2017-2018年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二上学期期中数学试卷及解析

2017-2018学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（上）期中数学试卷一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．B．C．D．2．（5分）中心在原点的椭圆的右焦点为F（1，0），离心率等于，则该椭圆的方程是（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=13．（5分）与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=14．（5分）直线被圆x2+y2=9截得的弦长为（）A．B．C．D．5．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．4x﹣3y+7=06．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是（）A．0 B．C．+1 D．﹣17．（5分）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=5，则这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．29．（5分）点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从移动到，则AB中点D经过的路程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1：，双曲线C2：，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为（）A．B．C．D．11．（5分）设点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF 1F2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过双曲线的右焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD（A、B、C、D四点均在双曲线的右支上），则等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过圆x2+y2=4上一点的切线方程．14．（5分）若F是双曲线的右焦点，P是双曲线C左支上一点，A （0，4），则△APF的周长的最小值为．15．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于．16．（5分）椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交椭圆于A、B两点，在x轴上存在点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=．三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17．（10分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y=x+1交于A、B 两点，若|AB|=8，求抛物线的方程．18．（12分）已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极值的坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+3，（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．19．（12分）双曲线与椭圆共焦点，点在双曲线上，（I）求双曲线的方程；（II）以P（1，2）为中点作双曲线的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），（1）动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为．求动点G的轨迹W的方程．（2）过点P（1，0）的直线l交轨迹W于A，B两点，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．2017-2018学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，故选：D．2．（5分）中心在原点的椭圆的右焦点为F（1，0），离心率等于，则该椭圆的方程是（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：根据题意，椭圆的一个焦点为F（1，0），则椭圆的焦点在x轴上，且c=1，又由椭圆的离心率为，则e==，则a=3，则b2=a2﹣c2=8，则椭圆的标准方程为+=1；故选：B．3．（5分）与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线方程为．∵双曲线过点（2，2），∴，∴k=3．故选：B．4．（5分）直线被圆x2+y2=9截得的弦长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线∴直线的普通方程为x﹣2y+3=0圆心到直线的距离为d=l=2=，故选：B．5．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．4x﹣3y+7=0【解答】解：整理两圆的方程可得（x﹣2）2+（y+3）2=13，x2+（y﹣3）2=9∴两圆的圆心分别为（2，﹣3），（0，3）由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线∴连心线的斜率为=﹣3∴直线方程为y﹣3=﹣3x，整理得3x+y﹣3=0故选：C．6．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是（）A．0 B．C．+1 D．﹣1【解答】解：在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），转化为直角坐标为：（﹣1，0），曲线C：ρ=2sinθ转化为：ρ2=2ρsinθ，整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1，则：该曲线是以C（0，1）为圆心，r=1为半径的圆．所以|CA|=，则|PA|min=．故选：D．7．（5分）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=5，则这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：①若A、B都在右支，若AB垂直x轴，a2=4，b2=4，c2=8，所以右焦点F（2，0）则AB：x=2，代入双曲线x2﹣y2=4求得y=±2，所以AB=|y1﹣y2|=4＜5，不成立；若A，B不垂直于x轴，则有两条直线满足；②若A、B分别在两支，a=2，所以顶点距离为2+2=4＜5，所以|AB|=5有两条，关于x轴对称．所以一共4条．故选：D．8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．9．（5分）点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从移动到，则AB中点D经过的路程为（）A．B．C．D．【解答】解：设AB的中点为O（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），∵AB=2∴（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆∵点A从（，0）移动到（，0），∴D（）D'（），tan∠D'OA=1，tan∠DOA=，∴∠D'OD=，∴为中点走过的路径，∴l=×1=．故选：B．10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1：，双曲线C2：，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C1：的离心率为e1==，双曲线C2：的离心率为e2==，由题意可得•=，整理a2=2b2，即为a=b，即有双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，∴双曲线C2的渐近线方程y=±x，故选：C．