反比例函数中K的几何意义 (1)
反比例函数中k的几何意义及应用
例析反比例函数中k 的几何意义及应用
陆智勇
反比例函数中k 的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数K 的值，如图①所示.过P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，垂足为A 、B ，连结OP,则有（１）AOBP S 矩形=PA ·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|；（２）
K PA OA S S BOP AOP 2
1
21=•==∆∆.能灵活运用这两个结论解有关反比例函数的问题，会给解题带来很多方便。现略举说明。
一、求交点坐标和面积
例1如图②，已知反比例函数与x
y 8
-=一次函数
2+-=x y 的图象交于Ａ、Ｂ两点。
（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标； （２）求△ＡＯＢ的面积。
图②
⎪⎩⎪⎨⎧
+-=-=.
2,
8)1(:x y x y 联立解⎩⎨
⎧=-=⎩⎨⎧-==.4,
2;2,4y x y x 或解得).
2,4(),4,2(--∴B A ).
0,2(,2,0,2:
)2(M x y x y ==+-=时当解法一.
2=∴OM
二、比较面积的大小
例2如图⑤，在χχ
(1
=
y ＞0）的图像上有三
点A,B,C,经过三点分别向χ轴引垂线，交χ轴于
111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，记△,1OAA
△,1OBB △,1OCC 的面积分别为,,,321S S S 则有 .
.
642=+=+=∴∆∆∆OAM OMB AOB S S S .
,D x BD C x AC 轴于轴于作⊥⊥,
2,4==BD AC ,
22221
21=⨯⨯=⋅⋅=∴∆BD OM S OMB .
反比例函数中比例系数k的几何意义
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
y
y
k x
C
E
A 1
B 2
C 4
D 8
C
B
F
x
O
A
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
x
y
A
O
D
x
解析：连接AC，交OB于点D，由菱形的性质可知，
S OAD S ABD S BCD S OCD 1 k 1 2
通过本节课的研究学习，你获得了哪些成果， 说出来与大家分享，请自由发言。 一、这节课我们复习了反比例函数的比例系数k 的几何意义：即过反比例函数图像上任意一点P，分 别向两坐标轴作垂线，则两垂线与坐标轴所形成的矩 形的面积不变，为k的绝对值。 二、这节课我们复习了已知反比例函数比例系数k 求几何图形面积S，以及已知几何图形面积S求反比例 函数比例系数k。 三、通过这节课的学习，我们不但复习了数学 知识，而且还提高了一题多变、一题多解以及数形结 合，转化与化归等重要的数学思想。
中考数学复习考点知识归类讲解12 反比例函数比例系数k的几何意义
中考数学复习考点知识归类讲解 专题12 反比例函数比例系数k 的几何意义
知识对接
考点一、反比例函数比例系数k 的几何意义
（1）意义：从反比例函数y ＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x
=或3y x =-
专项训练 一、单选题
1．如图，已知反比例函数2
y x
=-的图像上有一点P ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则
POA 的面积是（）
A．2 B．1 C．1-D．1
2
2．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数
k
y
x
=在第一象限的图象上的两点，
且其横坐标分别为1，4，若AOB的面积为5
4
，则k的值为（）
A．2
3
B．1C．2D．
15
4
3．若图中反比例函数的表达式均为
4
y
x
=，则阴影面积为4的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，点A是反比例函数
4
y
x
=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，
垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）
A ．-4
B ．2
C ．4
D ．8
5．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数k y x
=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（）
人教版初中数学九下 微专题1 反比例函数系数k的几何意义(一)——同一象限内运用k的几何意义
模型展示：
B
A.6
B.－6
C.3
D.－3
D
A.4
B.－4
C.8
D.－8
Biblioteka Baidu
C
A.1
B.3
C.6
D.12
D
C.3
D.4
C
6
6
8
反比例函数中k的几何意义
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
xΒιβλιοθήκη Baidu
的图象经过点A,B,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,连接
OA,OB,则△OAC与△OBD的面积之和为___2___. 世纪金
榜导学号
【核心突破】
类型一 求三角形或矩形的面积
【例1】(2018·衢州中考)如图,点A,B是 反比例函数y= k (x>0)图象上的两点,过
x
点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC,
已知点C(2,0),BD=2, S△BCD=3,则S△AOC=___5___.
