L2-晶体结构与对称性2
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晶体中任一处r的物理量(r )具有周期性, 有 (r Rl ) (r ), 其中Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 把(r )作傅里叶展开 (r ) ( K h )e
h iK h r
, 其中K h h1b1 h2b2 h3b3
于是, (r Rl ) ( K h )eiKh r eiKh Rl
密勒指数的确定
选一格点为原点，以原胞基矢a1、a2、a3 为轴线；
由于所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通 过原点，其它晶面均匀切割各轴； 因为在 a1存在着格点，必将遇到一个面切割在+ a1或- a1。假如这是从原点算起的第h1个面，那末晶 面系的第一个面的截距可以写成 a1/ h1 ， h1为正或 负的整数；
Kh
a1/h1
d h1h2h3
a1 K h 2 h1 K h Kh
返回
倒格矢的性质：
（ 1） Ghkl 是密勒指数为 h，k，l） 所对应的晶面族的法线。
2 Ghkl d hkl
2）
条件：不包括体心和面心的一切晶胞。
3）Rl Ghkl 2 m
其中
Rl ma nb lc
所以倒格矢 Ghkl 可以代表（h，k，l）晶面。
标空间(坐标域)变换到了状态空间(频率域)，晶
体的X射线衍射照片上的斑点分布或图谱分布，一
定程度上是晶体结构在状态空间的化身。
• 倒格子是晶格在状态空间的化身。
二、倒格子的性质
1、正倒格子基矢的关系 bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍。 (2 ) * b (b b )
1、氯化钠结构
由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物有： LiF、LiCl、NaF、CaO等。
2、氯化铯结构 由两个简单立方格子套构而成。 具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
3、金刚石结构 金刚石由碳原子组成，其晶胞见P19图1-13。 每个晶胞含有8个碳原子。
面体相对的两个面都是相互平行的，它们的晶面指数正好相反； 八面体一个前面的晶面是(111)，与它相对的背面就是(1 1 1)； 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才是有意义的。
面心立方或体心立方
• 对于布拉伐格子为面心立方或体心立方的晶格， 在标志晶向、晶面时，常常并不是从晶格原胞的 基矢出发，而是基于立方单胞的三个基矢，这时 它们的晶向、晶面指数，实际上是借用了简单立 方晶格的结果。 • 以金刚石晶格为例，立方单胞的体对角线方向， 仍然称为[111]方向，与之垂直的晶面仍然称为 (111)面。
由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶 角处的碳原子与体内的4个碳原子是不等价的。
A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移 四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。
具有这种结构 的晶体有：
锗、硅等。
闪锌矿结构：（与金刚石类似结构的化合物P20） 在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于 不同的元素。 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
[m，n，p]
称为晶列指数。
[-1/2, 1, 0]
二、晶面 晶面 —— 晶体内三个非共线格点组成的平面。 在一晶面外过其它结点作一系列与原晶面平行的 晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分 布情况是相同的。这组等距的晶面的称为一族晶面。 面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成 晶体。 常用密勒指数表示不同的晶面系。
晶向:
同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所 以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称 为晶向。 晶向的表示法 对应于一个简约格矢量
R l1a1 l 2 a2 l3 a3
( l1 、l 2 、l 3 为互质整数）
l l 晶向记为 [ l1 ， 2 ， 3 ]。
[ l1 ，l2 ， l3 ] 称为晶列指数。
金刚石晶格(111)面
• (111)面为一个双层密排面，双层面内部相互作用 强，两个相邻双层面之间相互作用弱。 • 在晶体生长、晶面解理、化学腐蚀等情况下，表 面往往有倾向成为(111)面的趋势。
§1.4 倒格子 一、倒格子的定义 二、倒格子基矢的性质
三、结晶学中的倒格子
§1.4 倒格子
