反比例函数中K的几何意义 (1)

1 2
｜k｜.
∴ k＝±4.
又双曲线的一支在第二象限，
∴ k＝－4.
从而知两个函数的解析式分别为y＝
－4 x
和y＝－x＋4.
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例1
如图2，在函数y＝
1 x
的图
y A
像 上 有 三 点 A 、B 、C ， 过 这 三 点 分 别
B C
向 x 轴 、y 轴 作 垂 线 ，过 每 一 点 所 作 的
x
两 条 垂 线 与 x 轴 、y 轴 围 成 的 矩 形 面
O
图2
积分别为SA、SB、SC，则（ ）.
A. SA＞SB＞SC
B. SA＜SB＜SC
∵
y＝
k x
，∴
xy＝k.
y
∴ S＝｜k｜.
PN
过双曲线上任意一点作x轴、
x
y轴的垂线，所得的矩形面积为
MO
常数｜k｜.
S△PNO＝S△PMO＝
1 2
｜k｜.
图1
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课程
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思 路·方 法
在解有关反比例函数的面积问题时，若能灵活运用k的几何意
义，会给解题带来方便，现举例说明．
一、比较面积大小
C. S A＜SC＜SB
D. SA＝S B＝SC
简解：根据反比例函数k的几何意义可知SA＝1，SB＝1，SC＝1.
∴ SA＝S B＝SC . 选D.
二、求面积
例2
如 图 3 ，如 果 函 数 y ＝ － x 与 y ＝ －
4 x
的 图 像 交 于 A 、B 两 点 ，过 点
A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为
责任编辑：王二喜
反比例函数中K的 几何意义
文／汤 慧
研究函数问题，常常要透视函数的本质特征． 在反比例函数y＝
k x
（k
≠0）中
，比 例
系
数k
有
一个
很
重
要的
几
何意
义
：过
反
比例
函
数
y＝
k x
（k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
≠0）的
图
像
上
任
一
点
P
作x
轴
、y
轴
的
垂
线
PM、PN（
如
图1
所
示），则矩形PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜.
.
分析：若先求出A、C两点的坐标，再求△OBC的面积，则解题过程
繁琐. 若能利用反比例函数k的几何意义来解，就简捷明快.
简解：由双曲线关于原点成
中心对称知，O为AB中点.
y
根据反比例函数k的几何意
义得
S△AOC＝
1 2
×│－4│＝2.
A
C
O
x
又 △ACO 与 △BOC 是 等 底 等
B
高的三角形，
∴ S△OBC＝S△AOC＝2.
图3
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三、确定函数的解析式
例3 如图4，点P在反比 例函数的图像上，过P点作 P A ⊥ x 轴 于 A 点 ，作 P B ⊥ y 轴 于
y
B
P
B 点 ，矩 形 O A P B 的 面 积 为 9 ，则 该反比例函数的解析式为
x OA
.
分析：根据反比例函数k的
几何意义得，S矩形 ＝ OAPB ｜k｜＝9.
图4
又反比例函数图像在第一、
三象限，
∴ k＝9. 因此反比例函数的解析式
y A
为y＝
9 x
.
P
例4
如图5，双曲线y＝
k x
x BO C
与直线y＝－x－k相交于A点，过A
点作AB⊥x轴于点B，已知S△ABO＝
图5
2，直线与x轴相交于点C. 求反
比例函数与一次函数的解析式.
解：由反比例函数y＝
k x
中k的几何意义知，S△ABO＝2＝