类型二 求反比例函数的比例系数k
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 或y=- 8
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义在解题中的运用
反比例函数中k 的几何意义在解题中的运用
反比例函数中k 的几何意义，在解题中具有重要的意义.反比例函数与其他知识的关联运用，依旧离不开反比例函数中k 的几何意义.
一、k 的几何意义
过双曲线k y x
=图像上任一点作坐标轴的垂线段，与原点构造的直角三角形面积等于2
k . 例1 已知反比例函数6y x
=在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ,且AO AB =，AOB S ∆为多少?
解析 根据k 的几何意义，如图作AE x ⊥轴，垂足为E .所以32AOE k S ∆==.因为AO AB =，所以2326AOB AOE S S ∆∆==⨯=.
练习 如图，在平面直角坐标系中，过点M (0,2)的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数6(0)y x x =
>和(0)k y x x =<的图象交于点P 、点Q .
(1)求点P 的坐标;
(2)若△POQ 的面积为8，求k 的值.
解 因为点P 在双曲线6y x
=上，过M (0,2)的直线l 与x 轴平行，所以点P 的纵坐标为y =2，则横坐标x =3.所以点P 的坐标为P (3,2)所以3MOP S ∆=.因为，所以8,3POQ MOP S S ∆∆==，所以10,10k k ==或10k =-.因为图象在第二象限，所以10k =-.
二、k 的几何意义与线段比，面积比的知识关联
例2 如图，反比例函数(0)k y k x
=>的图象与矩形ABCO 的两边相交于,E F 两点，若E 是AB 的中点，2EFB S ∆=，求k 的值.
【片级公开课】八年级数学下《反比例函数中K的几何意义1》(扬州市武坚中学 阎绍悦)
值
求 面 积
则△POD的面积为 1 .
y P
o
D
x
1 3.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA 1 , OBB 1 , OCC1的
已 知 K 值 求 面
=
o
A
x
k 1、过反比例函数 y 中, 任意一点 x P(m, n)分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP
2、如图，连接OP，则
1 1 1 S OAP S OBP OA AP m n k 2 2 2
mn
k
这就是反比例函 数中K的几何意义
1.如图,点P是反比例函数
已 知 K
y
3 x
图象上的一点,过
点P分别向x轴、y轴作垂线,则长方形ONPM的面积是 多少？
y
值
求 面 积
y
3 x
P
N
o x
M
注意：无论矩形图像在哪个象限 ，矩形面积都为正。
已 知 K
2 2.如图,点P是反比例函数y x 图象上的一点,PD⊥x轴于D.
B
P(3,2)
o
A
F（4，-1.5）
反比例函数的k值的几何意义
古希腊科学家阿基米德曾 说过: 给我一个支点, 说过:"给我一个支点, 我可以把地球撬动. 我可以把地球撬动."
八年级 数学
第十七章 反比例函数 (1)
5 如图, 上的点, 例2 :如图,点A;B是双曲线 y = x 是双曲线 上的点, 分别作两轴的垂线, 分别作两轴的垂线,S = 2,求S + S 的值. 1 2 阴
S1
S2
八年级 数学
练一练
5
第十七章 反比例函数 (1)
若点( , ),(-1, ),(2, 若点(-2,y1),( ,y2),( ,y3)在
P = 220 R
2
解
从①式可以看出,电阻越大则功率越小. 式可以看出,电阻越大则功率越小. 把电阻的最大值R=220 把电阻的最大值R=220 代入① 代入①式,则得到输出功 率的最小值
把电阻的最小值R=110 把电阻的最小值R=110 代入① 代入①式,得到输出功率 最大值: 最大值:
220 = 440 P=
100 的图象上, 反比例函数 y = 的图象上,则( B ) x
k的几何意义反比例函数
反比例函数k的几何意义
过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x 轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。
1反比例函数的含义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图像在一、三象限。k<0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
2反比例函数图象的画法步骤
①列表：自变量的取值应以原点为中心，在原点的两侧取三对(或三对以上）互为相反数的值，填写 y值时，只需计算一侧的函数值，另一侧的函数值是与之对应的相反数；
②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲钱的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
