材料力学课程内容总结

第二章 轴向拉伸和压缩
一、概念
轴向拉伸(压缩)变形受力变形特点：轴向外力产生轴向伸长(缩短)变形。
内力——由于外力引起的构件内部相邻部分相互作用力的改变量。
截面法——1）截开；2）代替；3）平衡。
拉压杆内力——轴力FN: 拉为正，压为负。
静定结构的内力只与外力有关；
FN Fix
正负规定，取左右两段计算的内力符号相同。
FS
S
* z
I zb
----τ沿截面高度抛 物线规律变化
最大切应力位置中性轴上；
计算公式
max
k
FS A
矩形截面k=3/2; 圆形截面k=4/3; 圆环形截面k=2; 型钢截面k≈1.
三、梁的强度计算 最大应力所在截面称为危险截面， 危险截面上最大应力所在点称为危险点。
等直梁的正应力 强度条件：
圆轴扭转时的刚度条件：
m ax
Tmax GI
180
三类强刚度计算问题：校核、设计、确定许可荷载。
第四章 弯曲内力
一、平面弯曲——外力作用面（纵向对称平面）与杆轴弯曲面重合。
二、梁的内力——剪力和弯矩
剪力FS—左上有下为正，单位：N、kN。 弯矩M —下凸或左顺右逆为正，单位：N·m、kN·m。
横截面上的最大正应力： 上下边缘
max
Mymax
z
M WZ
WZ
IZ ymax
--截面对中性轴的弯曲系数
矩形 截面
IZ
bh3 12
;
WZ
bh2 6
.
圆形 截面
D 4
IZ 64 ;
D3
WZ 32 .
圆环形截面：I Z
D4
64
(1 4
);
WZ
D3
32
(1 4
).
( d )
D
二、梁横截面上的切应力
矩形截面梁切应力计算公式
dx 2
(4.5)
B
FS B FS A
q( x )dx;
A
B
M B M A A FS ( x )dx;
A、B两点间分布荷载图形的面积
A、B两点间剪力图形的面积
微积分关系法画梁内力图： 求支座反力；微分关系定形状，积分关 系定大小，从左向右画，自行封闭即可。
弯矩、剪力、荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用(梁内力图规律)
对等截面梁，将上式逐次积分得到梁的转角和挠度方程
dw dx
1 EI
M
(x)dx
C
w
1 EI
(
M
(x)dx)dx
Cx
D
边界条件：梁铰支座处挠度等于零；固定端处挠度和转角都等于零。
连续条件：梁分段处的转角和挠度分别相同。（弯矩方程分段处）中间
铰只有挠度相等，转角不相等。
了解：简支梁、悬臂梁、外伸梁最大挠度和转角的位置；
点正应力计算公式
z
正应力公式：M为截面内力弯矩；y为点到中性轴距离；IZ 为截面对中性轴惯性矩。
横截面上正应力的分布规律
①梁横截面上某点处的正应力与该截面上的弯矩和该点到中性 轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩成反比；②沿截面 高度正应力线性分布；③中性轴上各点正应力为零；④中性轴把 截面分为拉压两个区域，离中性轴越远正应力越大；截面上下边 缘正应力最大；截面设计一般材料尽量多的分配在两边。⑤与中 性轴等远各点正应力相同。
32
IP
D 4
32
(1 4
);(
d D
)
三、惯性矩 矩形截面：
Ix
y2dA;
A
Iy
x2dA;
A
Iz
bh3 12
;
I
y
圆 h形b3截; 面：
12
Iy
Iz
d 4
64
;
讨论：相同截面面积，空心与实心极惯性矩、 惯性矩的大小变化。
四、惯性积
Ixy
x y dA;
A
五、平行移轴公式
截面参数计算用公 式法，少用积分法。
M Mo (Fi )
三、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 土建工程规定：正值的剪力画在轴线上方;正值的弯矩画在轴下方。
四、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 弯矩、剪力、分布荷载集度之间的微分关系
内力图规律
dFS (x) q(x) dx
(4.3)
dM (x) dx FS (x)
(4.4)
d 2M (x) q(x)
Tili
GI P
FS 外力
M 外力对形心之矩
My ,
FS
S
* z
Iz
bI z
, max [ ] max [ ]
1、积分法 2、叠加法
m ax
Tmax GI P
180
[ ]
wmax [w],max [ ]
第一章 绪论
概念
