正弦定理和余弦定理课时作业
正弦定理与余弦定理学案、作业
第26课 正弦定理与余弦定理一、目标导引1．在ABC ∆中，已知6=c ，45A =o，2=a ，求b 和B ，C ． 2．在ABC ∆中，已知2=b ，3c =，60A =o，求a ． 同学们在解决以上两个问题时用到了什么知识点？二、知识梳理解三角形知识框架的横向沟通：正弦定理和余弦定理．提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系． 引导学生根据数学原理研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定． 正弦定理余弦定理文字 语言符号 语言证明 方法公式变形应用过程中核心问题推进：问题1：从公式的表达形式上看，这两者之间有什么区别和联系？问题2：除了文字语言、符号语言，我们还能从哪些方面对数学公式（原理）进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？问题4：除边与角外，与三角形有关的量还有哪些？三角形面积公式已知条件面积公式一边和这条边上的高 两边夹角 三边三边及内切圆半径或外接圆半径三、问题研讨问题1：（基本应用） 例题1：在ABC ∆中，36324A AB AC π===，，，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.问题2：判定三角形的形状例题2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2sin )a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断△ABC 的形状．问题3：三角形的面积例题3：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a = 2，△ABC 的面积为3，求b ，c ．四、总结提升组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？ 五、即时检测1.(正弦、余弦定理)已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________.2.（三角函数和差公式，正弦定理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．校本作业26：正弦定理与余弦定理1．（正弦定理）在ABC ∆中，若63a =，60A =︒，6b =，则角B 的度数为（ ） A .30︒或150︒ B .30︒ C .150︒ D .45︒ 2.（余弦定理）在ABC ∆中，4π=B ，BC 边上的高等于BC 31，则cos A = A .31010 B .1010 C .1010- D .31010-3.（三角形形状判断）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A .锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定4．（向量的线性运算性质、正弦定理）已知O 是锐角ABC ∆的外心，22tan =A ．若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m （ ） A ．33 B ．23 C ．3 D ．355.（解三角形）在ABC ∆中，23A π∠=，c a 3=，则bc=_________. 6．（三角形几解问题）ABC ∆中，0245AC B =∠=，，若ABC ∆有2解，则边长BC 的范围是 .7.(三角函数和差公式，正弦定理)ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．8．（正余弦定理）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径是1，且满足条件b B A C A ⋅-=-)sin (sin )sin (sin 222，则ABC ∆的面积的最大值为 .9．（正余弦定理）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()B a c A b -+=πcos 2cos ．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若21=b ，ABC ∆的面积为3，求c a +的值．10．(正弦定理、余弦定理)在ABC ∆中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.（Ⅰ）若332tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （Ⅱ）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.11．（正弦定理、三角形面积公式）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r．（Ⅰ）求A 2tan 的值； （Ⅱ）若4π=B ，3CB CA -=u u u r u u u r，求ABC ∆的面积S ．12．（解三角形）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B AC B A sin sin sin sin sin 222+=+，)cos 1(cos C b B c -=．（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）在ABC ∆的边AB ，C A 上分别取D ，E 两点，使沿线段D E 折叠三角形时，顶点A 正好落在边C B 上的P 点处，设D θ∠B P =，当D A 最小时，求D A AB的值．提高题：1. （三角恒等变换、切的性质应用）在锐角三角形ABC 中，若C B A sin sin 2sin =，则C B A tan tan tan 的最小值是 .2．（正弦、余弦定理的应用）在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_______． 3．（综合应用）已知ABC ∆的面积为S ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C sin 2，B sin ，A cos 成等比数列，23b a =，21321822c ac ≤+≤，则()2419216c S a++的最小值是 .4.在平面四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠75C B A ，则AB 的取值范围是 . 5.（三角恒等变换、正余弦定理、向量）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos sin()sin cos()2A BB A B B AC ---++35=-.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA uu u r 在BC uuur 方向上的投影.6.（正、余弦定理应用）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC ，P 为ABC ∆内一点，︒=∠90BPC .（Ⅰ）若21=PB ，求PA ； （Ⅱ）若︒=∠150APB ，求PBA ∠tan .ABCP。
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ， 因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1， 又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A <B ，则sin A <sin B ；②若sin A <sin B ，则A <B ；③若A >B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A <B ，则cos 2A >cos 2B ；⑤若A <B ，则tan A 2<tan B 2.其中正确命题的序号是__________．解析：在△ABC 中，A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ⇔sin 2A <sin 2B ⇔cos 2A >cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°， 可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ， 得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ， 又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ， 即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。
正弦定理、余弦定理习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
