2010高数期末试卷(a卷)解答

2010级高等数学(二)期末试卷（专）（A ）评分参考标准考试时间：2011.5一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设22(,)ln(1)f x y x y =+-,则其定义域为(A ){}22(,)13x y x y <+≤； (B ){}22(,)13x y x y ≤+<；(C ){}22(,)13x y xy<+<； (D ){}22(,)13x y xy≤+≤； 答（ A ）2. 直线221:312x y z l +-+==-和平面:23380x y z π++-=的交点为(A )(1,1,1)； (B )(1,1,1)-；(C )(1,1,1)-； (D )(1,1,1)-； 答（ A ） 3. 空间曲线:cos ,sin ,2x t y t z t τ===在t π=处的切向量为 (A )(1,0,2)π； (B )(1,0,0)；(C )(1,0,2)； (D )(0,1,2)-； 答（ D ）4. 00(,)x f x y 及00(,)y f x y 存在是(,)f x y 在00(,)x y 处可微的 (A )充分条件； (B )必要条件；(C )充要条件； (D )既不是充分条件,也不是必要条件；答（ B ） 5. 下列级数中收敛的为(A )211()2∞=+∑nn n ； (B )121()32∞=-∑n nnn ；(C )113[()]5∞=+-∑nn n ； (D )3116[]5∞=-∑n n n n； 答（ B ）二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分，共15分） 6. 二重积分22149xydxdy +≤=⎰⎰6π7. 假设向量a 、b 、c 两两垂直,且1a = ,2b = ,3c = ,则a b c ++=8. 假设(0,0)(0,0)(0,0)0x y f f f ===且函数(,)f x y 在(0,0)点可微,则(,)(0,0)limx y →= 09. 已知级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和31=+n n s n ()1 ,2,3n = ,则此级数的通项nu =3(1)+n n10. 设(,)f x y 为连续函数,则累次积分110(,)⎰dy f x y dx 交换积分次序后变为210(,)⎰⎰x dx f x y dy三、解答下列各题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）11．(8分) 求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程. 解: 直线L 的方向向量{}{}{}1,0,42,1,51044,3,1215i j k s =-⨯--=-=--……4分故直线方程为325431x y z +--==…………………………………8分12．(8分) 求解初始值问题320(0)0,(0)1y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩.解：特征方程为2320λλ-+=，解得特征根为11λ=，22λ=………………2分 从而通解为 212x x y C e C e =+…………………………………………4分求导得2122x x y C e C e '=+……………………………………………5分 将初始条件(0)0,(0)1y y '==代入得解得11C =-，21C =.…………………………………………………7分 所以初值问题的解为2x x y e e =-+……………………………………8分13. (8分) 设方程2s i n (23)23x y z x y z+-=+-确定隐函数(,)z z x y =,证明：1z z x y∂∂+=∂∂.解：(),,2sin(23)(23)F x y z x y z x y z =+--+-……………………………2分2cos(23)1x F x y z =+--，4cos(23)2y F x y z =+--，(6)cos(23)3z F x y z =-+-+………………………………………………5分2cos(23)11(6)cos(23)33x z F z x y z x F x y z ∂+--=-=-=∂-+-+………………………………6分4cos(23)22(6)cos(23)33y zF z x y z yF x y z ∂+--=-=-=∂-+-+………………………………7分故1z z xy∂∂+=∂∂…………………………………………………………………8分14．(8分) 假设D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)的直角梯形,求(1)Dy x dxdy +⎰⎰.解： ()110(1)(1)x Dy x dxdy y x dy dx ++=+⎰⎰⎰⎰……………………………………4分310(1)2x dx +=⎰………………………………………………6分158=…………………………………………………………8分15．(8分) 求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值.解：由2(,)3690x f x y x x =+-=，2(,)360y f x y y y =-+=得驻点为(1,0)，(1,2)，(3,0)-，(3,2)-…………………………………………2分又(,)66xx f x y x =+，(,)0xy f x y =，(,)66yy f x y y =+…………………4分 在点(1,0)处，2720AC B -=>，且0A >，故(1,0)5f =-为极小值； 在点(1,2)处，2720AC B -=-<，故(1,2)f 不是极小值； 在点(3,0)-处，2720AC B -=-<，故(3,0)f -不是极小值；在点(3,2)-处，2720AC B-=>，且0A <，故(3,2)31f -=为极大值…………8分16. (8分) 讨论无穷级数()111nn ∞-=-∑的敛散性,并判断是条件收敛还是绝对收敛且说明理由. 解：记n u=，则1n n u u +≥且lim 0n n u →∞=……………………2分故由莱布尼兹定理知()111n n ∞-=-∑收敛………………………4分又因11n u n =≥+……………………………………………6分故1n ∞=∑.即()111n n ∞-=-∑条件收敛………………8分17. (8分) 求幂级数()121(2)1nn n x n∞-=--∑的收敛半径,收敛区间和收敛域.解：记()1211n n a n-=-，则 2121(1)limlim 11n n n na n a n+→∞→∞+==l = ………………………………2分故收敛半径为11R l==，收敛区间为()1,3…………………4分当1x =时，级数为211n n∞=-∑是收敛的，当3x =时，级数为()12111n n n∞-=-∑是收敛的………………………6分所以()121(2)1nn n x n∞-=--∑的收敛域为[1,3]…………………………8分四、解答下列各题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18．(7分) 要造一个体积等于k 的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,使得它的表面积达到最小.解：令长方体的长,宽,高分别为,,x y z ,则表面积22S xy xz yz =++且xyz k =……………………………………2分 作Lagrange 函数(,,,)22()L x y z xy xz yz xyzk λλ=+++- …………4分由000x y z L L L L λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,有2x y z xyz k ==⎧⎨=⎩…………………………………………………6分 故x y ==z =…………………………………………………7分19．(7分) 假设级数1nn u∞=∑满足条件：（1）lim 0n n u →∞=；（2）2121()n n n uu ∞-=+∑收敛；证明：级数1nn u∞=∑收敛.证明：记1nn nk S u==∑,2121()nn k k k uu σ-==+∑,则12342122()()()n n n n u u u u u u S σ-=++++⋅⋅⋅++=……………2分由（2）可知lim n n σ→∞存在,设为σ,则有2lim n n S σ→∞=……………4分又因2122n n n S S u -=-,故由（1）可知21lim n n S σ-→∞=……………6分即lim n n S σ→∞=,故级数1nn u∞=∑收敛…………………………………7分。