倒格子的起源：晶格的傅里叶变换
§1.2 几种简单的晶体结构 一、体心立方和面心立方的布喇菲格子 二、复式格子结构
一、体心立方和面心立方的布喇菲格子
晶体由同一种元素组成，且基元只有一个原子。 一般碱金属（如 Li、Na、K等）和过度金属 （如W等）具有体心立方结构；
贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面心立方结构。
二、复式格子结构
h
(r Rl ) (r )要求eiKh Rl 1 即K h Rl 2, 为整数
2 , i j 满足ai b j 2ij { 0, i j
从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应 的傅里叶空间。 倒易空间的格矢量： K h h1b1 h2 b2 h3b3
6、把晶格的一族晶面转化为倒格子中的一点，这 在处理晶格的问题上有很大的意义，晶体的衍 射是由于晶格和波的互相作用，一族晶面干涉 的结果，在照片上得出一点。倒格点的平移可 得出倒格子空间。
推论： 1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数 倍，这个矢量一定是倒格矢。 2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
三、结晶学中的倒格子 若晶胞基矢为
a
、b 、 c ，其倒格子基矢为
* 2 b 2 * c
2 * a b c
c a
ab
其中 a (b c )
为晶胞体积。
此时的倒格矢为
* * * Ghkl ha kb lc
在结晶学中，以 a 、 b 、 c 为原胞基矢， 把 a 、 b 、 c 称为晶轴，结点的位矢可写成 R m' a n' b p' c
n’ 、m’ 、p’ 不一定是整数，但乘上公倍数后， 可得到一组整数n 、m 、p ，并有
m' : n' : p' m : n : p
3 *
(
1
2
3
为倒格子原胞体积。）
3、倒格矢 K h 是晶面指数为 （h1，h2，h3） 所对应的
晶面族的法线。
二、倒格子的性质
4wenku.baidu.com倒格矢 K h 于晶面间距 d h1h2h3
关系为
Kh
2 d h1h2 h3
5、正格矢 Rl 与倒格矢 K h 的关系
（m为整数）
Rl K h 2 m
作业1：证明下列倒格子的性质
1、正倒格子基矢的关系
bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍。
*
(2 ) 3
( b1 (b2 b3 ) 为倒格子原胞体积。）
*
3、倒格矢
K h 是晶面指数为
（h1，h2，h3） 所对应的
a3
大约有30种金属 元素（如Be、Mg、Ti、 Zn、Cd等）的晶体结 构为六角密积结构。
§1.3 晶列和晶面指数 一、晶列 （糖葫芦串） 晶列 —— 连接任意两个结 点所形成的直线。
在某根晶列外的结点可作 一些与原晶列平行的晶列。 这些晶列的总和称为一族 晶列。
晶列的概念是以格点组成 互相平行的直线，再构成 晶体。
4、六角密积结构
其结构图见P343习题10的图。 由化学键的取向不同可知，体内原子与六方形 顶角的原子是不等价的。所以六角密积是有两个六 角布喇菲晶格套构而成。六角形底面的边长为a，晶 胞高度为c。
固体物理学原胞
a1 、 a 2 在密排面内，互成 见下图。原胞基矢
1200角， 沿垂直密排面的方向。基矢表达式见 P342第五题。
Kh 2 d h1h2 h3
晶面族的法线。 4、倒格矢 5、正格矢
K h 于晶面间距 Rl 与倒格矢
d h1h2h3
关系为
K h 的关系
Rl K h 2 m
（m为整数）
作业2：专题讨论
1、论述为什么光波通过光栅衍射的过程，其实质 是把光栅从坐标空间(坐标域)变换到了状态空间 (频率域)。 2、论述为什么晶体的X射线衍射照片上的斑点分 布或图谱分布，能反映出倒格子空间的格点。
3）将 h' 、k ' 、 l ' 取倒数并化为互质整数 h 、 k 、 l ，则（h，k，l）即为密勒指数。
例：立方晶系的几个晶面
如果晶面系和某一个轴平行，截距将为无限大，所 以相应的指数为0。简单立方晶格中一个晶面的密勒 指数是和晶面法线的晶向指数完全相同。
• 对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面垂直， 如[010](010)。 • 晶面指数完全反号，晶面相互平行;
小结1
• 倒格子线度的量纲为[米]-1，而波矢的量纲也是
[米]-1，故Kh是倒格矢，也可以理解为波矢，波矢 常用来描述运动状态(如，电子在晶格中的运动状 态或晶格的振动状态)。 • 由倒格子所组成的空间可理解为状态空间(K空间)， 而由正格子所组成的空间是位置空间或称为坐标 空间。
小结2
• 光波通过光栅衍射的过程，其实质是把光栅从坐
同理得第一个面在其它两个轴上的截距将为a2/ h2 和 a3/ h3 (h2 ，h3是整数)。这个晶面系以密勒指数 (h1,h2, h3)表示。
以结晶学原胞基矢 a 、 b 、 c 为坐