课时作业21：第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14， 又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B和3sin A ＝5sin B ， 得3a ＝5b ，即b ＝35a ， 又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴C ＝2π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A. 3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 由题意得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，得 sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010. 二、填空题9．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且bc ＝8，则△ABC 的面积为 ．答案 2 3解析 因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3， 三角形面积S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3. 11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解 设AB ＝a ，则AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理，得sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 13．已知在△ABC 中，BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． 解 在△ABC 中，设AB ＝7x ，则AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， 则sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， 因为0<C <180°，AB <AC ，所以C ＝60°或C ＝120°(舍去)．再由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15×cos 60°，即x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5，所以AB ＝21或AB ＝35.当AB ＝21时，AC ＝24，当AB ＝35时，AC ＝40，均可与BC ＝15构成三角形．在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， 所以AD ＝123或AD ＝20 3.14．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在答案 A解析 由方程可得(sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0.∵方程有两个不等的实根，∴4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )＞0.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0，再由余弦定理，有2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0.∴ 0°<A <90°，A 为锐角．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．。
正弦定理余弦定理练习题
正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。
熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。
本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。
一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。
1. 求∠ABC和∠ACB的度数。
2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。
3. 求∠BAC的弧度值。
解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。
化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。
又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。
2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。
因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。
根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。
因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。
将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。
解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。
3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。
所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。
一轮复习课时训练§4.4：正弦定理和余弦定理
第四章§4：正弦定理和余弦定理(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 2．在△ABC 中，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB ＝35，AB →·BC →＝－21，a ＝7，则角C 等于A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是A ．x ＞2B ．0＜x ＜2C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．在锐角三角形中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcosA＝______. 7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝4，cbcosA ＋cacosB ＋abcosC ＝612，则c ＝________.8．在三角形ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径R ＝1，则(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )的最小值为________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝BC ＝CD ＝2，A ＝60°. (1)求sin ∠ABD 的值； (2)求△BCD 的面积．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2csinA. (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由已知S △ABC ＝12BC·CAsinC ，∴6sinC ＝33，∴sinC ＝32，又三角形为锐角三角形，∴C ＝60°. 答案：B2．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，即B ＝π3.由正弦定理a sinA ＝bsinB 得sinA ＝12.又∵a ＜b ，∴A ＜π3.∴A ＝π6.从而C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．答案：C3．解析：∵C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得a 2－b 2＝ab ，∴a －b ＝aba ＋b ＞0，即a ＞b.答案：A4．解析：由AB →·BC →＝－21得accosB ＝21，∵cosB ＝35，a ＝7，∴c ＝5.∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝32， ∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又∵0＜C ＜π，∴C ＝π4.答案：B5．解析：由正弦定理得sinA ＝24x ，当三角形有两解时，22＜24x ＜1，∴2＜x ＜2 2. 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BC sinA ，∴AC 2cosA ＝1，∴ACcosA＝2. 答案：27．解析：由余弦定理得bccosA ＋cacosB ＋abcosC＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2＋c 22＝612，∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝6. 答案：68．解析：(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )＝4R 2(sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C)＝4R 2(sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C sin 2A ＋sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＋sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2Csin 2C)＝4R 2(1＋sin 2B ＋sin 2C sin 2A ＋1＋sin 2A ＋sin 2C sin 2B ＋1＋sin 2A ＋sin 2Bsin 2C)≥4R 2(3＋2sin 2B sin 2A ·sin 2Asin 2B ＋2sin 2C sin 2B ·sin 2Bsin 2C ＋2sin 2C sin 2A ·sin 2Asin 2C)＝36. 答案：36三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)在△ABD 中，A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcosA ＝7， 解得BD ＝7，由正弦定理，AD sin ∠ABD ＝BDsinA，所以sin ∠ABD ＝AD BD sinA ＝27×32＝217.