3反比例函数的图像及性质
反比例函数函数K的几何意义
反比例函数函数K的几何意义
首先，反比例函数的几何意义可以通过其函数图像来展示。对于
y=k/x的函数形式来说，我们可以通过绘制此函数的图像来可视化这种比
例关系。这个图像是一个二维平面上的曲线，被称为双曲线。双曲线是一
种特殊的曲线，它的形状与抛物线类似，但却没有顶点。相反，双曲线的
中心是坐标轴上的原点(0,0)。
双曲线的形状取决于k的值。当k是正值时，双曲线会与x和y轴相
交于第一和第三象限，而当k是负值时，双曲线会与x和y轴相交于第二
和第四象限。因此，双曲线的图像有两个分支，分别位于坐标轴的正负两
个象限中。
双曲线的特殊性质之一是它的渐近线。在反比例函数图像中，存在两
条直线，它们并不相交于双曲线，但又无限靠近它。这些直线被称为双曲
线的渐近线。通过计算可以得知，当x趋向于正无穷或负无穷时，y趋向
于0。因此，我们可以得出结论，双曲线的两条渐近线为y=k和y=-k。这
意味着双曲线可以无限接近这两条直线，但永远不会与其相交。渐近线提
供了双曲线在远离原点时的大致变化趋势。
反比例函数的另一个几何意义是它对于比例函数的补充。比例函数
y=kx表示两个变量之间的正比关系，而反比例函数则表示它们之间的反
比关系。这两种函数形式都比较简单，易于理解和分析。它们反映了不同
的实际情况和数学模型，因此在实际应用中都有各自的用途。
在物理学中，反比例函数经常用于描述两个物理量之间的关系。例如，牛顿第二定律F=ma(力等于质量乘以加速度)可以写成F=k/a的形式，其
中k是一个常数。这就是一个反比例关系，表示物体的质量越大，所需施
反比例函数中K的几何意义(太乙学校)
A. 6 C.-3
B. -6 D. 3
y AP
♦像这样的图形变换叫等积变换
CP O
x
如图，A是反比例函数
y
=
4 x
上任意一点，
P是x轴上一点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则
S△ABP=( 2 ).
y BA
y BA
PO
X
PO
X
如图，A是反比例函数
y= 4 x
上任意一点，P是
x轴上一动点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则关于
—3 x
y
A
B
C
y2
y1
O
x
：等积变换
反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b 交于点A(1,8),和B(4,2),则三角形AOB
的面积是__1_5_____ y
A
B
o
x
:掌握设而不求
4
y c1
BP D
A c2
x
O
E
:中点坐标的运用
2
x
x
注：在没有图且不明确K的符号的前提下须分类讨论
1.如图，A,B是双曲线
y
=
3 x
上的点，分别经过A,B两点向X
轴、y轴作垂线段，若 S阴影 = 1，则S1 S2 = 4 .
y y
A
C S1 H
反比例函数K的几何意义
p
N
数的关系式是__________ 。
2.如图,点P是反比例函数 y 2 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则 x
△POD的面积为 .
M ox
y
P
oD
x
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x(x>0)的图 像交矩形OABC的边AB于点D,交边BC于点E，且 BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
的图象上,则k的值为
.
2.(2014·滨州中考)如图,菱形OABC的顶点O是原
点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是
6和4.反比例函数y= k (x<0)
x
的图象经过点C,则k的值
为
.
【解析】∵菱形的两条对角线的长分别是6和4,∴菱形ABCO的
面积为12.S△OBC= 1 S菱形OABC=6.设点C的坐标为(x,y),
反比例函数k的几何意义初中
反比例函数k的几何意义
“过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。”
反比例函数中比例系数k的几何意义
反比例函数中K的几何意义(微课课件)
3、如图A、B在y=3/x上，过A、B两点分别向y轴、x轴作垂线段， 设四边形ACED、BDGF的面积分别S、S’，若阴影部分的面积=1，
4 则S+S’=_______
C
y
S
A
E
D
B
1
G
S’
F
O
x
反比例函数中K的几何意义在 解题中的运用
反比例函数中k的几何意义是近年来中考数学 的一个重要考点，常在填空题考察。这类考题大 多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数 学图形思维。本次就通过几个习题让学生掌握反 比例函数K的几何意义这一知识要点，灵合利用这 一知识点解决数学问题。
k的几何含义： k 反比例函数y＝ (k≠0)中比 x
例系数k的几何意义，即过双曲
k 线y＝ (k≠0)上任意一点P x
作x轴、y轴垂线，与两坐标轴围成的 矩形OAPB的面积为
k
.