11．（5分）设点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF 1F2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则由+=2，得PF1×r+PF2×r=2×F1F2×r即PF1+PF2=2F1F2即2a=2×2c∴椭圆的离心率e==故选：A．12．（5分）过双曲线的右焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD（A、B、C、D四点均在双曲线的右支上），则等于（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：由椭圆，a=2，b=1，c=，则右焦点为F（，0），直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣）（k≠0），则CD：y=﹣（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（1﹣4k2）x2+8k2x﹣（20k2+4）=0，由x1+x2=﹣，x1x2=﹣，由AB在双曲线的右支上，则x1x2＞0，则1﹣4k2＜0，则|AB|==，将k换﹣，|CD|==，∴=+=，故选A．方法二：假设AB的斜率k=1，则AB：y=x﹣，则CD：y=﹣（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，整理得：3x2﹣8x+24=0，则x1+x2=，x1x2=8，则|AB|==，同理求得|CD|=，=，故选A．方法三：设直线AB的切斜角为θ，由直线AB的过焦点，根据双曲线的焦点弦公式|AB|=2a×||=||，直线CD的倾斜角为θ+，则|CD|=||=||，=||+||==，=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过圆x2+y2=4上一点的切线方程x﹣y+4=0．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），圆上的点，则k OP==﹣，∴切线的斜率为k=，∴切线方程为y﹣=（x+1），即x﹣y+4=0．故答案为：x﹣y+4=0．14．（5分）若F是双曲线的右焦点，P是双曲线C左支上一点，A （0，4），则△APF的周长的最小值为12．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，由双曲线，可得a=1，b=2，c=3，即有F（3，0），F'（﹣3，0），|AF|=|AF'|=5，△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+5，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a=2，即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，当P在左支上运动到A，P，F'共线时，|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=5，则有△APF周长的最小值为5+5+2=12．故答案为：12．15．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的焦点弦公式，|AB|=x 1+x2+p==，∴x1+x2=，又x1x2=，可得x2=p，x1=，则===，故答案为：．16．（5分）椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交椭圆于A、B两点，在x轴上存在点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=2．【解答】解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e==，则a=c，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，则+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，∴2×﹣（t+1）×+2t=0，解得：t=2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17．（10分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y=x+1交于A、B 两点，若|AB|=8，求抛物线的方程．【解答】解：根据题意，设要求抛物线的方程为：y2=mx，直线方程为y=x+1，联立直线与抛物线方程，可得（x+1）2=mx，即x2+（2﹣m）x+1=0，若|AB|=8，则有（1+1）[（2﹣m）2﹣4]=64，解可得：m=﹣4或8，则抛物线的方程为y2=﹣4x或y2=8x．18．（12分）已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极值的坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+3，（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+3，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，得x2+y2=2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3=0．∵直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，则直线l的参数方程为，即（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得t2+t﹣3=0，设方程两根分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣3，∴AB的长|AB|=|t1﹣t2|=﹣4t1t2=，|PA|•|PB|=|t1t2|=3．19．（12分）双曲线与椭圆共焦点，点在双曲线上，（I）求双曲线的方程；（II）以P（1，2）为中点作双曲线的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【解答】解（Ⅰ）∵双曲线与椭圆共焦点，∴双曲线的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），由双曲线的定义可得+∴．∴双曲线的方程为：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上∴，两式相减得∴，∴，∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0，经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），（1）动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为．求动点G的轨迹W的方程．（2）过点P（1，0）的直线l交轨迹W于A，B两点，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设动点G的坐标（x，y），E，F两点的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），所以直线EG的斜率，直线FG的斜率，∵动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为．∴，所以，整理，得动点G的轨迹W的方程为：．（2）记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x=1也不满足条件，故可设AB的方程为x=my+1，由，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，所以△＞0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则S=|OP||y1﹣y2|==．由S=，解得m2=1，即m=±1．故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0为所求．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．。