(2)在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CDcosC ，所以7＝4＋4－2×2×2cosC ， cosC ＝18，因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝378， 所以，△BCD 的面积S ＝12BC·CD·sinC ＝374.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由3a ＝2csinA 及正弦定理得a c ＝2sinA 3＝sinAsinC .∵sinA ≠0，∴sinC ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)方法一：∵c ＝7，C ＝π3，由面积公式得12absin π3＝332，即ab ＝6.① 由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b)2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b)2＝25，故a ＋b ＝5. 方法二：前同解法一，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝7ab ＝6⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13ab ＝6. 消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4或a 2＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2.故a ＋b ＝5.。
高三数学课时作业：第3章第7节正弦定理和余弦定理
课时作业一、选择题1．在△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cos A〉cos B”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C ［a〈b⇔A<B⇔cos A>cos B．]2．在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝错误!，b＝1，△ABC的面积为错误!，则a的值为（) A．1 B．2C.错误!D.错误!D ［由已知得错误!bc sin A＝错误!×1×c×sin错误!＝错误!，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos错误!＝3⇒a＝错误!。
］3．(2014·“江南十校"联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2错误!，c＝2错误!,1＋错误!＝错误!，则C＝（)A．30°B．45°C．45°或135°D．60°B ［由1＋错误!＝错误!和正弦定理得cos A sin B＋sin A cos B＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，所以cos A＝错误!,则A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则sin C＝错误!，又c〈a，则C<60°，故C＝45°.］4．(2012·陕西高考）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a,b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A。
错误! B.错误!C.错误!D．－错误!C ［由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C,又c2＝错误!（a2＋b2）,得2ab cos C＝错误!（a2＋b2)，即cos C＝错误!≥错误!＝错误!.］5．(2012·上海高考）在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是（) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C [由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cos C＝错误!〈0,所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．］6．(2014·乌鲁木齐一诊)△ABC中,若(错误!＋错误!）·错误!＝错误!｜错误!|2，则错误!的值为( ) A．2 B．4C.错误!D．2错误!B ［设△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C所对的边，由(错误!＋错误!)·错误!＝错误!｜错误!|2得，错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!｜错误!|2，即bc cos(π－A）＋ac cos B＝错误!c2,∴a cos B－b cos A＝错误!c，由正弦定理得sin A cos B－cos A sin B＝错误!sin C＝35sin(A＋B)＝错误!（sin A cos B＋cos A sin B)，即sin A cos B＝4cos A sin B，∴错误!＝4。
高考数学第三章 三角函数、解三角形 25 正弦定理和余弦定理的应用课时作业
课时作业25 正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠B ＝π3，则△ABC 的周长等于( ) A ．3＋ 3 B ．3 3 C ．2＋ 3D.332解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由三角形的面积公式和余弦定理得，b ＝3，12ac ·32＝32，所以ac ＝2，又3＝a 2＋c 2－2ac ·12，所以3＝(a ＋c )2－3ac ，解得a ＋c ＝3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥12.即cos C 的最小值为12，故选C.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14 B.34 C.24D.23解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sinC ，由正弦定理得b2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析：据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .答案：A5．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．答案：D6．(2016·云南一检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334 B.6＋324 C.326－24D.36－324解析：根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C ，得a ＋2b ＝2c ，c ＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立．此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 答案：A 二、填空题7．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 解析：如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32. 而c>b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.答案：34或328．已知以2，3，x 为边长的三角形不是钝角三角形，则x 的取值范围是________．解析：因为2<3，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧22＋x 2≥32，22＋32≥x 2， 即5≤x 2≤13，又因为x >0，所以5≤x ≤13. 答案：[5，13]9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故6－24≤cos C <1， 故cos C 的最小值为6－24. 答案：6－24三、解答题10．(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 11．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B ，1－cos B )与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 解：(1)∵m ＝(sin B ，1－cos B )，n ＝(2，0)， ∴m ·n ＝2sin B ，|m |＝sin 2B ＋（1－cos B ）2＝2－2cos B ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2.∵0<B <π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2. 又∵|n |＝2， ∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12.∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时，取等号． ∴(a ＋c )2≤4，即a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．1．