几个基本假设： 连续性：物体在其全部体积内毫无空隙地充满物质，结构是密实的。 均匀性：固体内任何一部分的力学性质完全相同。 各向同性：材料沿各个方向的力学性能完全相同。 小变形假设：小变形的情况下，研究构件平衡及内部受力、变形计算时，均 按构件原始尺寸计算。
四、用叠加法求梁的挠度和转角 叠加法条件：材料处于线弹性变形，外荷载与变形量满足线性关系。
第七章 应力状态、强度理论
1、一点处的应力状态（所有应力）；主应力；主平面；应
力状态分类
2、平面应力状态分析（计算时注意各应力，角度正负
号，以及角度的定义是否与图形中的角度一致。）
（1）斜截面上的应力
x
y
2
q=0 梁段
q=c 梁段
F作用截面
m 作用截面
梁
外
力
剪
力
图
弯 矩 图
q(x)=0梁段：剪力图 为平行线。弯矩图为 斜直线。
q(x)=线性函数梁段： 剪力图为二次抛物线; 弯矩图为三次抛物线.
q(x)=常量梁段：剪力图 为斜直线;弯矩图为二次
曲线
FS=0的截面：弯矩M有极 值。
集中力F作用截面：剪 力图发生突变，且突变 值等于该集中力的大小 ；突变方向为力的方向 。弯矩图出现尖角，且 尖角的方向与集中力的 方向相同。
Ip
d4
32
Wp
d3
16
max
圆 环 截 面 ：I p
D
4
（1－
4）
32
Wp 1D63（1－ 4）
d D
T
IP
T R T
IP
Wp
—内 外 径
的
比
值
三、扭转圆轴的强度计算 四、扭转圆轴的变形和刚度计算
强度条件： max
Tm W
等直圆轴的扭转角
ax p
Tili GI p
扭转切应变
G
3
2
3 2
注：最大正应力时，切应力一定为0，
1
4最、大应切力应应力变时关，系正应力不等于1 0
广义胡克定律
2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 2 1 3 1
3 3 2
广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变：
y
90
x
xy
1 E
90
求出 , 90 ,就可求得 方向的正应变 注意实际应用，比如45°与-45°方向的线应变与主
二、轴力图：分段求轴力，再画图，正的轴力上侧，负的下侧。
注：标注清楚轴力大小单位正负号。
二、轴向拉压杆截面上的应力 （强度破坏不仅与内力有关，还与截面大小有关）
应力——内力在截面上某点处的分布集度。
横截面正应力在截面上均匀分布； 拉为正，压为负。 FN
A
斜截面应力： σ a σ cos2 a
τ
a
σ 2
sin 2a
σ－拉为正；τ－
； α－
三、拉压杆变形
胡克定律 E 要求 p ,
拉杆(l) : l
FNili
EA
材料处于线弹性阶段
四、材料在拉伸和压缩时的力学性能
1. 低碳钢拉伸时的力学性能： 弹性阶段（比例极限σp）、 屈服阶段（屈服极限σs）、 强化阶段（强度极限σb）、 颈缩阶段
应变的关系。
G
E
2 1
6、四个常用强度理论
强度理论的统一形式： r [ ]
• 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论：
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
1
3 2
第八章组合变形
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：外力简化并分组，确定组合变形类别； ②内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确 定危险面； ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；确定危 险点 ④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。
I x xc a2 A; y yc b2 A; I x1y1 I xy abA;
第六章 梁弯曲时的位移
一、挠度和转角 梁的挠曲线—平面弯曲梁变形后轴线在纵向对称平面内弯成的光滑曲线。
（1）挠度 梁任一横截面形心沿垂直梁轴方向的线位移，称为该截面的挠 度，通常用w表示，并以向上为正。其单位用mm或m表示。
2. 材料的力学性能特征值：
强度(σs,σb )、塑性(δ,ψ)、弹性(E, μ)
3. 两类材料力学性能的比较： 塑性材料破坏前有明显的塑性变形，δ≥5%，拉压性能相同；
脆性材料破坏前无明显的塑性变形，δ<5% ，抗压不耐拉。
五、拉（压）杆的强度计算
强度条件：
max
FN max A
三类强度计算问题：校核(105%[σ])、设计(取整)、确定许可荷载(平衡)。
此部分关键：确定剪切面与挤压面,同时 注意一下结构中是几个连接件。
第三章 扭转
一、扭转圆轴横截面上的内力 同轴力图方法。
—扭矩（图）
扭矩的符号规定—右手螺旋法则 拉矢量，扭矩为正。
二、扭转圆轴横截面上的应力——切应力
——切应力τ沿直径线性分布；垂直直径，转
向与扭矩一致；最大切应力位于圆周上各点。
圆截面：
直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力）
梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力 的代数和；外力符号：左半段上或右半段下代正号
梁任一横截面上的弯矩数值等于该截面一侧(左侧或右 侧)所有外力对截面形心力矩的代数和；外力矩符号：左半 段顺或右半段逆代正号
FS Fiy
2、两相互垂直平面内的弯曲（强度条件）
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲（强度条件）
有棱角的截面
max
FN ,max A
max
M max Wz
计算截面：
Mmax
脆性材料梁的 强度条件：
t max
M1 yl max Iz
t
c max
M 2 ya max Iz
c
计算截面：
M max M max
校核切应力：①跨度较短的梁或者梁在支座附近有较大的 集中力作用；②非型钢组合截面；③木梁。
梁的切应力强度条件:
E
y
x
2
O
A2 B2
y D2
D1
2 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面； 圆上坐标，面上应力； 转向一致，夹角2倍。
max
3、空间应力状态的概念
B
max
三向应力圆
D
主应力：判断一个主应力；把这
A
个应力拿掉，由剩下的两个面求 O
max、 min
最大剪应力
max
1
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
（2）主平面和主应力
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
0
1 2
arc
tan
x
2 x
y
（3）切应力
max min
x
2
y
2
x2
三个主应力（按 从大到小排列：
max , 0 min
（3）应力圆
集中力偶作用截面： 剪力图不变化；弯矩 图发生突变，且突变 值等于该集中力偶的 力偶矩。突变方向： 逆上顺下。
第五章 弯曲应力
纯弯曲与横力弯曲：有无剪力
剪力(横力)弯曲梁横截面上任一点处有切应力τ和正应力σ。且 一、切梁应横力截τ面只上与的剪正力应FS力有关，正应力σ只与弯矩M有关。
纯弯曲梁横截面上任一 M y
第一章 绪论 第二章 轴向拉伸和压缩
第三章 扭转 第四、五、六章 弯曲
附录 截面的几何性质
第七章 应力状态和强度理论
第八章 组合变形 第九章 压杆稳定
一、基本变形
外力
拉伸与压缩
扭转
弯曲
内力
FN F
应力 强度条件
FN
A
max [ ]
变形 l
FNili
EA
刚度条件
T Me
T
IP
max [ ]
（2）转角 梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的转
角，用θ表示，并以逆时针转动为正。单位用弧度（rad）表示。
二、挠曲线的近似微分方程
d 2w M (x) 或w" M (x)
dx2 EIz
EI z
tan dw w dx
W、 θ与材料参数E成反比，与截面参数IZ成反比，与
三、积分法计算梁的位移 外荷载成正比，且为线性关系。
剪切与挤压
三、连接件的强度计算
连接部位的破坏形式: 连接件被剪断、挤坏和主板被拉断。 连接部位的强度计算：
剪切强度条件:
FS
AS
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
剪切面一般为平行于外力作用方 向的构件内部截面。(破坏时断 裂面）
计算挤压面一般为构件接触表面 在与外力垂直方向的投影平面。
max
F S S max z max Iz b
k
FS max A
[ ]
附录Ⅳ 截面的几何性质
一、静矩
Sx A y dA A yc ;
Sy
z
AdAຫໍສະໝຸດ Axc;性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；（加
对称轴4条） 二、极惯性矩
实心圆截面：
IP
2dA;
A
IP
d空4 ;心圆截面：