标轴得到密勒指数。 确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 、 b 、c 的轴线。 2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 a 、 c 轴上的截距 h' a 、k ' b 、 l ' c 。 b 、
h iK h r
, 其中K h h1b1 h2b2 h3b3
于是, (r Rl ) ( K h )eiKh r eiKh Rl
密勒指数的确定
选一格点为原点，以原胞基矢a1、a2、a3 为轴线；
由于所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通 过原点，其它晶面均匀切割各轴； 因为在 a1存在着格点，必将遇到一个面切割在+ a1或- a1。假如这是从原点算起的第h1个面，那末晶 面系的第一个面的截距可以写成 a1/ h1 ， h1为正或 负的整数；
Kh
a1/h1
d h1h2h3
a1 K h 2 h1 K h Kh
返回
倒格矢的性质：
（ 1） Ghkl 是密勒指数为 h，k，l） 所对应的晶面族的法线。
2 Ghkl d hkl
2）
条件：不包括体心和面心的一切晶胞。
3）Rl Ghkl 2 m
其中
Rl ma nb lc
所以倒格矢 Ghkl 可以代表（h，k，l）晶面。
标空间(坐标域)变换到了状态空间(频率域)，晶
体的X射线衍射照片上的斑点分布或图谱分布，一
定程度上是晶体结构在状态空间的化身。
• 倒格子是晶格在状态空间的化身。
二、倒格子的性质
1、正倒格子基矢的关系 bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍。 (2 ) * b (b b )
1、氯化钠结构
由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物有： LiF、LiCl、NaF、CaO等。
2、氯化铯结构 由两个简单立方格子套构而成。 具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
3、金刚石结构 金刚石由碳原子组成，其晶胞见P19图1-13。 每个晶胞含有8个碳原子。
面体相对的两个面都是相互平行的，它们的晶面指数正好相反； 八面体一个前面的晶面是(111)，与它相对的背面就是(1 1 1)； 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才是有意义的。
面心立方或体心立方
• 对于布拉伐格子为面心立方或体心立方的晶格， 在标志晶向、晶面时，常常并不是从晶格原胞的 基矢出发，而是基于立方单胞的三个基矢，这时 它们的晶向、晶面指数，实际上是借用了简单立 方晶格的结果。 • 以金刚石晶格为例，立方单胞的体对角线方向， 仍然称为[111]方向，与之垂直的晶面仍然称为 (111)面。
由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶 角处的碳原子与体内的4个碳原子是不等价的。
A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移 四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。
具有这种结构 的晶体有：
锗、硅等。
闪锌矿结构：（与金刚石类似结构的化合物P20） 在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于 不同的元素。 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
[m，n，p]
称为晶列指数。
[-1/2, 1, 0]
二、晶面 晶面 —— 晶体内三个非共线格点组成的平面。 在一晶面外过其它结点作一系列与原晶面平行的 晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分 布情况是相同的。这组等距的晶面的称为一族晶面。 面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成 晶体。 常用密勒指数表示不同的晶面系。
晶向:
同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所 以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称 为晶向。 晶向的表示法 对应于一个简约格矢量
R l1a1 l 2 a2 l3 a3
( l1 、l 2 、l 3 为互质整数）
l l 晶向记为 [ l1 ， 2 ， 3 ]。
[ l1 ，l2 ， l3 ] 称为晶列指数。
金刚石晶格(111)面
• (111)面为一个双层密排面，双层面内部相互作用 强，两个相邻双层面之间相互作用弱。 • 在晶体生长、晶面解理、化学腐蚀等情况下，表 面往往有倾向成为(111)面的趋势。
§1.4 倒格子 一、倒格子的定义 二、倒格子基矢的性质
三、结晶学中的倒格子
§1.4 倒格子
倒格子的起源：晶格的傅里叶变换
§1.2 几种简单的晶体结构 一、体心立方和面心立方的布喇菲格子 二、复式格子结构
一、体心立方和面心立方的布喇菲格子