(2016·石家庄市一模)已知平面图形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为( )A.30 B ．230 C ．430D ．630解析：根据题意，连接BD ，则S ＝12×2×3×sin A ＋12×4×5×sin C ＝3sin A ＋10sin C .根据余弦定理得，BD 2＝13－12cos A ＝41－40cos C ，得10cos C －3cos A ＝7，两边同时平方得100cos 2C ＋9cos 2A －60cos C cos A ＝49，得100sin 2C ＋9sin 2A ＝60－60cos C cos A ，而S 2＝(3sin A ＋10sin C )2＝100sin 2C ＋9sin 2A ＋60sin C sin A ＝60－60cos A cos C ＋60sin C sin A ＝60－60cos(C ＋A )≤120，所以S ≤230，故选B.答案：B2．(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，若AB ―→·AC ―→＝7，|AB ―→－AC ―→|＝6，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8 3解析：由题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，所以b ·c cos A ＝7，所以cos A ＝7bc，|AB ―→－AC ―→|＝6，所以b 2＋c 2＝50≥2bc ，所以bc ≤25.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49b 2c 2＝12b 2c 2－49≤12625－49＝12. 答案：C3．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD .S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 及DC ＝22， 所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.4．(2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98.。
《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
课时作业21：习题课 正弦定理和余弦定理
习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝b cos B， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝55，由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( ) A.922 B.924 C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32.又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC→＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)△ABC 中，∵a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，利用正弦定理可得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 化简可得3sin A －cos A ＝1， ∴sin(A －30°)＝12， ∴A －30°＝30°，∴A ＝60°.(2)若a ＝2，△ABC 的面积为12bc ·sin A ＝34bc ＝3，∴bc ＝4 ①.再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3·4，∴b ＋c ＝4 ②.结合①②求得b ＝c ＝2.。
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
课时作业4：习题课 正弦定理和余弦定理
习题课 正弦定理和余弦定理一、基础达标1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1＜c ＜3 B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3答案 C解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6.则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 答案 D解析 由余弦定理的推论知：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935. 所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19，故选D.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 答案 B解析 因b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A . 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin A sin A ，所以sin A ＝1，A ＝π2.故选B.4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．6．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是________． 答案 (5，13)解析 x 满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜522＋32－x 2＞022＋x 2－32＞0，解得5<x <13.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值． 解 ∵B ＝A ＋60°，∴sin B ＝sin(A ＋60°)． sin B ＝12sin A ＋32cos A ，又b ＝2a,2R sin B ＝4R sin A ，∴sin B ＝2sin A ， ∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A,3sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝33，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C，∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、能力提升9．在△ABC 中，a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 A解析 由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，因为sin B ≠0.即sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12，∵a ＞b ，∴B ＝π6.10．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝5.由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝AC sin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝31010.11．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 为________三角形． 答案 等腰直角解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，∴a c ＝sin A ＝22，∵A 为锐角，∴A ＝45°，∵sin C ＝casin A ＝2×sin 45°＝1，∴C ＝90°. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并由正弦定理，得a ＋c ＝pb ，所以a ＋c ＝54.由⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B . 因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2. 三、探究与创新13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
高中数学必修二 专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练
