【江苏版】2019年高考数学一轮复习讲练测 第04章 三角函数与解三角形测试题

第04章 三角函数与解三角形
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、填空
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭__________． 【答案】7
【解析】4
1
tan tan
34tan()7441tan tan 143
π
απαπα----===+-．
2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________．
【答案】
3
π
3. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
，将函数()y f x =的图象向右平移23
π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于
___________． 【答案】3
【解析】平移后得22()sin[()]sin()3333g x x x πππωπωω=-
+=+-，由题意22,3
k k Z ωππ-=∈，3(0k k Z ω=-∈且k ＜），最小值为3．
4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】函数y ＝2sin (2)6
x π
-与y 轴最近的对称轴方程是
▲ ． 【答案】6
x π
=-
【解析】由题意得2()()6
2
3
2
k x k k Z x k Z π
π
π
π
π-
=
+∈⇒=
+
∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是
6
x π
=-
5. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知π(0,
)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3
α=，5
3
)sin(-=+βα，则cos β= ▲ ．
【答案】15
2
64+-
413cos cos()cos()cos sin()sin 535βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-=15264+-
6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】函数3sin(2)4
y x π
=+的图象向左平移ϕ
（02
π
ϕ<<
）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ．
【答案】38
π
【解析】由题意得3sin(2())4
y x π
ϕ=++
关于原点成中心对称，即
2()()4
28k k k Z k Z π
ππϕπϕ+
=∈⇒=
-∈，因为02πϕ<<，所以ϕ=38
π 7. 【南京市2017届高三年级学情调研】若函数()sin()6f x x π
ω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()
3
f π
的值是 . 【答案】
1
2
【解析】2212,()sin()3362
f π
πππωπ=
==+= 8. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且
4
cos 5α=-，则m 的值为 ．
【答案】1
2
【解析】由题意得
41cos 52m α=
=-⇒=
9. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若(0,
)2π
α∈
，cos()24
π
αα-=，则sin 2α= ．
【答案】
15
16
【解析】
试题分析：cos()2sin )sin )(cos sin )
4παααααααα-=+=-+，因为
(0,)
2π
α∈，所以11152(cos sin )1sin 2sin 221616αααα=-⇒=-⇒=
10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设a ，b 均为大于1的自然数，函数
()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．
【答案】
4
11. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，
若,,A B C 依次成等差数列且222
a c k
b +=，则实数k 的取值范围是____________．
【答案】(]1,2
【解析】∵,,A B C 依次成等差数列，∴3B π
=，22222
2cos 2a c a c b ac B ac ++-==≤，22
202
a c
b +-≤，2
202
kb b -≤，2k ≤，又2222cos a c b ac B +-=0>,1k >，所以12k <≤. 12. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，
△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．
13. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】若tan 2tan βα=，且2
c o s s i n 3
αβ=，
则sin()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】13
-
【解析】1tan 2tan sin cos 2sin cos sin cos 3
βαβααβαβ=⇒=⇒=，所以
sin()αβ-1
sin cos sin cos 3
αββα=-=-
14. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+><<
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的部分
图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若
23
PRQ π
∠=
，则()y f x =的最大值是_________.
【答案】
二、解答
15. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，
若点A ，点B .
（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.
【答案】（1）－10
（2）34π
【解析】
所以α＋β＝
34
π
． …………………… 14分 16. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，
B ，
C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =．
（1）求A 的大小；
（2）若2a =，b =ABC 的面积．
【答案】（1）6
A π
=（2）【解析】
（1）2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =， ∵sin 0B >，∴1
sin 2
A =
，
由于a b c <<，所以A 为锐角，∴6
A π
=
．
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
∴241222
c c =+-⨯⨯
， 2680c c -+=，2c =或4c =，
由于a b c <<，4c =，
所以1
sin 2
S bc A =
= 17. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)
已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+ ，(1,cos())2b x ωϕ=+ (0,0)4
π
ωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅- ．若函数
()y f x =的周期为4，且经过点1
(1,)2M ．
(1)求ω的值；
(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 【答案】(1) 2π
ω= (2) max 1
()2
f x = 【解析】
18. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知02
π
αβπ<<<<，且5
sin()13
αβ+=
，1tan 22α=．
（1）求cos α的值；
（2）证明：5sin 13β>
． 【答案】（1）3
cos 5
α=（2）详见解析
19. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）
某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分． （1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．
【答案】（1
（2
【解析】
（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，
所以AB =2分
（第18题图②）
20. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分16分）
如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，
π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在¼MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修
建与BC 平行的小路PQ ． (1)若3
PBC π
∠=
，求PQ 的长度；
(2)当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP
与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．
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【答案】(1) 1PQ = (2) 当BP BC ⊥时，总路径最短.
【解析】 （1）连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q 在1Rt PBP ∆
中，111112
PP QQ BP CQ ====，1PQ =……………4分 （2）设1PBP θ∠=()
2π03θ<<， »2π3MP θ=-
答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………16分。