晶体由同一种元素组成，且基元只有一个原子。 一般碱金属（如 Li、Na、K等）和过度金属 （如W等）具有体心立方结构；
贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面心立方结构。
二、复式格子结构
h
(r Rl ) (r )要求eiKh Rl 1 即K h Rl 2, 为整数
2 , i j 满足ai b j 2ij { 0, i j
从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应 的傅里叶空间。 倒易空间的格矢量： K h h1b1 h2 b2 h3b3
6、把晶格的一族晶面转化为倒格子中的一点，这 在处理晶格的问题上有很大的意义，晶体的衍 射是由于晶格和波的互相作用，一族晶面干涉 的结果，在照片上得出一点。倒格点的平移可 得出倒格子空间。
推论： 1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数 倍，这个矢量一定是倒格矢。 2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
三、结晶学中的倒格子 若晶胞基矢为
a
、b 、 c ，其倒格子基矢为
* 2 b 2 * c
2 * a b c
c a
ab
其中 a (b c )
为晶胞体积。
此时的倒格矢为
* * * Ghkl ha kb lc
在结晶学中，以 a 、 b 、 c 为原胞基矢， 把 a 、 b 、 c 称为晶轴，结点的位矢可写成 R m' a n' b p' c
n’ 、m’ 、p’ 不一定是整数，但乘上公倍数后， 可得到一组整数n 、m 、p ，并有
m' : n' : p' m : n : p
3 *
(
1
2
3
为倒格子原胞体积。）
3、倒格矢 K h 是晶面指数为 （h1，h2，h3） 所对应的
晶面族的法线。
二、倒格子的性质
4wenku.baidu.com倒格矢 K h 于晶面间距 d h1h2h3
关系为
Kh
2 d h1h2 h3
5、正格矢 Rl 与倒格矢 K h 的关系
（m为整数）
Rl K h 2 m
作业1：证明下列倒格子的性质
1、正倒格子基矢的关系
bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍。
*
(2 ) 3
( b1 (b2 b3 ) 为倒格子原胞体积。）
*
3、倒格矢
K h 是晶面指数为
（h1，h2，h3） 所对应的
a3
大约有30种金属 元素（如Be、Mg、Ti、 Zn、Cd等）的晶体结 构为六角密积结构。
§1.3 晶列和晶面指数 一、晶列 （糖葫芦串） 晶列 —— 连接任意两个结 点所形成的直线。
在某根晶列外的结点可作 一些与原晶列平行的晶列。 这些晶列的总和称为一族 晶列。
晶列的概念是以格点组成 互相平行的直线，再构成 晶体。
4、六角密积结构
其结构图见P343习题10的图。 由化学键的取向不同可知，体内原子与六方形 顶角的原子是不等价的。所以六角密积是有两个六 角布喇菲晶格套构而成。六角形底面的边长为a，晶 胞高度为c。
固体物理学原胞
a1 、 a 2 在密排面内，互成 见下图。原胞基矢
1200角， 沿垂直密排面的方向。基矢表达式见 P342第五题。
Kh 2 d h1h2 h3
晶面族的法线。 4、倒格矢 5、正格矢
K h 于晶面间距 Rl 与倒格矢
d h1h2h3
关系为
K h 的关系
Rl K h 2 m
（m为整数）
作业2：专题讨论
1、论述为什么光波通过光栅衍射的过程，其实质 是把光栅从坐标空间(坐标域)变换到了状态空间 (频率域)。 2、论述为什么晶体的X射线衍射照片上的斑点分 布或图谱分布，能反映出倒格子空间的格点。
3）将 h' 、k ' 、 l ' 取倒数并化为互质整数 h 、 k 、 l ，则（h，k，l）即为密勒指数。
例：立方晶系的几个晶面
如果晶面系和某一个轴平行，截距将为无限大，所 以相应的指数为0。简单立方晶格中一个晶面的密勒 指数是和晶面法线的晶向指数完全相同。
• 对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面垂直， 如[010](010)。 • 晶面指数完全反号，晶面相互平行;
小结1
• 倒格子线度的量纲为[米]-1，而波矢的量纲也是
[米]-1，故Kh是倒格矢，也可以理解为波矢，波矢 常用来描述运动状态(如，电子在晶格中的运动状 态或晶格的振动状态)。 • 由倒格子所组成的空间可理解为状态空间(K空间)， 而由正格子所组成的空间是位置空间或称为坐标 空间。
小结2
• 光波通过光栅衍射的过程，其实质是把光栅从坐
同理得第一个面在其它两个轴上的截距将为a2/ h2 和 a3/ h3 (h2 ，h3是整数)。这个晶面系以密勒指数 (h1,h2, h3)表示。
以结晶学原胞基矢 a 、 b 、 c 为坐
标轴得到密勒指数。 确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 、 b 、c 的轴线。 2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 a 、 c 轴上的截距 h' a 、k ' b 、 l ' c 。 b 、