专题6.7 正弦、余弦定理知识储备一．余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有【思考】在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？ 【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理. 二．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcB b A a sin sin sin == 三．正弦定理的变形公式1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(其中R 是△ABC 外接圆的半径). 【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？【答案】等于2R (R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（ ）ABCD．【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=， 则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===，故选：A. 2．（2021·云南高三期末）在ABC 中，若4AC =，6AB =，BC =A ∠=（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由余弦定理可得：2221636281cos 22462b c a A bc +-+-===⨯⨯又()0,A π∈所以3A π=故选：C3．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（ ）A ．32B ．34C D 【答案】D【解析】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 12224ABCSac B ==⨯=． 故选：D ．4．（2021·河南新乡市·高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形.故选C5．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22226c ab a b +=++，若ABC 的面积为2，则tan C 的值为（ ）A B C ．1 D 1【答案】B【解析】由题意22222262cos c a b ab a b ab C =+-+=+-即()1cos 3ab C -=①，1sin 2S ab C ==①联立①①得1cossin C C -=sin 2sin 3C C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又0C π<<4333C πππ∴<+< 2,333C C πππ∴+==tan C ∴=B ． 6．（2021·江苏镇江市·高一期末）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45︒，若23BC AC =，则该八角观音塔的高AB 约为（ ） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米【答案】D【解析】设AC x =，由23BC AC =得，32BC x =因为45CEB ∠=︒，所以32BE BC x ==，在Rt ABD △中，32tan 3033512x xAB BD x +︒===+，解得18x =≈所以5452AB x =≈故选D7．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =，若ABC 满足2sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．35B ．45 C ．1 D ．54【答案】B【解析】因为2sin c A 2sin C =，所以22,2ac c ac =∴=.因为3cos 5B =，所以22222236,2525a cb ac b ac +-+-=∴=，所以45S ==.故选：B 8．（2021·江西新余市·高二期末（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B B A A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A B ．44+ C ．3 D ．42+ 【答案】A【解析】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=，sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =，∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=-+2sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为2=故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
正弦定理和余弦定理课时作业
一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则abc 等于( )A ．12 3B ．321C ．13 2D ．231解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a b c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 答案：B5．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3D ．33解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝32 3.故选C.答案：C6．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .若△ABC 的面积为16sin C ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2＋1，a ＋b ＝2c ，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2.又12ab sin C ＝16sin C ，∴ab ＝13. ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a ＋b 2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：B 二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145.答案：1458．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B .于是a ＝2b ，即ab＝2.答案：29．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A ，c ＝7，△ABC 的面积为332，则a ＋b ＝________.解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3，∴S △ABC ＝12ab ·sin π3＝332，即ab ＝6，∵c ＝7，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7，解得(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.答案：5 三、解答题10．(2014·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.11．(2014·山西四校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2A ＝53.∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝53cos C ＋23sin C . 整理得tan C ＝ 5.(2)由(1)知sin C ＝56，cos C ＝16， 由a sin A ＝csin C知，c ＝ 3. ∵sin B ＝5cos C ＝5·16， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得：c －bc －a＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3. 答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1D ．3解析：由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵A －C ＝90°， ∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C ，∴2sin B ＝cos C ＋sin C ，∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)． ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2代入上式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫90°－B 2，∴2sin B ＝2cos B 2，∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2，∴sin B2＝24，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.答案：344．已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b . (1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )＝3，BA →·BC →＝92，且a ＋c ＝3＋3，求边长b . 解：(1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (B )＝3得2sin(2B ＋π6)＋1＝3，解得B ＝π6.又由BA →·BC →＝92知ac cos B ＝92，所以ac ＝3 3.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b ＝ 3.。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
高中数学第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理b必修第四册b高一第四册数学1
＝5cosBcosC，两式相减，得 cosA－sinA＝5(cosBcosC－sinBsinC)
＝5cos(B＋C)．又 B＋C＝π－A，所以 cos(B＋C)＝－cosA，所以
cosA－sinA＝－5cosA，即 sinA＝6cosA，所以 tanA＝6，故选 B.