k 1 .已知点A是反比例函数 y 上的点，过点A作 x
A. 6 C.-3 B. -6 D. 3 A C P y P O
AP⊥x轴于点P，已知△AOP的面积3，则k的值是（ B ）
♦像这样的图形变换叫等积变换
x
♦ 两 个
2.（2011年陕西省）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x
4 2 轴的平行线，分别与反比例函数y＝－ 和y＝ 图象交于点 x x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2
｜k｜.
∴ k＝±4.
又双曲线的一支在第二象限，
∴ k＝－4.
从而知两个函数的解析式分别为y＝
－4 x
和y＝－x＋4.
18
2009.4
例1
如图2，在函数y＝
1 x
的图
y A
像 上 有 三 点 A 、B 、C ， 过 这 三 点 分 别
wenku.baidu.com
B C
向 x 轴 、y 轴 作 垂 线 ，过 每 一 点 所 作 的
x
两 条 垂 线 与 x 轴 、y 轴 围 成 的 矩 形 面
O
图2
积分别为SA、SB、SC，则（ ）.
A. SA＞SB＞SC
B. SA＜SB＜SC
图3
2009.4 17
三、确定函数的解析式
例3 如图4，点P在反比 例函数的图像上，过P点作 P A ⊥ x 轴 于 A 点 ，作 P B ⊥ y 轴 于
y
B
P
B 点 ，矩 形 O A P B 的 面 积 为 9 ，则 该反比例函数的解析式为
x OA
.
分析：根据反比例函数k的
几何意义得，S矩形 ＝ OAPB ｜k｜＝9.
.
分析：若先求出A、C两点的坐标，再求△OBC的面积，则解题过程
繁琐. 若能利用反比例函数k的几何意义来解，就简捷明快.
简解：由双曲线关于原点成
中心对称知，O为AB中点.
y
根据反比例函数k的几何意
义得
S△AOC＝
1 2
×│－4│＝2.
A
C
O
x
又 △ACO 与 △BOC 是 等 底 等
B
高的三角形，
∴ S△OBC＝S△AOC＝2.
C. S A＜SC＜SB
D. SA＝S B＝SC
简解：根据反比例函数k的几何意义可知SA＝1，SB＝1，SC＝1.
∴ SA＝S B＝SC . 选D.
二、求面积
例2
如 图 3 ，如 果 函 数 y ＝ － x 与 y ＝ －
4 x
的 图 像 交 于 A 、B 两 点 ，过 点
A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为
∵
y＝
k x
，∴
xy＝k.
y
∴ S＝｜k｜.
PN
过双曲线上任意一点作x轴、
x
y轴的垂线，所得的矩形面积为
MO
常数｜k｜.
S△PNO＝S△PMO＝
1 2
｜k｜.
图1
16
2009.4
课程
资源
思 路·方 法
在解有关反比例函数的面积问题时，若能灵活运用k的几何意
义，会给解题带来方便，现举例说明．
一、比较面积大小
图4
又反比例函数图像在第一、
三象限，
∴ k＝9. 因此反比例函数的解析式
y A
为y＝
9 x
.
P
例4
如图5，双曲线y＝
k x
x BO C
与直线y＝－x－k相交于A点，过A
点作AB⊥x轴于点B，已知S△ABO＝
图5
2，直线与x轴相交于点C. 求反
比例函数与一次函数的解析式.
解：由反比例函数y＝
k x
中k的几何意义知，S△ABO＝2＝
责任编辑：王二喜
反比例函数中K的 几何意义
文／汤 慧
研究函数问题，常常要透视函数的本质特征． 在反比例函数y＝
k x
（k
≠0）中
，比 例
系
数k
有
一个
很
重
要的
几
何意
义
：过
反
比例
函
数
y＝
k x
（k
≠0）的
图
像
上
任
一
点
P
作x
轴
、y
轴
的
垂
线
PM、PN（
如
图1
所
示），则矩形PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜.