(=+βπ ∴1312)43cos(-=+βπ∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(βπαπ+++-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(βπαπβπαπ+++++-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 五、小结两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”六、课后作业：1已知sin α + sin β =22，求cos α + cos β的范围解：设cos α + cos β = t ，则(sin α + sin β)2+ (cos α + cos β)2=21+ t 2⇒βαtan tan =4152158sin cos cos sin ==βαβα∴2 + 2cos(α - β) = 21+ t 2即 cos(α - β) = 21t 2 -43又∵-1≤cos(α - β)≤1 ∴-1≤21t 2 -43≤1 ∴214-≤t ≤214已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值解：由题设：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 103cos sin 101sin cos cos sin 21sin cos cos sin βαβαβαβαβαβα 从而：235103sin cos cos sin tan tan =⨯==βαβαβα 或设：x =βαtan tan ∵5)sin()sin(=-+βαβα∴5111tan tan 1tan tan tan tan tan tan cos cos )sin(cos cos )sin(=-+=-+=-+=-+x x βαβαβαβαβαβαβαβα∴x =23即βαtan tan =23七、板书设计（略）八、课后记：。