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15．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，又 tanA
＝12，sinB＝
10 10 .
(1)求 tanC 的值；
(2)若△ABC 最短边的长为 55，求△ABC 的面积．
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解：(1)因为 sinB＝ 1100，所以角 B 为锐角或钝角， 当角 B 是钝角时，cosB＝－31010，tanB＝－13， 又 tanA＝12， 所以 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝121－＋1316＝17，
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三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、 13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．(1)在△ABC 中，已知 a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求 b；
(2)在△ABC 中，已知∠A＝45°，a＝2，b＝ 2，求∠B.
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8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，则ba＝( D )
A．2 3
B．2 2
C. 3
D. 2
解析：由正弦定理及 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，得 sin2AsinB ＋sinBcos2A＝ 2sinA，即 sinB(sin2A＋cos2A)＝ 2sinA，所以 sinB ＝ 2sinA，所以ba＝ 2，故选 D.
正弦定理和余弦定理习题课
判断这个三角形形状。
考点三 平面图形中的计算问题
B组第1题：已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=AD=4,求四边形ABCD的面积。
B组第2题:已知ABC中，AB=4 3, AC 2 3, AD为BC边上的中线， 且BAD 300,求BC的边长。
变式：．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，则此
三角形的最大内角为
(C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，
∴a∶b∶c＝1∶1∶ 3，易知 C 为最大内角，
设 a＝m，则 b＝m，c＝ 3m.
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝m2＋2mm2－2 3m2＝－12， ∴C＝120°.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问 题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余 弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各 个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求 出结果．
[熟记常用结论]
1．在斜△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.
定理
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
正弦定理余弦定理练习题
第七节 正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。
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课时作业24 正弦定理和余弦定理一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则abc 等于( )A ．12 3B ．32 1C ．13 2D ．231解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a b c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 答案：B5．(2014·卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝32 3.故选C.答案：C6．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .若△ABC 的面积为16sin C ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2＋1，a ＋b ＝2c ，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2.又12ab sin C ＝16sin C ，∴ab ＝13. ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a ＋b 2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：B 二、填空题7．设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. 解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145.答案：1458．(2014·卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B . 于是a ＝2b ，即a b＝2. 答案：29．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A ，c ＝7，△ABC 的面积为332，则a ＋b ＝________.解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3，∴S △ABC ＝12ab ·sin π3＝332，即ab ＝6，∵c ＝7，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7，解得(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.答案：5 三、解答题10．(2014·卷)设△ABC 的角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.11．(2014·四校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2A ＝53.∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝53cos C＋23sin C . 整理得tan C ＝ 5. (2)由(1)知sin C ＝56，cos C ＝16， 由a sin A ＝csin C知，c ＝ 3. ∵sin B ＝5cos C ＝5·16， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.1．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得：c －bc －a＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3. 答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．3解析：由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ， 所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵A －C ＝90°， ∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C ，∴2sin B ＝cos C ＋sin C ，∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)． ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2代入上式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫90°－B 2，∴2sin B ＝2cos B 2，∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2，∴sin B2＝24，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.答案：344．已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .(1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )＝3，BA →·BC →＝92，且a ＋c ＝3＋3，求边长b . 解：(1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (B )＝3得2sin(2B ＋π6)＋1＝3，解得B ＝π6.又由BA →·BC →＝92知ac cos B ＝92，所以ac ＝3 3.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b ＝ 3.。